UNIDAD 1 Turbomáquinas, clasificación, tipos. Repaso de balances

UNIDAD 1
Turbomáquinas, clasificación, tipos. Repaso de balances energéticos. Intercambio de energía: teorema
de Euler. Casos elementales: turbina plana y curva.
1.
TURBOMÁQUINAS: Clasificación.
Las turbomáquinas se diferencian de otras máquinas térmicas en que son de funcionamiento
continuo, no alternativo o periódico como el motor de explosión o la bomba de vapor a pistón.
A semejanza de otras máquinas las turbomáquinas son esencialmente transformadoras de energía, y
de movimiento rotativo. Sin embargo, se diferencian, por ejemplo, del motor eléctrico, en que la
transformación de energía se realiza utilizando un fluído de trabajo.
En las turbomáquinas el fluído de trabajo pude ser un líquido (comúnmente agua, aunque para el
caso de las bombas de líquido la variedad de fluídos es muy grande) o un gas o vapor (comúnmente vapor de
agua o aire, aunque nuevamente para los compresores la variedad de gases a comprimir puede ser muy
grande). Las turbomáquinas cuyo fluído de trabajo es un líquido se denominan turbomáquinas
HIDRAULICAS; no hay una denominación especial para las demás.
Este fluído de trabajo se utiliza para convertir la energía según una cascada que puede enunciarse
como sigue:
•
•
•
•
•
Energía térmica (calor)
Energía potencial (presión)
Energía cinética (velocidad)
Intercambio de cantidad de movimiento
Energía mecánica
No todas las turbomáquinas comprenden la cascada completa de energía: algunas sólo incluyen
algunos escalones. Por otra parte, la cascada no siempre se recorre en la dirección indicada, pudiendo tener
lugar en la dirección opuesta. Las turbomáquinas que recorren la cascada en la dirección indicada se
denominan MOTRICES, y las que la recorren en la dirección opuesta se denominan OPERADORAS.
Las turbomáquinas motrices reciben las siguientes denominaciones:
• Si trabajan con líquidos, turbinas hidráulicas
• Si trabajan con gases, turbinas (de vapor, de gases de combustión, etc)
Las turbomáquinas operadoras se denominan:
• Si trabajan con líquidos, bombas hidráulicas
• Si trabajan con gases, compresores (altas presiones) o ventiladores o sopladores (bajas
presiones)
También se diferencian las turbomáquinas según la trayectoria que en general sigue el fluído: si el
movimiento es fundamentalmente paralelo al eje de rotación se denominan turbomáquinas AXIALES. Si es
principalmente normal al eje de rotación, turbomáquinas RADIALES (centrífugas o centrípetas según la
dirección de movimiento), y si se trata de casos intermedios, turbomáquinas MIXTAS.
Las turbomáquinas pueden recibir el fluído en toda su periferia (máquinas de admisión plena) o
sólo en parte (máquinas de admisión parcial) Las Figuras 1.1 y 1.2 ilustran algunas turbomáquinas de todos
los tipos mencionados:
1
Fig 1.1: Turbomáquinas de admisión plena (Wilson)
2
Fig 1.2: Turbomáquinas de admisión parcial (Wilson)
2.
Repaso de balances energéticos
Definimos las energías del fluído por unidad de volumen:
•
•
•
Cinética E=½ ρv 2
Potencial ρgz
Interna U=ρcv T
El calor intercambiado será Q y el trabajo L. Los valores por unidad de masa se definen con
minúsculas (e, u, q, l, i). Definimos también la función ENTALPÍA como
i = u+ p/ ρ
De las relaciones de Termodinámica:
c p = cv + R
i = cp T
Para un sistema CERRADO, las energías potencial y cinética de entrada y de salida son iguales por
definición. Luego, el balance de energía por unidad de masa es
q − l = u 2 − u1 ,
donde
l es el trabajo de expansión por unidad de masa dentro del sistema:
3
1
l = ∫ p d  
 ρ
1
2
Notar que se requiere conocer la relación entre presión y densidad dentro del sistema para poder
realizar la integral.
El trabajo de circulación en un sistema CERRADO se relaciona con el trabajo de expansión como
sigue:
2
dp
 p 2  1 
p
p
li = − ∫
= −∫ d   + ∫ pd   = l + 1 − 2
ρ
ρ1 ρ2
 ρ 1  ρ 
1
1
2
Luego,
l = li +
p2 p1
−
ρ2 ρ1
Para un sistema ABIERTO, el trabajo total realizado por o sobre el fluído se compone del trabajo
de expansión más los cambios de energía cinética y potencial entre los estados de entrada y salida del fluído:
l ≡l+
v 22 − v12
+ g (z 2 − z1 )
2
El trabajo de total del sistema abierto será entonces:
l = li +
p2 p1 v 22 − v12
−
+
+ g ( z2 − z1 )
ρ2 ρ1
2
Sustituyendo el trabajo l en el balance de energía del sistema cerrado y operando obtenemos el
balance de energía del sistema abierto:
q + i1 +
v12
v2
+ gz1 = i 2 + 2 + gz 2 + l i
2
2
Salvo en las turbomáquinas hidráulicas (donde es esencial), el cambio de energía potencial es
despreciable. Además, los intercambios de calor con el exterior son solamente debidos a pérdidas y por el
momento pueden despreciarse, por lo que el trabajo de circulación, que es todo el trabajo entregado o recibido
por el fluído en su pasaje por la máquina, se expresa como:
 v2 
l i = ∆ i +  ,
2

siendo positivo para una turbomáquina motriz y negativo para una turbomáquina operativa.
3.
INTERCAMBIO DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO: Teorema de Euler
El balance de energía permite computar las transformaciones de energía calórica en potencial y
cinética. Para completar la cascada de energía es necesario poder evaluar la transformación de energía
cinética en energía mecánica en el eje de la máquina.
Esta transformación tiene lugar en las turbomáquinas en el paletado, conjunto de paletas o álabes
de forma aerodinámica, montado en la periferia de un disco giratorio, sobre el cual actúa el fluído dotado de
energía cinética. La acción del fluído sobre las paletas causa la aparición de fuerzas sobre ellas. Esta fuerzas,
actuando en la periferia del disco, causan un torque sobre el eje, torque que, multiplicado por la velocidad de
rotación del eje, resulta en la potencia mecánica entregada o recibida por el eje de la turbomáquina.
La acción del fluído sobre el paletado es un intercambio de cantidad de movimiento que puede
computarse por medio del Teorema de Euler, consistente en la aplicación a las paletas del disco giratorio la
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segunda ley de Newton para sistemas rotativos: Impulsión angular igual a cambio en el momento de la
cantidad de movimiento.
Para deducir la fórmula de Euler reemplazamos el disco con su paletado por un volumen cilíndrico
de control alrededor del eje, el cual es atravesado por el fluído (Figura 1.3):
Fig. 1.3: Volumen de control para el Teorema de Euler (Shepherd)
Consideramos flujo adiabático reversible (no viscoso ni turbulento), velocidad del rotor ω
constante, y caudal másico por unidad de área constante en la cara de entrada 1.
El fluído posee componentes de velocidad axial, radial y tangencial, tanto a la entrada como a la
salida; de éstas, sólo las componentes tangenciales tienen influencia en el torque.
La segunda ley de Newton aplicada a una pequeña cantidad de masa dm se escribe como:
τ dt = dm vu 1 r1 − dm v u 2 r2 ,
siendo τ el torque. Si indicamos con G el caudal másico dm/dt, y con N la potencia, igual al torque por la
velocidad angular, obtenemos:
N = G v u1 r1 − vu 2 r2 ω .
(
)
La velocidad periférica del disco será U = r.ω, (no confundir con la energía interna) por lo que la
fórmula de Euler resulta:
N = G ( vu 1 U1 − v u 2 U 2 )
La potencia por unidad de caudal másico, o, lo que es lo mismo, la energía por unidad de masa,
resultan:
e = vu 1 U1 − vu 2 U 2
Si el resultado es positivo se trata de un torque aplicado al eje y una potencia entregada al eje, por
lo que se trata de una turbomáquina motriz (turbina). Si el resultado es negativo el torque se opone al
movimiento del eje, se trata de una máquina a la cual se debe entregar energía mecánica, es decir, una
máquina operativa (compresor, bomba). En este último caso, por conveniencia, se invierten los signos de la
ecuación de Euler para trabajar con cantidades positivas.
Notar que las unidades de
masa, o bien m2 /s 2 .
e son las mismas que las de la entalpía, vale decir, energía por unidad de
La fórmula de Euler nos permite computar la conversión de energía cinética en energía mecánica
en el eje o viceversa, completando las herramientas necesarias para evaluar la cascada de energía en las
turbomáquinas.
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4.
CASOS ELEMENTALES: Turbinas de paletas plana y curvas
Aplicaremos la ecuación de Euler al caso de una turbina de paletas planas tales como los molinos
de agua antiguos (Figura 1.4):
Fig. 1.4: Turbina de paletas planas
Aplicamos la ecuación de Euler considerando que:
• U1 =U2 =U
• Cu1 =C1
• Cu2 =U
Luego, e=C1 U-U2 .
Esta es una parábola invertida cuyo máximo está en U=C1 /2, y la potencia máxima por unidad de
caudal másico es emax=C1 2 /4. Como la energía cinética disponible es C1 2 /2, la máxima conversión de energía
posible es:
ηmax =
1
2
Resumiendo, la utilización óptima corresponde a una velocidad de la rueda igual a la mitad de la
velocidad del flujo, y se puede extraer la mitad de la energía disponible.
Consideramos ahora una turbina de paletas cóncavas tales que, en elevación es similar a la anterior
pero vista desde el extremo de la paleta tiene la disposición de la Figura 1.5:
Fig. 1.5: Turbina de paletas curvas (Mallol)
Para continuar es necesario recordar que, tratándose de movimiento relativo, la velocidad absoluta
C, la velocidad de la paleta U y la velocidad del fluído respecto a la paleta W están relacionadas en forma
vectorial como:
r r r
C = U +W
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Luego, consideramos:
• Cu1 =C1
• U1 =U
• W 1 =C1 -U
• U2 =U
• Cu2 =C2
• W 2 = -W 1
Luego Cu2 =U+W 2 =U-W 1 =2U-C1 , y resulta:
e = C1U − U (2U − C1 ) = 2U (C1 − U )
Podemos maximizar la energía intercambiada derivando con respecto a U e igualando a cero, de
donde resulta
U
C1
max e
=
1
2
y la energía por unidad de masa:
emax =
C12
2
con lo que la máxima extracción de energía es η=1. Sin embargo, en estas condiciones resulta C2 = 0.
Resumiendo, en la turbina con paletas curvas se puede extraer, al menos en teoría, toda la energía
disponible en el chorro de entrada, si la rueda gira a la mitad de la velocidad del chorro. Sin embargo, esto es
difícil de instrumentar en la práctica ya que el fluído saliente tiene velocidad cero, es decir, se acumularía en
la zona ocupada por las paletas giratorias.
Esta dificultad puede obviarse si se disminuye el ángulo de las paletas tal que en lugar de causar un
giro de 180 grados el fluído ingrese con un ángulo α1 respecto a U (Figura 1.6).
Fig. 1.6: Paleta curva a menos de 180 grados
Luego,
Cu 1 = C1 cos α1
U
cos α1
=
max e
C1
2
C12 cos 2 α1
2
Cu 2 = 0
= C2 = Caxial,1 = C1 sen α1
emax =
Caxial, 2
ηmax e = cos 2 α1
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Luego, la máxima transferencia de energía se obtiene cuando el fluído sale en dirección
perfectamente axial y la velocidad tangencial del fluído es el doble de la velocidad de la paleta. Esta máxima
transferencia de energía es muy cercana al 100% si el ángulo es pequeño.
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