Rendimiento de una máquina térmica

Lab. Termodinàmica 09-10
Rendimiento de una máquina térmica
1. Objetivo
El objetivo de esta práctica es estudiar el funcionamiento de una máquina térmica cuya sustancia de
trabajo es un gas (aire). A partir de diferentes medidas de presión y temperatura, se calcula el
rendimiento de la máquina y se compara con el máximo rendimiento que podría obtenerse de
acuerdo con el teorema de Carnot.
2. Material
Dispositivo de Cilindro-Pistón. (Diámetro del émbolo: 32.5 mm)
Depósito de aluminio.
Vasos de precipitados.
Tubos de conexión.
Hielo picado.
Sensor de presión
Data-logger
3. Introducción
Una máquina térmica es un dispositivo que produce trabajo neto a partir del intercambio de calor
con un foco caliente y un foco frío. En esta experiencia, la máquina térmica consiste en una
cantidad fija de aire contenida en un cilindro que se expande cuando el recipiente se sumerge en
agua caliente. El aire, al expandirse, empuja un pistón y realiza el trabajo que supone levantar un
peso. El ciclo de la máquina se completa cuando se sumerge el recipiente en agua fría, pues
devuelve la presión y la temperatura del aire a sus valores iniciales.
El rendimiento de una máquina térmica que opera cíclicamente se define como el cociente entre el
trabajo neto producido W y el calor absorbido del foco caliente, QH.
η=
W
QH
(1)
Entre todas las máquinas térmicas que reciben calor de un foco caliente a temperatura TH y ceden
calor a un foco frío a temperatura TC el máximo rendimiento se consigue cuando todos los procesos
que tienen lugar en la máquina son reversibles. En ese caso, el Teorema de Carnot establece que el
rendimiento es función exclusivamente de esas temperaturas e independiente de la sustancia de
trabajo.
 T 
ηmax =  1 − C ÷
(2)
 TH 
En el comienzo del ciclo, el aire se mantiene a temperatura constante mientras se coloca un peso
encima del pistón. Se realiza trabajo sobre el gas y se cede calor al foco frío (agua fría en un vaso de
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precipitados). La energía interna del gas ( ∆U = ncv ∆T ) no varía ya que la temperatura permanece
constante. De acuerdo con la Primera Ley de la Termodinámica, ΔU =Q−W , donde Q es el calor
absorbido por el gas y W es el trabajo hecho por el gas.
En la segunda parte del ciclo, se comunica calor al gas, provocando su expansión, es decir, haciendo
que el pistón ascienda, lo cual requiere realizar un trabajo para levantar el peso. Este proceso tiene
lugar a presión constante (la presión atmosférica), ya que el pistón puede moverse libremente. En
un proceso isóbaro, la relación entre el calor suministrado y el cambio de temperatura es
QP = nc p ∆T , donde n es el número de moles de gas. cp es el calor molar a presión constante y ∆T es
el cambio de temperatura. El trabajo hecho por el gas en este proceso puede calcularse a partir de la
Primera Ley de la Termodinámica, W = Q - ∆U, donde la variación de energía interna del gas viene
dada por ∆U = ncv∆T (cv es el calor molar a volumen constante).
Puesto que el aire se compone mayoritariamente (>99%) de moléculas diatómicas, puede
considerarse que
5
7
cv = R
cp = R
y
2
2
En la tercera parte del ciclo, se quita el peso del pistón mientras el gas se mantiene a la temperatura
del foco caliente. Se comunica calor al gas y éste se expande, realizando trabajo. Durante este
proceso isotermo, el trabajo hecho es:
W =nRT ln
Vf
Vi
( )
(3)
donde Vi es el volumen inicial y Vf es el volumen final del proceso isotermo. Puesto que no hay
variación de energía interna en un proceso isotermo de un gas ideal, de acuerdo con la Primera Ley,
el calor añadido al gas ha de ser igual al trabajo hecho por el gas, Q = W.
En la etapa final del ciclo, se transfiere calor del gas al foco frío y el pistón vuelve a su posición
original. Este proceso es isóbaro y se aplican las mismas expresiones que en la segunda parte del
ciclo.
2
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4. Dispositivo experimental
En la figura se puede observar cuál es la disposición de los diferentes elementos del dispositivo
experimental. El desplazamiento del pistón queda registrado en el Data Logger a través de un sensor
situado en la polea o bien mediante la lectura directa en la escala incorporada en el pistón. La
presión en el gas también se mide a través de un sensor de presión relativa.
En los dos vasos de precipitados se coloca agua caliente (alrededor de 80ºC o bien 40ºC si tenéis el
pistón más estrecho) y agua mezclada con hielo (próxima a 0ºC). Ambos vasos han de ser
suficientemente grandes para que la temperatura del agua permanezca aproximadamente constante
durante todo el experimento.
5. Procedimiento
1. Preparar los dos recipientes con agua caliente y agua mezclada con hielo. Realizar el siguiente
ciclo sin detenerse entre las distintas etapas. Puede ser útil practicar unas cuantas veces antes de
grabar definitivamente los datos del ciclo. Se comienza con el recipiente en agua fría. Este punto de
partida se llamará A. Tómese nota de la altura a la que se encuentra el pistón dentro del cilindro
graduado. A continuación, se inicia la grabación de datos en el Data Logger o la lectura manual.
A→B
B→C
C→D
D→A
Con el recipiente en el baño frío, colocar la masa de 200 g sobre la
plataforma
Cambiar el recipiente del baño frío al baño caliente
Retirar de la plataforma la masa de 200 g
Cambiar el recipiente del baño caliente al baño frío
2. Dibujar la gráfica del ciclo en un diagrama p(V). Localizar los estados A, B, C y D e identificar
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las temperaturas de dichos puntos.
3. Identificar el tipo de procesos que tienen lugar (es decir, isotermos, isocoros, isóbaros, etc.).
4. Identificar los dos procesos en los que se comunica calor al gas.
5. Calcular el máximo rendimiento de una máquina térmica que opera entre las dos temperaturas
empleadas en esta práctica, usando la ecuación (2).
6. Calcular QH, el calor transferido al gas desde el foco caliente durante la expansión isóbara de B a
C y durante la expansión isoterma de C hasta D. Para esto será necesario calcular lo siguiente:
a) No se conoce el volumen inicial, VA, pero podemos calcularlo midiendo las
dimensiones del recipiente y añadiendo el volumen inicial de aire contenido en el
cilindro graduado (El volumen de los tubos de plástico se desprecia). El volumen VD se
calcula aplicando la ecuación de los gases ideales a un proceso isóbaro:
VA VD
=
TA TD
b) Para calcular VC puede aplicarse la ec. de los gases ideales a una isoterma: pCVC =
PDVD .
c) Una vez conocidos los volúmenes, puede obtenerse el calor transferido en las etapas
CD y BC. Para la primera de ellas, puede usarse la expresión Q = nRT ln(Vf /Vi ), con lo
cual se obtiene:
QC →D = pD VD ln (VD /VC)
Recuérdese que la presión del gas es la suma de la presión atmosférica y la presión
relativa medida por el sensor.
d) A continuación se calcula QB →C. Para una isobara, Q = ncp∆T. Por ser el aire un gas
diatómico cp = 5/2 R, y por otro lado nR = pV/T,
Q B →C =
7 pDVD
(TC − TB )
2 TD
e) Finalmente obtenemos QH = QB →C + QC →D.
7. Calcular el trabajo neto hecho por el gas en el ciclo completo a partir de los volúmenes y
temperaturas en los estados A, B, C y D.
8. Calcular el rendimiento η del ciclo de acuerdo con la ec. (1). ¿Cuál es la diferencia respecto al
rendimiento de un ciclo ideal entre esas mismas temperaturas, dado por la ec. (2)?
9. Calcular el trabajo real hecho sobre la masa de 200 g usando la expresión W = mgh. Téngase en
cuenta que sólo hay que considerar la variación de altura de la masa. ¿Qué diferencia hay entre este
trabajo y el calculado en el apartado 7? ¿Existe algún trabajo adicional realizado por el gas?
10. Mézclese un poco de agua de hielo con el agua caliente y viceversa de forma que los dos
recipientes tengan temperaturas más próximas (por ejemplo, 60ºC y 15ºC). Realícese el ciclo de
nuevo. ¿Cuánto sube la masa ahora? ¿Cuál es el rendimiento teórico usando las nuevas
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temperaturas?
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Rendiment d'una màquina tèrmica
2. Objectiu
L'objectiu d'aquesta pràctica és estudiar el funcionament d'una màquina tèrmica la substància de
treball és un gas (aire). A partir de diferents mesures de pressió i temperatura, es calcula el
rendiment de la màquina i es compara amb el màxim rendiment que podria obtenir d'acord amb el
teorema de Carnot.
6. Material
Dispositiu de Cilindre-Pistó. (Diàmetre de l'èmbol: 32.5 mm)
Dipòsit d'alumini.
Gots de precipitats.
Tubs de connexió.
Gel picat.
Sensor de pressió
Data-logger
7.Introducció
Una màquina tèrmica és un dispositiu que produeix treball net a partir de l'intercanvi de calor amb
un focus calent i un focus fred. En aquesta experiència, la màquina tèrmica consisteix en una
quantitat fixa d'aire continguda en un cilindre que s'expandeix quan el recipient es submergeix en
aigua calenta. L'aire, en expandir, empeny un pistó i realitza el treball que suposa aixecar un pes. El
cicle de la màquina es completa quan se submergeix el recipient en aigua freda, ja que torna la
pressió i la temperatura de l'aire als seus valors inicials.
El rendiment d'una màquina tèrmica que opera cíclicament es defineix com el quocient entre el
treball net produït W i la calor absorbida del focus calent, QH.
η=
W
QH
(1)
Entre totes les màquines tèrmiques que reben calor d'un focus calent a temperatura TH i cedeixen
calor a un focus fred a temperatura TC el màxim rendiment s'aconsegueix quan tots els processos
que tenen lloc a la màquina són reversibles. En aquest cas, el teorema de Carnot estableix que el
rendiment és funció exclusivament d'aquestes temperatures i independent de la substància de
treball.
 T 
ηmax =  1 − C ÷
(2)
 TH 
Al començament del cicle, l'aire es manté a temperatura constant mentre es col·loca un pes sobre
del pistó. Es realitza treball sobre el gas i es cedeix calor al focus fred (aigua freda en un got de
precipitats). L'energia interna del gas ( ∆U = ncv ∆T ) no varia ja que la temperatura roman constant.
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D'acord amb la Primera Llei de la Termodinàmica, ΔU =Q−W , on Q és la calor absorbida pel gas
i W és el treball fet pel gas.
En la segona part del cicle, es comunica calor al gas, provocant la seva expansió, és a dir, fent que
el pistó pugi, la qual cosa requereix fer un treball per aixecar el pes. Aquest procés té lloc a pressió
constant (la pressió atmosfèrica), ja que el pistó pot moure lliurement. En un procés isòbar, la
relació entre la calor subministrada i el canvi de temperatura és QP = nc p ∆T , on n és el nombre de
mols de gas. cp és la calor molar a pressió constant i ∆T és el canvi de temperatura. El treball fet pel
gas en aquest procés pot calcular-se a partir de la Primera Llei de la Termodinàmica, W = Q -∆U, on
la variació d'energia interna del gas ve donada per∆U = ncv∆T (cv és la calor molar a volum
constant).
Com que l'aire es compon majoritàriament (>99%) de molècules diatòmiques, es pot considerar que
cv =
5
R
2
i
cp =
7
R
2
A la tercera part del cicle, es treu el pes del pistó mentre el gas es manté a la temperatura del focus
calent. Es comunica calor al gas i aquest s'expandeix, realitzant treball. Durant aquest procés
isoterm, la feina feta és:
V f
W = nRT ln
 Vi




(3)
on Vi és el volum inicial i Vf és el volum final del procés isoterm. Com que no hi ha variació
d'energia interna en un procés isoterm d'un gas ideal, d'acord amb la Primera Llei, la calor afegit al
gas ha de ser igual al treball fet pel gas, Q = W.
En l'etapa final del cicle, es transfereix calor del gas al focus fred i el pistó torna a la seva posició
original. Aquest procés és isòbar i s'apliquen les mateixes expressions que en la segona part del
cicle.
8. Dispositiu experimental
A la figura es pot observar quina és la disposició dels diferents elements del dispositiu
experimental. El desplaçament del pistó queda registrat al Data Logger a través d'un sensor situat a
la politja, o bé mitjançant la lectura directa en l'escala incorporada al pistó. La pressió en el gas
també es mesura a través d'un sensor de pressió relativa.
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En els dos gots de precipitats es col·loca aigua calenta (al voltant de 80ºC, o bé 40ºC si teniu el pistó
més estret) i aigua barrejada amb gel (propera a 0ºC). Tots dos gots han de ser prou grans perquè la
temperatura de l'aigua romangui aproximadament constant durant tot l'experiment.
9. Procediment
1. Preparar els dos recipients amb aigua calenta i aigua barrejada amb gel. Realitzar el següent cicle
sense aturar entre les diferents etapes. Pot ser útil practicar unes quantes vegades abans de gravar
definitivament les dades del cicle. Es comença amb el recipient en aigua freda. Aquest punt de
partida es dirà A. Preneu nota de l'altura a la qual es troba el pistó dins del cilindre graduat. A
continuació, s'inicia la gravació de dades en el Data Logger o la lectura manual.
A→B
B→C
C→D
D→A
Amb el recipient al bany fred, col·locar la massa de 200 g sobre la
plataforma
Canviar el recipient del bany fred al bany calent
Retirar de la plataforma la massa de 200 g
Canviar el recipient del bany calent al bany fred
2. Dibuixar la gràfica del cicle en un diagrama p(V). Localitzar els estats A, B, C i D i identificar les
temperatures d'aquests punts.
3. Identificar el tipus de processos que tenen lloc (és a dir, isoterms, isocors, isòbars, etc.).
4. Identificar els dos processos en què es comunica calor a gas.
5. Calcular el màxim rendiment d'una màquina tèrmica que opera entre les dues temperatures
emprades en aquesta pràctica, utilitzant l'equació (2).
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6. Calcular QH, la calor transferit al gas des del focus calent durant l'expansió isòbara de B a C i
durant l'expansió isoterma C fins D. Per això serà necessari calcular el següent:
a) No es coneix el volum inicial, VA, però podem calcular mesurant les dimensions del
recipient i afegint el volum inicial d'aire contingut en el cilindre graduat (El volum dels
tubs de plàstic es menysprea). El volum VD es calcula aplicant l'equació dels gasos
ideals a un procés isòbar:
VA VD
=
TA TD
b) Per calcular VC es pot aplicar l'eq. dels gasos ideals a una isoterma: pCVC = pDVD .
c) Una vegada coneguts els volums, es pot obtenir la calor transferida a les etapes CD i
BC. Per a la primera, pot usar-se l'expressió Q = nRT ln(Vf /Vi ), amb la qual cosa s'obté:
QC →D = pD VD ln (VD /VC)
Cal recordar que la pressió del gas és la suma de la pressió atmosfèrica i la pressió
relativa mesurada pel sensor.
d) A continuació es calcula QB →C. Per a una isòbara, Q = ncp∆T. Per ser l'aire un gas
diatòmic cp = 5/2 R, i d'altra banda nR = pV/T,
Q B →C =
7 pDVD
(TC − TB )
2 TD
e) Finalment obtenim QH = QB →C + QC →D.
7. Calcular el treball net fet pel gas en el cicle complet a partir dels volums i temperatures en els
estats A, B, C i D.
8. Calcular el rendiment η del cicle d'acord amb l'eq. (1). Quina és la diferència respecte al
rendiment d'un cicle ideal entre aquestes mateixes temperatures, donat per l'eq. (2)?
9. Calcular el treball real fet sobre la massa de 200 g usant l'expressió W = mgh. Cal tenir en compte
que només cal considerar la variació d'altura de la massa. Quina diferència hi ha entre aquest treball
i el calculat en l'apartat 7? Hi ha algun treball addicional realitzat pel gas?
10. Barregeu una mica d'aigua de gel amb l'aigua calenta i viceversa de manera que els dos
recipients tinguin temperatures més properes (per exemple, 60ºC i 15ºC). S'han de fer el cicle de
nou. Quant puja la massa ara? Quin és el rendiment teòric usant les noves temperatures?
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