( , , ) ( , , ) ARIMA p d q P D Q ×

Estadística Industrial
Universidad Carlos III de Madrid
Series temporales
Práctica 5
Objetivo:
Análisis descriptivo, estudio de funciones de autocorrelación simple y parcial de series
temporales estacionales. Formulación, predicción y estimación de modelos ARIMA
estacionales. Diagnosis y validación.
Fichero de datos: Practica5Series.sf
Series temporales estacionales:
En la práctica 1 vimos series temporales que presentaban pautas que se repetían en
forma de ciclos. Es habitual que muchas series tengan patrones estacionales cada s
periodos.
En series mensuales, en general, el orden de la estacionalidad es s=12; en series
trimestrales s=4, cuatrimestral s=3, etc…
La metodología ARIMA también nos permite estudiar estas series estacionales. En
este caso la formulación ARIMA es:
ARIMA ( p, d , q ) × ( P, D, Q ) s
parte regular
parte estacional
Ejemplo: IPI Inglaterra
•
Importar datos: FILE -> OPEN -> OPEN DATA FILE
•
Representación de la serie temporal: SPECIAL -> TIME-SERIES ANALYSIS
-> DESCRIPTIVE METHODS
•
Al introducir la serie a analizar: debemos especificar que la periodicidad de
la serie:
ƒ
SAMPLING INTERVAL -> MONTH -> STARTING AT -> SEASONALITY
ƒ
Si la serie es mensual s=12
1
Figura 1. Gráfico temporal de la serie original IPI Inglaterra
132
122
112
102
92
82
1/50
1/53
1/56
1/59
1/62
1/65
La Figura 1, presenta el gráfico de la serie IPI Inglaterra. Se observa la falta de
estacionariedad, ya que la serie tiene tendencia y ciclo. La variabilidad no presenta
problemas y podemos concluir que la serie es homocedástica. Se puede estudiar algo
más detalladamente las características del ciclo estacional mediante el gráfico de
descomposición estacional visto en la práctica 1.
La FAS y FAP de la serie original se muestra en la siguiente figura:
FAP IPI Inglaterra
FAS IPI Inglaterra
1
1
0,6
0,6
0,2
0,2
-0,2
-0,2
-0,6
-0,6
-1
-1
0
5
10
15
lag
20
25
0
5
10
15
20
25
lag
Como puede observarse hay mucha estructura en ambas funciones. Esto es debido a
la falta de estacionariedad de la serie. Como se estudió en prácticas anteriores es
preciso tomar una diferencia para quitar la tendencia (parte regular, Non-seasonal
order), para eliminar la estacionalidad tomaremos diferencias estacionales (Seasonal
order). Para ello, en el botón derecho en ANALYSIS OPTIONS, podemos comenzar
tomando una diferencia regular (1) y posteriormente una diferencia estacional (1).
NOTA: como al especificar la serie con periodicidad mensual (s=12), la diferencia
estacional que tomemos la tomaremos como 1.
2
Figura 2. Serie IPI Inglaterra con una diferencia regular ( ∇
1
IPI )
25
15
5
-5
-15
1/50
1/53
1/56
1/59
1/62
1/65
La figura 2 muestra la serie IPI Inglaterra una vez eliminada la tendencia con una
diferencia regular, sin embargo observamos que aún existe estacionalidad. El ciclo se
aprecia en el gráfico de la serie, y en la FAS en la que las autocorrelaciones
separadas por 12 retardos son significativas y decrecen lentamente, esto se refleja en
su FAS y FAP (Figura 3),
Figura 3. FAS (izquierda) y FAP (derecha) de la serie ∇ IPI
1
1
1
0,6
0,6
0,2
0,2
-0,2
-0,2
-0,6
-0,6
-1
-1
0
5
10
15
lag
20
25
0
5
10
15
20
25
lag
Para eliminar los ciclos aplicaremos una diferencia estacional, es decir ∇ ∇ IPI , en
ANALYSIS OPTIONS-> DIFFERENCING -> SEASONAL ORDER (1).
1
12
El resultado de se presenta en la Figura 4, donde ya tenemos una serie estacionaria
(sin tendencia ni ciclos), además podemos asegurar que es homocedástica.
3
Figura 4. Serie IPI Inglaterra sin tendencia ni ciclo,
∇1∇12 IPI
8
4
0
-4
-8
1/50
1/53
1/56
1/59
1/62
Figura 5. FAS y FAP de la serie
1/65
∇1∇12 IPI
FAS
FAP
1
1
0,6
0,6
0,2
0,2
-0,2
-0,2
-0,6
-0,6
-1
-1
0
5
10
15
20
25
0
5
10
lag
15
20
25
lag
Estudiaremos los primeros retardos para analizar la parte regular: se observa en la
FAS que existen en decaimiento lento hasta el quinto retardo. En la FAP hay dos
retardos significativos. Podemos por tanto, estar ante un AR(2) en la parte regular.
Si analizamos los retardos estacionales: en la FAS vemos que el retardo 12 es
significativo, pero no los son ni el 24 ni el 36. Por otro lado, en la FAP se aprecian que
los retardos 12 y 24 son significativos. Es posible por tanto que estemos ante un
MA(1)12 en la parte estacional.
Alternativamente,
podríamos
tomando la diferencia estacional
haber
eliminado
primeramente
la
estacionalidad,
∇ IPI .
12
4
Figura 6. Gráfico de la serie IPI Inglaterra con una diferencia estacional
10
7
4
1
-2
-5
-8
1/50
1/53
1/56
1/59
1/62
1/65
Figura 7. FAS y FAP de la serie IPI Inglaterra con una diferencia estacional
FAS
FAP
1
1
0,6
0,6
0,2
0,2
-0,2
-0,2
-0,6
-0,6
-1
-1
0
5
10
15
20
25
0
5
10
lag
15
20
25
lag
Aunque hemos eliminado los ciclos, la serie no es estacionaria, puesto que aún se
observa tendencia (Figura 6). La FAS presenta un decaimiento lineal, pero no hay
retardos estacionales significativos.
Estimación de un modelo ARIMA(p,d,q)x(P,D,Q)s
Un vez que la serie ∇ ∇ IPI
ARIMA(2,1,0)x(0,1,1)12.
1
12
es estacionaria, podemos
estimar un modelo
En SPECIAL-> TIMES-SERIES ANALYSIS -> FORECASTING, introducimos la serie IPI
Inglaterra. Por defecto, el número de periodos a predecir (Number of forecasts) es
12.
Para estimar el modelo ARIMA, procedemos de la misma forma que hicimos en la
práctica anterior. Ahora, como hemos especificado la serie como mensual. El modelo
ARIMA permite ajustar diferencias y parámetros AR y MA estacionales.
5
Figura 8. Especificación de un modelo ARIMA(2,1,0)x(0,1,1)12
En ARIMA Model, podemos ahora especificar (Figura 8):
o
o
o
o
o
o
Nonseasonal order: Número de diferencias regulares d
Seasonal order: Numero de diferencias estacionales D
AR: Orden del autorregresivo regular p
MA: Orden de la media móvil regular q
SAR: Orden del autorregresivo estacional P
SMA: Orden de la media móvil estacional Q
Los parámetros estimados los podemos obtener en el ANALYSIS SUMMARY,
ARIMA Model Summary
Parameter
Estimate
Stnd. Error
t
P-value
---------------------------------------------------------------------------AR(1)
-0,563995
0,0894862
-6,3026
0,000000
AR(2)
-0,271194
0,0897455
-3,02182
0,003092
SMA(1)
0,891669
0,0305606
29,1771
0,000000
Mean
-0,0199986
0,0259359
-0,771075
0,442230
Constant
-0,0367011
----------------------------------------------------------------------------
En la tabla observamos que los parámetros son significativos, ya que el valor de la tstudent es mayor que 2 en valor absoluto y los p-valores menores a 0.05.
El modelo se puede escribir como:
yt = c − 0.5639 yt −1 − 0.2712 yt − 2 + at − 0.8917 at −12
(-6.30)
donde yt es la serie estacionaria
(-3.021)
(29,177)
∇1∇12 IPI y entre paréntesis se indica el valor crítico
de la t-student.
Alternativamente, en término del operador de retardos B.
(1 − φ1 B − φ2 B 2 ) yt = (1 − Θ12 B12 )at
6
Reemplazando los valores estimados:
(1 + 0.5639 B + 0.2712 B 2 ) yt = (1 − 0.8917 B12 )at
La FAS y FAP de los residuos del modelo ajustado se muestran en la figura 9.
Figura 9. FAS y FAP de los residuos del modelo ARIMA(2,1,0)x(0,1,1)12
FAS
FAP
ARIMA(2,1,0)x(0,1,1)12 with constant
ARIMA(2,1,0)x(0,1,1)12 with constant
1
1
0,6
0,6
0,2
0,2
-0,2
-0,2
-0,6
-0,6
-1
0
5
10
15
lag
20
25
-1
0
5
10
15
20
25
lag
En la Figura 9, observamos que aparentemente no existen retardos significativos ni
en FAS ni FAP de los residuos del modelo ajustado, por lo que tenemos evidencia de
que pueden ser ruido blanco.
Para ver si hay evidencia suficiente de que son ruido blanco, analizamos el test de
Box-Pierce. En TABULAR OPTIONS, marcamos las opciones de RESIDUAL TEST OF
RANDOMNESS y de MODEL COMPARISONS si queremos comparar el modelo con otros
alternativos. El resultado del test de Box-Pierce es de 0.82907 y por tanto tenemos
evidencias de que los residuos sí son ruido blanco.
Predicción y validación:
Una vez ajustado un modelo paramétrico a la serie original podemos utilizarlo para
realizar predicciones futuras.
En TABULAR OPTIONS, la opción FORECAST TABLE, nos permite obtener la predicción
del modelo para los periodos siguientes.
Lower 95,0%
Upper 95,0%
Period
Forecast
Limit
Limit
-----------------------------------------------------------------------------2/61
121,243
117,797
124,689
3/61
123,095
119,335
126,854
4/61
111,843
107,732
115,954
5/61
110,098
105,482
114,714
6/61
112,787
107,828
117,745
7/61
105,346
100,051
110,64
8/61
101,928
96,3004
107,556
9/61
115,466
109,536
121,395
10/61
118,947
112,728
125,166
11/61
123,111
116,614
129,609
12/61
111,011
104,248
117,774
1/62
111,576
104,557
118,594
------------------------------------------------------------------------------
7
Por defecto la predicción se realizar para 12 periodos.
En la primera columna tenemos los periodos que predecimos, en la segunda columna,
la predicción de nuestro modelo y por último los límites superior e inferior de los
intervalos de predicción.
La Figura siguiente muestra las predicciones y sus intervalos.
ARIMA(2,1,0)x(0,1,1)12 with constant
132
actual
forecast
95,0% limits
122
112
102
92
82
1/50
1/53
1/56
1/59
1/62
1/65
El modelo ARIMA propuesto, presenta los valores más bajos para el Error Cuadrático
Medio (MSE), y para el Error Medio Absoluto (MAE).
-----------------------------------------------------------------------Models
-----(A) ARIMA(2,1,0)x(0,1,1)12 with constant
(B) Constant mean = 106,045
(C) Linear trend = 96,3582 + 0,144581 t
(D) Simple moving average of 5 terms
(E) Simple exponential smoothing with alpha = 0,1521
Estimation Period
Model MSE
MAE
MAPE
ME
MPE
-----------------------------------------------------------------------(A)
2,70114
1,30257
1,2257
-0,139977
-0,154921
(B)
88,9745
7,69823
7,41176
3,00244E-14 -0,81525
(C)
58,3711
6,30245
5,99201
3,25888E-14 -0,523815
(D)
60,1705
6,81859
6,45562
0,432344
-0,0166134
(E)
52,2074
6,22291
5,87358
0,816373
0,36154
Model RMSE
RUNS RUNM AUTO MEAN VAR
----------------------------------------------(A)
1,64352
OK
OK
OK
OK
OK
(B)
9,43263
***
***
***
*** OK
(C)
7,6401
***
***
***
OK
OK
(D)
7,75696
***
***
***
OK
OK
(E)
7,22547
***
**
***
OK
OK
------------------------------------------------------------------------
8
Otro posible análisis que permite validar el modelo ARIMA propuesto, consiste en
realizar predicciones sobre la muestra. Este procedimiento consiste en coger del total
de n observaciones de la serie temporal, las n-k primeras. Y una vez elegido el
modelo validar su capacidad predictiva sobre la submuestra formada por las k últimas
observaciones.
, introducimos en la casilla de WITHHOLD FOR
En la opción de INPUT DIALOG,
VALIDATION el tamaño de submuestra que deseamos , en el caso de series
mensuales para que este análisis sea válido cogeremos un ciclo completo de k=12
observaciones.
Con este análisis la tabla de predicciones (FORECAST TABLE), incluye el residuo de la
predicción sobre esta submuestra.
-----------------------------------------------------------------------------Period
Data
Forecast
Residual
…
…
…
…
2/60
117,3
116,651
V0,648852
3/60
119,5
118,988
V0,511876
4/60
107,7
107,844
V-0,144126
5/60
108,9
105,914
V2,9865
6/60
109,1
110,035
V-0,935361
7/60
103,3
102,039
V1,26059
8/60
100,0
99,5207
V0,479278
9/60
112,6
112,938
V-0,337917
10/60
117,7
116,379
V1,32145
11/60
123,2
120,996
V2,20382
12/60
110,3
109,785
V0,514985
1/61
110,6
110,914
V-0,313729
------------------------------------------------------------------------------
La tabla de comparación de modelos (MODELS COMPARISON), incluye una tabla
adicional para los valores del MSE y MAE o de la raíz cuadrada del MSE (RMSE).
Models
-----(A) ARIMA(2,1,0)x(0,1,1)12 with constant
(B) Constant mean = 105,486
(C) Linear trend = 95,6334 + 0,161517 t
(D) Simple moving average of 5 terms
(E) Simple exponential smoothing with alpha = 0,1573
Estimation Period
Model MSE
MAE
MAPE
ME
MPE
-----------------------------------------------------------------------(A)
2,86055
1,33577
1,26573
-0,250186
-0,261454
(B)
90,1904
7,73979
7,47792
3,25323E-14 -0,830492
(C)
58,5864
6,2433
5,96621
3,55859E-14 -0,528323
(D)
60,3762
6,84534
6,51942
0,372931
-0,0730557
(E)
52,3767
6,26727
5,95175
0,71585
0,268722
Model RMSE
RUNS RUNM AUTO MEAN VAR
----------------------------------------------(A)
1,69132
OK
*
OK
OK
OK
(B)
9,49686
***
***
***
*** OK
(C)
7,65418
***
***
***
OK
OK
(D)
7,77021
***
***
***
OK
OK
(E)
7,23717
***
**
***
OK
OK
Validation Period
Model MSE
MAE
MAPE
ME
MPE
-----------------------------------------------------------------------(A)
1,61646
0,971541
0,864741
0,683018
0,602253
(B)
80,2806
7,47603
6,49719
6,19738
5,23018
(C)
62,7841
6,78328
6,2743
-4,54348
-4,41941
(D)
58,1818
6,56
5,83885
1,00667
0,528996
(E)
50,5692
5,98881
5,29789
1,56345
1,04989
9
Este procedimiento nos permitirá de una manera más precisa discriminar entre
modelos ARIMA alternativos, en el caso de tener modelos que cumplan todas las
hipótesis de manera satisfactoria (significatividad de los parámetros, test de Boxpierce), nos intereserá más tener un modelo cuya capacidad predictiva sea mejor
(menores valores del RMSE, MSE y/o MAE).
Cuestiones:
Analiza el resto de las series del fichero Practica5Series.sf3. Propón uno o varios
modelos ARIMA. Formula la ecuación del modelo y su representación en términos del
operador de retardos. Realiza una validación del modelo ARIMA en función de la
capacidad predictiva de cada uno de ellos.
10