Estad´ıstica y Probabilidad PROBABILIDADES CONJUNTA

Estadı́stica y Probabilidad
PROBABILIDADES CONJUNTA MARGINAL Y CONDICIONAL
Universidad del Cauca
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Considere un experimento en el que se elige aleatoriamente una persona adulta que viva en una ciudad con
n personas adultas y se anotan sus caracterı́sticas con respecto a su sexo y hábitos de fumador. Sea Ω el
espacio muestral de la población de adultos que se divide en los siguientes eventos disjuntos: Fumador A1 ,
No fumador A2 , Hombre B1 y mujer B2 :
A1
A2
B1
n11
n21
B2
n12
n22
.. Suponga que se desea determinar la probabilidad de ocurrencia simultánea de los eventos A1 y B2 .
Mediante el empleo de la interpretación de frecuencia relativa, puede argumentarse que la probabilidad es:
P (A1 ∩ B2 ) = n12 /n. que se conoce como probabilidad conjunta ya que se insiste en la probabilidad de
resultados comunes a ambos eventos A1 y B2 .
En general, la probabilidad de los eventos Ai y Bj está dada por:
P (Ai ∩ Bj ) = nij /n
.. Suponga que se desea determinar la probabilidad Ai , sin considerar cualquier otro evento Bj del espacio
muestral Ω. Especificando se quiere determinar la probabilidad del evento A2 . Haciendo uso de nuevo de
la interpretación de frecuencia relativa, el número total de personas no fumadoras (A2 ) es n21 + n22 ası́:
P (A2 ) = (n21 + n22 )/n que se conoce como probabilidad marginal
P2 por que para determinarla se ignoran
una o más caracterı́sticas del espacio muestral. Esto es: P (Ai ) = j=1 nij /n. Generalizando:
P (Ai ) =
P2
j=1 P (Ai
∩ Bj )
P (Bj ) =
P2
i=1 P (Ai
∩ Bj )
.. Suponga que el interés es determinar la probabildiad de un evento Ai , dado que ha ocurrido el evento
Bj ). Por ejemplo, se ha elegido aleatoriamente una mujer adulta (B2 ) dado esto, ¿Cuál es la probabilidad
de que fume? En este caso el evento ((mujer)) reemplaza a Ω como el espacio muestral de interés. Por lo
tanto, la probabilidad de tener un fumador (A1 ) es el número de mujeres que fuman (n12 ) entre el número
total de estas (n12 + n22 ) ası́: P (A1 |B2 ) = n12 /(n12 + n22 ) que se conoce como probabilidad condicional
de A1 dada la ocurrencia de B2 . Generalizando:
P (Ai |Bj ) = nij /
P2
i=1 nij
P (Bj |Ai ) = nij /
P2
j=1 nij
Lo que es equivalente a:
P (Ai |Bj ) = P (Ai ∩ Bj )/P (Bj )
P (Bj |Ai ) = P (Ai ∩ Bj )/P (Ai )
Las definiciones dadas aquı́ son completamente generales y pueden extenderse para incluir cualquier espacio
muestral ya sea discreto o continuo.
Ejemplo: A los habitantes de una gran ciudad se les hizo una encuesta con el propósito de determinar
el número de lectores de Time y Newsweek. Los resultados de la encuesta fueron los siguientes: 20 % de
los habitantes leen el Time, 16 % de los habitantes leen el Newsweek y el 1 % de los habitantes leen los
dos periódicos. Si se selecciona al azar un lector del Time ¿Cuál es la probabilidad de que también lea el
Newsweek?
Solución: Sean los eventos A y B tales que:
A: Lectores del Time y B: Lectores del Newsweek.
Dado que P (A) = 0, 2, P (B) = 0, 16 y P (A ∩ B) = 0, 01.
P (B|A) = P (A ∩ B)/P (A) = 0.01/0, 2 = 0.05. Luego, si se selecciona al azar un lector del Time, la
probabilidad de que también lea el Newsweek es del 5 %.
Por otro lado, se puede determinar la probabilidad de que un lector del Newsweek lea también el Time,
esto es:
P (A|B) = P (B ∩ A)/P (B) = 0.01/0, 16 = 0.0625. Luego, si se selecciona al azar un lector del Newsweek,
la probabilidad de que también lea el Time es del 6,25 %.
Y se verifica la relación:
P (A)P (B|A) = P (B)P (A|B)
(0, 2)(0, 05) = (0, 16)(0, 0625)
0, 01 = 0, 01
Ejercicio: Las instituciones bancarias emplean modelos computarizados de crédito con el propósito de dar
un determninado puntaje a todas las solicitudes de préstamo. Éste puntaje se emplea como una ayuda para
decidir cuando se otorga un préstamo. Se tiene: El 3 % de todos los préstamos que se otorgan presentan
problemas de incumplimiento de pago. Los modelos son precisos en un 80 % al predecir menos créditos.
(Puntuación favorable dado el cumplimiento del pago). Si el 85 % de todas las solicitudes reciben puntuaciones favorables por los modelos computarizados y se les otorga el préstamo.
Determinar la probabilidad de que una solicitud que recibe una puntuación favorable y a la que se le
otorga el préstamo, no presente ningún problema para el pago de éste. R:/ 91.29 %.
Ejercicio: Una planta recibe reguladores de voltaje de dos diferentes proveedores, B1 y B2 . El 75 % de
los reguladores se compra a B1 y el 25 % de los reguladores se compra a B2 . El porcentaje de reguladores
defectuosos de B1 es 8 %, el porcentaje de reguladores defectuosos de B2 es 10 %.
Determinar la probabilidad de que funcione un regulador de voltaje de acuerdo a las especificaciones
(no sea defectuoso). R:/ 91,5 %.