c-inversa o inversa generalizada de Rao

c-inversa o inversa generalizada de Rao
Definición.- Sea Am×n. Se dice que una matriz Ac de
orden n × m es una c-inversa o inversa generalizada en el
sentido de Rao si y sólo si se verifica AAc A = A.
Teorema.- Sea Am×n con m ≤ n y rg(A) = r ≤ m. Entonces la c-inversa de A siempre existe y no es única.
Demostración
Consideremos distintas situaciones:
1. Si rg(A) = m entonces podemos, sin pérdida de generalidad, particionar A en la forma A = (A1 |A2 )
donde A1 es una matriz cuadrada de orden m tal que
|A1 | 6= 0. Ası́ es inmediato comprobar que la matriz
A−1
1
Ac =
0(n−m)×m
es una c-inversa para A.
2. Sea ahora rg(A) = r < m y consideremos la siguiente
partición en bloques
A11 A12
A=
A21 A22
donde A11 es una matriz cuadrada de orden r y no
singular. Consideremos
−1
A11
0r×(m−r)
Ac =
.
0(n−r)×r 0(n−r)×(m−r)
Entonces
AAcA =
A11
A12
A21 A21A−1
11 A12
.
Ahora bien, como rg(A) = r, entonces debe existir
P(m−r)×r tal que (A21|A22) = P(A11|A12), de donde
A21 = PA11 ⇒ P = A21A−1
11
A22 = PA12 ⇒ A22 = A21A−1
11 A12
con lo cual AAc A = A y ası́ Ac es c-inversa para A.
3. En el caso general, si A11 es singular, entonces, puesto que el rango de A es r, deben existir matrices de
permutación (y por lo tanto ortogonales) R y S tales
que
B11 B12
RAS = B =
B21 B22
y tal que B11 sea no singular. Por el apartado anterior,
−1
B11
0r×(m−r)
Bc =
0(n−r)×r 0(n−r)×(m−r)
es una c-inversa para B. Por lo tanto podemos comprobar que Ac = SBc R es una c-inversa para A. En
efecto, como R y S son ortogonales se tiene que
A = R0BS0 y con ello
AAcA = R0BS0SBcRR0BS0 = R0BBcBS0 = R0BS0 = A .
Para comprobar la no unicidad sea Bn×m . Entonces, tomando C = Ac + B − Ac ABAAc se tiene
ACA = A(Ac + B − AcABAAc)A
= AAc A + ABA − AAc ABAAc A
= A + ABA − ABA = A
por lo que C también es una c-inversa para A. Además,
si C es una c-inversa para A, debe ser necesariamente de
la forma anterior con B = C − Ac . En efecto,
Ac + C − Ac − AcA(C − Ac)AAc
= Ac + C − Ac − Ac ACAAc + Ac AAc AAc
= Ac + C − Ac − Ac AAc + Ac AAc = C .
El teorema anterior es constructivo en el sentido de que
nos proporciona una forma para calcular la c-inversa de
Rao. No obstante en la práctica conviene tener algún
procedimiento más mecánico que permita un cálculo más
sencillo. El siguiente algoritmo (que puede ser consultado
en Searle, 1971) puede ser de bastante utilidad.
Encontrar en A un menor de orden r, que llamaremos
M.
Invertir M y transponerla.
Reemplazar en A cada elemento de M por el correspondiente de (M−1 )0 .
Reemplazar los elementos restantes de A por ceros.
Transponer la matriz resultante. Dicha matriz será una
c-inversa para A.
Ejemplos de cálculo de c-inversas
Ejemplo 1
Sea A =
se tiene Ac
Ac =
0
0
0
0
−1 1
−2 2 . Considerando el menor M =
0
3
!
1
0 0
−1 0 1
=
, mientras que tomando M =
0
0 0
0
0 0
!
1/2
0
−1/2 1
.
0
0
0
0
1
2
1
0
0
1
1
1
0
1
2
1
0
1
,
,
Ejemplo 2
Sea N = N1 + · · · + NI y consideremos la matriz (I + 1) × (I + 1)dimensional
 N N N ... N 
1
2
I
N1 N1
0
...
0


X =  N2 0 N2 . . . 0  .
..
..
..
..
...
.
.
.
.
NI
0
0
0
NI
Esta matriz es de rango I y por lo tanto singular. El menor de orden
I que tomaremos será

M=
N1
0
..
.
0
0
N2
..
.
0
...
...
...
0
0
0
..
.
NI


cuya inversa es

M−1 = 
1/N1
0
..
.
0
0
1/N2
..
.
0
...
...
...
0
0
0
..
.
1/NI


resultando ası́

Xc = 

0
0
0
..
.
0
0
1/N1
0
..
.
0
0
0
1/N2
..
.
0
...
...
...
...
0
0
0
0
..
.
1/NI



g-Inversa o inversa generalizada de Moore-Penrose
Definición.- Sea Am×n. Se dice que una matriz Ag de orden n × m es la g-inversa o inversa generalizada de MoorePenrose si y sólo si se verifica AAg A = A, Ag AAg = Ag y
además tanto AAg como Ag A son simétricas.
Teorema.- Sea Am×n. Entonces la g-inversa existe y es
única.
Demostración
Evidentemente, si A = 0 entonces Ag = 0. En el caso en que rg(A) = r > 0 sabemos que existen dos matrices C1 y C2 de dimensiones respectivas m × r y r ×
n y de rango r tales que A = C1 C2 . Entonces Ag =
C02(C2C02)−1(C01C1)−1C01 es una g-inversa para A (comprobar los cuatro apartados de la definición).
Para ver la unicidad supongamos que tenemos dos ginversas, Ag y Bg . Entonces AAg A = A por lo que AAg ABg =
ABg y Bg AAg A = Bg A. Ahora bien
ABg = (ABg )0 = (AAg ABg )0 = (ABg )0(AAg )0 = ABg AAg =
AAg .
Bg A = (Bg A)0 = (Bg AAg A)0 = (Ag A)0(Bg A)0 = Ag ABg A =
Ag A.
Por lo tanto Bg = Bg ABg = Ag ABg = Ag AAg = Ag y ello
prueba la unicidad. El resultado siguiente nos proporciona una forma algo
más fácil para calcular la g-inversa, sobre todo en algunas
situaciones concretas.
Teorema.- Sea Am×n. Entonces
1. Si m ≥ n y rg(A) = n, Ag = (A0 A)−1 A0 y Ag A = In.
2. Si m ≤ n y rg(A) = m, Ag = A0 (AA0 )−1 y AAg = Im .
3. Si rg(A) = r ≤ Min{m, n}, Ag = Cg Bg , donde Bg y Cg
son las g-inversas de las matrices, de rango r, Bm×r
y Cr×n tales que A = BC.
Demostración
1. Como rg(A) = n entonces A0 A tiene rango n y existe su inversa. Basta comprobar que Ag verifica las
condiciones de g-inversa:
AAg A = A(A0A)−1A0A = A.
Ag AAg = (A0A)−1A0A(A0A)−1A0 = (A0A)−1A0 =
Ag .
AAg = A(A0A)−1A0, que es simétrica.
Ag A = (A0A)−1A0A = In.
2. Se demuestra de forma similar al apartado anterior.
3. Por los apartados anteriores se tiene Bg = (B0 B)−1 B0
y Cg = C0 (CC0 )−1 y a partir de ahı́ se verifica Ag =
C0(CC0)−1(B0B)−1B0. Dicha matriz es la g-inversa de
A sin más que tener en cuenta la demostración del
teorema anterior.
El siguiente resultado facilita el cálculo de la g-inversa en
el caso de matrices simétricas.
Teorema.- Sea An×n una matriz simétrica de rango r ≤ n.
Sea Dr una matriz diagonal de orden r cuyos elementos no nulos son los autovalores de A distintos de cero y sea Pr una matriz de orden n × r cuyas columnas
son los autovectores unitarios y ortogonales dos a dos de
A correspondientes a sus autovalores no nulos. Entonces
0
Ag = Pr D−1
r Pr .
Demostración
Por ser A real ysimétrica,
existe una matriz P ortogonal
Dr 0
tal que A = P
P0. Escribamos P = (Pr |Pn−r ),
0 0
de donde A = Pr Dr P0r . Ahora bien
0
0
0
1. AAg A = Pr Dr P0r Pr D−1
r Pr Pr Dr Pr = Pr Dr Pr = A.
0
0
−1 0
−1 0
2. Ag AAg = Pr D−1
r Pr Pr Dr Pr Pr Dr Pr = Pr Dr Pr = Ag .
0
3. AAg = Pr Dr P0r Pr D−1
r Pr = In .
0
0
4. Ag A = Pr D−1
r Pr Pr Dr Pr = In .
Ejemplos de cálculo de g-inversas
2 1 0
5
1
Sea C =
, de rango 2. CC0 =
,
0 1 1
1 2
2
−1
(CC0 )−1 = 91
, de donde se verifica que
−1 5


1  4 −2 
0 −1
0
1
4
.
Cg = C (CC ) =
9
−1 5

2 2
Sea A =  0 1
2 1
A = BC, con B y

1
1  que puede expresarse como
0
C lasmatrices anteriores.
Ası́ se

1  2 −8 10 
5 7 −2 .
verifica Ag = Cg Bg =
27
4 11 −7


0
0 . Los autovalores son λ1 =
0
4. Los autovectores
a
√
√ asociados
0
nulos son v2 =
 (1/√2, −1/ √2, 0)

1/ √2 1/√2
√
√
y v3 = (1/ 2, 1/ 2, 0)0 . Pr =  −1/ 2 1/ 2 ,
0
0


3
−1
0
2 0
0 = 1  −1
3 0 .
Dr =
. Ası́ Eg = Pr D−1
P
r
r
0 4
8
0
0 0
3
Sea E =  1
0
0, λ2 = 2, λ3
los autovalores
1
3
0
=
no
Método basado en el teorema de Cayley-Hamilton
La inversa viene dada por Ag = TA0 , donde la matriz T
se calcula como sigue (ver Searle, 1971):
Consideremos la matriz A0 A que, evidentemente, es cuadrada. Por el Teorema de Cayley-Hamilton debe existir un
entero t y unos escalares λ1 , . . . , λt (no todos nulos) tales
que
λ1 (A0 A) + λ2 (A0 A)2 + . . . + λt(A0 A)t = 0 .
Si λr es el primer escalar de la expresión anterior que es
no nulo, entonces la matriz T viene dada por
1 0
0
t−r−1
T=−
λr+1 In + λr+2 (A A) + . . . + λt(A A)
.
λr
Veamos un ejemplo. Sea la matriz




1
0
2
3 2
4
 0 −1 1 
0
de donde X X =  2 5 −1 
X=
−1 0 −2 
4 −1 9
1
2
0
El polinomio caracterı́stico asociado a dicha matriz es
p(λ) = −λ3 + 17λ2 − 66λ, por lo que, aplicando el Teorema de Cayley-Hamilton se verificará 66(X0 X)−17(X0 X)2 +
(X0 X)3 = 0 y con ello la matriz T será


1  14 −2 −4 
1
0
−2 12 1
−17I3 + X X =
T=−
66
66
−4 1
8
y con ello


−2
−6 10
1  6
0 −11
0
22 
Xg = TX =
66
12
7
−12 −2
0
Propiedades de las g-inversas
Teorema.- Sea Am×n y Ag su g-inversa. Entonces
1. Si k 6= 0 entonces (kA)g = 1k Ag .
2. (Ag )g = A.
3. A = 0 ⇔ Ag = 0.
4. (A0 )g = A0g .
5. Si m = n, Ag = A−1 siempre y cuando A sea no
singular.
6. rg(A) = rg(Ag ) = rg(AAg ) = rg(Ag A).
7. Si A es simétrica e idempotente, entonces Ag = A.
8. (A0 A)g = Ag A0g ; (AA0 )g = A0g Ag ; (AAg )g = AAg ;
Ag = (A0A)g A0 = A0(AA0)g .
9. Si A es simétrica, entonces (A2 )g = (Ag )2 .
10. Para cualquier Br×s y si Bg es su g-inversa, entonces
(A ⊗ B)g = Ag ⊗ Bg .
11. Ag A, AAg , In − Ag A e Im − AAg son simétricas e
idempotentes.
12. (Im − AAg )A = 0; (Im − AAg )AAg = AAg (Im − AAg ) =
0; Ag (Im − AAg ) = 0; (In − Ag A)Ag A = Ag A(In −
Ag A) = 0.
B 0
Bg 0
, con
, entonces Ag =
0 C
0 Cg
Bg y Cg las g-inversas de B y C respectivamente.
13. Si A =
14. Si A =
B
C
, con BC0 = 0, entonces Ag = (Bg |Cg ).
15. Si A = DE donde D y E son diagonales con g-inversas
Dg y Eg , entonces Ag = Eg Dg .
16. Si Pm×m y Qn×n son ortogonales, entonces (PAQ)g =
Q0Ag P0.
17. Ag B = 0 ⇔ A0 B = 0.
18. AB = 0 ⇔ Bg Ag = 0.
Aplicación a la resolución de sistemas de ecuaciones
Teorema.- Sea Am×n y Ax = b un sistema de ecuaciones.
1. Ax = b es compatible si y sólo sı́ AAc b = b, para
alguna c-inversa de A.
2. Si Ax = b es compatible, entonces x0 = Ac b + (In −
AcA)z es una solución del sistema, ∀z ∈ Rn. Recı́procamente, si x0 es una solución del sistema, entonces
existe un vector z ∈ Rn tal que x0 puede escribirse de
la forma anterior.
3. Si Ax = b es compatible, entonces la solución es
única si y sólo sı́ Ag A = In.
Demostración
1. Si AAc b = b, el sistema es compatible con x0 = Ac b.
Recı́procamente, si x0 es una solución, Ax0 = b de
donde AAc Ax0 = AAc b y con ello Ax0 = b = AAc b.
2. Como el sistema es compatible, entonces AAc b = b.
Ahora bien, ∀z ∈ Rn se tiene
A [Acb + (In − AcA)z] = AAcb + A(In − AcA)z
= AAc b + (A − AAc A)z = AAc b = b .
Recı́procamente, si x0 es una solución entonces Ax0 =
b, de donde AcAx0 = Acb y con ello
x0 = Acb + x0 − AcAx0 = Acb + (In − AcA) x0
y basta tomar z = x0 .
3. Si la solución es única, m ≥ n y rg(A) = n. Por lo
tanto Ag = (A0 A)−1 A0 y Ag A = In. Recı́procamente,
como el sistema es compatible se tiene, razonando
igual que en los dos primeros apartados, x0 = Ag b +
(In − Ag A)z, ∀z ∈ Rn y como Ag es única y Ag A = In,
entonces la solución es única y es x = Ag b.
Ejemplo.- Sea el sistema de ecuaciones Ax = y en forma
desarrollada





5
3 1 −4
x1
6
5 2 3   x2 
 8
 8 
 21 13 5 2   x  =  22  .
3
x4
3
2 1 7
2
Por el método de Rao podemos encontrar que una inversa
generalizada para A es


5 −3 0 0
 −8 5 0 0 
Ac = 
0
0 0 0 
0
0 0 0
con lo que la solución general del sistema es, para z =
(z1 , z2 , z3 , z4 )0 arbitrario,

6
 −8
=
0
0
x = Acy + (I4 − AcA)z =

 
 
1
0
−1
−29




47  

 0 1 2
 
 + I4 −  0 0 0
0




0 0 0
0


6 + z3 + 29z4
 −8 − 2z3 − 47z4 
=
 .
z3
z4

z1
z2 
z3 
z4