Lección 5: Ecuaciones con números naturales

GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
Lección 5: Ecuaciones
con números naturales
Observe la siguiente tabla y diga cuáles son los números
que faltan.
1
2
3
4
3
6
9
12
5
6
7
8
9
10
11
12
Es sencillo encontrar la regla de construcción que se usó para
obtener los números del segundo renglón a partir
de los números del primer renglón: se multiplica por tres el
número de arriba para obtener el de abajo.
En matemáticas se acostumbra expresar una regla como la
que acabamos de encontrar usando letras. Si llamamos r a los
números del renglón de arriba de la tabla y t a los del
renglón de abajo, podemos expresar la regla como r ´ 3 = t.
En la tabla siguiente se usó una regla distinta para construir
los números del segundo renglón a partir de los del primero.
¿Cómo encontramos la regla y cómo la expresamos en
matemáticas?
g
1
3
5
7
9
h
4
10
16
22
28
11
13
15
17
19
21
Para encontrar la regla debemos preguntarnos qué operaciones
hicimos con los números de arriba para obtener los de abajo.
Hay varias maneras de obtener 4 partiendo de 1, por ejemplo
sumándole 3: 1 + 3 = 4, pero si hacemos lo mismo con 3 no
64
LECCIÓN 5
obtenemos 10, porque 3 + 3 = 6. Entonces hay que buscar
otra manera. Si multiplicamos el uno por 3 y le sumamos uno
también obtenemos 4: 1 ´ 3 + 1= 4. Probemos si funciona con
el siguiente número: 3 ´ 3 + 1 = 10: sí funciona. Probemos
con los siguientes números:
5 ´ 3 + 1 = 16
7 ´ 3 + 1 = 22
9 ´ 3 + 1 = 28
Como sí funciona con todos, la regla que sirve es “se multiplica
el número de arriba por 3 y se suma uno” y la podemos
expresar como g ´ 3 + 1 = h.
Veamos otro ejemplo. Para construir la regla que se usó en
la tabla siguiente, primero vamos a tratar de encontrar el
proceso que se siguió para obtener los números del segundo
renglón a partir de los del primero.
q
2
3
5
c 20 24 32
7
9
11
13
15
80
88
96
104
112
120
128
136
Hay muchas maneras de obtener 20 a partir de 2 pero la que
escojamos tiene que servir para obtener 24 a partir de 3.
Probemos empezando con lo más simple: una multiplicación
o una suma. Multiplicar por 10 no sirve porque 3 ´ 10 ◊ 24;
sumar 18 tampoco sirve porque 3 + 18 ◊ 24. Tenemos entonces
que buscar una combinación de sumas y multiplicaciones.
Si nos fijamos en que 20, 24 y 32 son múltiplos de 4, podemos
sospechar que al final se multiplicó por 4 y en el paso anterior
tendríamos los números 5, 6 y 8. Como estos últimos salen
de sumar 3 a los números del primer renglón, 2, 3 y 5, ya
encontramos el proceso.
Vamos a escribir la regla en palabras y en símbolos. La regla
es: para obtener un número del segundo renglón, c, tomamos
un número del primer renglón, q, le sumamos 3 y multiplicamos
el resultado por 4. Podemos expresar esta regla con la fórmula
c = (q + 3) ´ 4. Recuerde que los paréntesis indican que
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MATEMÁTICAS I
primero debemos calcular q + 3 y después multiplicar el
resultado de esa suma por 4.
Podemos ahora llenar la tabla aplicando nuestra fórmula a los
números del primer renglón. Es decir, substituimos q por cada
uno de los números del primer renglón y encontramos c:
• c = (7 + 3) ´ 4 = 40
• c = (11 + 3) ´ 4 = 56
• c = (15 + 3) ´ 4 = 72
q
c
2
3
5
7
9
11 13 15
20 24 32 40 48
56 64 72
• c = (9 + 3) ´ 4 = 48
• c = (13 + 3) ´ 4 = 64
80
88
96
104
112
120
Aquí nos detenemos porque ya no tenemos los números del
primer renglón sino los del segundo. Ahora conocemos c y no
conocemos q pero sabemos que estos números se construyeron
con la misma regla. Veamos cómo usar la misma fórmula para
encontrar los números del primer renglón. Substituimos c
por cada uno de los números del segundo renglón y vamos
“deshaciendo” las operaciones en orden:
• 80 = (q + 3) ´ 4, entonces antes de multiplicar por
4 teníamos (q + 3) = 20 y entonces q = 17;
• 88 = (q + 3) ´ 4, entonces (q + 3) = 22 y entonces
q = 19;
• 96 = (q + 3) ´ 4, entonces (q + 3) = 24 y entonces
q = 21;
• 104 = (q + 3) ´ 4, entonces (q + 3) = 26 y entonces q = 23.
Encuentre usted los números que faltan; debe obtener 25,
27, 29 y 31.
Observe que con la tabla anterior también se puede construir
la fórmula c = q ´ 4 + 12. Es decir, se puede tomar un número
del primer renglón, multiplicarlo por 4 y sumarle 12 al
resultado para obtener los números del segundo renglón.
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128
136
LECCIÓN 5
Tenemos de esta manera dos fórmulas equivalentes, es
decir que nos dan los mismos resultados. En realidad no
es asombroso encontrar esta otra fórmula, la podemos
obtener de la primera fórmula que construimos, c = (q + 3) ´ 4,
si distribuimos el producto en la suma. Para que sea más fácil
verlo vamos a reacomodar la fórmula original, utilizando el
hecho de que c = (q + 3) ´ 4 = 4 ´ (q + 3). Ahora distribuyamos
el producto en la suma:
c = 4 ´ (q + 3) = 4 ´ q + 4 ´ 3
El segundo sumando son números, podemos multiplicarlos y
en el primer sumando cambiamos de orden la multiplicación.
Obtenemos: c = q ´ 4 + 12 que es la nueva fórmula.
Veamos otro ejemplo. Como antes, empezamos por buscar el
proceso que se siguió en la siguiente tabla para obtener los
d
2
4
6
x
0
1
2
8
10
12
14
16
8
9
10
11
12
13
14
15
números del segundo renglón a partir de los del primero.
Intentamos primero con operaciones simples. Como 0 es
menor que 2, no probamos con una suma sino con una resta:
2 – 2 = 0, pero 4 – 2 ◊ 1, entonces no sirve. Multiplicar
tampoco sirve porque sólo 2 ´ 0 = 0 y si la regla es multiplicar
por cero, todo el renglón de abajo sería de ceros. Dividir no
sirve porque ninguna división da cero. Tenemos entonces
que probar con combinaciones de operaciones.
Como en la tabla los números de abajo son más chicos que
los de arriba podemos probar sumarles algo, por ejemplo 1.
Al sumar 1 a 0, 1 y 2 obtenemos 1, 2, y 3, que son la mitad
de 2, 4 y 6. Entonces al final se restó 1 y antes se dividió
entre 2. Ya tenemos el proceso, vamos a escribir la regla y
la fórmula: para obtener un número del segundo renglón,
tomamos un número del primer renglón, lo dividimos entre 2
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y al resultado le restamos 1. Esta regla la expresamos con
la fórmula x = (d ÷ 2) – 1.
Ya que tenemos la fórmula podemos completar la tabla
substituyendo en ella los números del primer renglón en vez
de d , o los del segundo renglón en vez de x. Completemos
primero el renglón de arriba: x = (8 2) – 1 = 3; x = (10 2)
– 1 = 4, etc.
Llenemos ahora el renglón de abajo:
• 8 = (d ÷ 2) – 1, entonces (d ÷ 2) = 9 y entonces d = 18
• 9 = (d ÷ 2) – 1, entonces (d ÷ 2) = 10 y entonces d = 20,
etc.
d
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Termine usted de llenar la tabla. Debe quedarle como sigue:
Observe que en la tabla anterior también podríamos utilizar
la fórmula x + 1 = (d ÷ 2), que reproduce literalmente la
manera en que la encontramos: si a un número del segundo
renglón le sumo uno obtengo la mitad del de arriba. Las dos
fórmulas son equivalentes.
Al llenar la tabla, en cada columna conocíamos uno de los
valores y encontrábamos el otro usando la fórmula. En estos
casos la fórmula nos quedaba con una sola letra, por ejemplo:
• cuando d = 8, queda x = (8 ÷ 2) – 1
• cuando x =10, queda d = (10 + 1) ´ 2
Cuando tenemos una fórmula como las anteriores, con una
sola letra, sólo hay un número que se puede poner en vez de
esa letra, y así llenamos las tablas. En este caso decimos que
tenemos una ecuación con una incógnita. La palabra
ecuación viene de igualdad y la palabra incógnita quiere
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LECCIÓN 5
decir que no conocemos el número que va en vez de la letra.
Ya vimos cómo se encuentra el número que va en vez de la
letra, que se llama valor de la incógnita: simplemente se
van “deshaciendo” las operaciones que se le aplicaron. Este
proceso de “deshacer” las operaciones que se aplicaron a
una incógnita se conoce como despejar la incógnita y
encontrar el valor de la incógnita es resolver la ecuación.
Practiquemos un poco. Resolvamos la ecuación 3 ´ g + 5 = 26.
Recuerde que la multiplicación tiene prioridad, así que aquí lo
último que se hizo fue sumar 5 y antes se
multiplicó por 3. Vamos a escribirlo como arriba:
• 3 ´ g + 5 = 26, entonces 3 ´ g = 21, entonces g = 7.
¡Ya resolvimos la ecuación!
Resolvamos ahora la ecuación 7 ´ d + 2 ´ d + 6 = 42.
Hay tres sumandos pero en dos de ellos aparece la incógnita,
entonces lo último que se hizo fue sumar 6.
• 7 ´ d + 2 ´ d + 6 = 42, entonces 7 ´ d + 2 ´ d = 36.
Ahora bien, esos dos sumandos tienen d como factor común;
entonces podemos expresarlos de la manera siguiente:
2 ´ d + 7 ´ d = (2 + 7) ´ d = 9 d. Entonces tenemos:
• 9 d = 36, entonces d = 4.
¡Ya resolvimos la ecuación!
Complete las siguientes tablas con las reglas que se dan.
a) k – 7 = d
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k
10
20
d
b) m ´ 4 – 3 = b
m
2
50
23
33
4
b
10
21
60
63
73
12
14
16
18
21
24
18
21
24
18
21
24
29
c) 2 ´ p + 5 = f
p
3
f
12
17
23
35
d) (a ÷ 3) + 2 = z
a
3
6
z
12
5
7
e) (s – 2) ´ 3 = v
s
3
v
9
12
30
39
f) (q ÷ 5) – 1 = c
q
c
5
10
20
2
30
4
40
6
Complete las siguientes tablas y para cada una encuentre una
regla y escríbala como una operación con números y con las
letras que se dan.
70
LECCIÓN 5
a)
e
1
3
5
r
8
10
12
w
2
4
6
t
16
32
48
u
3
6
9
x
3
9
15
y
4
8
12
16
a
10
18
26
34
n
5
10
15
20
j
6
16
26
z
6
12
18
c
4
7
10
7
9
11
15
20
b)
8
10
14
16
96
c)
12
15
18
24
39
d)
20
24
28
66
e)
25
35
40
56
f)
24
30
36
48
22
Complete las tablas con las reglas que se dan y diga cuáles
fórmulas son equivalentes.
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MATEMÁTICAS I
a) (m + 7) ´ 3 = n
m
1
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
11
12
13
14
15
16
2
3
4
5
6
7
8
2
3
4
5
6
7
8
11
12
13
14
15
16
n
b) (j + j + j) ´ 4 = k
j
1
2
k
c) 3 ´ (h – 5) = i
h
9
10
i
d) f ´ 3 + 21 = g
f
1
g
e) 3 ´ c ´ 4 = d
c
1
d
f) 3 ´ a – 15 = b
a
9
10
b
Resuelva las siguientes ecuaciones:
a) 5 ´ y + 12 = 42
b) 8 ´ c – 4 = 12
72
LECCIÓN 6
c)
d)
e)
f)
6 – (g ´ 2) = 0
(9 – t) ´ 7 = 42
8 ´ u + 5 ´ u – 3 = 62
5 ´ m + 4 – 2 ´ m = 25
Lección 6: Cuadrados
y raíces cuadradas
Usted aprendió en la primaria a calcular el área de un
cuadrado siguiendo la regla "el área de un cuadrado es lado
por lado". Esto equivale a la fórmula A = l ´ l, en donde l
1
l
A=l
l
2
3
6
16
25
7
8
9
10
13
14
15
16
121 144
es la medida del lado del cuadrado. En la siguiente tabla
los números del primer renglón son medidas de lados de
cuadrados y los números del segundo renglón son áreas
de cuadrados. Llénela usando la fórmula.
Para llenar la tabla anterior usted siguió dos procesos
distintos:
• multiplicar un número por sí mismo para encontrar
el área del cuadrado; por ejemplo A = 3 ´ 3 = 9;
• buscar un número que al multiplicarse por sí mismo
diera el área que conocíamos; por ejemplo buscar
el número que multiplicado por sí mismo dé 16 = l ´ l,
entonces l = 4.
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