Trazo de 1 punto: convertir una posición en particular en operación

GRAFICACIÓN DE PUNTOS
Trazo de 1 punto: convertir una posición en particular en operación apropiada para el dispositivo de salida.
Trazo de líneas: cálculo de posiciones intermedias a lo largo de la trayectoria de la línea entre dos
posiciones externas específicas.
Trazador análogo
Generan voltajes de deflexión horizontal y vertical linealmente variables que son proporcionales a los cambios
requeridos en las direcciones x y y para producir una línea tenue.
Trazador digital
Se basan en la ecuación de la recta
y = mx + b
m =
y2 ! y 1
x2 ! x1
Los valores obtenidos son aproximados, consecuencia de la conversión a tipo entero, produciendo lo que se
conoce como efecto escalonado el cuál se muestra en la siguiente figura.
Funciones básicas
» setPixel(x,y,intensidad) : cargar el valor intensidad en el búfer de estructura en una posición
correspondiente a la posición de píxel x y a la línea de rastreo y.
» getPixel(x,y) : recuperar el valor de intensidad en una posición correspondiente a la posición de
píxel x y a la línea de rastreo y.
ALGORITMOS PARA EL TRAZO DE LÍNEAS
La ecuación de intersección de la pendiente cartesiana de una recta es:
y = mx + b
(1)
m: pendiente de la línea
b: intersección de y
extremos: (x 1 , y1 ) y (x 2 , y2)
y2 ! y 1
x2 ! x1
(2)
b = y1 ! mx 1
(3)
m =
Trayectoria lineal entre posiciones de
extremos (x 1 , y1 ) y (x 2 , y2)
Los algoritmos para desplegar líneas rectas se basan en la ecuación de la recta (1) y los cálculos que se
dan en las ecuaciones (2) y (3).
Para cualquier x dentro del intervalo !y de y a partir de la ecuación (2) como:
!y = m!x
(4)
de modo similar podemos obtener el intervalo !x de x correspondiente a una !y especifica como:
!x =
!y
m
(5)
Segmento de línea recta con cinco posiciones
de muestreo a lo largo del eje x entre x1 y y1
Las ecuaciones (1) a (5) son la base para determinar voltajes de deflexión en dispositivos análogos. Para
líneas donde m < 1 , !x puede ser proporcional a un bajo voltaje de deflexión horizontal y la deflexión
vertical se establece entonces de manera proporcional a !y , como (4).
Para líneas cuya m > 1 , !y puede ser proporcional a un bajo voltaje de deflexión vertical y la deflexión
horizontal correspondiente se establece entonces de manera proporcional a !x , como se calculo en (5).
Para las líneas con m = 1 , !x = !y y los voltajes de deflexión horizontal y verticales son iguales. En
todos los casos se dibuja (traza) una línea tenue de (x 1 , y1 ) a (x 2 , y2) con pendiente m .
En sistemas de rastreo, las líneas se trazan con píxeles y los tamaños de paso en la dirección horizontal
y vertical se limitan por las separaciones de píxel, es decir, se debe “efectuar un muestreo” de una línea
en posiciones discretas y determinar el píxel mas cercano a la línea en cada posición sometida al
muestreo.
»
Algoritmo DDA
Analizador de diferencia digital (DDA; del inglés digital diferencial analyzer) es un algoritmo de línea de
conversión de rastreo que se basa en el cálculo ya sea de !y o de !x , por medio de las ecuaciones
(4) o (5). Se efectúa un muestreo de la línea en intervalos unitarios en una coordenada y se determina
los valores enteros correspondientes más próximos a la trayectoria de la línea para la otra coordenada.
1. Una línea con m ! 0
Si m ! 1 ; se lleva a cabo un muestreo de x en intervalos unitarios ( !x = 1 ) y se calcula cada valor
sucesivo de y como:
yk+ 1 = y k + m
(6)
k: valores enteros a partir de 1 y aumenta a razón de 1 hasta que alcanza su valor final.
0 ! m ! 1 y debe ser redondeada al entero más cercano.
Si m > 1 se revierten las funciones de x y y. Se realiza un muestreo de y en intervalos unitarios
( !y = 1 ) y se calcula el valor sucesivo de x como:
x k+ 1 = x k +
1
m
(7)
(6) y (7) se basan en que las líneas deben procesarse del extremo izquierdo al derecho, si no es así
entonces los incrementos serán de !x = "1 para 0 ! m ! 1 y !y = "1 para m > 1 .
yk+ 1 = y k ! m
(8)
x k+ 1 = x k !
1
m
(9)
(8) y (9) también se utilizan para líneas con m < 0 .
La entrada para este algoritmo son las posiciones de píxel de los extremos.
!x : dx
!y : dy
La diferencia con la mayor magnitud se establecerá como el valor del parámetro steps.
Se inicia en (x a , ya ) , determinando las compensación necesaria para generar la posición de px siguiente a lo
largo de la trayectoria de la línea.
 ciclo: steps veces
( dx > dy ) y ( x a < x b ) Ç x y y : 1 y m
variación mas alta en dx pero x a > x b entonces !1 y !m sirven para generar el nuevo punto de la
línea.
Ejemplo de implementación del algoritmo DDA.
procedure lineDDA(xa, ya, xb, yb: integer)
var
dx, dy, steps, k: integer;
xIncrement, yIncrement, x, y: real;
begin
dx:= xb - xa;
dy:= yb – ya;
if abs(dx) > abs(dy) then steps:= abs(dx);
else steps:= abs(dy);
xIncrement:= dx/steps;
yIncrement:= dy/steps;
x:= xa;
y:= ya;
setPixel(round(x), round(y), 1);
for k:=1 to steps do
begin
x:= x + xIncrement;
y:= y + yIncrement;
setPixel(round(x), round(y), 1);
end;
end; {lineDDA}
»
Algoritmo de línea de Bresenham

Preciso y efectivo
Convierte mediante rastreo de líneas al utilizar sólo cálculos incrementales con enteros que se pueden
adaptar para desplegar circunferencias y otras curvas.
Realizar un
de la línea
cuyo valor
trayectoria
muestreo para decidir cuál de dos posibles posiciones de píxel esta más próxima a la trayectoria
en cada paso del muestreo. Para realizar lo anterior se prueba el signo de un parámetro entero,
es proporcional a la diferencia entre las separaciones de dos posiciones de píxel de la
real de la línea.
Planteamiento de Bresenham
Procedimiento de conversión de rastreo para líneas 0 ! m ! 1 .
muestreo de x en intervalos unitarios.
Inicio: (x 0 , y0 ) extremo izquierdo de 1 línea.
Se pasa a cada columna sucesiva (x) y se traza el píxel cuyo valor en y de la línea de rastreo se
aproxima más a la trayectoria de la línea de rastreo.
Trazando el punto (x k , yk) se requiere decidir el valor de y para x k+ 1 , el siguiente píxel estará en la
posición (x k+ 1 , yk) o (x k+ 1 , yk+ 1 ) .
Distancia entre posiciones de píxel y las coordenadas
de la posición y de la línea de muestreo x k+ 1 = x k + 1
d1 = m(x k + 1) + b
(10)
d1 y d2: separaciones de píxel verticales de la trayectoria de la línea matemática.
d1 = y ! yk = m(x k + 1) + b ! yk
d2 = yk+ 1 ! y = y k+ 1 ! m(x k + 1) ! b
La diferencia entre estas dos separaciones es:
d1 ! d2 = 2m(x k + 1) ! 2yk + 2b ! 1
(11)
ç Parámetro de decisión Pk para el k-ésimo paso:
En el algoritmo de línea se puede obtener al reordenar la ecuación (11) de modo que implique sólo cálculos
de enteros.
Se realiza esto al sustituir m =
Pk = !x(d1 " d2)
!y
!x
Pk = 2!y "x k #2!x " y k + C
(12)
donde C = 2!y + !x(2b " 1)
Si yk es más cercano que yk+ 1 ( d1 < d2 ), Pk es negativo por lo que se traza el píxel inferior.
Paso k+1:
Pk+ 1 = 2!y "x k+ 1 #2!x " y k+ 1 + C , donde x k+ 1 =x k +1
Sustrayendo (12)
Pk+ 1 ! Pk = 2"y # (x k+ 1 !x k) ! 2"x # (y k+ 1 ! yk ) + C ! C
Pk+ 1 ! Pk = 2"y ! 2"x # (yk+ 1 ! y k)
Se realiza un cálculo recursivo empezando con el extremo izquierdo.
Para (x 0 , y0 ) : P0 = 2!y " !x
Algoritmo de Bresenham para el trazo de líneas para m < 1
1. Se capturan los dos extremos de la línea y se almacena el extremo izquierdo en (x 0 , y0 ) .
2. Se carga (x 0 , y0 ) en el búfer de la estructura; es decir, se traza el primer punto.
3. Se calculan las constantes !x , !y , 2!y y 2!y " 2!x , obteniéndose el valor inicial de desición
como:
P0 = 2!y " 2!x
4.
En cada x k a lo largo de la línea, que inicia en k=0, se efectúa la prueba siguiente: Si Pk < 0 ,
el siguiente punto que se debe trazar es (x k+ 1 , yk) y
Pk+ 1 = Pk + 2!y
De otro modo, el siguiente punto que se debe trazar es (x k+ 1 , yk+ 1 ) y
Pk+ 1 = Pk + 2!y " 2!x
5.
Se repite el paso 4 !x veces.
Implantación del algoritmo de Bresenham
procedure lineBres(xa, xb, ya, yb: integer)
var
dx, dy, x, y, xEnd, p: integer;
begin
dx:= abs(xa-xb);
dy:= abs(ya-yb);
p:= 2çdy-dx;
{determine wich point to use as Stara, wich as end }
if xa<xb then
begin
x:= xb;
y:= yb;
xEnd:= xa;
end;
else
begin
x:=xa;
y:=ya;
xEnd:= xb;
end;
setPixel(x,y,1);
while x < xEnd do
begin
x:=x+1;
if p<0 then p:= p+2çdy;
else
begin
y:= y+1;
p:= p+2ç(dy-dx);
end;
setPixel(x,y,1);
end;
end; {lineBres}