tema 1 óptica geométrica

Apuntes de Óptica
Fundamentos de Óptica
Curso 2010/11
TEMA 1
ÓPTICA GEOMÉTRICA
Prof. Dr. E. Gómez González
Departamento de Física Aplicada III
E.S.Ingenieros - Universidad de Sevilla
2º Ing. Telecom. CAMPOS
CAMPOSELECTROMAGNÉTICOS
ELECTROMAGNÉTICOS––ÓPTICA
ÓPTICA (TEMA 1 – Óptica Geométrica)
1
E.G.G.DFA
DFAIII-ESI
III-ESI2010/11
2010/11
©©E.G.G.
UNIVERSIDAD
UNIVERSIDADDE
DESEVILLA
SEVILLA
Tema 1: Óptica Geométrica
•
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Leyes básicas de la Óptica Geométrica: refracción y reflexión
Sistemas Ópticos
Aproximación paraxial
Dioptrio esférico
Lentes y sistemas
Aberraciones
Diafragmas y pupilas
El ojo humano
Espejos
Dispersión y prismas
La cámara fotográfica
Instrumentos ópticos: telescopios, microscopios y otros
Fibras ópticas
Estos Fundamentos de Óptica han sido específicamente adaptados como Apuntes para el Curso de Óptica que imparte el autor
en la asignatura Campos Electromagnéticos de Ingeniería de Telecomunicación de la E.S.Ingenieros de la Universidad de Sevilla.
Se recomienda su utilización combinada con los demás materiales y referencias de la asignatura.
Propiedad Intelectual
Estos Apuntes, así como el material contenido en ellos, están protegidos por las normas vigentes de Propiedad Intelectual y únicamente pueden
destinarse al estudio personal. Para citar la información contenida en los mismos debe indicarse:
Gómez González, E.: Fundamentos de Óptica, Universidad de Sevilla 2009.
así como los datos específicos de cada obra detallados en las Referencias indicadas entre corchetes [].
[99] Gómez González, E.: Ecuaciones de evolución de singularidades asociadas a los frentes de onda. Relaciones
de dualidad en Óptica Geométrica, Tesis Doctoral, Universidad de Sevilla 1996.
Portada: Lente de Fresnel en Faro Marítimo. Museo de la Técnica, Viena, s.XIX.
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(TEMA 1 – Óptica Geométrica)
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Sistemas Ópticos: Elementos
[1]
• eje + plano meridional
• rayo: altura + ángulo
[1]
PROCESADO
Espacio de
Salida
(Espacio IMAGEN)
Espacio de
Entrada
(Espacio OBJETO)
¿Qué nos interesa?
Determinar la POSICIÓN y CARACTERÍSTICAS de la imagen:
• tipo: real / virtual
• orientación: directa / invertida
• tamaño: aumentada / reducida
Óptica de primer orden ↔ sistemas ideales
+ aberraciones
+ efectos de difracción (según λ)
[1]
→ Óptica de órdenes superiores ↔ sistemas reales
Criterio de signos: recomendamos seguir la
Society of Photooptical &
Instrumentation Engineering (SPIE):
Una superficie tiene radio de curvatura positivo si su centro de curvatura se
encuentra a la derecha del vértice (definido como la intersección de la superficie
con el eje óptico). Por supuesto, la concavidad o convexidad de una superficie
depende de "desde dónde se mire". En Óptica, en general, se consideran las
superficies "vistas desde el exterior", es decir, "desde donde incide la luz" (que,
recordemos, incide de izquierda a derecha, según el eje óptico).
Existen otros criterios (“americano”, “europeo”) usados en algunos ejemplos
para demostrar la validez y equivalencia de las ecuaciones.
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Óptica Gaussiana:
• aplicación del espacio objeto en espacio imagen
• puntos / líneas / planos conjugados
• ecuaciones gaussianas / de Newton
• aproximación paraxial: ecuaciones lineales
válida en entorno del eje óptico
condición de estigmatismo: cada punto objeto da lugar
a un único punto imagen ↔ todos los rayos son paraxiales
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[1]
Leyes básicas de la OG
1. Propagación rectilínea de los rayos
en medios homogéneos
2. Principio de superposición de los rayos
3. Ley de la reflexión
4. Ley de la refracción
Reflexión:
→ θincidente = θreflejado
→ tipos:
Especular y
Difusa
→ reflectancia (ρ) de
la interfase:
Flas. de Fresnel
En incidencia normal:
[4]
⎛ n − n1 ⎞
ρ = ⎜ 2
⎟
⎝ n 2 + n1 ⎠
2
Refracción: ley de Snell n1 senθ1 = n2 senθ2
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[7]
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Refracción: superficie plana
Si la interfase es
medio menos denso → medio más denso (n1<n2)
→ acercamiento a la normal
[1]
En una incidencia en interfase n1>n2, existe un valor
del ángulo de incidencia (θ1) tal que el rayo refractado
no pasa al segundo medio: el ángulo límite ó
ángulo crítico (critical angle, θC). Si θ1 > θC el rayo
experimenta reflexión total y vuelve al primer medio:
[7]
θ 2 = 90 → θ1
θ 2 =90
⎛ n ⎞
= θ C = arcsen ⎜ 2 ⎟
⎝ n1 ⎠
[8]
Pero también …
[7]
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[8]
Reflexión total (total internal reflection, TIR)
[1]
[4]
[1]
Aplicaciones:
• transmisión de imagen
• transmisión de luz: iluminación, comunicaciones
ópticas
• redirección de trayectorias: instrumentos ópticos
Dispositivos: prismas, fibras ópticas
[7]
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[7]
Profundidad aparente
[7]
A
Posición
• aparente
y’ < y
B
y’
y
• real (y)
n1 s e nθ i = n 2 s e nθ t
A B = y ta n θ i
n1 c o s θ i
n cos θ t
= 2
y
y'
n
→ y'= y 2
n1
[8]
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Dioptrio Esférico
Dioptrio: Superficie que separa dos medios
de distinto índice de refracción.
Si es esférica → dioptrio esférico
Elementos:
• Radio (R) = radio de curvatura de la superficie esférica
• Curvatura de la superficie: K=1/R
• Eje = eje óptico del sistema
• Vértice o Polo (V) = intersección del eje con el dioptrio
• Potencia de una superficie óptica: Φ
• Distancia focal efectiva: fe
• Foco Objeto = F, distancia focal objeto f = FV
• Foco Imagen = F’, distancia focal imagen f’ = VF’
[14]
φ = ( n − n ') C =
n − n'
R
fe =
Situaciones “de interés”:
1
φ
- rayos incidentes paralelos al eje
lo cortan en un punto (F’)
- rayos emitidos desde un punto
particular (F) salen paralelos al eje
[14]
→ definimos F y F’ como
focos objeto e imagen situados a f y f’
f =−
nR
´n'− n
f '=
n' R
´n'− n
→ ecuación:
f' f
− =1
s' s
→ aumento:
Suponemos que se verifica la condición de estigmatismo (cada punto objeto da
lugar a un único punto imagen) ↔ todos los rayos son paraxiales
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AL =
8
y'
y' n s'
→ =
y
y n' s
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Ej. 1: Un pisapapeles de vidrio (n = 1.5) está hecho de un bloque cilíndrico cuya cara superior es una
superficie esférica convexa de 2 cm de radio. Si la altura total del bloque es 4 cm, determinar
la posición y tamaño de la imagen de una lámina situada en la cara plana.
[14]
[14]
• Objeto a la izquierda → s < 0
•R<0
(aire n = 1)
n ' n n '− n
− =
s' s
R
n s'
=3
AL =
n' s
→ s ' = −8 cm
Imagen virtual, 3 veces mayor
Ej. 2: Una barra de vidrio (n = 1.5) termina en una superficie esférica convexa de 12 cm de diámetro.
i) ¿dónde están los focos del dioptrio? ii) ¿dónde se forma la imagen de un punto P (exterior) situado
en el eje, a 16 cm de la cara convexa?
Sol.: f = -12 cm, f’ = 18 cm, s’ = 72 cm (real).
[14]
Ej. 3: ¿Cuál es el radio de un dioptrio esférico de vidrio (n = 1.33) si su distancia focal es de 20 cm?
Ej. 4: El ojo de una araña tiene una córnea esférica de radio 0.1 mm, situada a 0.44 de la retina. Si el
material entre ambas tiene un índice de refracción n = 1.30, ¿a qué distancia está un objeto cuya imagen
se forma en la retina?
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Lentes
Se pueden considerar como la asociación
de dos dioptrios:
aire – vidrio + vidrio - aire
Si se puede despreciar el grosor
→ lentes delgadas
Símbolos de las lentes delgadas y sus focos objeto (F) e imagen (F’).
Suelen fabricarse de vidrios ópticos/materiales acrílicos/…
Los vidrios ordinarios son de cristal “crown”, con número de Abbe V~60
Tipos:
• Convergentes: más gruesas por el centro. Los rayos que inciden paralelos al
eje óptico convergen en el foco imagen
• Divergentes: más gruesas por la periferia. Los rayos que inciden paralelos al
eje óptico divergen como si procediesen del foco imagen (situado a la izquierda)
[7]
Cóncavo-convexa
Plano-convexa
Biconvexa
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Convexo-cóncava
Plano-cóncava
Bicóncava
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Lentes: elementos cardinales
[4]
• Eje óptico (principal)
• Centros y radios de curvatura
• Centro óptico (polo)
• Planos (puntos) focales objeto e imagen
• Planos principales: planos conjugados con m=1
(equivalen al poder refractor → lente delgada)
Sistema de Referencia: planos meridional y sagital
[4]
Rayos procedentes del infinito: convergen en el plano focal.
Si son paralelos al eje, en el foco.
Rayo por el centro óptico: sale
en la misma dirección de incidencia
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Lentes delgadas: 3 rayos auxiliares:
pasando por el foco objeto → sale paralelo al eje
paralelo al eje
→ sale por el foco imagen
pasando por el centro
→ sale sin desviarse
[1]
[1]
[1]
[1]
f’ > 0 LENTE CONVERGENTE
f’ < 0 LENTE DIVERGENTE
[8]
[8]
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Lentes delgadas: ecuaciones
A partir de la ec. del dioptrio, la relación entre
las posiciones del objeto y la imagen es:
donde s = distancia del punto objeto P a V
s’ = distancia del punto imagen P’ a V
R1, R2 = radios de curvatura de las superficies
s
s’
[9]
⎛1
1 1
1 ⎞
− = (n − 1) ⎜⎜ − ⎟⎟
s' s
⎝ R1 R2 ⎠
Ec. del constructor de lentes
Como se cumple que
• para el foco imagen, si s’ = f’ → s = ∞ →
⎛1
1 ⎞
1
= (n − 1) ⎜⎜ − ⎟⎟
f'
⎝ R1 R2 ⎠
• para el foco objeto: lo mismo, con signos cambiados → f = - f’. Si es convergente ↔ f’ > 0
divergente ↔ f’ < 0
Y, por tanto:
1 1 1
− =
s' s f '
Ec. de la lente delgada
y'
s'
• y el aumento lateral, AL, (o magnificación, m) está dado por AL =
=
y
s
Se define como potencia (o convergencia) de la lente al valor 1/f
Si la distancia focal se mide en metros, entonces la potencia se mide en dioptrías (D)
• asociación de varias lentes de focales fi:
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1
1
=∑
f ' i fi
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Lentes delgadas: ejemplos
Lentes gruesas
Ej. 1: Consideremos una lente plano-convexa de índice n
= 1.6 y radio de curvatura 20 cm. i) ¿Cuál es su distancia
focal? ii) Determinar la posición y aumento de un objeto
situado a 25 cm de la lente.
i) Cara plana: r = ∞ →
⎛ 1 1 (n − 1) d ⎞
1
= (n − 1) ⎜ − +
⎟
f'
⎝ R1 R2 n R1 R2 ⎠
d = grosor (en el eje)
⎛1
1
1 ⎞
⎛ 1 1⎞
= (n − 1) ⎜⎜ − ⎟⎟ = (1.6 − 1)⎜ − ⎟ → f ' = 33.3 cm
f'
⎝ 20 ∞ ⎠
⎝ R1 R2 ⎠
(sale f’ > 0, como corresponde a una lente convergente)
ii)
1 1 1
− =
→ s ' = −100.3 cm
s' s f '
(virtual, como corresponde a objeto detrás del foco)
Aumento
y ' s ' − 100.3
AL =
y
=
s
=
− 25
=4
AL > 1 ↔ imagen mayor que el objeto
Ej. 2: Calcular la distancia focal de una lente de índice n =
1.5 si sus caras son dos superficies convexas de radios de
curvatura 0. m y 0.3 m respectivamente.
Ej. 3: Un objeto tiene un tamaño de 3 m. ¿Cuál será el
tamaño de la imagen dada por una lente convergente de 3
dioptrías si el objeto está situado a 40 cm de la lente?
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Ejemplo de sistema real: faros bi-Xenon
• fuente extensa
• reflector elipsoidal
• lente gruesa
• diafragma parcial (trampilla)
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Aberraciones: Diferencias entre el comportamiento real de los sistemas y el modelo ideal. Afectan
negativamente a la calidad de la imagen. Se clasifican en:
- las 5 aberraciones geométricas o de Seidel: A. Esférica, Coma, Astigmatismo, Curvatura de Campo y Distorsión
- efecto de viñeteado
Cáustica
- aberración cromática
i) A. Esférica
Los rayos incidentes paralelos
al eje cerca de los bordes
convergen más cerca de la
lente que los incidentes
cercanos al eje (rayos
paraxiales) ↔ el FOCO no es
puntual (!!) y hay A.E.
Longitudinal (a lo largo del eje)
y A.E.Transversal.
La superficie envolvente de los
rayos se denomina cáustica.
Si se forma por refracción,
también se denomina
diacáustica y si se forma por
reflexión, catacáustica.
Foco más
cercano
Foco paraxial
Luz incidente
Superficie reflectante
Aberración Esférica Longitudinal (AEL) y Transversal (AET)
Las lentes con la A.E corregida se denominan asféricas.
[99]
Formación de una cáustica por
reflexión en una superficie esférica.
ii) Coma
Los rayos incidentes oblicuos
convergen en distintos puntos
del plano focal. Puede ser
positiva o negativa. Más
importante en la periferia de la
imagen.
Objetivos (lentes) con la A.E. y
el coma corregido se
denominan aplanáticos.
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iii) Astigmatismo
Diferencias en las imágenes formadas en los
planos meridional y sagital debidas a la pérdida
de la simetría rotacional. Provoca que en la
imagen de un objeto plano las líneas
horizontales aparezcan enfocadas y las
verticales no (o viceversa).
Objetivos (lentes) corregidos: anagtismáticos
iv) Curvatura de Campo: La imagen de
un objeto plano extenso se forma sobre una
superficie curvada (cuya curvatura es el recíproco del
radio de la lente) denominada “superficie de Petzval”.
Típica de los microscopios
v) Distorsión: Diferencias geométricas entre la
imagen y el objeto debidas a diferencias en la magnificación
entre el centro y la zona periférica de la lente. Puede ser de
tipo “cojín” (positiva) o de tipo “barril” (negativa).
Porcentaje de Distorsión (D)
D = (DR - DP / DP) x 100
DR = Distancia Real (Actual)
DP = Distancia Predicha (Predicted)
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A. Cromática: Diferencia en el punto (plano)
focal según la longitud de onda incidente debido a que
las longitudes de onda cortas (azules) se refractan más
que las largas (rojas) → hay “dos focos límite”: rojo y
azul, con fA< fR y ∆f ≈ (1/60)·fref siendo fref = f(550 nm)
Produce la formación de una imagen doble roja-azul.
Corrección: uso de Dobletes Acromáticos (achromats)
= Pareja de lentes de materiales distintos
positiva (índice bajo, vidrio crown)
+ negativa (índice alto, vidrio flint)
cuyas aberraciones se compensan y tal que la
combinación tiene la distancia focal deseada.
[20]
Viñeteado: es la aparición de ángulos oscuros en
la periferia de la imagen (y oscurecimiento general)
debido a que las diferencias entre los conos de luz
transmitidos por los distintos elementos del sistema
producen una reducción de la pupila de salida (PS), ya
que el brillo (B) de la imagen formada es B ~ PS2.
Algunas causas son: usar filtros de diámetro menor del
adecuado, parasoles de objetivos de gran distancia focal
y objetivos gran angular.
[20]
Corrección de la aberración cromática mediante el uso
de dobletes acromáticos.
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Diafragmas y Pupilas
• Diafragma de apertura (aperture stop):
Apertura física limitante. Ej: diafragma de iris
• Pupila de entrada (PE, entrance pupil, EP)
Imagen del diafragma en espacio objeto
Si el sistema óptico tiene diámetro efectivo D,
se aproxima PE ~ D
• Pupila de salida (PS, exit pupil, XP)
Imagen del diafragma en espacio imagen
Círculo ocular (círculo de Ramsden): Pupila de salida
de un instrumento visual (lente ocular, eyepiece) diseñado
para observación directa por el ojo humano.
[2]
Para un sistema óptico
de diámetro efectivo “D”
y aumento “m”:
Cono de entrada en el sistema: definido por los rayos
- marginal (marginal ray): desde el punto del objeto en el eje
hasta el borde de la PE y
- principal (chief ray): desde el punto del objeto más alejado
del eje hasta el centro de la PE
[19]
PE ≈ D
D
PS ≈
m
PE
m=−
PS
[2]
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El ojo humano y el proceso de visión
Ojo relajado o “no acomodado”:
[8]
Ojo “acomodado”:
[9]
Ojo “normal”: límites de enfoque
- punto remoto: en el infinito
- punto próximo: a ~25 cm
[8]
[9]
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[9]
(TEMA 1 – Óptica Geométrica)
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Ojo humano: modelos
El comportamiento óptico del ojo humano se puede
analizar mediante dos modelos esquemáticos:
• en ambos se asume que el foco imagen (F’)
está sobre la retina de manera que un objeto
en el infinito forma su imagen en la retina
(↔ ojo relajado ó no acomodado)
• modelo de Listing: se considera el ojo (completo)
equivalente a un dioptrio esférico de
radio 5.6 mm que separa medios de índice de
refracción 1 y 1.33.
• modelo simplificado: es el
modelo más usado. Considera el ojo (completo)
equivalente a una única lente convergente de
distancia focal 17 mm (y, por tanto, 58.8 D)
[8]
[8]
[8]
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Ojo humano: acomodación
• Con el ojo relajado ó no acomodado, la imagen de un punto (objeto) en el infinito (rayos incidentes paralelos
al eje óptico) se forma en la retina.
• Si el objeto se acerca, se vería borroso, pero el radio de curvatura del cristalino varía (capacidad de
acomodación), aumentando su convergencia para que la imagen se siga formando en la retina y, por tanto,
viéndose nítida (enfocada).
• el punto objeto que, con el ojo no acomodado (relajado), forma su imagen en la retina se denomina
punto remoto (y es el punto conjugado de un punto de la retina). Si el punto remoto está en el infinito, se
dice que el ojo es emétrope (ojo normal): la visión puede abarcar objetos a cualquier distancia, con el
suficiente poder de acomodación. En el modelo simplificado,
f o' = 17 mm →
1
1
=
= 58.8 dioptrías
f o' 0.017
• el punto más cercano al ojo para el que aún se forma visión nítida se denomina punto próximo (o
punto cercano, near point). Para un ojo normal suele estar a unos 25 cm y así la potencia para que la
imagen se siga formando en la retina (potencia del ojo acomodado) es
1 1 1
− =
→
s' s f '
1
1
1
−
=
→
0.017 − 0.25 f '
1
= 62.8 dioptrías
f'
por lo que el poder de acomodación del ojo es 62.8-58.8 = 4 dioptrías
Al caracterizar la potencia de aumento (magnifying power, MP) de un instrumento óptico suele asumirse la formación de la
250 mm
imagen (observación) correspondiente a un objeto en el punto próximo y se expresa
MP ≈
siendo f la distancia focal del instrumento (en mm).
f
Ejemplo: Se fabrica una lupa con una lente de f = 25 mm. ¿Cuál es su aumento? ¿a cuántas dioptrías corresponde?
Sol.:
250 mm 250 mm
MP ≈
=
= 10 → MP = 10 x ↔ Es una lupa de 10 aumentos, y D = 1/f = 40 dioptrías.
25 mm
f
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Ojo humano: condiciones de visión
• Cuando el ojo no es emétrope por tener algún defecto refractivo, se denomina amétrope.
• Dos tipos especialmente importantes de ametropía son:
• Miopía ó “vista corta”: El punto remoto no está en el infinito y la imagen de objetos lejanos se
forma delante de la retina (se ven borrosos). Se ven bien los objetos cercanos. Como se trata de un
exceso de convergencia, para corregirla se usa una lente divergente cuyo foco imagen F’ esté en el
punto remoto. Así, un rayo procedente del infinito es visto por el ojo como procedente de ese punto
remoto.
• Hipermetropía: Hay una falta de convergencia y la imagen se forma detrás de la retina. Se ven
bien los objetos lejanos. La corrección se realiza con una lente convergente que “adelanta” el foco.
La reducción de la capacidad de acomodación
(pérdida de elasticidad
de los tejidos por
la edad) se denomina
presbicia
(vista cansada):
Sensibilidad espectral
Presenta un máximo en la longitud
de onda tomada como referencia
[9]
(dominante solar).
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Ojo humano: ejemplos
Ej. 1: En el modelo de Listing del ojo humano, i) calcular las distancias focales. ii) ¿a qué distancia
del vértice del dioptrio se encontraría la retina?
i) Como
f '=
n' R
´n'− n
→
f ' = 2.26 cm
y
f =−
nR
´n'− n
→
f = −1.7 cm
ii) la retina debe estar en el foco imagen, es decir, a 2.26 cm del vértice del dioptrio.
Ej. 2: ¿Cuál será el poder de acomodación de un ojo para formar la imagen en la retina de un objeto
situado a 40 cm de él?
Ej. 3: Un miope no ve con claridad los objetos situados a distancia superior a 75 cm. Calcular la potencia de la
lente que le permita ver con nitidez objetos lejanos.
Como el punto remoto está a 0.75 m, la potencia del ojo en estado relajado es
1 1 1
1
1
1
1
− = →
−
= → = 60.01 D
s' s f '
0.017 − 0.75 f '
f'
y la potencia necesaria para ver un objeto lejano (s’ = ∞) es
1 1 1
1
1
1
1
− = →
−
= → = 58.8 D
s' s f '
0.017 − ∞ f '
f'
el ojo tiene un exceso de potencia de 60.01 - 58.8 = 1.3 D
por lo que se necesita una lente divergente de -1.3 D.
Ej.4: Un individuo padece presbicia y no puede ver con nitidez objetos situados a una distancia inferior
a 0.8 m. Calcular la potencia de la lente que le permitiría ver objetos situados a 25 cm del ojo.
Sol.: Lente convergente de 2.7 dioptrías.
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(TEMA 1 – Óptica Geométrica)
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Espejos: Elementos ópticos reflectantes
Tipos:
1. Según su estructura
i) Convencionales:
soporte rígido + sustrato reflectante + vidrio protector
ii) Espejos de primera cara (front / first surface mirrors, FSM): sin vidrio protector
- evitan reflexión doble / múltiple: sistemas para comunicaciones ópticas
- difícil manipulación, mantenimiento
y limpieza
[17]
- alto coste
Periscopio:
Retrovisor interior de automóvil: 1 espejo plano
B = haz brillante
D = haz débil
Recordemos que el coeficiente
de reflexión depende del ángulo
de incidencia.
2. Según su geometría
i) Planos
ii) Curvos
2 espejos planos
paralelos
D
B
[9]
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(TEMA 1 – Óptica Geométrica)
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Rayos auxiliares: (1), (2), (3)
Espejos curvos
(mismos que en las lentes)
[1]
[1]
Ej.: Los retrovisores curvos de automóvil son espejos
convexos ya que unca pueden formar la imagen
invertida (!). No obstante, como la imagen es reducida,
se incluye una leyenda indicativa de que este tamaño
pequeño no implica distancia reducida al objeto
visualizado.
[7]
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(TEMA 1 – Óptica Geométrica)
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Espejos curvos: elementos y ecuaciones. Siendo R = radio de curvatura, f = distancia focal,
zi = distancias objeto/imagen, yi = tamaños del objeto/imagen,
se tiene:
R
f =
2
1 1 1
+ =
z1 z2 f
m=
y2
z
=− 2
y1
z1
[1]
Aberración esférica y cáustica
[1]
[1]
[17]
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(TEMA 1 – Óptica Geométrica)
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Como n=n(λ), con nrojo < nvioleta el
ángulo de refracción θrefr = θrefr(λ)
760 nm
390 nm
[17]
Dispersión: prismas y sus aplicaciones
Análisis de materiales: para determinar
el n de un material: medimos δmin
[7]
[2]
⎛
550 nm
⎝
Caracterización Óptica de un material:
i) n = índice de refracción del medio
(a 587 nm)
ii) Medidas de la Dispersión:
- Refractividad = n – 1
- Dispersión principal = nF – nC
- Número de Abbe: V
V=
→n=
iii) “Mapa de vidrios”: nd frente a V
“glass line”: lugar geométrico de los v.
ópticos ordinarios, de dióxido de silicio.
sen ⎡⎣(α − δ min ) 2 ⎤⎦
sen (α 2 )
Análisis espectral y colorimetría: midiendo los
ángulos de salida de la luz (espectro de emisión),
se pueden conocer propiedades físicas y químicas
y composición de la muestra emisora.
Sistemas de enfoque y de corrección de
trayectorias de rayos en instrumentos, sistemas
de comunicaciones y sistemas de reducción de
vibraciones en cámaras: se usan prismas delgados
(de ángulo variable)
n −1
nF − nC
• vidrios ópticos: V: 25 → 65
• bajos V ↔ alta dispersión
• vidrios más usados:
- tipo crown: baja dispersión
- tipo flint: alta dispersión
siendo las λ usadas:
F = azul (H, 486.1 nm)
C = rojo (H, 656.3 nm)
d = amarillo-verde (He, 587. 6 nm)
⎛α ⎞⎞
⎟⎟
⎝ 2 ⎠⎠
δ min = α − 2 arcsen ⎜ n sen ⎜
Sistemas de balance de blancos en las cámaras
digitales: un CCD lineal mide el peso relativo de cada
componente espectral de la iluminación.
δ ≈ - (n-1) α
iv) Código de 6 dígitos expresado como: abcdef
donde: nd = 1.abc y V = de.f
[2]
La seguridad ambiental (sin Pb ó As): prefijo N, S ó E, según fabricante
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(TEMA 1 – Óptica Geométrica)
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Sistemas de Lentes (objetivos): parámetros principales
1. Número de Diafragma (f-number, f/#) o apertura relativa:
[20]
relaciona la distancia focal (f) con el diámetro efectivo (D)
En la mayoría de los sistemas, su longitud L<<WD y
puede aproximarse su pupila de entrada PE ≈ D.
Si hay un diafragma, D está dado por el valor de su abertura.
Si no lo hay, es el diámetro de la lente.
f
f
≈
PE D
1
f /# =
2 AN
f /# =
En un sistema compuesto por varias lentes, hay que
determinar su distancia focal equivalente y la PE del sistema.
L
ω
(WD)
(DOF)
2. Apertura Numérica (AN, numerical aperture, NA)
caracteriza el ángulo (ω) de entrada de rayos (cono de entrada).
AN = n sen ω ⎯⎯→
AN = sen ω
n =1
(FOV)
El origen de ω se toma en la cara anterior o en la PE del sistema,
pudiendo considerarse coincidentes si L<<WD (mayoría de casos).
WD
3. Campo de Visión (field of view, FOV):
definido por la AN (ángulo ω) y la distancia de trabajo
(working distance, WD). Puede expresarse en medida angular
(ω) o en medida plana (diagonal o lado de la escena)
Si L << WD:
tg ω ≈
ω
FOV 2
WD
→ FOV ≈ 2 ⋅ WD ⋅ tg ω
(En muchos casos puede también aproximarse L ≈ f)
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4. Profundidad de campo (depth of field, DOF): rango de distancias enfocadas (en el espacio objeto) cuando
el sistema se enfoca (estrictamente) en un plano situado a una distancia “z” de la pupila de entrada (PE). Se relaciona con el
número-f y la distancia focal: si f/# es grande ↔ apertura pequeña ↔ DOF grande
2 ⋅ f 2 ⋅ d ⋅ f/# ⋅ z 2
2 ⋅ d ⋅ f/# ⋅ z 2
DOF = 4
⎯⎯
⎯
→ DOF =
d <<
f − d 2 ⋅ (f/#) 2 ⋅ z 2
f2
siendo d = diámetro del “círculo de confusión” = diámetro máximo de un punto del espacio
objeto para que su imagen corresponda a un único elemento sensible (pixel, en sistemas
digitales) en el plano imagen. Este valor define el criterio de borrosidad, blur criterion):
- para el ojo humano, d ≈ 0.1 mm.
- para un sistema, d ≈ diagonal del sensor (mm) / 1500
f/# pequeño:
↔ DOF pequeña
[20]
El rango (equivalente) de posiciones del plano imagen para que el la imagen de un
punto verifica el criterio de borrosidad es la profundidad de foco (depth of focus).
5. Transferencia de energía (throughput, TP):del objeto a la imagen
relaciona la irradiancia en el plano imagen (E’) con la iluminación en el objeto
2
(luminancia, L) y las propiedades de la lente (AN)
E ' = π L ( AN )
f/# grande:
↔ DOF grande
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(TEMA 1 – Óptica Geométrica)
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6. Distancia focal (f): relación con el FOV y el tamaño de la imagen
Tipos de objetivos (clasificados según su distancia focal equivalente 35mm)
45º 75º
θ
[8]
• Ojo de pez:
6 mm < f < 16 mm, θ ~ 180º
• Gran angular: 16 mm < f < 35 mm, θ > 55º. Para paisajes amplios, panorámicas
• Objetivo de distancia focal “normal”: 35 mm < f < 60 mm, 40º < θ < 55º
• Teleobjetivo:
• “corto”: 60 mm < f < 200 mm, 20º < θ < 40º. Para retratos.
• “medio”: 200 mm < f < 500 mm, θ < 20º. Para monumentos, deportes.
• “largo”: f > 500 mm, θ < 5º. Para naturaleza, deporte (detalles).
* zoom: distancia focal variable: “z. corto”: 28-70 mm, “z. largo”: 70-210 mm
* macro: enfocan a distancia muy corta. Para fotografía de insectos, joyas, …
* especiales: submarinos, telecéntricos, …
Para obtener un mismo tamaño en el plano imagen (determinado por el tamaño del sensor):
• si el objeto está cerca: necesitamos f pequeña (gran angular)
• si el objeto está lejos: necesitamos f grande (teleobjetivo)
Dada una distancia focal f fija (↔ para una misma f)
si el objeto está cerca se forma imagen grande / si el objeto está lejos se forma imagen pequeña
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(TEMA 1 – Óptica Geométrica)
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Instrumentos ópticos: especificaciones principales (i)
Aumento (Magnificación, M) y distancia equivalente (deq = 1000/M): Cuando un objeto situado a
1000 m se observa con un instrumento de aumento Mx parece encontrarse a una distancia equivalente de
(1000/M) m ó verse M veces mayor: M = AFOV/RFOV. Depende de la distancia focal. Mientras mayor es el
aumento, son menores el campo de visión real y la pupila de salida (↔ imagen más oscura) y más afecta la
vibración de la mano o soporte.
Apertura efectiva de la lente objetivo (diámetro, D): Es el diámetro efectivo de entrada de luz. Para
una magnificación dada, mientras mayor es la apertura efectiva, mayor es el poder de resolución y el brillo
(claridad) de la imagen formada.
Campo de visión real (real field of view, RFOV): Es el ángulo que delimita el campo de visión (parte
del espacio objeto visualizado) desde el instrumento, medido desde el punto central de la lente objetivo.
Mientras mayor es, resulta más fácil localizar el objeto buscado. Cuando es muy pequeño, el cono de rayos se
denomina “pincel de rayos”. Para ver objetos en movimiento o grandes es preferible RFOV mayores.
Campo de visión lineal (field of view, FOV): Dimensión lineal correspondiente al ángulo RFOV a una
distancia dada (de 1000m) FOV = 1000 · tg(RFOV). Cada grado angular corresponde a ~ 17.5 m.
deq
RFOV
FOV
AFOV
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Los parámetros que, habitualmente,
proporcionan los fabricantes son:
• diámetro efectivo: “D”
• aumento: “M x”
• campo de visión real (angular): RFOV
Ejemplos:
- Unos binoculares etiquetados
como: 7 x 35 8.3º
- Una lupa etiquetada como: 5 x
(TEMA 1 – Óptica Geométrica)
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Instrumentos ópticos: especificaciones principales (ii)
A partir de las especificaciones anteriores, se definen también las siguientes:
Campo de visión aparente (apparent field of view, AFOV): Tomando como referencia la distancia
objeto-instrumento de 1km, el AFOV es el ángulo de visión que tendría un observador situado a la distancia
equivalente (deq) para ver el mismo objeto.
AFOV = RFOV · M
Pupila de Salida (PS): Círculo brillante que se forma en el ocular cuando éste es observado desde unos 30
cm. La mejor condición de uso de un instrumento es cuando la PS es redondeada y coincide con el diámetro
de la pupila del observador (dependiente de las condiciones de luz y la edad).
PS = D/M
Distancia de acomodo visual (eye relief): Es la distancia entre el ocular y la posición (de observación)
del ojo para ver el campo de visión completo, sin que aparezca el efecto de “viñeteado”. En el orden de 8mm a
12mm, debe ser mayor (> 15mm) si se utilizan gafas.
Capacidad de captación de luz (light gathering power, LGP): Medida de la capacidad del
instrumento para formar una imagen luminosa. Sirve para comparar instrumentos con la misma magnificación.
LGP = D2
Índice de brillo relativo (relative bright index, RBI): Medida del brillo (claridad) de la imagen
formada. Sirve para comparar instrumentos con la misma abertura. Valores adecuados para baja iluminación
son RBI>25.
RBI = PS2
Factor crepuscular (twilight factor, TF): Medida del rendimiento del instrumento en condiciones de
escasa iluminación. Valores adecuados para uso nocturno son TF>17.
TF = D ⋅ M
Poder de resolución: Medida del mínimo detalle distinguible en la imagen. Depende de la λ y se define como la mínima
separación angular (θmin) medida (en radianes) en el instrumento óptico correspondiente a dos objetos puntuales distantes que
se puedan discernir como elementos diferentes en la imagen. Si el objeto observado está a una distancia “a” del instrumento,
entonces la mínima separación discernible entre dos puntos es “dmin”
1.22 ⋅ λ
1.22 ⋅ λ ⋅ a
θ min =
→ d min ≈ θ min ⋅ a =
D
D
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INSTRUMENTOS ÓPTICOS: lupa
Elementos: una lente convergente, de distancia focal corta, usada para
formar una imagen virtual directa, amplificada, de un objeto colocado dentro
de su distancia focal.
A veces también se les denomina “microscopios simples”.
Potencia de Aumento (PA) ó aumento angular:
Relación entre el tamaño de la imagen en la retina cuando se
ve a través del instrumento y el tamaño de la imagen en la retina
cuando se ve con el ojo desnudo a la distancia de visión normal. Con
D = potencia (dioptrías)
f = 1/D, distancia focal (en m)
do= 250 mm = 0.25 m
• asumiendo lente cerca del ojo y ojo relajado (z’ → ∞, es decir,
imagen virtual en el infinito, caso más común):
PA = d o D =
• si el ojo está acomodado (z’ es finita):
[17]
Tipos:
• lupas simples: limitadas por las
aberraciones a 2x, 3x
do
f
PA ≈
do
+1
f
Especificación:
Ax
A = |PA|
• lupas de alta potencia: 20x hasta 30x
(dobletes)
Ej.: Dada una lupa de 10 dioptrías, ¿cuál es su aumento?
¿y su distancia focal?
→ PA = 0.25·10 = 2.5x, es decir, 2.5 aumentos.
→ f = 1/10 = 0.1 m = 100 mm.
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(TEMA 1 – Óptica Geométrica)
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INSTRUMENTOS ÓPTICOS
La cámara fotográfica:
elementos
[4]
[17]
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Especificaciones: Ver Tema 5.
(TEMA 1 – Óptica Geométrica)
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La cámara fotográfica:
exposición
Energía (J) = irradiancia (W/m2) x tiempo (s)
Imagen = iluminación x tiempo de exposición
(exposición)
Óptica
F = distancia focal
Diafragma:
abertura circular regulable
D = diámetro efectivo
Número de diafragma (f/#):
Obturador
electromecánico
t = tiempo de exposición
película /sensor
F
f/# =
D
Velocidad de obturación (v) ↔ tiempo de exposición (t)
Valores habituales (factor ~ ½):
Para obtener una exposición adecuada:
• mayor f/# ↔ menor abertura
↔ menos luz entra ↔ mayor tiempo de exposición
• menor f/# ↔ mayor abertura
↔ más luz entra ↔ menor tiempo de exposición
V
t(s)
30
60
125
250
500
1000
2000
1/30
1/60
1/125
1/250
1/500
1/1000
1/2000
Valores de f/# escogidos tales que en cada salto
la iluminación (luminosidad, L) se reduce
aproximadamente a la mitad:
Como L α A, con A = π (D/2)2 → reducir L en ½
↔ multiplicar f/ por √2
[17]
Valores del número de diafragma habituales:
f/#: f/1, f/1.4, f/2, f/2.8, f/4, f/5.6, f/8,
(Recordemos que esto afecta a la profundidad de campo, DOF).
f/11, f/16, f/22, f/32, f/45, f/64
[17]
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(TEMA 1 – Óptica Geométrica)
35
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La cámara fotográfica: equivalencia analógica-digital
C. Analógica: película de 35 mm
Hor.: 36 mm
diagonal:
Ver.: 24 mm
→ d35 = 43.27 mm
En una cámara de 35 mm con una lente de
distancia focal f35, si observamos un plano
objeto situado a una distancia (WD)
WD = f35, el campo de visión (FOV) será
FOV = d35 y el cono de entrada de luz (FOV
angular, ω) estará dado por
tg ω =
d35
2 ⋅ f35
Para observar el mismo FOV con una
cámara digital cuyo sensor tiene un tamaño
diferente (diagonal d): la distancia focal será
otra (f), tal que entre el mismo cono de luz (ω)
tg ω =
d
2⋅ f
Por tanto, la distancia focal equivalente en
35 mm (f35) a la distancia focal f de la
cámara digital será
d
f35 = 35 f = F ⋅ f
d
En una cámara digital, la “distancia focal
equivalente en 35 mm” correspondiente a la
lente instalada ¡¡depende del tamaño del
sensor!!
El factor F = (d35/d) se denomina “factor de
multiplicación focal” ó “de equivalencia”.
[4]
Ej. 1: Una cámara digital con un sensor de 1/1.8” (7.2 x 5.3 mm) se anuncia con
una lente zoom de 8-32 mm. ¿Cuál es su equivalente en 35 mm?
d = 7.22 + 5.32 ≈ 9 mm → f min ≈
43.3 ⋅ 8
43.3 ⋅ 32
≈ 38 mm y f max ≈
≈ 154 mm
9
9
→ equivale a un zoom 38-154 mm (= teleobjetivo corto) de una cámara analógica
Ej. 2: Para una cámara Nikon D-200, ¿cuál es el factor de multiplicación focal?
El sensor CCD mide 23.6 x 15.8 mm2 → d = 28.40 mm → F = 1.52 de manera
que f35 ≈ 1.5·f. Así, una lente de f =300 mm se comporta como f’=450 mm.
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(TEMA 1 – Óptica Geométrica)
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INSTRUMENTOS ÓPTICOS:
telescopios
Elementos: Dispositivo para observación de objetos distantes. Consta de
- objetivo (lente o espejo) de distancia focal: fobj
- ocular (eyepiece) de distancia focal focul (ó fe)
Su potencia de aumento (PA) está dada por PA =
f obj
f ocul
La calidad de la imagen depende críticamente del diámetro del objetivo
(entrada de luz): a veces es preferible un mayor D a una f grande y menor D.
[8]
[8]
[8]
Tipos
• refractores
• reflectores
De [1.8]
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Telescopios: refractores
• Kepler
objetivo y ocular:
- lentes convergentes
- separadas suma de focales
- imagen invertida
• Galileo:
objetivo = lentes convergente,
ocular = lente divergente
- menor longitud que un Kepleriano equivalente
- imagen directa
Especificación: A x B
A = |PA| = fobjetivo / focular
B = diámetro del objetivo en mm
[4]
Reflectores:
El objetivo es un sistema de espejos
(curvos + planos)
que forma una imagen intermedia,
visualizada mediante un ocular (lente).
Tipos según geometrías:
- Newton: cóncavo + plano
- Cassegrain: cóncavo + convexo
- Gregor: cóncavo + cóncavo
-…
Ej.: Dado un telescopio reflector de Nw
con espejo de R=250 cm y ocular de
50 mm. ¿cuál es su aumento?
fe = 50 mm = 5 cm
fo = R/2 = 125 cm
Tipo Newton
→ PA = 125/5 = 25 ↔ PA = 25x
[4]
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(TEMA 1 – Óptica Geométrica)
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Binoculares: tipos y características (i)
i) Binoculares “de prisma” (prismáticos):
¾ lentes convergentes en objetivo y ocular: imagen invertida
¾ esta inversión de imagen se corrige con prismas
¾ campo de visión y aumento mayor que binoculares sin prisma
– Prisma tipo “Roof” (Dach)
• ligeros y compactos
• menos luminosos (más reflexiones)
• difícil manufactura: alineamiento
– Prismas triédricos
• compactos
– Prisma de Porro
• los más usados
• construcción simple, imagen brillante
Especificaciones del fabricante:
AxBC
A = aumento
B = diámetro objetivo (mm)
C = campo de visión real
(angular, RFOV, º)
Prismas triédricos
[4]
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Binoculares: tipos y características (ii)
ii) Binoculares sin prisma: tipo “de Galileo”
↔ pareja de telescopios
¾ lentes convergente en objetivo y divergente
en ocular: imagen directa
¾ Compactos, ligeros
Prismáticos de prisma
de Porro “compacto”
Algunas recomendaciones:
• aumentos superiores a 8x-10x son muy sensibles a vibración,
necesitan soporte
• uso al aire libre: aumentos de 7x a 10x
• conciertos en interiores: aumentos de 5x a 8x
• para observación astronómica: 7 x 50
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Binoculares:
análisis de especificaciones
Ej. 1: Binoculares Nikon 7x35 8.3º
Leemos los datos que nos da el fabricante: ¡ y los entendemos !
↔ magnificación
M = 7 aumentos
↔ diámetro de los objetivos:
D = 35 mm
↔ campo de visión real (angular): RFOV = 8.3º
Calculamos las otras especificaciones:
→ pupila de salida
PS = D/M = 35/7 = 5 mm
→ campo de visión real (lineal, a 1000 m) FOV = 1000 x tg(8.3º) ~ 146 m
→ campo de visión aparente
AFOV = RFOV x M = 8.3 x 7 = 58.1º
→ distancia equivalente
deq = 1000 / M = 1000 / 7 =143 m
→ índice de brillo relativo
RBI = PS2 = 25
→ factor crepuscular
TF = √( D x M) = √(35 x 7) ~ 16
→ captación de luz
LGF = D2 = 352 = 1225
deq
Ej. 2: Queremos unos prismáticos para observación
astronómica: ¿nos sirven unos 7 x 50?
• condiciones de baja luz → interesa
abertura grande: D ≥ 50 mm → Sí
• pupila en oscuridad ↔ d ~ 7 mm
→ interesa PS = 7 mm
Con 7 x 50 se tiene una PS =
RFOV
FOV = 146 m
AFOV
D 50
=
≈ 7.1 mm
→ SÍ SIRVEN
m 7
• ¡OJO ! Si el aumento fuera m >10, hace falta trípode (vibraciones)
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Otras aplicaciones: Lentes de Fresnel (lentes zonales)
OJO: en las fuentes de luz colimada convencionales (faros) , el
diámetro del haz es del orden del diámetro de la lente. En
fuentes grandes, esto implica grandes pesos y tamaños.
Las Lentes de Fresnel presentan
• Menor peso y volumen
• Mayores aberraciones: mala calidad de imagen
• Materiales: vidrio óptico / plástico en moldes (estriado)
• Aplicaciones:
- sistemas de iluminación (faros …) y concentración
luminosa (sistemas de producción de energía
[2]
eléctrica mediante células solares fotovoltaicas)
- lupas planas
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Nuevos desarrollos:
Lentes líquidas
• las lentes son líquidos
entre electrodos
• cambian su forma (↔
distancia focal) mediante la
aplicación de campos
eléctricos
• muy versátiles
• tamaño muy reducido
→ teléfonos móviles
• tecnología muy compleja
• coste aún alto
lente divergente
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(TEMA 1 – Óptica Geométrica)
lente convergente
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Lentes telecéntricas: corrigen el error de paralaje
(debido a la perspectiva) en una parte del FOV
Lente normal
Lente
telecéntrica
imagen
objeto
Lentes Convencionales
[20]
Telecéntricas
Ventajas
–
Aumento independiente de cambios
en distancia
Sin error paralaje
–
Cambio del aumento con la
distancia
Error paralaje
–
–
Coste
Diámetro / Peso
–
Objetos grandes
–
Visión industrial y procesado
–
Metrología, Microlitografía
–
–
–
Coste
Disponibilidad
Flexibilidad
Inconvenientes
–
–
Uso
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Con lente normal
(TEMA 1 – Óptica Geométrica)
Con lente telecéntrica
Ej.: inspección de piezas en fabricación
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Fibras Ópticas: fundamentos
En A: si θ1 < θa → En B: θ3 > θC → reflexión total
θ c = arcsen
⇒ sen θ3 ≥
[1]
n2
n1
θc =
π
2
− θ c = arccos
n2
n1
n2
n
↔ cos θ 2 ≥ 2
n1
n1
En A:
B
A
no sen θ a = n1 sen θ c
θ2
θ1
θ3
con no = 1
2
⎛n ⎞
sen θ a = n1 sen θ c = n1 1 − cos θ c = n1 1 − ⎜ 2 ⎟ = n12 − n22
⎝ n1 ⎠
2
(
)
[1]
θ a = arcsen
[1]
AN = sen θ a = n12 − n22
n12 − n22
→ θ a = arcsen ( AN )
→ θa es una medida del poder colector: todos
los rayos que incidan con θ1 ≤ θa experimentan R.T.
→ se definen
θa = ángulo (cono) de aceptación
AN = apertura numérica
Como
n1 ≈ n2
AN =
n12 − n22 =
= n1 2
con
y
θ c <<
( n1 + n2 )( n1 − n2 ) 2 n1 ( n1 − n2 ) =
n1 − n2
= n1 2 Δ
n1
Δ=
n1 − n2
n1
(diferencia relativa)
↔ rayos paraxiales
2º Ing. Telecom. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS – ÓPTICA
[1]
(TEMA 1 – Óptica Geométrica)
45
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[1]
Fibras Salto de Índice (F.S.I.)
[1]
De [1.1]
a
b
[8]
• SiO2 (cristal de sílice) + Ti, Ge, B
• Dimensiones características
2a
8 50 62.5 85 100
,
,
,
,
( μ m)
=
2b 125 125 125 125 140
• Diferencia relativa (∆)
Como n1 ≈ n2 → Δ =
n1 − n2
<< 1 ¡ depende de λ !
n1
1.44 < n1 < 1.46
0.001 < Δ < 0.02
2º Ing. Telecom. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS – ÓPTICA
[20]
[20]
Incoherente
(luz)
Coherente
(imagen)
(TEMA 1 – Óptica Geométrica)
46
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Fibras ópticas: modos de propagación
Ondas electromagnéticas en recinto:
• sólo se pueden propagar un número finito de ondas: modos de vibración ↔ trayectorias con diferente θ
• la energía se propaga en la dirección del eje
Núcleo: diámetro = 2a
• en las direcciones transversales: ondas estacionarias
[1]
a
a
AN ≈ 2 π n1 2Δ
• Número de modos que se propagan dado por la frecuencia normalizada (V): V = 2 π
λo
λo
• modo axial
• modos de orden inferior / superior ↔ pocas / múltiples reflexiones
2
2
con AN = n1 − n2
• El número de modos depende de λ ↔ una fibra puede ser monomodo y para una λ más corta ser multimodo
• Condición: para que por una fibra se propague un único modo debe ser V < 2.405 = Vc
(frecuencia normalizada de corte)
Ej.: Una fibra con n1=1.447, ∆ = 0.01 → AN = 0.205. Si se propaga una λo=1.3 μm la propagación es monomodo si 2a < 4.86 μm
• Si V >> 1, el número de modos que se propagan (M) está dado por
Ej.: Una fibra con n1=1.452, ∆ = 0.01
→ AN = 0.205. Si se propaga una
λ=850 nm siendo a = 25 μm
→ V = 37.9 → M = 718 modos
[1]
problema: diferentes tiempos de recorrido
de cada modo
↔ dispersión modal
↔ ensanchamiento de pulsos
↔ límite a la velocidad de transmisión
[1]
2º Ing. Telecom. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS – ÓPTICA
1
M ≈ V2
2
(TEMA 1 – Óptica Geométrica)
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Fibras ópticas: dispersión modal
La velocidad de grupo (↔ velocidad de transmisión de información) es diferente para cada modo
Vmax = c1 = velocidad de fase ↔ modo de orden (índice) q=1 ↔ modo más rápido
Vmin = c1 (1 - ∆) = c1 (n2/n1) ↔ modo de orden (índice) q = M ↔ modo más lento
Como
vmax − vmin
= Δ → fibras con ∆ grande ↔ ¡¡ muchos modos !! → Ensanchamiento de pulso τi → τ
vmax
Fibra de longitud L: estimamos las longitudes
máxima y mínima recorridas
cos θ 2 ≥
lmax
n2
→ si
n1
n1
L n12
L
=
=L
⎯⎯⎯
→ tmax =
v = c n1
n2
c n2
cos θ 2
lmin =
L
n
=L 1
v
c
[24]
→ τ = Δt = tmax − tmin =
L n1 ⎛ n1 ⎞
⎜ − 1⎟
c ⎝ n2 ⎠
Si τ ≥ T ↔ pulsos solapados ↔ velocidad
(frecuencia) límite de transmisión: se impone que
sea T > 2 τ
→ f max =
1
1
c n2
=
=
T 2τ 2 L n1 ( n1 − n2 )
Se puede caracterizar la dispersión modal en
una fibra indicando
• la diferencia de tiempo entre los modos
extremos: τ (ns)
• el retardo por unidad de longitud: τ/L (ns/km)
• la frecuencia máxima de transmisión: fmax (Mb/s)
Ej.: Para una fibra de L = 1 km, con n1=1.52, n2,=1.49: el ángulo de aceptación es θa = 17.5º y la frecuencia
máxima de transmisión: fmax = 4.9 Mb/s
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(TEMA 1 – Óptica Geométrica)
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Fibras ópticas: Fibras Gradiente de Índice (F.G.I.)
Para reducir el ensanchamiento de los pulsos debido a las diferentes velocidades
de grupo de los modos: índice de refracción variable (radialmente)
como
v = c/n, si n↓ → v↑
n = n (r) tal que n(0) = n1 y n(a) = n2
[1]
[1]
p
⎧
r⎞
⎛
⎪ n 1 − 2Δ ⎜ ⎟
n( r ) = ⎨ 1
⎝a⎠
⎪
⎩n2
n1 − n2 n12 − n22
→Δ=
≈
n2
2n12
r≤a
r>a
p = parámetro del gradiente de índice
(determina la pendiente del perfil)
[1]
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Si p = 1 → n2(r) es lineal
p = 2 → n2(r) es cuadrático
p→∞ → n2 → función escalar ↔ salto
(TEMA 1 – Óptica Geométrica)
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Fibras ópticas: propagación en F.G.I.
Modos de propagación
• Frecuencia normalizada: igual, con n1=n(0)
V = 2π
a
λo
AN ≈ 2 π
a
λo
n1 2Δ
• pero el número de modos M =
p V2
V2
⎯⎯⎯
→
p →∞
2
p+2 2
• y la velocidad de grupo de cada modo
p
⎛
⎞
p+2
−
p
2
q
⎛
⎞
vq ≈ c1 ⎜1 −
Δ ⎟ q = 1_ M
⎜ ⎟
⎜
⎟
p+2⎝ M ⎠
⎝
⎠
c1 = velocidad de fase en el eje r = 0
[1]
• si p = 2 (perfil parabólico)
⎛
q Δ2 ⎞
vq ( p = 2) ≈ c1 ⎜1 −
⎟ ≈ c1 ∀q = 1_ M
⎝ M 2 ⎠
casi constante
Valores típicos del retraso:
• F. Salto:
100 ns/km
• F. Gradiente: 10 ns/km
Las fibras monomodo
• son mejores para comunicaciones (!!)
• pero son más difíciles de fabricar / manejar,
y tiene menor tolerancia en uniones y empalmes
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(TEMA 1 – Óptica Geométrica)
[1]
50
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Fibras ópticas: Pérdidas y atenuación
Mecanismos:
• absorción: imperfecciones en la superficie,
daños en revestimiento (cladding loss)
curvaturas altas/prolongadas, golpes, …
• dispersión (scattering): (NO MODAL)
packing fraction, reflexión en extremos, roturas
cambio de dirección
• difusión: Rayleigh, ~ 1/λ4
[1]
2º Ing. Telecom. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS – ÓPTICA
Coeficiente de atenuación: α [α] = dB/km
P(0) = potencia incidente
P(L) = potencia transmitida
L = longitud recorrida
1
⎛1⎞
log10 ⎜ ⎟
L
⎝τ ⎠
P ( L)
τ=
P(0)
α=
[1]
(TEMA 1 – Óptica Geométrica)
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Fibras ópticas: caracterización (i)
[20]
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(TEMA 1 – Óptica Geométrica)
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Fibras ópticas: caracterización (ii)
[20]
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Fibras ópticas: ejemplo
[20]
Coherente
(imagen)
[20]
Ángulo A.
61º
56º
35º
NA
0.87
0.83
0.57
[20]
Atenuación (dB)
dB = 10 * log (Pin/Pout)
↔ Pout = Pin * 10 –dB/10
Medida en dB/m
Incoherente
(luz)
Ej. F.O. comunicaciones 1000 um: 0.1 dB/m @ 600 nm
Si L = 20 m → total = 2 dB
Pin = 100 mW → Pout = 63.1 mW ↔ pérdidas del 36.9 %
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(TEMA 1 – Óptica Geométrica)
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