MATEMÁTICAS I Grupo GF 1C a APELLIDOS: NOMBRE: 1

MATEMÁTICAS I
Grupo GF
1C a
APELLIDOS:
NOMBRE:
µ ∂y/z p
4
x
x3 − y 3
1. Considera la función f (x, y, z) =
.
y
x ln(x/z)
(a) (0.2 ptos.) Calcula su dominio. (Explica por qué impones cada condición.)
(b) (0.2 ptos.) Estudia si es homogénea, y en tal caso indica su grado de homogeneidad.
2. (0.4 ptos.) Calcula
√
5
lı́m+ 0.4 + 1.5− ln(x/10)
x→0
3.0
lı́m 0.4 + 1.5−
√
5
2.5
f (x)
ln(x/10)
x→+∞
(indica todos los lı́mites intermedios).
3. (0.1 ptos.) Indica cuál de las funciones representadas en la
figura tiene los mismos lı́mites en 0 y +∞ que la función de la
pregunta anterior.
2.0
1.5
g(x)
1.0
h(x)
0.5
0
5
10
15
20
4. La demanda mensual de un producto viene dada por la función
D(r, p) = 1 000(r2 + 1)−p ,
donde r es la renta de los consumidores (en miles de C) y p es el precio (en C). Actualmente la
renta de los consumidores es de 1 000 C (r = 1) y el precio es p = 3 C.
(a) (0.5 ptos.) Calcula las derivadas parciales de D para los valores actuales de las variables e
interpreta la correspondiente al precio.
(b) (0.1 ptos.) A partir de las derivadas anteriores ¿se deduce algo sobre la calidad del producto?
(c) (0.1 ptos.) Calcula la dirección de máximo decrecimiento de la demanda en el momento
actual.
(d) (0.2 ptos.) Completa:
Ø
Ø
∂D ØØ
∂D ØØ
∆D
??
≈
??
=
(−0.01) +
(−0.1) = ??
∂r Ø(1,3)
∂p Ø(1,3)
e interpreta el resultado. (En tu interpretación deben aparecer todas las cantidades involucradas y sus unidades.)
(e) (0.1 ptos.) Calcula el incremento exacto y comprueba que se diferencia del aproximado en
alrededor de 0.5 u.p.
(f) (0.2 ptos.) Calcula e interpreta la elasticidad de la demanda respecto del precio en las
condiciones actuales.
(g) (0.5 ptos.) Comprueba que, redondeando los decimales, la matriz hessiana de la demanda es
µ
∂
1 125 135
H(1, 3) =
.
?
60
(Calcula tú el valor que falta.)
(h) (0.2 ptos.) Razona mediante derivadas si, partiendo de la situación actual, un aumento de
la renta hace aumentar o disminuir la derivada ∂D
∂p . Concretamente, si la renta aumentara
0.2 u.m., ¿cuánto variarı́a dicha derivada aproximadamente?
(i) Supongamos que la renta y el precio varı́an con el tiempo según las relaciones r(t) = 0.2t ,
p(t) = 3 · 0.1t (el tiempo está en años).
i. (0.1 ptos.) Calcula la función compuesta, indicando su nombre.
ii. (0.3 ptos.) Calcula la derivada de la función compuesta para t = 0. Interpreta el resultado.
5. Un consumidor adquiere dos bienes en cantidades x e y, con lo que obtiene una utilidad dada por
la función
0.1ex+y
U (x, y) = 2
.
x + y2
Actualmente adquiere 3 unidades del primer producto y 6 del segundo.
(a) (0.2 ptos.) Escribe la curva de indiferencia (nivel de utilidad) actual e interprétala.
(b) (0.2 ptos.) Razona que dicha ecuación define a y como función implı́cita de x para consumos
similares al actual.
Ø
∂y ØØ
(c) (0.3 ptos.) Calcula
e interpreta el resultado.
∂x Ø3
(d) (0.1 ptos.) Comprueba que y(5) = 3.884. Interpreta el resultado.
6. (0.3 ptos.) Calcula el determinante siguiente haciendo ceros en la segunda columna:
Ø
Ø
Ø 1
2
2
3 ØØ
Ø
Ø 3
4
6
6 ØØ
Ø
Ø 0 −2 −1 −2 Ø .
Ø
Ø
Ø 5
6
7
9 Ø
MATEMÁTICAS I
Grupo GF
1C b
APELLIDOS:
NOMBRE:
7. La población marginal de un paı́s durante un periodo de 10
años (desde t = 0 hasta t = 10, en millones de habitantes
por año) ha sido

5t2




 1 + (t3 + 1)2
Pm (t) = − 9 (t − 4)


157


 otra función
1.0
Pm (t)
0.8
0.6
si 0 ≤ t < 3,
si 3 ≤ t < 5,
0.4
0.2
2
4
6
8
10
!0.2
si 5 ≤ t < 10
(a) (0.4 ptos.) Calcula la población en t = 4 sabiendo que al inicio del periodo la población era
de 40 millones de habitantes.
(b) (0.1 ptos.) Razona si en t = 10 habı́a más o menos habitantes que en t = 1.
8. (0.4 ptos.) Calcula
Z
0
+∞
1
ln x dx.
x2
9. Sea X una variable aleatoria cuya función de densidad es
Ω
2.26
2
f (x) = x2 +1 sen ln(x + 1) si 0 ≤ x ≤ 2,
0
en otro caso.
(a) (0.3 ptos.) Calcula la esperanza de X.
(b) (0.1 ptos.) Calcula el valor medio de f (x) en el intervalo [0, 2].
10. La función P (t) representa el número de parados de un paı́s
durante un periodo de 10 años (desde t = 1 hasta t = 11), y
su derivada en porcentaje en dicho periodo ha sido
DP (t) =
10
ln(t + 1).
t+1
4
DP (t)
3
2
1
(a) (0.1 ptos.) Calcula DP (1) e interpreta el resultado.
(b) (0.1 ptos.) Según la gráfica, en t = 6 ¿el número de
parados estaba aumentando o disminuyendo?
2
4
6
8
10
(c) (0.5 ptos.) Calcula la función P (t) sabiendo que en t = 1 en el paı́s habı́a 100 000 parados.
(d) (0.3 ptos.) Calcula los momentos en que la función DP (t) alcanzó sus valores máximo y
mı́nimo en el periodo considerado.
(e) (0.1 ptos.) ¿Cuántos parados tenı́a el paı́s en esos dos instantes?
11. (0.3 ptos.) Resuelve (y expresa cada solución que obtengas como un vector (x, y, λ, µ)):

√
x+ y =6 


x + (λ − 1)y + µ = 0
λx = 0 


µy = 0