La decisión de invertir en un contexto de riesgo.

TEMA 5.- LA DECISIÓN DE INVERTIR
EN UN CONTEXTO DE
RIESGO
5.1.- Introducción.
Situaciones según el nivel de información:
Certeza.
Incertidumbre parcial o riesgo:
(Inversiones con riesgo)
Incertidumbre total:
(Inversiones con incertidumbre)
5.2.- Algunos criterios de decisión
contexto de incertidumbre total.
en
Estrategias
(alternativas)
Matriz de decisión:
S1
S2
M
Si
M
Sn
Escenarios (estados de la naturaleza)
E1
E2
Ej
Em
…
…
R11 R12
R1j
R1m
…
…
R21 R22
R2j
R2m
…
…
M
M
M
M
Ri1
Ri2
Rij
Rim
…
…
M
M
M
M
Rn1 Rn2
Rnj
Rnm
…
…
Criterios de decisión:
a) Criterio de WALD:


Mejor  Peor R ij 
i
 j

i = 1,2, L , n
j = 1,2, L , m
b) Criterio optimista:


Mejor  Mejor R ij 
i
 j

i = 1,2, L , n
j = 1,2, L , m
c) Criterio de Hurwicz:
Mejor {α R i + (1 − α ) ri }
i
i = 1,2, L, n
j = 1,2, L, m
α : Grado de propensión al riesgo o grado de optimismo.
(1 - α) : Grado de aversión al riesgo o pesimismo.
ri : Peor resultado de la estrategia i.
R i : Mejor resultado de la estrategia i.
d) Criterio de Laplace:
Sucesos equiprobables: misma probabilidad de
ocurrencia, 1/m.

1 m 
Mejor E Si R ij = ∑ R ij 
m j=1 
i

i = 1,2,L, n
( )
j = 1,2,L, m
E Si R ij : Resultado medio esperado a obtener con
( )
la estrategia Si .
e) Criterio de Savage:
Coste de oportunidad:


Cij =  Mejor R ij  − R ij = R *j − R ij
i =1, 2,L, n 
j = 1,2, L , m
Criterio:


Mejor Peor Cij 
i
 j

i = 1,2, L, n
j = 1,2, L, m
5.3.- La introducción del riesgo en la
valoración de inversiones.
Métodos de introducción del riesgo:
• Método de la tasa de descuento ajustada al
riesgo.
• Método de los equivalentes de certeza.
• Criterio de esperanza-varianza del valor
actual neto (comportamiento probabilístico
del VAN).
5.3.1.- Método de la tasa de descuento
ajustada al riesgo. (BLANCO, F. y
FERRANDO, M. (1996), pp. 181-182).
• Desarrollo del método:
Tasa de descuento ajustada al riesgo:
a=k+p
Expresión del VAN ajustado al riesgo:
VAN ajustado
~
~
~
E (FNC1 ) E(FNC 2 )
E (FNC n )
= −D +
+
+L+
2
(1 + a )
(1 + a )
(1 + a ) n
• Criterio de aceptación de proyectos:
VAN ajustado > 0
TIRajustada: r > a
• Interpretación:
(
)
~
↑ σ 2 FNC ⇒↑ p ⇒↓ VAN ajustado
• Ventajas:
Sencillez de cálculo.
• Críticas: Subjetividad para fijar la prima de
riesgo, p.
5.3.2.- Método de los equivalentes de
certeza. (BLANCO, F. y FERRANDO, M.
(1996), pp. 182-184).
• Desarrollo del método:
Coeficiente de certeza:
zj : Riesgo inherente al período j; 0 ≤ zj ≤ 1.
(
~
FNC j = z jE FNC j
)
Expresión del VAN equivalente de certeza:
VAN EQ
~
~
~
z1E (FNC1 ) z 2 E (FNC 2 )
z n E (FNC n )
= −D +
+
+L+
2
(1 + k )
(1 + k )
(1 + k ) n
• Criterio de aceptación de proyectos:
VANEQ > 0
TIREQ: rEQ > k
• Interpretación:
↑(↓) zj ⇒ ↑(↓)VANEQ
• Ventajas: Sencillez de cálculo.
• Críticas: Subjetividad para fijar los
coeficientes de certeza, zj.
5.4.- Comportamiento probabilístico
Valor Actual Neto.
del
5.4.1.- Criterio de la esperanza-varianza del
VAN
• FNC variables aleatorias.
• Con función distribución discreta:
o Esperanza matemática (media):
(
)
q
~
E FNC j = ∑ FNCij Pji
i =1
o Varianza:
) [
(
(
~
~
2 ~
σ FNCj = E FNCj − E FNCj
)] = ∑[
2
q
)]
(
~ i
~ 2 i
FNCj − E FNCj Pj
i=1
donde
(
~
E FNC j
)
esperanza matemática del
período j; j = 1, 2, …, n.
FNC
del
~ i
FNC j Flujo Neto de Caja del período j = 1, 2, …, n
con probabilidad de ocurrencia i = 1, 2, …, q.
Pji Probabilidad de ocurrencia del FNCji, j = 1,..., n;
i = 1, ..., q.
• VAN variable aleatoria:
~
~
~
~
FNC1
FNC 2
FNC n
VAN = − D +
~
~ +
~ 2 +L+
(1 + k ) n
(1 + k ) (1 + k )
Esperanza matemática del VAN:
~
~
~

~
FNC1 FNC 2
FNC n 
E VAN = E − D +
~ +
~ 2 +L+
~ n=
(1 + k ) (1 + k )
(1 + k ) 

~ 
~
~
 FN
 FN
 FN
C1
C2 
Cn




E
L
E
= E(− D ) + E
+
+
+
~ 
~ 2
~ n


 (1 + k ) 
 (1 + k ) 
 (1 + k )
(
)




Esperanza matemática del VAN con k sin
riesgo:
~
~
~

~
FNC1 FNC 2
FNC n 
E VAN = E − D +
+
+L+
=
2
n
(1 + k ) (1 + k )
(1 + k ) 

~
~
~ 
 FN
 FN
 FN
C2 
Cn
C1
 + L + E
 + E
= E(− D ) + E
 (1 + k ) n

 (1 + k ) 2 



 (1 + k ) 
~
~
~
E FNC1 E FNC 2
E FNC n
= −D +
+
+L+
2
(1 + k )
(1 + k )
(1 + k ) n
(
)
(
) (
)
(
)
Indica la rentabilidad media esperada de la
inversión. No se elige sólo según este valor. Hay que
tener en cuenta el riesgo (varianza).

=


Varianza del VAN con k sin riesgo:
(
)
n
n
~
σ 2 VAN = ∑∑
~
~
(
Cov FNC , FNC )
=
j
i
n
n
∑∑
~
~
(
Cov FNC , FNC )
=
j
j
i
(1 + k ) j+ i
j=1 i =1 (1 + k ) (1 + k )
j=1 i =1
~
~
~
n σ 2 FN
n n Cov FN
Cj
C j , FNCi
+ ∑∑
.
=∑
2j
j+ i
(1 + k )
j=1 (1 + k )
j=1 i =1
(
)
(
)
i≠ j
Según la relación lineal que exista entre los
FNCj, la varianza se puede calcular de una
manera u otra. Esta relación la mide el
coeficiente de correlación:
(
)
)
~
~
Cov FNC j , FNCi
ρ=
; con - 1 ≤ ρ ≤ 1.
~
~
σ FNC j σ FNCi
(
)(
Según el tipo de relación de dependencia entre los
~
FNC , este coeficiente tomará unos valores que
determinarán el valor de la Covarianza entre los
aquellos que origina los casos siguientes:
i
~
F
N
C variables aleatorias independientes:
•
~
~
Cov FNC j , FNCi = 0 ⇒ ρ = 0.
(
(
)
n
~
σ VAN = ∑
2
j=1
=
)
(
~
σ 2 FNC j
(
(1 + k )2 j
~
σ 2 FNC1
(1 + k )2
)=
) + σ (FN~C ) + L + σ (FN~C ).
~
F
N
C
•
variables
correlacionadas:
2
(1 + k )4
2
2
aleatorias
n
2n
(1 + k )
perfectamente
(
) ( )( )
~
~
~
~
σ (FNC ) σ (FNC )
σ (FNC )
σ (VAN ) =
+
+L+
+
(1 + k )
(1 + k )
(1 + k )
~
~
σ(FNC )σ(FNC )
+
=
~
~
~
~
Cov FNC j , FNCi = σ FNC j σ FNCi ⇒ ρ = 1.
2
2
1
2
n
n
∑∑
j=1 i =1
j≠1
(
) (
2
2
2
n
2n
4
j
(1 + k )j+ i
)
i
(
~
~
~
 σ FN
σ FNC n
C1 σ FNC 2
=
+
+L+
2
(1 + k )
(1 + k )n
 (1 + k )
)



2
~
F
N
C
•
variables aleatorias
correlacionadas ⇒ ρ=-1.
(
)
(
inversamente
)(
)
~
~
~
~
Cov FNC j , FNCi = −σ FNC j σ FNCi ⇒ ρ = −1.
(
)
(
)
(
)
2 ~
2 ~
2 ~
~
σ
F
N
C
σ
F
N
C
σ
FNC n
1
2
σ 2 VAN =
+
+
L
+
+
2
4
2n
(1 + k )
(1 + k )
(1 + k )
~
~
n n σ FN
C j σ FNCi
−
j+ i
(
)
1
+
k
j=1 i =1
(
)
∑∑
(
)(
)
j≠1
~
• FNC
variables aleatorias parcialmente
correlacionadas ⇒ -1 < ρ < 1.
Situación habitual. Se utiliza la expresión
general de la varianza.
~
F
N
C puede descomponerse en dos partes,
Si
~ IND
F
N
C ,
y
otra
una
independiente,
~ PC
perfectamente correlacionada, FNC , con
~
~ IND
~ PC
FNC = FNC
+ FNC
entonces la varianza queda:
(
)
(
)
(
2 ~ IND
2 ~ IND
2 ~ IND

~
F
N
C
F
N
C
FNC n
σ
σ
σ
1
2
L
+
+
+
σ 2 VAN = 
2
(1 + k )4
(1 + k )2n
 (1 + k )
~ PC
~ PC
~ PC  2
 σ FN
C1
σ FNC n
σ FNC 2
L
+
+
+
+
2
n 
(
)
1
k
+
(1 + k )
(1 + k ) 

(
)
(
) (
)
(
)
• Interpretación de la varianza: Medida del
riesgo.
• Criterios de selección en ambiente de riesgo:
ƒ Inversiones con mismo rendimiento esperado:
Se elige la de menor riesgo (varianza).
ƒ Inversiones con mismo riesgo (varianza):
Se elige la de mayor rendimiento esperado,
~
E(VAN) mayor.
ƒ Inversiones con menor riesgo (varianza) y
mayor rendimiento esperado son preferidas al
resto, pero son casos extraños, pues suele
estar asociado un mayor rendimiento
esperado a un mayor riesgo.
ƒ En el resto de casos depende de la aversión al
riesgo que tenga el agente decisor.
) +

ƒ Coeficiente de variación: Medida del riesgo
del proyecto de inversión:
(
(
~
σ VAN
ν=
~
E VAN
)
)
Cuanto menor es este coeficiente, menor es la
dispersión que se produce en torno a la media
del rendimiento esperado.
Ventajas del criterio del comportamiento
probabilístico del VAN
Se introduce el riesgo de forma más objetiva
que en los otros dos criterios. Permite adaptarse
a distribuciones probabilísticas de cada
fenómeno.
Críticas del criterio
probabilístico del VAN
del
comportamiento
ƒ Sólo es válido para fenómenos sometidos a
la ley de los grandes números, lo que es
raro en fenómenos económicos.
ƒ Se supone indiferencia al riesgo por parte
del agente decisor, suponiendo que no
existe riesgo de ruina.
ƒ No garantiza que el (los) proyecto(s)
seleccionado(s) proporcionen el VAN igual
al esperado.
Ejemplo:
Proyecto de duración igual a 2 años, con
desembolso
cierto
de
1.000
u.m.,
comportándose los FNC así:
500 u.m. con p = 0'2
~

FNC1 = 1000 u.m. con p = 0'3
1600 u.m. con p = 0'5

800 u.m. con p = 0'1
~

FNC2 = 1000 u.m. con p = 0'5
2300 u.m. con p = 0'4

Determine la rentabilidad esperada del proyecto
de inversión para un coste de capital k=10%, y
estime la varianza de la misma suponiendo dos
casos: que los FNC son variables aleatorias
independientes y que son vv. aa. perfectamente
correlacionadas.
Solución:
Como el desembolso es cierto su esperanza
coincide con su importe y la varianza es cero.
~
E(FNC1 ) = 500(0'2) + 1000(0'3) + 1600(0'5) = 1200
~
σ 2 (FNC1 ) = (500 − 1200)2 × 0'2 + (1000 − 1200)2 × 0'3 +
[
[
][
]
]
+ (1600 − 1200)2 × 0'5 = 190.000
~
E(FNC2 ) = 800 × 0'1 + 1000 × 0'5 + 2300 × 0'4 = 1500
~
σ 2 (FNC2 ) = (800 − 1500)2 × 0'1 + (1000 − 1500)2 × 0'5 +
[
[
][
]
]
+ (2300 − 1500)2 × 0'4 = 430.000
Por tanto
(
)
~
1200
1500
E VAN = −1000 +
+
= 1330'5785 u.m.
2
(1 + 0'1) (1 + 0'1)
La varianza para el caso de FNC variables
aleatorias independientes es:
(
)
~
σ 2 VAN =
(
~
σ FNC1
2
(1 + k ) 2
)+ (
~
σ FNC 2
2
(1 + k ) 4
) = 190000 + 430000 =
(1 + 0'1) 2
(1 + 0'1) 4
= 450720'5792 u.m.2
(
)
~
σ VAN = 671'357 u.m.
La varianza para el caso de FNC variables
aleatorias perfectamente correlacionadas es:
(
) (
~
~

~
σ
σ
F
N
C
F
N
C2
1
σ 2 VAN = 
+
(1 + k ) 2
 (1 + k )
(
)
)
2
= [938'19]2 = 880200'4761 u.m.2
(
)
2

 453'88
655'74 
+
=
 =
2

 (1 + 0'1) (1 + 0'1) 
~
σ VAN = 938'19 u.m.
5.4.2.- Distribución de probabilidad del VAN
ƒ Teorema Central del Límite:
“La suma de variables aleatorias independientes
se distribuye como una normal cuando el
número de sumandos tiende a infinito. Esto es
así con independencia de la distribución de
dichas variables aleatorias.”
[(
) (
~
~
~
VAN ∼ N E VAN , σ 2 VAN
)]
Se puede usar esto para conocer, tras una
tipificación, cuál es la probabilidad de que el
VAN de un proyecto sea positivo, por ejemplo.
Así, tipificando el VAN aleatorio se tiene una
variable que se distribuirá como una normal de
media 0 y varianza 1.
~
~
~ε = VAN − E (VAN ) ∼ N[0, 1]
~
σ(VAN )
Ejemplo: Un proyecto de inversión tiene:
~
E (VAN ) = 1330 u.m.;
~
σ 2 (VAN ) = 528099 u.m.2 ;
~
σ(VAN ) = 726'7 u.m.;
Se cumple el teorema central del límite.
Entonces:
~
VAN ∼ N[1330,528099]
La probabilidad de que el proyecto sea rentable
es:
~
~
 VA
N − E (VAN) 0 − 1330 
≥
P[VAN > 0] = P 
=
~
726'7 
σ(VAN)

= P[~ε ≥ −1'83] = P[~ε ≤ 1'83] = 0'9664 = 96'64%.