n n n n n n n n aa n n n n n n n aa n n nn n n naa

Funciones y Procesos Infinitos
PROGRESIONES ARITMÉTICAS
1. La suma de los tres primeros términos de una progresión aritmética es 12 y la razón
16. Calcula el primer término.
Solución:
a1 + a2 + a3 = 12
d = 16
a1 =?
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = a1 + 2d
luego
a1 + a2 + a3 = 3a1 + 3d = 12 , y como d = 16
3a1 + 48 = 12
3a1 = -36
a1 = -12
2. Halla la suma de todos los números pares comprendidos entre 98 y 1002.
Solución:
Acá se tiene que a1 = 98, d = 2, an = 1002, y como
an = a1 + (n – 1)d
1002 = 98 + (n – 1)2
904 = 2(n – 1)
452 = n – 1
n = 453
entonces
S = (98 + 1002)·453/2
S = 1100·453/2
S = 249,150
3. Los dos primeros términos de una progresión aritmética son (a-b)2 y (a+b)2 . Halla
la diferencia y la suma de los siete primeros términos.
Solución
a1 = (a – b)², a2 = (a + b)², d =?, S7 =?
a2 = a1 + d
a² + 2ab + b² = a² - 2ab + b² + d
d = 4ab
a7 = a1 + 6d
a7 = a² -2ab + b² + 24ab
a7 = a² + 22ab + b²
por lo tanto
S = (a² - 2ab + b² + a² + 22ab + b²)·7/2
S = (2a² + 20ab + 2b²)·7/2
S = 7(a² + 20ab + b²)
4. El último término de una progresión aritmética de 10 términos vale 16. La suma de
todos sus términos vale 70. Calcula el primer término y la diferencia.
Solución
a10 = 16, S10 = 70, a1 =?, d =?
a10 = a1 + 9d
16 = a1 + 9d
a1 = 16 – 9d
pero como
S10 = 70
70 = (16 – 9d + 16)10/2
70 = (32 – 9d)·5
14 = 32 – 9d
9d = 18
d=2
entonces
a1 = 16 – 18
a1 = -2
http://www26.brinkster.com/jccortesd/index.htm
Funciones y Procesos Infinitos
5. El primer término de una progresión aritmética es 17, el último 12 y la diferencia 1/2. Averigua cuántos términos tiene esta progresión y cuánto vale su suma.
Solución
a1 = 17, an = 12 d = -½ , n =?, S =?
an = a1 + (n – 1)d
17 = 12 + (n – 1)· -½
-5 = (n – 1)· -½
10 = n – 1
n = 11
luego
S = (17 + 12)·11/2
S = 29·11/2
S = 319/2
6. El primer término de una progresión aritmética de 8 términos es 4/25 y el último
1/4. Halla la suma de los 8 términos.
Solución
S8 = (4/25 + ¼ )·4
S8 = 41/100·4
S8 = 164/100
7. El primer término de una progresión aritmética es 1, el segundo 2 y la suma de
todos sus términos 210. Averigua cuántos términos tiene esta progresión.
Solución
a1 = 1, a2 = 2, S = 210, n =?
210 = (1 + 2)·n/2
420 = 3n
n = 140
8. El primer término de una progresión aritmética es a-2, la diferencia es 2-a y la suma
de todos sus términos es 10-5a. Averigua cuántos términos tiene.
Solución
a1 = a – 2
d=2–a
S = 10 – 5a n =?
an = a1 + (n – 1)d
an = a – 2 + (n – 1)(2 – a)
an = a – 2 + 2n – an – 2 + a
an = 2a – 4 + n(2 – a)
an = 2(a – 2) – n(a – 2)
luego
10 – 5a = [a – 2 + 2(a – 2) – n(a – 2)]·n/2
5(2 – a) = (a – 2)(3 – n)n/2
-5 = (3 – n)·n/2
-10 = 3n – n²
n² - 3n – 10 = 0
(n – 5)(n + 2) = 0
n=5
9. Halla la suma de todos los múltiplos de 5 comprendidos entre 1 y 1000 (incluido).
Solución
a1 = 5
an = 1000
d=5
an = a1 + (n – 1)d
1000 = 5 + 5(n – 1)
995 = 5(n – 1)
199 = n- 1
n = 200
luego
S = (5 + 1000)200/2
S = 1005·100
S = 100500
http://www26.brinkster.com/jccortesd/index.htm
Funciones y Procesos Infinitos
10. En una progresión aritmética de 6 términos, el primero vale 2 y la suma de todos
ellos es igual a la mitad del cuadrado del número de términos. Formar la
progresión.
Solución
n=6
S=18 a1 = 2
an = a1 + (n – 1)d
an = 2 + 5d
y
S = (a1 + an)·n/2
18 = (2 + 2 + 5d)·3
18 = (4 + 5d)·3
6 = 4 + 5d
5d = 2
d = 2/5
y la progresión es
2, 12/5, 14/5, 16/5, 18/5, 4
11. La suma de los cuatro términos de una progresión aritmética es 3 y el último
término es 1. Halla los otros tres términos.
Solución
n = 4, a4 = 1, S4 = 3, a1=?, a2=?, a3=?
a4 =a1 + 3d
1 = a1 + 3d
pero como
S4 = (a1 + a4)·2
3 = (1 – 3d + 1)·2
3 = (2 – 3d)·2
3/2 = 2 –3 d
3d = 2 – 3/2
3d = ½
d = 1/6
por lo tanto
a1 = ½
a2 = 2/3
a3 = 5/6
12. En una progresión aritmética, el último término es 2+7 2 , la diferencia, 2 y la
suma de todos los términos 14+28 2 . Halla el primer término y el número de
términos de la progresión.
Solución
Al final
13. Interpola 6 medios aritméticos entre 32 y 70.
Solución
32, _, _, _, _, _, _, 70
se trata de una PA de a1 = 32, an = 70, n = 8
an = a1 + (n – 1)d
70 = 32 + 7d
7d =38
d = 38/7
luego la PA es
32, 262/7, 300/7, 338/7, 376/7, 414/7, 452/7, 70
14. ¿Cuántos números impares consecutivos, después del 7, suman 135?
Solución
a1 = 7 d = 2, S = 135, n =?
an = a1 + (n – 1)d
an = 7 + 2(n – 1)
y como S = 135
135 = [7 + 7 + 2(n – 1)]·n/2
270 = [14 + 2(n – 1)]·n
270 = 2[7 + n – 1]·n
http://www26.brinkster.com/jccortesd/index.htm
Funciones y Procesos Infinitos
135 = n(6+ n)
135 = 6n + n²
n² + 6n – 135 = 0
n=9
15. Halla la suma de los veinte primeros múltiplos de 3.
Solución
a1 = 3, d = 2, n = 20
S =?
an = a1 + (n – 1)d
an = 3 + 19·2
an = 3 + 38
an = 41
por lo tanto
S = (3 + 41)·10
S = 440
16. Los coeficientes de una ecuación de segundo grado y el término independiente
forman una progresión aritmética. La suma de las raíces representa la tercera parte
de la suma de los términos de la progresión y el producto de las raíces excede en 7
unidades al coeficiente del segundo término. ¿Cuál es la ecuación?
Solución
Consideremos la ecuación ax² + bx + c = 0, en la cual se tiene que
b= a+d
c = a + 2d
como la suma de las raíces (α + β), sabemos que vale –b/a, tenemos
_ a + d = _ a + a + d + a + 2d
a
3
y como el producto de las raíces (αβ) vale c/a, tenemos que
a + 2d = a + d + 7
a
es decir
_ a + d = 3a + 3d
a
3
- a + d = ( a + d)
(1)
a
y
a + 2d = a(a + d + 7)
(2)
de (1) se tiene que a = -1, reemplazando en (2)
-1 + 2d = -1(-1 + d + 7)
-1 + 2d = -6 – d
3d = -5
d = -5/3
y los coeficientes son
a = -1
b = --8/3
c = --13/3
17. Los primeros términos de una progresión aritmética son: -30, -19, -8, … Halla dos
términos consecutivos de dicha progresión cuyas raíces cuadradas se diferencien en
una unidad.
Solución
a1 = -30 a2 = -19
a3= -8 , entonces d = 11
x − x − 11 = 1
x − 1 = x − 11
()²
x − 2 x + 1 = x − 11
12 = 2 x
x = 36
http://www26.brinkster.com/jccortesd/index.htm
Funciones y Procesos Infinitos
Y los términos consecutivos son 25 y 36
18. Al preguntar a un empleado cuánto tiempo llevaba trabajando en una empresa,
contestó: "No lo sé; sólo puedo decir que llevo cobrados 174.000 €, que este año
me han dado 14.400€ y que cada año he tenido un aumento de salario, respecto al
anterior de 600 €." ¿Cuántos años lleva trabajando en esa empresa?
Solución
Se trata de una PA en la que S = 174,000, an = 14,400 y d = 600, n =?
an = a1 + (n – 1)d
14, 400 = a1 + 600(n – 1)
a1 = 14,400 – 600(n – 1)
y como S = 174,000
S = (a1 + an)n/2
174,000 = [(14,400 – 600(n – 1) + 14,400)]n/2
348,000 = [28,800 – 600(n – 1)]n
348,000 = 28,800n – 600n(n – 1)
/:100
3480 = 288n – 6n(n – 1)
580 = 48n – n² + n
n² - 49n + 532 = 0
y n = 20
19. A las nueve de la noche terminó una de las sesiones del Congreso, y en el tiempo
que duró la sesión dio el reloj 48 campanadas. ¿A qué hora empezó la sesión si el
reloj da las horas y las medias horas (éstas con una sóla campanada)?
Solución
Acá hay involucradas 2 situaciones. Una la que marca las horas con un número de
campanadas igual a la hora que marca y otra que marca una campanada a la media
hora.
an = 9
d = 1 S = 48
an = a1 + (n – 1)d
9 = a1 + n – 1
a1 = 10 – n
la suma de las campanadas es igual a la suma de las campanadas de la hora mas las
medias horas (un toque)
S = (a1 + an)n/2 + n
48 = [10 – n + 9)n/2 + n
48 = (19 – n)n/2 + n
96 = n(19 – n) + n
96 = 19n – n² + n
n² - 20n + 96 = 0
n = 12
20. Una persona, no pudiendo pagar de una vez una deuda de 12950 €, propone a su
acreedor pagarle 600 € al final del primer mes y cada mes 50 € más que el mes
anterior. ¿En cuántos meses se cancelará la deuda y cuál será el importe del último
pago?
Solución
Se trata de una PA en la que a1 = 600, d = 50 y S = 12950
an = a1 + (n – 1)d
an = 600 + 50(n – 1)
an = 600 + 50n – 50
an = 550 + 50n
entonces
12950 = [600 + 550 + 50n]n/2
25900 = n(1150 + 50n)
25900 = 1150n + 50n² /:50
518 = 23n + n²
n² + 23n – 518 = 0
n = 14
La deuda la cancela en 14 meses
http://www26.brinkster.com/jccortesd/index.htm
Funciones y Procesos Infinitos
21. Justifica si la sucesión cuyos primeros términos son los siguientes es una
 n2 −1
n 2 +1 n2 + 2 
progresión aritmética: 
, n,
,
, ...
n
n
 n

Solución
Para estar seguros que es una PA debe tenerse que la diferencia de dos elementos
consecutivos es constante
n² − 1 n² − n² + 1 1
=
=
n
n
n
n² + 1
n² + 1 − n² 1
a3 − a2 =
−n=
=
n
n
n
n ² + 2 n² + 1 n² + 2 − n ² − 1 1
a 4 − a3 =
−
=
=
n
n
n
n
a 2 − a1 = n −
Por lo tanto es una PA
13 11
22. Hallar el término que ocupa el lugar 100 en la progresión − 5, − , − , − 3, ...
3
3


Solución
a1 = -5
d = 2/3
n = 100
an = a1 + (n – 1)d
an = -5 + 99·2/3
an = -5 + 66
an = 61
23. Encontrar los cinco primeros términos de una progresión aritmética sabiendo que el
décimo término vale 60 y la diferencia vale 3.
Solución
a10 = 60 d = 3
a10 = a1 + (n – 1)d
60 = a1 + 27
a1 = 33
y los 5 primeros términos son
33, 36, 39, 42,......
24. Halla la suma de todos los números impares comprendidos entre 100 y 200.
Solución
a1 = 101 an = 199
d=2
an = a1 + (n – 1)d
199 = 101 + 2(n – 1)
199 = 101 + 2n – 2
199 = 99 + 2n
100 = 2n
n = 50
entonces
S = (101 + 199)·50/2
S=7500
25. En una progresión aritmética el primer término vale 3 y la diferencia es 2. Averigua
cuántos términos de esta sucesión hay que sumar para que el resultado sea 10200.
Solución
a1 = 3
d = 2, S = 10200
an = a1 + (n – 1)d
an = 3 + 2(n – 1)
an = 3 + 2n – 2
an = 1 + 2n
luego
10200 = [3 + 1 + 2n]n/2
http://www26.brinkster.com/jccortesd/index.htm
Funciones y Procesos Infinitos
20400 = (4 + 2n)n
20400 = 4n + 2n²
10200 = 2n + n²
n² + 2n – 10200 = 0
n = 100
26. La suma de los 18 términos de una progresión aritmética es 549 y el producto de
los términos extremos (el primero y el último) es 280. Calcula la diferencia de la
progresión y el valor de esos términos extremos.
Solución
S18 = 549
a1·a18 = 280
d =? a1 =? a18 =?
549 = 9(a1 + a18)
a1 + a18 = 61
a1·a18 = 280
de la primera
a18 = 61 – a1
reemplazando en la segunda
a1(61 – a1) = 280
61a1 – a²1 = 280
a²1 – 61a1 + 280 = 0
a1 = 5
a18 = 56
56 = 5 + 17d
51 = 17d
d=3
27. Construye una progresión aritmética de 5 términos, sabiendo que el tercero vale 1 y
la diferencia entre los extremos es 12.
Solución
a3 = 1
a5 – a1 = 12
1 = a1 + 2d
1 = a1 + 2d
a1 = 1 – 2d
a5 = a3 +2d
a5 = 1 + 2d
entonces
1 + 2d – (1 – 2d) = 12
1 + 2d – 1 + 2d = 12
4d = 12
d=3
y la progresión entonces es
-5, -2, 1, 4, 7
28. Calcula el primer término y la diferencia de una progresión aritmética de 100
términos, sabiendo que el último de los términos vale 199 y la suma de todos ellos
vale 10000.
Solución
a100 = 199
S = 10,000
a1 =? d =?
10,000 = (a1 + 199)·50
200 = a1 + 199
a1 = 1
y
199 = 1 + 99d
198 = 99d
d=2
29. Demostrar que la suma de los n primeros números impares es igual a n2 .
Solución
a1 = 1
d=2
an = 1 + 2(n – 1)
http://www26.brinkster.com/jccortesd/index.htm
Funciones y Procesos Infinitos
an = 1 + 2n – 2
an = 2n – 1
luego
S = (1 + 2n – 1)·n/2
S = 2n²/2
S = n²
30. Hallar el cuarto término de una progresión aritmética de la que se sabe que la suma
de sus 2 primeros términos es 4 y la suma de sus 3 primeros términos es 3.
Solución
a1 + a2 = 4
a1 + a2 + a3 = 3
se tiene entones que a3 = -1
luego
a2 = a1 + d
a3 = a1 + 2d
se tiene
a1 + a1 + d = 4
a1 + 2d = -1
es decir
2a1 + d = 4
a1 + 2d = -1
multiplicando por –2 la segunda y restándosela a la primera
-3d = 6
d = -2
por lo tanto
a1 = 3
a2 = 1
a3= -1
a4 = -3
31. El primer término de una progresión aritmética es 117; el último es –30 y la suma
de todos los términos es 2175. Averigua el número de términos de la progresión y
la diferencia.
Solución
a1 = 117
an = -30
S = 2175
n =?
d =?
an = a1 + (n – 1)d
-30 = 117 + (n – 1)d
por otro lado
2175 = [a1 + a1 + (n – 1)d]n/2
2175 = 87n/2
4350 = 87n
n = 50
por lo tanto
-147 = 49d
d = -3
32. Calcula las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que están en
progresión aritmética y que el menor de ellos mide 8 cm.
Solución
Sean a = 8
b=8+dy
c = 8 + 2d
Como el triángulo es rectángulo debe satisfacer el teorema de pitágoras, luego
(8 + 2d)² = (8 + d)² + 64
64 + 32d + 4d² = 64 + 16d + d² + 64
3d² + 16d – 64 = 0
luego d = 8/3
y los lados son a = 8
b = 32/3
c = 40/3
33. Calcula la suma de todos los múltiplos de 13 comprendidos entre 500 y 7800.
Solución
a1 = 507 d = 13 an = 7800
an = a1 + (n – 1)d
7800 = 507 + 13(n – 1)
http://www26.brinkster.com/jccortesd/index.htm
Funciones y Procesos Infinitos
7293 = 13(n – 1)
561 = n – 1
n = 562
luego
S = (507 + 7800)·562/2
S = 2334267
34. Una progresión aritmética consta de 3 términos. Su suma vale 27 y la suma de sus
511
cuadrados vale
. Calcula los tres términos.
2
Solución
Sean a1 = x – d a2 = x
a3 = x + d, entonces
x – d + x + x + d = 27
3x = 27
x=9
y por otro lado
(x – d)² + x² + (x + d)² = 511/2
reemplazando
(9 – d)² + 81 + (9 + d)² = 511/2
81 – 18d + d² + 81 + 81 + 18d + d² = 511/2
243 + 2d² = 511/2
2d² = 25/2
d² = 25/4
d = 5/2, o –5/2
por lo tanto los tres términos son
a1 = 13/2
a2 = 5/2
a3 = 23/2
o bien
a1 = 23/2
a2 = 5/2
a3 = 13/2
35. Halla el primer término de una progresión aritmética de la que se sabe que el
término que ocupa el lugar 11 es el doble del que ocupa el lugar 7, y la diferencia
de la progresión es 0’5.
Solución
36. En una progresión aritmética los términos que ocupan los lugares 3 y 5 suman 64, y
los que ocupan los lugares 2 y 7 suman 70. Calcula dichos términos y la diferencia
de la progresión.
37. Un coronel que manda 3003 soldados quiere formarlos en triángulo, de manera que
la primera fila tenga 1 soldado, la segunda 2, la tercera 3 y así sucesivamente.
¿Cuántas filas tendrá la formación?
38. Calcular cuántos días estuvo trabajando un camarero en un establecimiento
sabiendo que el primer día recibió una gratificación de 10 €, y que cada día que
pasaba recibía 3 € más de gratificación, llegando a cobrar el último día 55 €.
39. Encontrar los 6 términos de una progresión aritmética de la que se sabe que la suma
de los 3 primeros vale 3 y la suma de los tres últimos vale 39.
40. Comprobar que {x2 – 2x + 1, x2 + 1, x2 + 2x +1, ...} es una progresión aritmética y
calcular el 5º término.
41. Los ángulos de un hexágono están en progresión aritmética y el menor mide 40º.
Halla los demás.
42. Las cinco cifras de un número están colocadas en progresión aritmética. Sabiendo
que la suma de los valores absolutos de todas sus cifras es 20 y que la primera es el
doble de la tercera halla dicho número.
43. Interpola cuatro medios diferenciales entre 7 y 22. (Se trata de construir una
progresión aritmética de 6 términos de manera que el primero valga 7 y el último
22).
1 3
44. Interpola ocho medios diferenciales entre
y
2 4
n −1 n − 2 n − 3 
45. Halla la suma de los n primeros términos de la sucesión 
,
,
, ...
n
n
 n

http://www26.brinkster.com/jccortesd/index.htm
Funciones y Procesos Infinitos
46. La suma de los términos de una progresión aritmética es 169 y su término central
vale 13. Averigua cuántos términos tiene esta progresión.
http://www26.brinkster.com/jccortesd/index.htm