Transformada de Laplace - Universidad de Buenos Aires

Transformada de Laplace
Ing. Juan Sacerdoti
Facultad de Ingenierı́a
Departamento de Matemática
Universidad de Buenos Aires
2005
V 1.001
1
Agradecemos al Sr. Alejandro Quadrini por la transcripción de este documento.
Índice
1. Introducción
1.1. ¿Qué es una transformada? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. La aplicación de la Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
2. Transformada de Fourier. Sus limitaciones
2
3. Función de Heaviside
3
4. Definición de T.L.
4.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Notación de la T.L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Relación entre T.L. y T.F. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
5
5. Condiciones de existencia
5.1. Teoremas de CV para funciones acotadas . . . . .
5.2. Convergencia absoluta. Abscisa de CV . . . . . . .
5.3. Convergencia simple. Abscisa de CV . . . . . . . .
5.4. Convergencia para funciones de orden exponencial
5.4.1. Funciones de orden exponencial (FOE) . . .
5.4.2. Definición de función CPOE . . . . . . . . .
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5
5
6
11
14
14
18
6. Propiedades básicas de la T.L.
6.1. Linealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Transformada de la derivada de f 1 . Derivación en t . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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18
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7. Aplicación de la T.L. a la resolución de sistemas y ecuaciones diferenciales lineales
19
8. Transformadas elementales
8.1. Constante-Heaviside . . . . . . . . .
8.2. Función potencial . . . . . . . . . . .
8.3. Exponencial . . . . . . . . . . . . . .
8.4. Cos, Sen . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5. Cosh, Senh . . . . . . . . . . . . . .
8.6. Tabla de transformadas elementales
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24
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9. Propiedades de la T.L. Segunda parte
9.1. Integración en t . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2. Derivación en s . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3. Integración en s . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4. Desplazamiento en t . . . . . . . . . . . . .
9.5. Desplazamiento en s . . . . . . . . . . . . .
9.6. Cambio de t Ñ |k |t. Cambio de escala . . .
9.7. Convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.8. Transformada de funciones periódicas . . .
9.9. Propiedades de la Transformada de Laplace.
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Tabla
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25
26
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29
29
29
30
32
34
10.Propiedades de la T.L. Tercera parte
10.1. Primer teorema del orden de la T.L. . . .
10.2. Segundo teorema del orden de la T.L. . .
10.3. Teorema del valor inicial . . . . . . . . . .
10.4. Teorema del valor final . . . . . . . . . . .
10.5. Propiedades del producto de convolución .
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35
36
36
37
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I
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11.Fórmula de reciprocidad de la T.L
11.1. Teorema de reciprocidad de la T.L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2. Inversión. Cuando las singularidades de F psq son puntos singulares aislados
11.3. Fórmula de inversión cuando F psq tiene puntos de ramificación . . . . . . .
11.4. Teorema de Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5. Ejercicios de antitransformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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38
41
45
46
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12.Transformada de Laplace de Funciones Especiales
12.1. Función at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2. Función logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3. Funciones de Bessel J0 ptq . . . . . . . . . . . . . . .
12.4. Funciones de Bessel Jn ptq . . . . . . . . . . . . . . .
12.5. Relaciones entre sen y Jn . . . . . . . . . . . . . . .
12.6. Funciones de Bessel hiperbólicas . . . . . . . . . . .
12.7. Funciones cos y sen integral . . . . . . . . . . . . . .
12.8. Polinomios de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . .
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53
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60
ecuaciones diferenciales
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
60
61
62
65
13.Resolución de ecuaciones diferenciales y sistemas
13.1. ED lineales de coeficientes constantes . . . . . . . .
13.2. Sistemas de ED lineales con coeficientes constantes
13.3. Ecuaciones Integro-Diferenciales . . . . . . . . . .
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de
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14.Aplicaciones
14.1. Resolución del modelo EDL con coeficientes constantes . . .
14.1.1. Ecuación general en s . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2. Repuesta para entrada nula (movimiento libre) . . . . . . .
14.2.1. Condiciones de estabilidad en caso de entrada nula .
14.2.2. Sistemas de entrada nula no amortiguados . . . . . .
14.2.3. Tabla para caso de entrada nula (movimiento libre)
14.3. Respuesta para entrada forzada. iptq A (constante) . . . .
14.4. Respuesta para el caso general de entrada forzada . . . . .
14.4.1. Respuesta a s1 , s2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.4.2. Respuesta a los polos de I psq . . . . . . . . . . . . .
II
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67
67
67
70
72
72
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74
74
75
1.
Introducción
1.1.
¿Qué es una transformada?
Dados dos espacios E y E 1 con sendas leyes de composición interna T y T 1 , de manera que conformen dos estructuras pE T q y pE 1 T 1 q, se llama transformada a una aplicación biyectiva f : E ÝÑ E 1
que establezca un isomorfismo entre las estructuras pE T q y pE 1 T 1 q
Es decir:
b
b
a
T
c
f
T1
b
b
b
b
a1
b
c1
b1
E1
E
Figura 1: Isomorfismo f entre las estructuras E T y E 1 T 1 .
p
q p
q
T 1 : E 1 E 1 ÝÑ E 1
pa1 , b1 q ÞÝÑ c1
T : E E ÝÑ E
pa, bq ÞÝÑ c
ÝÑ E 1 f P biyectiva
a Ñ a1
b Ñ b1
a T b Ñ a1 T 1 b1
f: E
Por medio de la transformada se establece, entonces, un comportamiento isomorfo entre las
estructuras pE T q y pE 1 T 1 q; que permite obtener, usando la transformada f como puente, el resultado de la composición interna T conociendo el de T 1 , o viceversa.
Por ejemplo, el resultado de T en E es puede obtener:
f : a ÝÑ a1
b ÞÝÑ b1
1o
Transformando
2o
Componiendo
T 1 : pa1 , b1 q ÝÑ c1
3o
Antitransformando
f 1 : c1
a1 T 1 b 1
ÝÑ c a T b
Por supuesto que el uso de la transformada, ques se basa en la analogı́a de las estructuras
isomorfas, se puede justificar solamente si el camino indirecto de: transformación, composición y
antitransformación es más sencillo que el camino directo de la composición T .
Un ejemplo simple de la idea de transformada es el cálculo logarı́tmico para el producto de dos
número reales positivos.
1
a
b
b
Ä
ab
b
L aÀ
L
b
b
b
b
La
Lb
Lb
E1
R
T R
E
T1
R
R
p q y pR q.
Figura 2: Isomorfismo, mediante L, entre las estructuras R
ÝÑ R1
a Ñ L a
b Ñ L b
a b Ñ L a
L P biyectiva
L: R
1.2.
Lb
La aplicación de la Transformada de Laplace
La transformada de Laplace (T.L.) es una aplicación entre espacios de funciones.
Su aplicación principal es que reduce las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, en ecuaciones algebraicas lineales.
y
b
pq
b
EDL y
TL
Y
b
EAL Y
p q
E1
E
Ecuaciones diferenciales
lineales con coeficientes
constantes
b
TL
Ecuaciones
lineales
algebraicas
Figura 3: Transformada de Laplace entre el conjunto de EDL y el de EAL.
Con lo cual se obtiene un método poderoso, por rápido y eficaz, para resolver ecuaciones
diferenciales lineales de coeficientes constantes.
Además, con la T.L. se resuelven con facilidad ecuaciones diferenciales de coeficientes no constantes en derivadas parciales y ecuaciones integrales.
Por todo esto, la T.L. es de gran aplicación en los modelos de la técnica.
2.
Transformada de Fourier. Sus limitaciones
La transformada de Laplace tiene su origen en las limitaciones de la transformada de Fourier
(T.F.), de la cual es un caso particular.
Ambas transformaciones tienen en esencia las mismas propiedades, pero la T.F. tiene un conjunto muy limitado de funciones sobre las cuales puede ser aplicada directamente, pues sus condiciones
de existencia son muy restrictivas.
El teorema de la Integral de Fourier, que genera la T.F, es:
2
Teorema 2.1 (Integral de Fourier).
H1 q f
H2 q
H3 q
,
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
.
P CP{R

ˆ 8
ˆ 8

ptq 1
iωt

q
f
e
f pτ q eiωτ dτ dω
T
1

1

f P CP{t

2π 8
8




f 1 P CP{t

$
ˆ 8
'
ùñ
'
'
ˆ
f pτ q eiωτ dτ
/

& F pω q /

/

8
/

|f | dt P CV/

T2 q
ˆ 8
/

/

'
1
/

V8
'
/

'
ˆ
/
F pω q eiωt dω

% f ptq /
/
2π 8
/
|f | dt P CV/
V 8
Donde se pueden observar las expresiones de la transformada de Fourier y su antitransformada.
La hipótesis H3 es la que trae las restricciones es la aplicación de la T.F, pues la exigencia de
la convergencia absoluta de f en un V 8 y en un V8 es muy restrictiva, tanto que funciones
fundamentales para el análisis como:
t, senptq, et
no las satisfacen.
Esto lleva la definición de la T.L.
3.
Función de Heaviside
La función de Heaviside, necesaria para la T.L, se define como:
H : R t0u ÝÑ R
t ÞÝÑ
#
1
0
t¡0
t 0
y es llamada también función escalón o salto unitario.
f pt q
q
p0
t
Figura 4: Función de Heaviside.
Observación 1: La función de Heaviside no se ha definido en t 0, pues ello no tiene importancia.
Se puede, sin embargo, definir como algunos autores H : 0 ÞÝÑ 12 . También es de uso común la
función escalón desplazada Hpt aq.
3
f pt q
q
p
a
t
Figura 5: Función de Heaviside desplazada.
4.
Definición de T.L.
4.1.
Definición
La transformada de Laplace es:
TL :
ÝÑ E 1
ˆ
f ptq ÞÝÑ F psq E
8
8
ˆ 8
8
Hptq f ptq ext eiyt dt
Hptq f ptq es t dt
:
sx
iy
La transformada de Laplace es entonces una aplicación del espacio E de funciones reales, sobre
el espacio E 1 de funciones complejas; donde f ptq se llama función original y F psq se llama función
transformada. A es t se la denomina núcleo de la transformación.
Observación 1: La T.L. también se extiende como aplicación de espacios complejos sobre espacios
complejos.
Observación 2: En la mayorı́a de los libros se define:
ˆ 8
f ptq es t dt
F psq 0
Efectivamente, si se toma la definición original se llega a este resultado:
ˆ 8
ˆ 8
st
F psq Hptq f ptq e
dt f ptq es t dt
8
0
Sin embargo, en el caso de funciones con desplazamiento, de tomarse la 2o expresión
se obtienen resultados incorrectos.
´
CORRECTO
Hpt aq f pt aq ÞÝÑ
ˆ
8
8
Hpt aq f pt aq es t dt ùùù
8
ˆ
f pt aq es t dt
a
INCORRECTO (para a 0)
Hpt aq f pt aq ÞÝÑ
ˆ
8
0
¡
ˆ
ˆ
Hpt aq f pt aq es t dt ùùù
ù
a 0
ùùùù
a 0
4
a
0
8
8
f pt aq es t dt
f pt aq es t dt
0
8 f ptq es t dt,
4.2.
Notación de la T.L.
Los sı́mbolos que se emplean para representar a la T.L. son:
f ptq  F psq
donde siempre la función se representa en t con minúscula y en s con la misma letra mayúscula.
Otra notación usual es también:
L tf ptqu F psq
que es menos práctica que la anterior.
4.3.
Relación entre T.L. y T.F.
La T.L. de una función f ptq
ˆ 8
f ptq  F psq Hptq f ptq ext eiyt dt
8
:
sx
iy
no es más que la T.F. de otra función g ptq Hptq f ptq ext
ˆ 8
TF
g ptq Hptq f ptq ext  Gpy q g ptq eiyt dt
8
es decir:
f ptq  F psq Gpy q
€ Hptq f ptq ext
TF
Se puede observar claramente que la T.L. es una T.F. en la cual el problema de CV planteado
por la H3 del teorema 2.1:
ˆ
|g| dx P CV
H3 q
V8
ˆ
|g| dx P CV
V 8
se enfrenta en V8 y en V
8 de la siguiente manera:
1o En V8 se multiplica f ptq por Hptq, que en este vecinal es nula y por lo tanto asegura la
convergencia absoluta de g ptq.
ˆ
ˆ
ˆ
|g| dx P CV
Hptq f ptq ext eiyt dt 0 dx 0 ùñ
V8
V8
V8
2o En V 8 se multiplica f ptq por ext , que no asegura la convergencia absoluta, pero que la
ayuda notablemente.
La existencia de la T.L. se reduce entonces al estudio de la CV en un V
5.
Condiciones de existencia
5.1.
Teoremas de CV para funciones acotadas
Hay varios teoremas que estudian la existencia de la T.L:
Teorema 5.1.
H1 q f P CP
H2 q x P V
H3 q x ¡ 0
8
,
/
.
|f ptq| M / ùñ
-
#
T1 q F
P CV
T2 q F P CA
5
8.
Demostración.
ˆ 8
ˆ
st
f ptq e
dt ¤
l
0
jh
n
8
l0
f t est dt
jh
n
| p q|
1
¤M
ˆ
8
0
¡ M
ext dt ùùñ
x 0
y
2
1
¤ Mx ùñ F P CV
2
¤ Mx ùñ F P CA
P CV
F P CA
Teorema 5.2.
,
H1 q f
$
P CP
/
'
.
& T1 q
H2 q x P V 8 |f ptq| M ùñ T2 q
/
'
%
H3 q x ¥ x0 ¡ 0
T3 q
n
l0
jh
1
donde la cota
¡ x0 ¡ 0 también se asegura la
P CV
F P CA
F P CU
F
Demostración. Análogamente al T1 anterior
ˆ 8
ˆ 8
ˆ
st st
¤
e dt ¤ M
f
p
t
q
e
dt
|
f
p
t
q|
jh
x
0
Con una variante de la H3 del teorema anterior, haciendo x
CU.
0
p
F
El análisis de los valores de s para los cuales se
asegura como condición suficiente la CV y CA de
la T.L es, entonces, x ¡ 0.
l
x
n
8
0
¡ M
ext dt ùñ
x 0
x
2
M
x0
es independiente del x y por lo tanto asegura la CU.
1
¤ Mx ùñ F P CV
2
¤ Mx ùñ F P CA
1
¤M
ùñ F P CU
x
y
s
P CV
F P CA
F P CU
F
0
0
x0
x
Es decir, si analizamos el campo de los valores de
s donde se aseguran las tesis, es el representado
en la figura.
5.2.
Convergencia absoluta. Abscisa de CV
Un tercer teorema, relativo a la CA de la T.L. es:
Teorema 5.3. La CA en un valor s0
s : s x iy : x ¡ x0 .
$
'
& T1
P CA{s0 ùñ T qq
2
'
H2 q x ¥ x0
%
T q
H1 q F
+
3
x0
iy0 es condición suficiente de CV, CA y CU para:
P CV{s
F P CA{s
F P CU{s
F
6
Demostración.
ˆ 8
ˆ
st dt ¤
f
p
t
q
e
l
0
jh
n
l
8
0
|f ptq| ext
jh
1
dt ¤
n
ˆ
l
8
|f ptq| ex t
0
0
jh
2
¡ M
dt ùñ
x 0
x
n
3
y
3
1
2
P CV por H1
¤ 3 ùñ F P CU{s ÝÑ F P CV{s
¤ 3 ùñ F P CA{s
s
s0
0
x0
b
P CV
F P CA
F P CU
F
x
El campo de los valores de s donde se aseguran
las tesis, se representa en la figura.
Analizando el TCR del teorema 5.3 se tiene un resultado importante para el estudio del campo
de CA de la T.L.
Corolario 5.3.1 (TCR).
T2 q
+
R CA{s0 ùñ H q
1
H2 q x ¥ x0
F
F
R CA{s0
Cambiando la notación:
s ÝÑ s1
x ÝÑ x1
s0 ÝÑ s
x0
ÝÑ x
resulta la siguiente expresión del TCR:
Corolario 5.3.2 (TCR (forma alternativa)). La no convergencia absoluta en un valor s1
es condición suficiente de no convergencia absoluta para: s : s x iy : x ¤ x1 .
T2 q
+
R CA{s1 ùñ H q
1
H2 q x1 ¥ x
F
F
x1
i y1
R CA{s
y
F
s
b
R CA
0
s1
x1
x
Figura 6: Región de no convergencia absoluta, según el corolario 5.3.2.
Combinando los resultados del T3 y del TCR{T3 , tenemos que existe un semiplano a la derecha
de x0 (x ¥ x0 ) donde existe la CA, y un semiplano a la izquierda de x1 (x ¤ x1 ) donde no existe
la CA.
7
y
F
s
b
R CA
s1
s0
x1
x0
b
F
P CA
x
Figura 7: Regiones de CA, no CA y franja intermedia.
Pero eligiendo un punto xint intermedio entre x1 y x0 , es decir:
xint
P px1 , x0 q
por el principio del tercero excluido, se cumple que:
1o . F
P CA{xint
2o . F
R CA{xint
o
con lo cual, en el 1o caso, por T3 :
+
P CA{xint ùñ F P CA{s
x ¥ xint
F
se extiende la CA
s
: x ¥ xint
s
F
R CA
F
x1
P CA
xint
F
P CA
x0
x
Figura 8: Region de CA para x
¥ xint .
Si se cumpliera el 2o caso, por TCR T3
F R CA{xint
x ¤ xint
+
ùñ F P CA{s
se extiende la no CA
s
: x ¤ xint
entonces, de una forma u otra, se reduce la franja intermedia donde está indefinida la CA.
8
s
F
R CA
R CA
F
F
x1
xint
P CA
x0
x
Figura 9: Region de no CA para x
¤ xint .
Reproduciendo este procedimiento n veces y llamando:
Con subı́ndice par los sucesivos xint : F
Con subı́ndice impar los sucesivos xint :
P CA{xint .
F R CA{xint .
CA
CA
b
x1
b
x3
b
b
x5
b
b
x7 x4
x2
t un¥0
Figura 10: Sucesión xn
: x1
b
x0
x
¤ xn ¤ x0
se pueden formar dos sucesiones tal que:
¤
¤
¤
¤
¥
x5
¥
..
.
¤
α1
¤
Ó
x2
x4
..
.
1
x2n
x0
¤
¥
x3
¤
¤
¥
x1
x2n
Ó
α0
1o La primera sucesión tx0 , x2 , . . . , x2n , . . . u es monótona no creciente y acotada inferiormente por
x1 entonces, por el teorema de Weierstrass al efecto, tiene lı́mite para n Ñ 8, que coincide
con su extremo inferior α0 .
2o La segunda sucesión tx1 , x3 , . . . , x2n 1 , . . . u es monótona no decreciente y acotada superiormente por x0 entonces, por el mismo teorema, tiene lı́mite para n Ñ 8, que coincide con su
extremo superior α1 .
Además α1
¤ α0
3o Por otra parte, por el procedimiento de elección del xint , se puede asegurar que:
ǫ¡0
D n0 : n ¥ n0 ùñ |x2n x2n 1 | ǫ
de donde resulta que:
α1
α0 α
9
que se llama abscisa de convergencia absoluta de la T.L. y que tiene la propiedad que:
x¡α
x α
P CA{x
F R CA{x
F
s
R CA
F
F
P CA
bα
x
Figura 11: Abscisa de CA, x
α.
Sobre la misma abscisa de CA (s α) no pueden hacerse aseveraciones generales en cuanto a
la CA.
Hay T.L. que convergen en x α y otras que no.
Resumiendo, el campo de CA de la T.L. es un semiplano a la derecha de α.
Observación 1: Nótese la analogı́a con los cı́rculos de CA de la serie de Taylor, y lo que sucede en
la frontera de los mismos.
Observación 2: Pueden presentarse lo siguientes casos particulares de α:
1o α 8, entonces F
2o
P CA para todo el plano |s.
α 8, entonces F R CA sobre ningún punto de |s y la función original no es transformable por T.L.
El siguiente teorema muestra la forma de encontrar la abscisa de CV.
Teorema 5.4.
L |f ptq|
t
ÝÝÝÝ
Ñ λ ùñ λ α
tÑ 8
Demostración. Por hipótesis
D t0 : t ¡ t0 ùñ L |ftptq| λ ǫ
ǫ¡0
Resulta entonces:
pλ ǫqt epλǫqt L |f ptq| pλ
epλ
|f ptq| ǫ qt
q
ǫ t
Aplicando estas desigualdades sobre la integral que da la CA de la T.L:
ˆ
0
8
|f ptq| ext
dt ¤
ˆ
l
0
8
epλ
x¡λ ǫ
q ext dt ùùùùù
ǫ t
jh
n
1
donde x ¡ λ
ǫ es la condición de CV de la integral 1 .
10
λ
x pλ
ǫq
´
0
8 |f ptq| ext dt, resulta:
Además resulta:
ˆ 8
ˆ
|f ptq| ext dt ¥
0
8
l0
¤ λǫ
epλǫqt ext dt ùùùùùù
x
jh
n
8
s
2
donde x ¤ λ
integral 2 .
F
ǫ es la condición de no CV de la
R CA
λǫ
Por lo tanto:
ǫ ¡ 0
x¡λ
b
bλ
F
P CA
λ
ǫ
b
ǫ ùñ F psq P CA{x
x λ ǫ ùñ F psq R CA{x
resultando entonces por definición λ α, abscisa
de CA.
5.3.
Convergencia simple. Abscisa de CV
Un cuarto teorema de convergencia, parecido al 5.3, pero que se refiere a la convergencia simple
de la T.L. es:
Teorema 5.5. La convergencia simple en un valor s0
para: s : s x iy : x ¡ x0 .
H1 q
+
P CV{s0 ùñ Tq
H2 q x ¡ x0
F
F
x0
P CV{s
iy0 es condición suficiente de CV
y
s
s0
Observación: Nótese que la diferencia con el teorema 5.3 consiste en que en H1 se postula F P
CV{s0 y no F P CA{s0 , y que en H2 se postula
x ¡ x0 y no x ¥ x0 .
Demostración.
ˆ
F psq 8
0
f ptq est dt ˆ
0
8
f ptq es0 t epss0 qt dt
Llamando:
ϕ1 ptq f ptq es0 t
Resulta:
ϕptq ˆ
0
t
f pτ q es0 τ dτ
ϕptq ÝÝÝÝÑ F ps0 q
Ñ 8
t
que es convergente por H1 , es decir, es finito.
11
0
x0
b
F
P CV
x
x
Reemplazando ϕ1 ptq en la expresión anterior:
F psq 8
ˆ
0
ϕ1 ptq epss0 qt dt
Integrando por partes resulta:
F psq ϕptq epss0 qt
ps s0 q
ˆ
8
0
ϕptq epss0 qt dt
La parte integrada vale cero, pues:


ÝÝÝÑ F ps0 q : |F ps0 q| M
ϕptq Ý
tÑ 8

| epss0 qt | epxx0 qt
por H1
ÝtÝÝÝ
Ñ 8Ñ 0
Entonces:
ϕptq epss0 qt
0
ÝtÝÝÝ
Ñ 8Ñ
Además:
ϕp0q ˆ
0
0
f pτ q es0 τ dτ
0
Queda entonces:
F psq ps s0 q
8
ˆ
0
|F psq| ¤ |s s0 |
ϕptq epss0 qt dt
8
ˆ
|ϕptq| epxx qt
0
0
dt ¤ |s s0 | M
1
x x0
De donde resulta la tesis.
Si analizamos el TCR de T4 se tiene:
Corolario 5.5.1 (TCR).
+
Tq F R CV{s
H2 q x ¡ x0
ùñ H1 q
F
R CV{s0
Cambiando la notación:
s ÝÑ s1
x ÝÑ x1
s0 ÝÑ s
x0
ÝÑ x
resulta la siguiente expresión del TCR del teorema 5.5:
Corolario 5.5.2 (TCR (forma alternativa)). La no convergencia simple en un valor s1
es condición suficiente de no convergencia simple s : s x iy : x x1 .
Tq F R CV{s1
H2 q x1 ¡ x
+
ùñ H1 q
F
R CV{s
12
x1
iy1
y
F
s
b
R CV
s1
x1
0
x
Figura 12: Región de no convergencia simple, según el corolario 5.5.2.
Combinando los resultados del teorema 5.5 y del corolario 5.5.2 en forma análoga a lo realizado
para la CA, tenemos que existe un semiplano a la derecha de x0 (x ¡ x0 ) donde existe CV; y un
semiplano a la izquierda de x1 (x x1 ) donde no existe CV.
Queda una franja intermedia x1
¤ x ¤ x0 donde está indefinida la CV.
y
F
R CV
s
b
s1
s0
x1
x0
b
F
P CV
x
Figura 13: Regiones de CV, no CV y franja intermedia.
A partir de aquı́, se puede repetir todo el razonamiento realizado en el párrafo anterior para
definir la abscisa α de CA, estableciéndose entonces la existencia de una abscisa β de convergencia
simple.
s
F
R CV
F
b
P CV
β
Figura 14: Abscisa de CV, x
x
β.
Además, sobre la misma abscisa de CV (x β) tampoco pueden hacerse aseveraciones generales en cuanto a la CV; hay T.L. que convergen en la abscisa y otras que no.
Resumiendo, el campo de CV de la T.L. es un semiplano a la derecha de β.
Como la CA implica la CV, resulta:
Teorema 5.6.
α P ABS CA
β
+
P ABS CV ùñ β ¤ α
13
s
F
P CV
F
P CA
α
β
x
Figura 15: Regiones de CV (x
5.4.
¡ β) y CA (x ¡ α).
Convergencia para funciones de orden exponencial
5.4.1.
Funciones de orden exponencial (FOE)
8 cuando:
Se dice que una función es de orden exponencial en un V
f
P O. EXP. |f ptq| ¤ M ex
0
t ¡ t0 pV 8 q ,
t
M
cte.
Las funciones que pueden acotarse por una exponencial en el V 8 tienen asegurada la CV,
CA y CU de la T.L, que además es holomorfa; proposiciones que se demuestran en el siguiente
importantı́simo teorema.
Teorema 5.7 (CV de funciones de orden exponencial. “Teoremón”).
H1 q
f
P CP
H2 q
|f | ¤ M e
H3 q
x0
x0 t
x1 ¤ x
,
/
/
/
/
.
/
/
/
/
-
q
q
q
$
T1
'
'
'
'
'
'
' T2
'
'
'
'
'
'
T3
'
'
'
'
'
'
'
'
& T4
ùñ '
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
T5
'
'
'
'
'
'
'
'
% T6
P CV{x ¡ x0
F P CA{x ¡ x0
F P CU{x ¥ x1
ˆ 8
ˆ
q BBx
f ptq es t dt 0
0
B ˆ 8 f ptq es t dt ˆ
By
q
F
0
F
8
B
s t
Bx f ptq e dt
8 B
s t
By f ptq e dt
0
P H{x ¥ x1
ˆ
B
q Bs
0
8
f ptq es t dt 8
ˆ
0
B
s t
Bs f ptq e
dt
Demostración.
|F psq| ˆ
l0
8
f ptq es t dt ¤
jh
ˆ
l0
n
1
8
|f ptq| ext dt ¤ M
jh
n
ˆ
0
8
epxx0 qt dt ¤
M
x x0
2
1
¤ x Mx
ùñ
T1 q F
P CV px ¡ x0 q
¤ x Mx
ùñ
T2 q F
P CA px ¡ x0 q
¤x M
1 x0
ùñ
T3 q F
P CU px ¥ x1 q
0
2
0
2
14
¤x M
1 x0
Observación: Resulta entonces que si |f | M ex0 t
ùñ β ¤ α ¤ x0 x1
s
F
F
F
α
β
x0
x1
P CV
P CA
P CU
x
Figura 16: Regiones y abscisas de convergencia para FOE.
Para estudiar las tesis T4 y T5 se descompone F psq es partes real e imaginaria:
F psq upx y q iv px y q
ˆ 8
ˆ
p
x iy qt
F psq f ptq e
dt 0
8
0

´
upx y q 0
v px y q ´
0
f ptq ext pcos yt
i sen ytq dt
8 f ptq ext cos yt dt
8 f ptq ext sen yt dt
La derivabilidad bajo el signo integral se implica con el siguiente teorema:g
H1 q ϕpt, αq P CP{t, α
Bϕ P CP{t, α
Bˆα
H3 q
ϕpt, αq dt P CV
H2 q
V
H4 q
ˆ
V
8
B ϕpt, αq dt P
B
8 α
,
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
.
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
CU/
-
ˆ
ùñ BBα
a
En nuestro caso se aplicará este teorema sobre
ˆ 8
f ptq ext cos yt dt
upx y q 0
tomando x de parámetro.
15
8
ϕpt, αq dt ˆ
a
8
B
Bα ϕpt, αq dt
Se deben verificar las cuatro hipótesis
H1 q f ptq ext


g pt, x, y q f P CP{t
cos yt P CP{t, x, y ðù ext P C{t, x


cos yt P C{t, y
H2 q
Bg
xt
Bx f ptq ptq e
H3 q
ˆ
H4 q
ˆ
8
0
8
0
(por hipótesis)

f P CP{t




t P C{t
cos yt P CP{t, x, y ðù

ext P C{t, x



cos yt P C{t, y
f ptq ext cos yt dt
P CV ðù F psq P CV
f ptq ptq ext cos yt dt
(por tesis 1)
P CU ðù
Este resultado se demuestra porque:
ˆ
f t
V 8
p q ptq ext cos yt dt ¤
ˆ
¤M
8
ˆ
¤M
ˆ
V
V
0
|f ptq| |t| ext
8
8
dt ¤
t epxx0 qt dt ¤
t epxx0 qt dt ¤
¤ px Mx q2 ¤ px Mx q2
0
1
0
Entonces, x : x ¥ x1 , se ha acotado la integral por
por lo tanto hay CU respecto de ambas variables.
M
px1 x0 q2 , que no depende ni de x ni de y;
Observación: La convergencia uniforme de upx y q y de v px y q también puede demostrarse por un
segundo método, basado en que t es de orden exponencial, y aplicando la misma tesis T3 de este
teorema:
t δ ¡ 0 : etδt ÝÝÝÝ
Ñ
0 ùñ δt ǫ
tÑ 8
e
ùñ t ǫ eδt
Resulta entonces:
|f ptq| |t| ¤ M ex t ǫ eδt M1 epx
0
0
q
δ t
Eligiendo δ:
x0
δ
x1
El mismo teorema que se está demostrando en su T3 asegura que:
f ptq t
P CP,
/
.
|f ptq t| ¤ M1 epx0 δqt/ ùñ
x0
δ
-
x1 ¤ x
ˆ
0
8
f ptq ptq ext eiyt dt
cuya parte real es la proposición H4 buscada.
16
P CU
Se ha demostrado entonces que:
Bu B ˆ 8 ˆ 8 B ˆ
Bx Bx 0
Bx 0
0
8
f ptq ptq ext cos yt dt
Análogamente se demuestra que:
Bu B ˆ
By By 0
Bv B ˆ
Bx Bx 0
Bv B ˆ
By By 0
8
8
8
8
ˆ
ˆ
ˆ
0
0
0
B ˆ
By 0
8 B ˆ
Bx 0
8 B ˆ
By 0
8
8
8
f ptq ptq ext sen yt dt
f ptq p tq ext sen yt dt
f ptq ptq ext cos yt dt
con lo cual queda demostrada la cuarta tesis (T4 ).
Si se analizan las cuatro integrales anteriores se observa que:
1o Cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann
2o Son funciones continuas respecto de x y de y por ser integrando continuo.
Lo cual lleva a que la T.L es holomorfa (T5 )
Bu Bv P C{x, y,
/
/
.
Bx By
ùñ
/
BBuy BBxv P C{x, y/
Además como
F 1 psq BF
Bs
Bˆ
Bs 0
BBFx
8
F
u
iv
P H{x ¥ x1
es inmediata la T6 :
f ptq es t dt ˆ
0
8
B ˆ
Bs 0
8
f ptq ptq es t dt
Observación: Nótese que se ha demostrado la propiedad:
F 1 psq € ptq f ptq
sobre la cual se volverá más adelante.
Resulta entonces que para funciones f ptq acotadas y de orden exponencial
s
: sx
iy
x ¥ x1
se cumplen simultáneamente:
P CV
P CA
F P CU
F PH
F
F
siendo válida además la derivabilidad bajo el signo integral, respecto de x, y y s.
17
s
F
F
F
F
α
β
x0
x1
P CV
P CA
P CU
PH
x
Figura 17: Regiones de CV, CA, CU y holomorfı́a para FOE.
5.4.2.
Definición de función CPOE
Por ser las hipótesis del teorema 5.7 de una aplicación posterior amplia y frecuente, es conveniente definir la siguiente proposición:


H1 q f P CP
f P CPOE{x0 x1 ¤ x H2 q |f | ¤ M ex0 t


H3 q x0 x1 ¤ x
que representa a las funciones continuas por partes y de orden exponencial sobre el intervalo
señalado.
6.
Propiedades básicas de la T.L.
La transformada de Laplace tiene dos propiedades que son las que permiten resolver sistemas
y ecuaciones diferenciales lineales con gran facilidad. Son la linealidad y la transformada de la
función derivada.
6.1.
Linealidad
Teorema 6.1. La T.L de una combinación lineal es la combinación lineal de las T.L.
f1 ptq  F1 psq
f2 ptq  F2 psq
+
ùñ
λ1 f1 ptq
λ2 f2 ptq

λ1 F1 psq
λ2 F2 psq
Demostración. La demostración de este teorema es inmediata:
ˆ 8
ˆ 8
λ1 f1 λ2 f2 
pλ1 f1 λ2 f2 q es t dt λ1
f1 es t dt
0
0
λ1 F1
λ2
ˆ
8
f2 es t dt
0
λ2 F2
Observación: De este teorema se extrae inmediatamente que la T.L. es un vector. Mejor aún, si E 1
es el conjunto de las T.L, es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los complejos (o de los reales)
con las leyes de composición suma de funciones y producto por un complejo.
,
tF u
/
/
/
/
/
/
pC, C , C q P Cuerpo complejo /
/
/
/
/
.
1
1
1
T : E E ÝÑ E
ùñ pE 1 , C,
/
pF1 , F2 q ÞÝÑ F1 psq F2 psq/
/
/
/
/
/
1
1
/
/
s : C E ÝÑ E
/
/
pλ, F q ÞÝÑ λ F psq
E1
18
C , C , T, s
q P EEV (Estructura de Espacio Vectorial)
6.2.
Transformada de la derivada de f 1 . Derivación en t
Dentro de las hipótesis del teorema de CV para funciones CPOE (teorema 5.7) es válido:
Teorema 6.2.
Hq
+
P CPOE
ùñ
H1 q f ptq  F psq
f
f 1 pt q

s F psq f p0
q
Demostración.
f 1 ptq

ˆ
8
0
f 1 ptq es t dt f ptq es t 0
0 f p0 q
8
s
ˆ
0
8
f ptq es t dt
s F psq
pues:
f ptq es t
ÝÝÝÝ
Ñ 0 ðù |f ptq| M ex t
tÑ 8
f ptq es t ÝÝÝÝÑ f p0 q
tÑ0
0
: x ¡ x0
A su vez, si hallamos la transformada de f 2 ptq como transformada de la derivada de f 1 ptq,
aplicando el teorema 6.2:
+
(
Hq f P CPOE
f 2 ptq  s Gpsq g p0 q
ùñ
1
H1 q f ptq  Gpsq
f 2 ptq  s2 F psq s f p0 q f 1 p0 q
y esto se puede extender por inducción completa a f pnq ptq, por lo cual:
Corolario 6.2.1.
Hq
+
P CPOE
ùñ
H1 q f ptq  F psq
f
f pnq ptq
 sn F psq sn1 f p0 q sn2 f 1 p0 q . . .
s f pn2qp0 q f pn1qp0 q
Obsérvese que si las condiciones iniciales son nulas:
f p0
q f 1 p0 q f 2p0 q f pn1qp0 q 0
Entonces:
f ptq
f 1 ptq
f 2 ptq
..
.
f pnq ptq
 F ps q
 s F psq
 s2 F psq

..
.
s n F ps q
es decir, derivar n veces en el campo original t significa multiplicar por s, n veces (sn ) en el campo
transformado s.
7.
Aplicación de la T.L. a la resolución de sistemas y ecuaciones diferenciales lineales
Los modelos usuales en la ingenierı́a y en la ciencia en general son lineales.
Ello es porque existen dos razones que se influyen mutuamente
19
1o Los modelos fı́sicos se construyen con funciones o sistemas de funciones cualesquiera,
cuya primera aproximación es la lineal.
2o La matemática más desarrollada es la lineal.
La T.L. es una herramienta especialmente útil en la resolución y análisis de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes (pero no exclusivamente) que aparecen en una gran
cantidad de problemas de ingenierı́a.
En el cuadro siguiente se han recopilado modelos regidos por la E.D.D.T.1 lineal con coeficientes
constantes, que conforman un conjunto de sistemas análogos entre sı́.
Se observa que se han cubierto las ramas más variadas de la ingenierı́a, desde la electricidad,
magnetismo, mecánica, acústica hasta la quı́mica, entre otros.
1 E.D.D.T:
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Totales.
20
Nombre
Modelo
Sistema
General
Esquema
eptq
Ecuación
a s2
s pt q
SISTEMA
b s1
c s eptq
VAR
s
e
s
e
a
COEF
b
c
salida
entrada
a
b
c
i/q
L
Electricidad
Circuito
Serie
L i1
R
b
i
C
u
1
C
Ri
L q2
R q1
t
ˆ
0
i dt uptq
1
q
C
b
inductancia
L
R
u
C
Electricidad
Circuito
Paralelo
C u1
i1
R
i2
b
L
i
1
u
R
1
L
ˆ
0
t
u dt iptq
1{C
resistencia
1/capacidad
tensión
corriente
i
b
i3
L
u
Magnetismo
coeficiente de s2
coeficiente de s1
coeficiente de s
corriente/carga
tensión
u
uptq
Descripción
1{R
1{C
inductancia
1/resistencia
1/capacidad
φ ÝÑ
b
b
c x1
Mecánica
Vibraciones
Longitudinal
m x1
x
c x1
k x f pt q
desplazamiento
fuerza excitante
x
f
f
k
masa
cte. amortiguamiento
cte. elástica
desplazamiento angular
par excitante
µ
momento de inercia
cte. amortiguamiento
cte. elástica torsional
desplazamiento
fuerza excitante
m
Mecánica
Vibraciones
Torsión
c
m x2
kx
I ϕ2
ϕ
c ϕ1
b
µϕ
c ϕ1
µ ϕ Mptq
ϕ
M
M
I
I ϕ2
c
I x2
Mecánica
Vibraciones
Torsión
c x1
µ x f pt q
x
f
b
l
I
f
x
c
µ
Acústica
Resonador
Helmholtz
P1
P3
C1
a
MV2
MV2
Ra V 1
1
V
Ca
P ptq
V
momento de inercia
cte. amortiguamiento
cte. elástica torsional
volumen de desplazamiento
presión exterior
P
P
V
V
P2
M
Ra V 1
Ra
1{Ca
coef. de inercia acústica
resistencia acústica
1/capacidad acústica
Cuadro 1: Modelos de la fı́sica regidos por E.D.D.T. lineales con coeficientes constantes.
21
Todos los sistemas fı́sicos lineales analógicos pueden ser representados en su análisis (estudio e
interpretación del sistema) y en su sı́ntesis (diseño y proyecto del sistema) por el modelo general
siguiente.
MODELO EDDT LINEAL CON COEFICIENTES CONSTANTES EN t (SISTEMA ORIGISistema
NAL)
iptq
optq
a o2 ptq
€
MODELO EDDT LINEAL CON COEFICIENTES CONSTANTES EN s (SISTEMA TRANSFORMADO)
Opsq
a s2 Opsq
Opsq I ps q
bs
a s2
llamando Z psq a s
Opsq
c optq iptq
que se transforma por Laplace del campo original
t al campo transformado s.
En particular, se toma op0 q o1 p0 q 0 para
simplificar las expresiones.
Z psq
i ps q
b o1 ptq
2
b s Opsq
c Opsq I psq
c
bs
ZI ppssqq
c
Ley de Ohm generalizada
Se puede observar entonces que la ecuación diferencial lineal en t se transformó en una ecuación
algebraica lineal en s, caracterı́stica fundamental de la T.L.
Es ası́ como el sistema transformado sobre s tiene por ley que lo rige a:
Opsq
ZI ppssqq
que no es otra que la ley de Ohm generalizada para circuitos eléctricos con corrientes cualesquiera
(no solamente continua o senoidal) o para sistemas vibratorios o acústicos, etc. y donde siempre
se pueda definir a:
Z psq a s2
bs
c
que no es otra cosa que la impedancia generalizada.
Con este planteo, entonces, la resolución de las ecuaciones diferenciales se reduce a la de ecuaciones algebraicas.
Los modelos fı́sicos más complejos, apoyados sobre sistemas de ED lineales, también son fácilmente operables por medio de la T.L.
Son ejemplo de estos modelos:
Circuitos eléctricos acoplados
C1
C2
R1
b
L1
u1
b
i1
R2
L2
M
b
u2
i2
b


1


L 1 i 1



L2 i12
22
1
C1
ˆ
t
R1 i
1
C2
ˆ
t
R2 i
8
8
i1 dt
M i2
u1 ptq
i2 dt
M i1
u2 ptq
Vibraciones acopladas
c2
c1
m1
k1
m2
a
k2
pq
b
pq
b
f1 t
f2 t
x1

m1 x21
c1 x11
k1 px1 x2 q f1 ptq
c2 x12
k2 px2 x1 q f2 ptq



M V2

 1 1
ra1 V11

x2
m2 x22
Resonador acoplado
1
Ca2
1
Ca1
V2
V1
P
V2
V1
que pueden ser expresados por un modelo general.
8.

2


M2 V2
ra2 V21
1
V1 a V2
Ca1
1
V2 a V1
Ca2
0
P ptq
Transformadas elementales
Las transformadas de Laplace de las funciones elementales son las siguientes:
8.1.
Constante-Heaviside
1
8
ˆ

1
s
β
8
es t ¡0 1
1 es t dt ùxùù
ù
s
0
y
s
0
x
0
s
0
Observación: Como
1 Hptq Hptq
t¡0
entonces es inmediato que
Hptq
8.2.

1
s
Función potencial
tw
ˆ
8
0
8.3.
y
 Γpsww 11q
s tτ
t es t dt ùùùù
w
ˆ
0
8 τw
sw
dτ
eτ
s
Γ pw
sw
Exponencial
0
8
e es t dt ωt
β
0
x
0
1
y
 s 1 ω
eωt
ˆ
1q
s
ˆ
0
8
x¡ω
epsωqt dt ùùùù
23
s
β
1
sω
0
ω
x
8.4.
Cos, Sen
cos ωt
sen ωt
cos ωt sen ωt 

ω
ω2
2
eiωt eiωt
2i
s
ω2
s2
eiωt
eiωt
y
s
s2


b
1
1
2 siω
1
1
2i s i ω
1
s
β
0
0
iω
ω2
1
s2 w ω 2
s iω
s
s2
b
i
x
i
Se pueden verificar estos datos por aplicación del teorema de transformación de la derivada:
cos ωt 8.5.
1
psen ωtq1
ω
1
ω
s 2
ω
s
ω2
s2
senh ωt


eωt
eωt
senp0 q s2
s
ω2
Cosh, Senh
cosh ωt
cosh ωt senh ωt 8.6.

2
y
s
ω
2
s ω2
eωt eωt
2


s
ω2
1
1
2 sω
1
1
2 sω
1
s
ω
s2 ω 2
s
s 1 ω s2 w ω2
Tabla de transformadas elementales
f ptq
1
1 Hptq
2
tw
3
eωt
4
cos ωt
5
sen ωt
6
cosh ωt
7
senh ωt
F ps q
1
s
Γpw
sw
1q
1
1
sω
s
s2
ω2
ω
s2
ω2
s
s2 ω 2
ω
s2
24
ω2
β
0
ω
x
9.
Propiedades de la T.L. Segunda parte
Para operar con la T.L. con rapidez y eficacia, conviene tener en cuenta, además de lo visto en
6, nuevas propiedades que se demostrarán a continuación.
Todas se resumen en el cuadro que cierra el presente capı́tulo.
9.1.
Integración en t
Teorema 9.1.
Hq f P CPOE
H1 q f ptq  F psq
+
Demostración. Llamando
ˆ t
ϕptq f pτ q dpτ q
0
ùñ
´t
0
t
ˆ
f pτ q dτ
0
f pτ q dτ
 F spsq
ϕptq, ésta se transforma en φpsq.
 φpsq
Si |f ptq| M ex0 t , es decir es de orden exponencial, ϕptq lo es también.
ˆ t
ˆ t
M x0 t
|ϕptq| ¤ |f pτ q| dτ ¤ M ex0τ dτ M
p
ex0 t 1q ¤
e
x0
x
0
0
Por lo tanto, aplicando el teorema 6.2:
ϕ1 ptq f ptq

s φpsq ϕp0
q F psq
Como
ϕp0
q
ˆ
0
0
f pτ q dτ
0
Resulta
F psq
s
Observación: Recordando el teorema 6.2, derivar en el campo t era multiplicar por s a F psq en el
campo s (si las condiciones iniciales son nulas).
Integrar en el campo t es ahora dividir por s a F psq en el campo s.
φpsq Ejemplo:
sen ωt  2
s
ˆ t
sen ωτ dτ
0
ω
ω2
ωt
1 cos
ω

1
ω
s s2 ω 2
Se puede plantear también la transformación de
ˆ t
ˆ 0
ˆ t
f pτ q dτ f pτ q dτ
f pτ q dpτ q
a
a
´t
a
f pτ q dτ , que se reduce ası́:
0
La primera integral es una constante y por lo tanto su T.L es:
ˆ 0
ˆ 0
1
f pτ q dτ 
f pτ q dτ
s
a
a
Se obtiene entonces el siguiente corolario:
Corolario 9.1.1.
Hq
+
P CPOE ùñ ˆ t f pτ q dτ 
H1 q f ptq  F psq
a
f
´0
a
25
f pτ q dτ
s
F psq
s
9.2.
Derivación en s
Este teorema ya ha sido demostrado en el teorema 5.7 del párrafo 5.4 (ver observación al final
de la demostración.)
Teorema 9.2.
Hq f P CPOE
H1 q f ptq  F psq
+
ùñ ptq f ptq 
F 1 psq
Demostración. La demostración vista consistı́a en derivar F psq, que es holomorfa para x
bajo el signo integral:
ˆ 8
ˆ 8
B
B
1
st
s t
F psq Bs 0 f ptq e dt 0 Bs f ptq e dt
ˆ 8
f ptq ptq es t dt
¡ x0 ,
0
Con lo cual resulta:
F 1 ps q
ptq f ptq 
ptq a f ptq en el campo t.
El resultado anterior se puede extender n veces, pues al ser F psq holomorfa, existe F pnq psq.
ˆ 8
Bn ˆ 8 f ptq es t dt
f ptq ptqn es t dt
F pnq psq n
Bs 0
0
Observación: Derivar en el campo s es multiplicar por
De donde:
ptqn f ptq 
F pnq psq
Generalizando entonces el enunciado del teorema 9.2, queda:
Corolario 9.2.1.
Hq
+
P CPOE ùñ ptqn f ptq 
H1 q f ptq  F psq
f
F pnq psq
Ejemplo:
1

t
 D
t2

..
.
tn
ó
tn
1

1
s
1
1
s
s2
D s12 s23
..
.
p
n 1q!
D sn snn! 1
ópor inducción completa
 D snn! 1 pnsn 12 q!
Se verifica ası́ el resultado obtenido en la tabla de T.L. elementales.
Ejemplo:
ω
sen ωt  2
s
ω2
ω
t sen ωt  D 2
ps2 2s ωω2 q2
s
ω2
26
9.3.
Integración en s
Teorema 9.3.
,
P CPOE
/
/
/
.
f ptq  F psq
ùñ f pttq 
ˆ
/
f ptq
/
dt P CV/
Hq
f
H1 q
H2 q
-
t
V0
ˆ
8
s
F psq ds
Demostración. Si se plantea la integral compleja
ˆ 8
pγ q F psq ds
s
donde
F psq P H{x ¥ x1
γ P Camino contenido en ts
complejo)
PC
: x
¥ x1 u, desde el origen s hasta el extremo final 8 (infinito
y
s
γ
b
0
8
s
x0 x1
x
Figura 18: Camino de integración para el teorema 9.3.
La integral es entonces una función compleja φpsq:
ˆ 8
φpsq F psq ds
s
ˆ s
F psq ds
8
Por el teorema fundamental del cálculo integral en el plano complejo:
φ1 psq F psq
Queda entonces:
φpsq
 ϕptq
φ1 ptq F psq
Por lo tanto:
φpsq ˆ
s
8
 ptq ϕptq f ptq
f ptq
ϕptq t
F psq ds ˆ
8 f pt q
0
t
Asegurando la convergencia con
ˆ
ˆ
f pt q s t
f pt q
e
dt dt
t
t
V0
V0
entonces
ˆ 8
s
F psq ds
es t dt
P CV
(por hipótesis)
€ f pttq
27
Observación: Integrar en el campo s es dividir por t a f ptq en el campo t.
Una segunda forma de demostrar este mismo teorema es:
ˆ A
ˆ Aˆ 8
F psq ds f ptq es t dt ds
s
s
0
Asegurada la CU de F psq por f
ˆ
ˆ
8
0
f ptq
8
A
ˆ
f ptq
0
P CPOE se puede permutar el signo
es t ds dt
A
Ñ8
s
0
8 ´ 8´A
0
s
s
eAt es t
dt
t
Pasando al lı́mite cuando A Ñ 8
ˆ 8
ˆ A
ˆ
F psq ds lı́m
F psq ds lı́m
s
´A´
A
s
Ñ8
8
0
f ptq
eAt es t
dt
t
se puede permutar el lı́mite con la integral por la CU de la función integrando asegurada por
|ˆf ptq| M ex t
f ptq
dt P CV
H1
0
H2
V0
luego:
ˆ
8
s
t
F psq ds ˆ
ˆ
8
eAt es t
dt
AÑ8
t
8 f ptq
f ptq
es t dt €
t
t
0
0
lı́m f ptq
Ejemplo:

ω
s2 ω 2
ˆ 8
1
sen ωt
ω
s

ds Arctg
2
2
t
s
ω
ω
ω
s
1 π
 ω 2 Arctg ωs
Además se verifican las condiciones
sen ωt
8
s
1o q x ¡ 0
2o q
sen ωt
t
ÝtÝÝÝ
Ñ ω ùñ
Ñ0
ˆ
V0
P CV
sen ωt
dt
t
Ejemplo:
eαt eβt

eαt eβt
t

s 1β
1
s
ˆ
α
8 1
s
L
s
s
s
1
α s β
8
α β s
L
ds
s
s
α
β
Se verifica
x ¡ máxtα, β u
eαt eβt
t
ÝtÝÝÝ
Ñ α
Ñ0
β
ùñ
ˆ
V0
eαt eβt
dt
t
28
P CV
9.4.
Desplazamiento en t
Teorema 9.4.
f ptq
 F psq ùñ
H pt aq f pt aq
eas F psq

Demostración. En este teorema es donde hay que tener especial cuidado con la definición de la
T.L.
Hay que tomar
ˆ 8
F psq Hptq f ptq es t dt
8
como ya se ha explicado en la definición de la T.L. (párrafo 4)
ˆ 8
Hpt aq f pt aq 
Hpt aq f pt aq es t dt
8
ˆ 8
ta
ùùùùù
Hpτ q f pτ q es τ eas dτ
8
τ
eas F psq
Ejemplo:

Hpt bq senh ω pt bq 
senh ωt
9.5.
ω
s2 ω 2
ebp
s2
ω
ω2
Desplazamiento en s
Teorema 9.5.
f ptq
 F psq ùñ
eat f ptq
 F ps a q
Demostración. Aplicando la definición:
ˆ 8
eat f ptq 
f ptq epsaqt dt F ps aq
0
Ejemplo:

1
1
s
 s 1 ω
eωt
Ejemplo:
cos ωt
ebt cos ωt
9.6.

s
ω2
 ps sbq2 b
s2
ω2
Cambio de t Ñ |k |t. Cambio de escala
Teorema 9.6.
f ptq
 F psq ùñ
f p|k | tq

1
|k| F
Demostración. Aplicando la definición
ˆ 8
ˆ
|k|tτ
f p|k | tq 
f p|k | tq es t dt ùùùùù
0
s
|k|
8 f pτ q s τ
e |k| dτ
|k|
0
|k1| F |ks |
29
Observación: En este cambio de escala se toma la constante positiva |k | pues en caso de tomarse
negativa, los lı́mites de la integral, después del cambio de variable, no serı́an los de una T.L.
Ejemplo:
sen t

sen ωt

9.7.
1
s2
1
ω
1
1
s 2
ω
1
s2 ω ω 2
Convolución
Mediante el siguiente teorema se desea obtener la antitransformada del producto de dos transformadas de Laplace. Es decir, la antitransformada de F psq Gpsq.
Teorema 9.7 (Teorema de Convolución (Borel)).
+
ˆ t
f ptq  F psq
f pτ q g pt τ q dτ
ùñ
f ptq g ptq g ptq  Gpsq
0
Demostración.
ˆ
ˆ
8
F psq Gpsq f pxq epx dx
0
ˆ 8ˆ 8
0
0
f pxq g py q espx
 F psq Gpsq
0 8 g py q epy dy
y
pt ¥ 0q
q dx dy
Se plantea un cambio de variable en esta integral doble:
#
#
t
xτ
x
y
xτ
y
y
tτ
t
τ
x0
τ
y
0
x
τ
x0
y
|J | t
0
τ t
τ
0
det 0
1
0
1 1 | 1| 1
Se obtiene entonces:
ˆ
F psq Gpsq 8
0
es t
ˆ
0
t
f pτ q g pt τ q dτ
dt
Por lo tanto:
F psq Gpsq

ˆ
0
t
f pτ q g pt τ q dτ
f ptq gptq
Esta integral es la que se llama producto de convolución y es la que se simboliza por f ptq
g ptq.
30
Una segunda demostración del teorema de convolución es:
ˆ 8
F psq Gpsq Gpsq
Hpτ q f pτ q es t dτ
ˆ
8
8
8
Hpτ q f pτ q Gpsq es t dτ
Por el teorema de desplazamiento de la función original
ˆ
8
8
Hpτ q f pτ q
ˆ
8
8
Hpt τ q g pt τ q es t dt dτ
Cambiando el orden de integración, válido dentro del campo de CU
ˆ
8
8
es t
ˆ
8
8
l
Hpτ q f pτ q Hpt τ q g pt τ q dτ dt
jh
n
1
La integral 1 resulta
1
8
ˆ
Hpτ q f pτ q Hpt τ q g pt τ q dτ
8
0
t¤0
ˆ
0
t
f pτ q g pt τ q dτ
De donde
1
Hptq
ˆ
t
0
f pτ q g pt τ q dτ
Entonces
F psq Gpsq ˆ
8
8
es t Hptq
ˆ
0
t
f pτ q g pt τ q dτ dt
F psq Gpsq se antitransforma
F psq Gpsq
 Hptq
ˆ
t
0
f pτ q g pt τ q dτ
Ejemplo:
1
s
€ H pt q
1
€
1
s2
1
s ps2
1
s ps2
senptq
ˆ t
senpτ q Hpt τ q dτ
€
1q
0
€ 1 cosptq
1q
ˆ
0
t
senpτ q dτ
Verificación:
1 cosptq
 1s s2 s 1 s ps21 1q
31
cospτ q|t0
t¡0
9.8.
Transformada de funciones periódicas
Teorema 9.8. Sea una función periódica de perı́odo T , siendo su primera onda f0 ptq:
H1 q f ptq f pt T q
H2 q f0 ptq #
f ptq
0
,
/
.
F0 psq
t P r0, T s ùñ F psq /
1
e s T
t¡T
Demostración. La convergencia de la T.L. de funciones periódicas está asegurada por el teorema
5.1, donde las funciones acotadas tienen T.L CV para x ¡ 0.
Además hay CU, porque al ser acotada es de orden exponencial.
Una función periódica puede descomponerse en una serie de ondas
f ptq
f ptq f pt T q
f0
0
f1
f2
2T
T
f3
3T
4T
Primera onda
f0 ptq Hptq f0 ptq

F0 psq
f0 ptq
f0
0
Onda pn
t
T
1q
fn ptq Hpt nT q f0 pt nT q

F0 psq enT s
fn ptq
fn
0
nT
pn
1qT
t
32
t
f ptq f0 ptq
f 1 pt q
f 2 pt q
fn ptq
...
Transformando la serie en serie de transformadas, posible por la existencia de CU de la serie de
funciones originales:
F psq F0 psq
F0 psq
F0 psq eT s F0 psq e2T s
eT s
1
e2T s
enT s
F0 psq enT s
...
que es una serie geométrica de razón eT s
F psq F0 psq
1
1 es T
Ejemplo:
OCptq
1
T
2
b
0
b
1
b
2
b
3
4
t
s e2s
s 2
p1 se q
1
f0 ptq $
'
&
1
1
'
t P p0, 1q
t P p1, 2q
0
t P p2, 8q
ˆ 1
ˆ 2
F0 psq 1 es t dt
p1q es t dt
%
0
1 es
s
1
es e2s
s
Por lo tanto, siendo el perı́odo T
F psq F psq p1 es q2
s
1
s
2
1
1 e2s
s 1e
1 es
12 e s
s 2
p1 se q p1 es q1p1
33
e s q
...
9.9.
Propiedades de la Transformada de Laplace. Tabla
Propiedad
Teo.
Linealidad
6.1
pq
pq
f t
F s
pq
λ1 f1 t
pq
λ2 f2 t
6.2
P
Derivación en s
f CPOE
P
pq
F s
s
pq
´0
0
P CV
t
9.3
f t
t
p aq f pt aq
Desplazamiento
en s
9.5
eat f t
9.6
f k t
pq
8
Funciones
Periódicas
9.7
eas F s
pq
p aq
F s
p| | q
ˆ
t
0
1
F
k
||
p q gptq f pτ q g pt τ q dτ
p q f pt T q
#
f ptq t P p0, tq
f0 ptq 0
t¥T
34
s
k
||
p q Gpsq
F s
f t
9.8
pq
F s ds
s
f t
Convolución
pq
F s
s
s
pq
ˆ
H t
pq
f τ dτ
F1 s
pq
9.4
Ñ |k| t
a
f τ dτ
a
Desplazamiento
en t
Cambio t
pq
f τ dτ
ptq f ptq
P
V0
t
9.2
Integración en s
f CPOE
pq
sn F s
9.1
ˆ
f t
dt
t
p q sn1 f p0 q sn2 f 1 p0 q
s f pn2q p0 q f pn1q p0 q
pq
f pnq t
ˆ
Integración en t
f CPOE
ˆ
sF s
pq
P
pq
λ2 F2 s
p q f p0 q
f1 t
Derivación en t
f CPOE
pq
λ1 F1 s
1
pq
F0 s
est
10.
Propiedades de la T.L. Tercera parte
En este capı́tulo se desarrollan propiedades adicionales de la T.L. que complementan, con las
ya vistas, el conjunto de teoremas necesarios para operar con la misma.
10.1.
Primer teorema del orden de la T.L.
Este teorema permite acotar a la T.L. de esta manera:
|F psq| ¤ Mx1
tomando como hipótesis que f cumple con las previstas en el teorema 5.7 de funciones de orden
exponencial (“Teoremón”).
Se recuerda que eso significa:
f
P CPOE y


H1 q f P CP
H2 q |f | ¤ M ex0 t


H3 q x0 x1 ¤ x
s
|
0
x0 x1
x
x
También se demuestra como consecuencia de la tesis anterior que:
F psq ÝÝÝÑ
0
Ñ8
s
El primer teorema del orden de F psq se enuncia:
Teorema 10.1.
$
& T1
q |F psq| ¤ Mx1
Hq f P CPOE ùñ
% T q F psq ÝÝÝÑ 0
2
sÑ8
Demostración. Se realiza una acotación análoga a la realizada en el teorema 5.7 de CPOE.
ˆ 8
ˆ 8
f ptq es t dt ¤
|F psq| ¤ |f ptq| ext dt ¤
0
¤
ˆ
8
0
0
M epxx0 qt dt ¤
M
x x0
¤x M
1 x0
Multiplicando por x a ambos miembros de la desigualdad:
x |F psq| ¤ x
Como x1
M
x x0
1 Mx
0
x
¤x
1
1
x
x0
x1
1
1
x0
x
¤ x1
1
¤ 1 xx0
¤ 1 1 x
0
x
35
1 Mx
Llamando M1
(cte.), resulta:
0
x1
x |F psq| ¤
M
1 xx0
¤ 1 Mx M1
0
x1
|F psq| ¤ Mx1
La segunda tesis es consecuencia inmediata de esta acotación. Si s
entonces:
Ñ 8, x ¥ x1
y x
Ñ 8,
F psq ÝÝÝÑ 0
Ñ8
s
10.2.
Segundo teorema del orden de la T.L.
Este segundo teorema de la acotación de la T.L. tiene condiciones más restrictivas que el
anterior, porque además de la hipótesis de que f cumpla con los requisitos de CPOE se agrega que
también los debe cumplir f 1 .
La acotación que se prueba es:
|F psq| ¤ M
|s|
El enunciado del teorema es:
Teorema 10.2.
H1 q
+
P CPOE ùñ Tq |F psq| ¤ M1
1
|s|
H2 q f P CPOE
f
Demostración. De acuerdo a las acotaciones vistas en el teorema anterior
|s F psq f p0 q| ¤ x Mx ¤ x M
0
1 x0
|s F psq| ¤ x M
x |f p0 q| M1
1
|F psq| ¤
10.3.
0
M1
|s |
Teorema del valor inicial
Con las mismas hipótesis del teorema 10.1 se puede probar que:
s F psq ÝÝÝÑ f p0
Ñ8
s
q
que es la tesis del teorema llamado del valor inicial.
Teorema 10.3.
H1 q
H2 q
f
f1
+
P CPOE ùñ Tq
P CPOE
s |F psq| ÝÝÝÑ f p0
Ñ8
s
q
Demostración. De acuerdo a la acotación ya empleada en el teorema anterior, s Ñ 8 ùñ x Ñ
|s F psq f p0 q| ¤
M
x x0
x
0
Ñ 8
ùñ s F psq ÝÝÝÑ
f p0 q
sÑ8
36
8.
Ejemplo:
et
 1s s 1 1
et ÝÝÝÝ
Ñ2
tÑ0
1
1
s F ps q 1
10.4.
s
1
s
ÝÝÝ
Ñ 2 f p0 q
sÑ8
Teorema del valor final
Con hipótesis más restrictivas que las del teorema 10.3, se puede probar que:
s F psq ÝÝÝÑ f p
8q
Ñ0
s
Enunciamos el llamado teorema del valor final.
Teorema 10.4.
H1 q
H2 q
H3 q
H4 q
f P CPOE
f 1 P CPOE
,
/
/
/
/
.
x1
/
/
/
/
-
0
Ñlı́m8 f ptq f p
t
8q
ùñ Tq
s |F psq| ÝÝÝÑ f p
Ñ0
s
8q
Demostración. De acuerdo al teorema de derivación en t válido por H1 :
ˆ 8
f 1 ptq es t dt s F psq f p0 q
0
Puede pasarse al lı́mite cuando s Ñ 0, pues x1
por H2
ˆ 8
f 1 ptq dt lı́m rs F psqs f p0
Ñ0
s
0
0 y esto asegura que la CU de la T.L. para x1 x
q
Integrando el primer término
f ptq|0
8 lı́m rs F psqs f p0
sÑ0
q
lı́m f ptq 0 q lı́m rs F psqs 0 q
f p
f p
tÑ 8
sÑ0
Resulta:
s F psq ÝÝÝÑ f p
Ñ0
s
Ejemplo:
8q
et
 1s s 1 1
1 et ÝÝÝÝÑ 1
tÑ 8
s
s F psq 1
ÝÝÝÑ 1 f p 8q
s 1 sÑ0
1
10.5.
Propiedades del producto de convolución
El producto de convolución en la T.L. definido como una ley de composición interna entre dos
funciones sobre F, el espacio de Fourier, es:
: F F ÝÑ F
ˆ t
pf, gq ÞÝÑ f g f pτ q gpt τ q dτ
0
Este producto goza de las siguientes propiedades:
37
Teorema 10.5.
Definición de
Producto de
Convolución
ùñ
$
f
'
'
'
'
'
'
'
'
'
&f
'
'
'
'
'
'
f
'
'
'
%
pg hq pf gq h
g g
f
Prop. Asociativa
Prop. Conmutativa
pg
hq pf g q pf hq
Prop. Distributiva
Demostración. La demostración es inmediata a partir de las transformadas:
F psq rGpsq H psqs rF psq Gpsqs H psq
 f pg hq pf gq h
F psq Gpsq Gpsq F psq  f g g f
F psq rGpsq H psqs rF psq Gpsqs rF psq H psqs  f pg hq pf g q pf hq
11.
Fórmula de reciprocidad de la T.L
11.1.
Teorema de reciprocidad de la T.L.
Este teorema es llamado también de inversión o de Mellı́n y permite obtener la función original
a partir de la transformada, es decir, la llamada antitransformada.
Las fórmulas de reciprocidad de la T.L. se obtienen a partir de las fórmulas de reciprocidad de
la T.F. resultantes del teorema de la integral de Fourier (visto en el párrafo 2) cuyo enunciado es:
H1 q g
H2 q
H3 q
,
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
.
P CP{R
g1
P CP{t
g 1 P CP{t
ˆ
V
ˆ 8
V
8
|g| dt P
|g| dt P
/
/
/
/
CV/
/
/
/
/
/
/
/
/
CV/
-
$
'
'
'
&G y
p q
ùñ
8
ˆ
8
'
'
'
%g t
p q 2π1
ˆ
g ptq eiωt dt
8
8
Gpy q eiyt dy
Para poder aplicar este teorema a la T.L. debe recordarse la relación existente entre T.L. y
T.F.
f ptq
 F psq Gpyq
€
TF
H ptq f ptq ext
gptq
y de aquı́ el teorema de reciprocidad:
Teorema 11.1.
H1 q f
H2 q
P CP{R
f 1 P CP{t
f 1 P CP{t
H3 q x ¡ α
(Abscisa de CA)
,
/
/
/
/
/
/
/
.
/
/
/
/
/
/
/
-
ùñ
$
'
'
'
&
F psq '
'
'
%H t f t
ˆ
8
8ˆ
1
p q p q 2πi
Hptq f ptq es t dt
ÒC
F psq es t ds
Demostración. Se aplica entonces el teorema de la integral de Fourier con:
g ptq Hptq f ptq ext
38
Es inmediata la verificación de H1 y H2


f ptq P CP{R
H1 q Hptq f ptq ext P CP{R ðù Hptq P CP{R

 xt
e
P CP{R

1

f P CP{t , t
H2 q pHptq f ptq ext q1 P CP{t , t ðù H1 P CP{t , t

 xt 1
pe q P CP{t , t
La verificación de la H3 en V8 , como ya se ha visto en 4.3, se cumple siempre por la presencia
de Hptq, mientras que en V 8 la CA de la T.F. se asegura por la hipótesis de que x ¡ α, donde α
es la abscisa de CA de la T.L.
ˆ
ˆ
|g| dt P CV ðù
0 dt 0
V8
V8
ˆ
H3 q ˆ
|g| dt P CV ðñ
f ptq est dt P CA ðù x ¡ α
V 8
V 8
Verificadas las hipótesis del teorema integral de Fourier, lo aplicamos:
$
ˆ 8
'
'
'
F
p
s
q
G
p
y
q
Hptq f ptq ext eiyt dt
&
'
'
'
%
8
1
g ptq 2π
8
ˆ
8
F psq eiyt dy
Se observa lo siguiente:
g ptq Hptq f ptq ext
Entonces:
Hptq f ptq ext
2π1
Hptq f ptq 1
2π
ˆ
8
8
8
ˆ
F psq eiyt dy
F psq ext eiyt dy
8
ˆ 8
1
F psq est ds
2π 8
s
α
b
c
x
Figura 19: Camino de integración para la antitransformada de Laplace
Esta integral corresponde a una integral curvilı́nea en el plano s a lo largo de cualquier recta
vertical s c dentro del campo de CA, como se muestra en la figura 11.1.
rt :
p8, 8q ÝÑ #C
y
ÞÝÑ
c
s : c P R, c ¡ α
ds i dy
iy
39
Resulta entonces la antitransformada o fórmula de inversión o fórmula de Mellı́n.
ˆ
1
Hptq f ptq F psq est ds
2πi ÒC
integral a lo largo de cualquier recta vertical de abscisa c, dentro del campo de CA, recorrida en
el sentido de las y crecientes, que conjuntamente con la T.L. dan las fórmulas de reciprocidad
$
ˆ 8
'
'
'
F
p
s
q
Hptq f ptq es t dt
&
8ˆ
'
1
'
'
F psq est ds
% Hptq f ptq 2πi ÒC
Observación 1: Algunas autores dan como fórmula de inversión
ˆ
1
f ptq F psq est ds
t¡0
2πi ÒC
(1)
y agregan que
f ptq 0
t 0
Esto no es ası́ pues f ptq puede tomar cualquier valor para t 0, lo que se anula es Hptq f ptq. Por
otra parte, la fórmula 1 no es válida si hay desplazamiento, observación derivada de la Observación
2 del párrafo 4.1.
El teorema de reciprocidad de la T.L. se puede particularizar suponiendo f ptq de orden exponencial:
|f ptq| M ex t
y tomando x0 x1 ¤ x.
0
Ello implica, como se ha visto que α x0 , por lo tanto:
Teorema 11.2.
H1 q f
,
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
.
P CP{R
f1
P CP{t
H2 q
f 1 P CP{t
H3 q
|f | H4 q x0
/
/
/
x0 t /
M e /
/
/
/
/
/
/
-
ùñ
$
'
'
'
&
F psq 8
ˆ
8ˆ
'
'
'
%H t f t
1
p q p q 2πi
Hptq f ptq es t dt
ÒC
F psq est ds
x1 ¤ x
Enunciado que puede presentarse también de la siguiente forma, recordando que:
,
H1 /
.
H3 f
/
H4
P CPOE{x0 x1 ¤ x
Corolario 11.2.1.
P CPOE ,
/
/
Hq
f
H2 q
f 1 P CP{t ùñ
/
/
/
f 1 P CP{t /
/
/
.
$
'
'
'
&
-
'
'
'
%H t f t
F psq ˆ
8
8ˆ
1
p q p q 2πi
40
Hptq f ptq es t dt
ÒC
F psq est ds
11.2.
Inversión. Cuando las singularidades de F psq son puntos singulares
aislados
De la fórmula de inversión anterior se puede hallar una simplificación, como la suma de los
residuos de F psq est cuando las singularidades de F psq sólo son puntos singulares aislados, es decir,
son polos o puntos singulares esenciales.
s
De acuerdo a la tesis T5 del teorema 5.7 de CV
para funciones continuas por partes y de orden
exponencial (párrafo 5.4).
f
P CPOE{x x ¤x ùñ F psq P H{x ¤x
0
1
s1 ×
× s2
1
α
Los puntos singulares sólo pueden estar a la izquierda de x1 .
x1
c
x
sn ×
Suponiendo válidas la hipótesis del teorema 11.2, se tiene:
Teorema 11.3.
H1 q f
H2 q
,
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
.
P CPOE{x ¤x
1
f1
P CP{t
f 1 P CP{t
/
/
/
s. Sing. Aislados/
/
/
/
/
/
/
/
/
M
/
-
H3 q
tsi uni1 P
H4 q
|F psq| Rk
: k
ùñ
Tq
Hptq f ptq Hptq
ņ
RpF psq est , si q
i 1
¡0
Observación: Una variante de H4 puede ser la siguiente:
|F psq| OpMRk q RMk
Demostración del Teorema 11.3. La demostración se basa en la aplicación del teorema de los residuos a la fórmula de inversión.
ˆ
1
Hptq f ptq F psq est ds
2πi ÒC
41
ðñ
c
Γ2
s
iR
s1 ×
Γ1
× s2
c
x
Γc
sn ×
c
iR
Figura 20: Caminos de integración cuando los s.S. son todos aislados.
Para aplicar el teorema de los residuos se toma en primer lugar un segmento de recta vertical
Γc .
Γc :
rR,
Rs ÝÑ C
y ÞÝÑ s c
iy
porque cuando se pasa al lı́mite para R Ñ
ˆ
Γc
F ps q e
st
ds ˆ
c iR
c iR
F psq e
st
8
ds ÝÝÝÝÝÑ
Ñ 8
R
2πi Hptq f ptq
ˆ
8
c i
8
c i
F psq est ds se obtiene la integral buscada (fórmula de inversión).
Para formar una lazo, el segmento de recta Γc se completa por yuxtaposición con una semicircunferencia Γ1 o Γ2 según convenga, para lograr que:
ˆ
F psq est ds ÝÝÝÝÝÑ 0
RÑ 8
ˆΓ1
F psq est ds ÝÝÝÝÝÑ 0
Ñ 8
R
Γ2
Para lograr este objetivo se tiene en cuenta la hipótesis H4
|F psq| RMk
: k
¡0
y que la ecuación de las circunferencias Γ es:
ÝÑ C
ϕ ÞÝÑ s c
Γ: D
R eiϕ
Se aplica entonces el teorema de acotación de la integral a cualquiera de las dos circunferencias
42
Γ1
ˆ
F ps q e
Γi
st
ds
¤ L M π R Cotat|F psq|u est
¤ π R RMk
ect eRt cos ϕ
l
jh
n
A
¡
k
1
t
0
cos ϕ
¡ 0 ñ Γi Γ1 Ñ 0
A ÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝ
RÑ 8
k¡1
t¡0
cos ϕ 0 ñ Γi Γ2
A ÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÑ 0
RÑ 8
ùñ
ˆ
F psq est ds
ÝRÝÝÝÝ
Ñ0
Ñ 8
ùñ
ˆ
F psq est ds
ÝRÝÝÝÝ
Ñ0
Ñ 8
Γ1
Γ2
Esta demostración nos lleva a que el camino de integración es:
#
si t 0
Γ1
si t ¡ 0
Γ2
Además, esta demostración sólo es válida con la restricción k ¡ 1 y no k ¡ 0 como lo expresa
H2 , pues la exponencial eRt cos ϕ no tiende a 0 cuando R Ñ 8 para los casos ϕ π2 kπ.
ϕ
π
2
kπ
ùñ eRt cos ϕ Û
0
RÑ 8
Sin embargo, por un vı́a más larga, se puede extender la tesis al caso k
continuación.
¡ 0, como se verá a
I. Caso t 0
s
c
iR
ñ
Para el caso t 0 se completa el lazo con Γ1
Γ1
R
Γ1 :
c
x
Γc
c
π π
2 , 2 ÝÑ C
ϕ ÞÝÑ s c
que se recorre en sentido negativo.
iR
Acotando la integral a lo largo de Γ1 :
ˆ
Γ1
F psq est ds ¤
R eiϕ
ˆ
Γ1
|F psq| ext |ds| ¤
¤ RM
k1
ˆ
{
ˆ
{ M
eRt cos ϕ R dϕ
π{2 Rk
π2
π2
π{2
eRt cos ϕ dϕ
Como la integral es de función par y t 0
R2M
k1
ˆ
{
π2
eR|t| cos ϕ dϕ
0
43
Cambiando la variable ϕ ÝÑ
Para θ
P
0,
π
2
π
2
2M
Rk1
θ
ˆ
sen θ
{
π2
2
θ
π
eR|t| sen θ dθ
0
se cumple
¥ π2 θ
sen θ
{
π 2
θ
como se muestra en la figura.
Queda entonces:
ˆ
ˆ π{2
st
¤ 2M
F
p
s
q
e
ds
eR|t| cos θ dθ
Rk1 0
Γ1
ˆ π{2
R|t| π2 θ π{2
2M
2
πM
e
¤ Rk1
eR|t| π θ dθ k1
R
R|t| 0
0
ˆ
k¡0
1 eR|t|
t 0
F psq est ds ÝÝÝÝÝÑ 0
πM
Ý
ÝÝÝÝ
Ñ
0
ùñ
RÑ 8
RÑ 8
Rk
|t|
Γ1
Por lo tanto, planteando la tesis del teorema de los residuos, sabiendo que a la derecha del
segmento Γc no hay puntos singulares, se tiene:
cˆ iR
Ò
F psq e
st
ˆ
ds
Γ1
c iR
Ñ 8
ñ
F psq est ds
0
0
Ñ 8
R
R
2πi Hptq f ptq
0
Lo cual lleva al resultado obvio:
Hptq f ptq 0
para t 0
II. Caso t ¡ 0
s
Γ2
ð
c
iR
Para el caso t ¡ 0 se complementa el lazo con Γ2
s1 ×
× s2
Γc
Γ2 :
c
R
x
sn ×
c
Se acota la integral a lo largo de Γ2 .
ˆ
ˆ
ˆ
st
st
¤
F
p
s
q
e
ds
|
F
p
s
q|
e
|
ds
|
¤
Γ2
¤
ÝÑ C
ϕ ÞÝÑ s c
R eiϕ
que se recorre en sentido positivo.
iR
Γ2
π 3π
,
2 2
M
Rk1
ˆ
{
{ M
3π 2
{
π2
3π 2
{
eRt cos ϕ dϕ
π2
44
Rk
eRt cos ϕ R dϕ
Esta última integral se puede reducir a una equivalente a la del caso anterior.
ˆ 3π{2
ˆ π{2
ˆ π{2
ϕω π
Rt cos ϕ
Rt cos ω
e
dϕ ùùùùùù
e
dω 2
eRt cos ω dω
{
{
π2
0
pi 2
Análogamente al lo realizado en el caso anterior, ω
2
Acotando sen θ
{
π2
ˆ
eRt sen θ dθ
0
¥ π2 θ para θ P
¤2
ˆ
{
π2
0, π2
eRt π θ dθ
2
0
Por lo tanto, volviendo a la acotación
ˆ
2 1 Rte
Rt
´
Γ2
2M 1 eRt
F psq est ds ¤ k1
R
Rt
Γ2
¤
π2 θ
2M 1 eRt
Rk
t
¡
¡ Ñ0
ÝÝÝÝÝ
k 0
t 0
Ñ 8
R
ùñ
ˆ
Γ2
F psq ds ÝÝÝÝÝÑ 0
Ñ 8
R
Se plantea el teorema de los residuos, sabiendo que los únicos puntos singulares son polos o
puntos singulares esenciales: el conjunto tsi u finito.
cˆ iR
Ò
F psq e
st
ds
ˆ
Γ1
c iR
ð
F psq est ds
ņ
2πi
RrF psq est , si s
i 1
Ñ 8
Ñ 8
R
R
2πi Hptq f ptq
0
ņ
2πi
RrF psq est , si s
i 1
De ello resulta:
Hptq f ptq ņ
RrF psq est , si s
para t ¡ 0
i 1
11.3.
Fórmula de inversión cuando F psq tiene puntos de ramificación
Un caso más general que el visto en el párrafo anterior es cuando F psq tiene puntos de ramificación y las correspondientes cortaduras, además de los puntos singulares aislados.
s
Por supuesto que estos puntos de ramificación sólo pueden encontrarse a la
izquierda de x1 (x x1 ) de acuerdo a
la tesis T5 del teorema 5.7 de CV para
funciones CPOE.
f
b
1
s1
×
s2
α
r2
b
P CPOE{x x ¤x ùñ F psq P H{x ¤x
0
×
r1
×
sn
1
Suponiendo válidas las hipótesis del teorema 11.2, entonces:
45
x1
c
x
Teorema 11.4.
H1 q f
,
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
.
P CPOE{x x ¤x
0
1
f1
P CP{t
f 1 P CP{t
H2 q
p q p q Hptq
H3 q
ùñ
tsi umi1 P s. Sing. Aislados/
/
H4 q
|F psq| RMk
: k
$
'
'
'
Ht f t
'
'
&
¡0
H5 q
ņ
RrF psq est , si s
i 1
'
'
'
'
'
%
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
-
1
2πi
m̧
j 1
ˆ
F psq est ds
b
rj
trj umj1 P s. Ramificación
Demostración. El caso t 0 es análogo al visto en el párrafo anterior. Por lo tanto, se analiza
directamente el caso t ¡ 0.
ð
Γ2
s
iR
c
×
r1
b
s1
×
s2
c
x
r2
b
×
sn
iR
c
Figura 21: Camino de integración cuando hay puntos de ramificación.
Se aplica el teorema de los residuos:
m̧ ˆ
ˆ
ˆ c iR
st
F psq e ds
Γ2
c iR
Ñ 8
j 1
Ñ 8
R
2πi Hptq f ptq
Hptq f ptq Hptq
ņ
m̧
j 1
Ñ 8
r
ˆ
R
ņ
2πi
RrF psq est , si s
i 1
b
rj
RrF psq e , si s st
RrF psq est , si s
i 1
b
R
0
Por lo tanto, para t ¡ 0
ņ
2πi
Ñ j8
R
i 1
m̧
1
2πi j 1
ˆ
F psq est ds
b
rj
11.4.
Teorema de Heaviside
Una función F psq muy frecuente en las aplicaciones, que debe antitransformarse, es la racional
F psq sm psq
Qn psq
donde m n (por el teorema del orden de la T.L.) y donde todos los polos son simples, es decir
que hay n raı́ces simples del denominador Qn psq.
46
La tesis que se obtiene es la fórmula de Heaviside.
Teorema 11.5.
,
/
/
/
/
/
.
s m ps q
Qn psq
H1 q F psq n
¹
H2 q Qn psq ùñ
/
/
/
sj /
/
-
ps s i q : i j ñ s i i 1
f ptq ņ
i 1
p q esi t
p q
sm si
Q1n si
t¡0
Demostración. Las hipótesis del teorema T3 de antitransformación se cumplen:
|F psq| ||Qsmppssq|q| ¤ OpR1nm q ðù n m ¡ 0
H4 q
n
de acuerdo al teorema del orden de la T.L. (teorema 10.2)
H3 q
tsiuni1 P s. Sing. Aislados ðù si P Polos de primer orden
A su vez, H1 y H2 se cumplen porque:
H1 q
H2 q
f P CPOE{x1 ¤x
f 1 P CP{t ,t
+
ðù f ņ
ki esi t : ki
P cte.
i 1
De acuerdo al teorema 11.3:
F psq sm psq
Qn psq
€
f ptq ņ
R F psq est , si
i 1
Por ser si polos simples:
R F psq est , si
sQm1 ppssiqq
esi t
n
Resulta entonces:
f ptq ņ
i 1
11.5.
p q esi t
p q
sm si
Q1n si
t¡0
Ejercicios de antitransformación
Para antitransformar una T.L. puede usarse la fórmula de inversión (con sus casos particulares)
o cualesquiera de las propiedades de la misma T.L, conjuntamente con la tabla de transformadas
de funciones.
Un ejemplo que ilustra las diferentes formas de antitransformar es el siguiente:
Ejemplo 1. Antitransformar
F psq 1
ps aqps bq
Método 1. Fracciones simples
1.1. a b
ps aqps bq s a
1
A
B
sb
47
Los coeficientes A y B son los residuos de F psq en a y b, respecivamente.
sRpaaq
Rpbq
sb
1
1
a b
saba
1.2. a b
1
€
peat ebt q Hptq
sb
ab
1
1
ps aqps bq ps aq2 €
t eat Hptq
Esta se obtiene directamente por tabla y el teorema del desplazamiento en s.
Método 2. Inversión
2.1. a b (Heaviside)
s
b |F psq| ¤ p aqps q ¤ Op1R2 q
1
Puede acotarse F psq por un polinomio en R2 , por lo tanto vale el teorema de inversión.
Hptq f ptq Hptq
2̧
i 1
2.2. a b
st
1
Rr psaqp
sbq e , si s
Hptq r a1 b eat b1 a ebt s
Hptq a 1 b peat ebt q
|F psq| ps 1 aq2 ¤ Op1R2 q
Hptq f ptq Hptq RrF psq est , as
a P polo de segundo orden
Hptq Ds rest sa
Hptq t eat
Método 3. Convolución
De acuerdo al teorema de convolución, suponemos t ¡ 0.
3.1. a b
€
sa
1
€
sb
1
,
eat /
.
e
t¡0
ù
ùñ
/
bt -
eat ebt
ˆ
t
eaτ ebptτ q dτ
0
ebt
t
epabqτ a b 0
ae b repabqt 1s
bt
1
t¡0
ùùù
peat ebt q
ab
48
3.2. a b
e
at
e bt
t
ˆ
e
aτ
e p q ; dτ
e
at
a t τ
0
ˆ
t
dτ
0
t eat
Método 4. Combinación de integración en t y desplazamiento en s
4.1. a b
1
sβ
1
sps β q
€
€
eβt
ˆ t
eβτ dτ
0
β1 peβt 1q
Desplazando s Ñ s a
1
1 βt
1
at
ps aqps a bq € β pe 1q e β
Tomando a β b β b a
epβ
q
a t
eat
1
1
1
bt
at
at
bt
ps aqps bq € b a pe e q a b pe e q
4.2. a b
Es análogo al 1.2. (se obtiene directamente de tabla).
Método 5.
5.1. a b
ps aqps bq s2 pa
Llamando 2α a b, β ab
1
1
b qs
1
s2 2α
ab
β
1
ps2 αq2 pα2 β q
Considerando w2
α2 β, resulta
1
ps aqps bq ps αq2 w2 €
1
De donde, para t ¡ 0
f ptq eαt ewt ewt
w
2
1
senhpwtq eαt
w
1 pα
2w
pe
Expresando w,α y β en función de a y b:
w
2
α β 2
ab
2
a
b
2
2
ab
2
α
w
αw
a2b
a2b
2w a b
ab
2
ab
2
q
w t
a
b
49
epαwqtq
Resulta
f ptq 1
ab
peat ebt q
Otro ejemplo de antitransformación, con puntos de ramificación, es:
Ejemplo 2.
1
F psq `
s
y
s
ð
Γ2
c
iR
Γ1
Γ3
r
Γ5
Γ4
c
R
c
x
iR
p q
Figura 22: Camino de integración para F s
1
.
s
`
Esta función no tiene polos ni puntos singulares esenciales, pero sı́ un punto de ramificación en
s 0, como se muestra en el figura 11.5.
Por otro lado
|F psq| 1 ` s
¤ OpR1 { q
12
Se aplica la tesis del teorema 11.3 para t ¡ 0:
1 ˆ `1 est ds pr 0q
f ptq j
2πi
s
b
rj
50
(2)
Se plantean las integrales en Γ3 , Γ4 , Γ5
Γ3 : rR c, 0s ÝÑ C
ρ ÞÝÑ ρ eiπ
ˆ
Γ3
ˆ Rc
1
1
ρ eiπ t
e
dρ
ρ {2 eρt dρ ÝÝÝÝÝÑ
i
1{2
RÑ 8
eiπ{2
Rc ρ
0
ˆ 8
ˆ 8 1{2
τ
i ` π
ρtτ
dτ
1
`
ÝRÝÝÝÝ
Ñ
i
ρ {2 eρt dρ ùùùù i
e τ
1{2
Ñ 8
t
t
t
0
0
ˆ
0
Γ4 : rπ, π s ÝÑ C
ϕ ÞÝÑ r eiϕ
ˆ
Γ4
r cospϕqt
¤ 2πr e
`
r
ÝrÝÝÝ
Ñ 0 ùñ
Ñ0
ÝÝÝÝ
Ñ0
Ñ0
ˆ
Γ4 r
Γ5 : r0, R cs ÝÑ C
ρ ÞÝÑ ρ eiπ
ˆ
Γ5
ˆ Rc
1
1
ρ eiπ t
dρ
e
i
ρ {2 eρt dρ ÝÝÝÝÝÑ
RÑ 8
ρ1{2 eiπ{2
0
0
ˆ 8
i `
1
ÝRÝÝÝÝ
Ñ i
ρ {2 eρt dρ ` π
Ñ 8
t
0
ˆ
R c
Volviendo a la ecuación 2 (t ¡ 0)
1 ˆ 1 2i ``π f ptq 2πi
2πi
t
f ptq b
1
`
πt
rj
De donde
1
s
`
€
1
πt
`
Un tercer ejemplo de antitransformación, para funciones periódicas, es el siguiente:
Ejemplo 3.
51
F psq y
1
s p1 es q
s
Los polos son las raı́ces de:
1 es
4πi
b
2πi
b
b
entonces
0
s 2kπi
Por lo tanto
#
k
k
0
0
2πi
b
4πi
b
c
x
polo doble
polos simples
En este ejemplo hay infinitos polos simples. Puede aplicarse el teorema de los residuos, pero
después debe analizarse el lı́mite cuando R Ñ 8 de la suma de los residuos.
Para t ¡ 0
k
ķ
f ptq lı́m
Ñ 8 ik
R
1
s p1 es q
, si
Calculamos
Rp0q s
D 1
p
p
1 es q s es p1 es q2 s0
s0
es q
Aplicando L’Hospital
s
s
e
e
s es
ÝÝÝÑ 1
2p1 es q es sÑ0 2
1{s est {
est Rp2kπiq p1 es q1 s2kπi es s2kπi
2kπit
e2kπi
1s
Entonces
ķ
k
R
i
f ptq 1
2
1
2
ķ
e2kπit
2kπi
k
8 e2kπit
¸
2kπ
i8
i
ÝÝÝÝÑ
f t
kÑ 8
esta es una serie de Fourier exponencial, que también puede transformarse en trigonométrica:
f ptq 1
2
8 e2kπit
¸
k 1
e2kπi 1
2kπit
donde se ve como la función periódica de T
2
8 sen 2kπt
¸
k 1
kπ
1 puede expresarse como serie de Fourier.
52
12.
Transformada de Laplace de Funciones Especiales
Función at
12.1.
 s 1ln a
at
at
12.2.
a¡0
et ln a  s 1ln a
s
: x ¡ ln a
ln a
Función logaritmo
ln t
 1s p Γ1 p1q L sq
Demostración 1o
ˆ 8
ln t es t dt
0
τ
ùstùù
ù
ˆ
8
L
τ 0
1
s
ˆ
s
8
eτ
y
s
0
x
dτ
s
L τ eτ dτ
0
Lss
ˆ
8
eτ dτ
0
1s p Γ1 p1q L sq
Demostración 2o
tw
 Γpsww 11q
Para hallar la transformada de
Btw basta derivar dentro del signo integral.
Bw
Esto es posible porque se cumple:
H1 q tw est
P C{w,t
ln t est P C{w,t¡0
tw est dt P CV ðù
H2 q t
ˆ
H3 q
V
ˆ 8
H4 q
tw ln t est dt P CV
V 8
w
tw
ðù
P CPOE{0 x
tw ln t P CPOE{0 x1 ¤x
53
x
Entonces:
Btw  B Γpw 1q ˆ 8 Btw es t
B w B w sw 1
Bw
0
Btw  Γ1 pw 1q Γpw 1q L s
tw ln t Bw
sw 1
sw 1
Pasando al lı́mite cuando w Ñ 0
Γ 1 p1 q Γ p1 q L s
ln t 
s
dt
s
Funciones de Bessel J0 ptq
12.3.
y
J0 ptq

s
`
1
s2
1
b
i
b
i
x
Demostración 1 Esta demostración es un ejemplo de como la T.L. también resuelve ED lineales
de coeficientes no constantes.
ED. BESSEL
y2
ν
1 1
y
t
y
0
0
J0 p0
J 1 p0
q1
q0
Se tiene entonces la ED que se transforma
t y2
y1
ty
0
Transformando, aplicando la linealidad y la derivación en s
rs2 Y psq s yp0 q y1 p0 qs1 rs Y psq yp0 qs rY psqs1 0
q 1 y que J 1 p0 q 0:
Sabiendo que J p0
s2 Y 1 psq 2s Y psq
Y 1 ps q
s2s 1
Y psq
L Y psq 1
Lps2
2
1
1q
s Y psq 1 Y 1 psq 0
Lk
Y psq `
k
s2 1
54
Aplicando el teorema del valor inicial
s Y ps q `
ks
s2 1
ÝÝÝÝÑ
k f p0 q J0 p0 q 1
sÑ 8
Y psq `
1
s2 1
Demostración 2
J0 ptq Esta demostración es un ejemplo de como operar en T.L. con series:
8
¸
t 2k
2
p1qk
(3)
k! k!
k 0
Transformado término a término (existe CU)
L tJ0 ptqu 8
¸
k 1
p1qk
1 p2k q!
k! k! 22k s2k 1
Recordando la serie de Taylor de `
f
`11 z p1 z q
f1
12 p1 z q
f2
12 32 p1 z q
(4)
1
1z
ÝzÝÝ
Ñ1
Ñ0
1
2
ÝzÝÝ
Ñ1
Ñ0 2
3
2
ÝzÝÝ
Ñ13
Ñ0 2 2
5
2
..
.
f pkq
`
1
1z
..
.
12 32 . . . 2k 2 1 p1 z qp2k
2k q!
ÝzÝÝ
Ñ 1 3 . . . 2k 2 1 2p2k
Ñ0 2 2
k!
q
1
8 2k ! z k
¸
p q
2k
2 k! k!
k 0
En nuestro caso, la serie 4:
L tJ0 ptqu 8
¸
k 1
p1qk
1 p2k q!
k! k! 22k s2k 1
`s21
1s b
1
1
1
s2
1
Demostración 3 Recordando la forma integral de Bessel
ˆ π
1
Jn ptq eipt sen ϕnϕq dϕ
2π π
Para n 0
J0 ptq J0 ptq

1
2π
ˆ
0
ˆ
π
eit sen ϕ dϕ
π
8 1
2π
ˆ
π
π
eit sen ϕ dϕ
es t dt
55
Se puede cambiar el orden de integración pues la función es f
2π1
ˆ
π
2π1
ˆ
π
8
ˆ
π
P CPOE
eit sen ϕ es t dt dϕ
0
y
1
dϕ
s i sen ϕ
π
z
`
Esta integral se puede calcular en el campo complejo
1
2π
π
ˆ
π
1
dϕ
s i sen ϕ
e 1
ùzùùù
ù 2π
iϕ
‰
|z|1
1
2πi
s iC
‰
|z|1
1
z z 1
2iC
dz
iz
s s2
|z 1 | ¡ 1
|z2| z11 ¤ 1
Rpz2 q
12.4.
Funciones de Bessel Jn ptq
Jn ptq

`
s2
`
1s
s2
n
1
Demostración 1
ˆ π
1
eipt sen ϕnϕq dϕ p1qn Jn ptq
Jn ptq 2π π
ˆ 8
ˆ π
1
Jn ptq  p1qn
eipt sen ϕnϕq dϕ es t dt
2π π
0
Cambiando el orden de integración, válido porque f
p1qn 2π1
ˆ
π
2π1 p1qn
ˆ
π
iϕ
Haciendo z e
π
π
einϕ
8
ˆ
est sen ϕ es t dt dϕ
0
inϕ
e
s i sen ϕ
como en el caso de J0 ptq
p1q
n
1
2πi
‰
|z|1
zn
2
z2
P CPOE
2pz 1
56
x
1
z2
2pz 1 dz
1 2s
1
b
b
`
z1,2
2s 2`s22
b
s
2
z2
s2
`s21
1
1
Los puntos singulares son:
a
s s2
a
z 2 s s2
z1
1
(excluido)
1
(incluido)
p1qn Rpz2 q
n
p1qn pz2z2 q p2s2q
2
`
n
2
s
1s
`
s2
Demostración 2
1
De acuerdo a las fórmulas de recurrencia de las funciones de Bessel.
2Jn1 ptq Jn1 ptq Jn
Jn
1
1
Jn1 2Jn1
ptq
Para n 0
Como J1
J1
J1 2J01
J1
J01
J1
Transformando
J01 ptq
J1 ptq
J2 ptq J0 2J 1
1


s`
`
`
s2
1
s2
1
1
2s
1s
s2
`
1 1
s2
`
s2 1 s
`
s2 1
s`
1
s2
1
1 `
1 2s s2
`
s2
1
1
2s2
2
1
Ensayando por recurrencia la fórmula
Jn ptq Jn 1 Jn1 2Jn1

12.5.
`
1s
s2
`
s2
`
1
1s
s2
`
s2
`
s2
`
`
s2
`
n
1
1s
s2
n1
1
1s
s2
n1
n
2s
r1 2s
`
1s
s2
`
a
s2
s2
n
1
1
2s2 s
1
1
Relaciones entre sen y Jn
Recordando el producto de convolución y las transformadas de sen y J0 , queda:
ˆ t
1
1
1
`
`
€
J0 pτ q J0 pt τ q dτ sen t
s2 1
s2 1
s2 1
0
57
Además
`
1s
s2
`
s2
12.6.
n
1
`
1s
s2
`
s2
n
1
s2 1
1
€
ˆ
t
Jn pτ q Jn pt τ q dτ
€
ˆ
t
Jn pτ q Jn pt τ q dτ
0
0
Funciones de Bessel hiperbólicas
In ptq
s

`
`
n
s2
s2 1
1
Las funciones de Bessel modificadas de 1o especie son:
In ptq in Jn pitq in
8
¸
t 2k n
p1qn n!ip2n
k 0
k q!
t 2k n
2
8
¸
n! pn
k 0
k q!
Transformando la serie
t 2k n
2
In ptq 8
¸

k q!
n! pn
k 0
8
¸
k 0
1
1
2k
n! pn k q! 2
p2k
n
nq!
s2k n 1
Comparando con
8
¸
p1qn
Jn ptq n! pn
k0
t 2k n
2
k q!
8
¸

1
1
n! pn k q! 22k
k 0
`
1s
s2
`
s2
p1qk p2k
n
n
1
Resulta:
In ptq

8
¸
in
8
¸
k 0
i n
b
i
s2
1
i
`
i s2
`
n
1
1
2k
n! pn k q! 2
b
`
p2k
1
1
2k
n! pn k q! 2
k0
s 2
i
1
s 2
i
is
i2k
n 1
nq!
s 2k n 1
i
p1qk p2k
n
n
i
nq!
s 2k n 1
i
s
i
1
n
2
1
n
2
s `s2s 1 1
58
s2k
n 1
nq!
sen t
p1qn sen t
12.7.
Funciones cos y sen integral
a
ciptq
 1s L
siptq
 1s Arctg s
s2
1
Recordando la definición
ˆ 8
cos τ
ciptq dτ
τ
t
ˆ 8
sen τ
dτ
siptq τ
t
ciptq
i siptq ˆ
ˆ
ˆ
8 cos τ
τ
t
8 eiτ
8 eiτ ˆ
τ
0

dτ
τ
t
i
dτ
τ
ˆ
8 sen τ
τ
t
ˆ
8 ˆ 8 eiτ
dτ
τ
t
0
dτ
es t dt
est dt dτ
0
τ
Esta integral se calcula cambiando el orden de
integración en el recinto D, entonces t P r0, τ s y
τ P p0, 8q.
t
τ
D
t
ciptq
i siptq
 ˆ
8 eiτ esτ 1
s
τ
0
1s
dτ
ˆ
8 eiτ epsiqτ
dτ
τ
0
Esta integral se puede calcular ası́:
ˆ
8 eat ebt
t
0
Por lo tanto:
ˆ 8
t
eiτ
dτ
τ
es t dt  1s
ˆ
8
s
L
1 ds L
sα sβ
1
ps iq 1 Lp1
i
s
1s
Separando parte real e imaginaria
ciptq ˆ
siptq ˆ
t
t
8 cos τ
τ
8 sen τ
τ
a
dτ
 1s
L
dτ
 1s
Arctg s
s2
1
59
8
s α s β s
L
isq
a
L
s2
1
i Arctg s
sβ
sα
12.8.
Polinomios de Laguerre
Los polinomios de Laguerre Ln ptq son un caso de polinomios ortogonales en el intervalo t P p0,
La fórmula de Rodrigues correspondiente es:
8q.
Ln ptq et Dpnq rtn et s
Transformando ϕptq tn et
ϕptq tn et
 ps n!1qn 1
Como ϕp0 q ϕ1 p0 q ϕpn1q p0 q 0
Dpnq rϕptqs Dpnq rtn et s
n
 ps s 1n!qn
1
Resulta por el teorema de desplazamiento en el campo s
e Dpnq rtn et s
t
L n pt q

n!
1
s

n! ps 1qn
sn 1
1
1
s
n! 1s
1
1
s
n
n
Esta fórmula permite hallar la fórmula generatriz de los polinomios de Laguerre, pues:
8
¸
xn
L n pt q
n!
n0

8
¸
1
n!
s
n0
Serie geométrica de razón 1 8
¸
L n pt q
n 0
xn
n!

1
s
1
xn
n!
x
1
1
s 1 1 1s x
s
n
1
s
s px1
1
x
sp1 xq
x
1
x
1 x
Esta última expresión es fácil de antitransformar
1
1x
etp 1x q
x

1
1x s
1
x
1 x
Por lo tanto
8
¸
n 0
L n pt q
xn
n!
1 1 x
etp 1x q
x
Fórmula generatriz de los polinomios de Laguerre
13.
Resolución de ecuaciones diferenciales y sistemas de
ecuaciones diferenciales
En este capı́tulo se desarrollan ejemplos de aplicación de la T.L. a diferentes tipos de ED y
sistemas de ED.
60
13.1.
ED lineales de coeficientes constantes
Ejemplo 1.
y2
2 y1
(
y t et
y p0 q
y 1 p0 q
0
0
Transformando se obriene una ecuación algebraica.
s 2 Y ps q
2s Y psq
Y psq Y ps q ps
1q2
ps
ps
Y psq ps
1
1
1
1q2
1q2
1q4
Antitransformando
y ptq t3 t
e
3!
Verificación:
y2
2 y1
2 3 2 t et t e t
3!
t et
y
Zt3
2 3 2 t e t 2 ZZ
e t
3! Z
3!
Z
t3 t
Ze
3! Z
Z
t3 t
Ze
3! Z
Ejemplo 2.
y3
s 3 Y ps q 1
y
t
Y ps q Y ps q Y ps q Como f ptq Los polos son:
s3
10
s2
#
1
s2
1
s2
y p0q y 1 p0q 0
y 2 p0q 0
1
1
s3
1
2
s
1
s 2 ps 3 1 q
°4
st
RrF psq e , sj s para t ¡ 0, se calculan los residuos.
j 1
ùñ
s p1q {3
1
eip p
2k
q
1 π
3
q
0 ùñ
61
Ñ
1
ÝkÝÝÝ
k0
ÝÝÑ
k1
ÝÝÑ
ÝÑ
ei {
s2 ei {
s3 ei π 1
s4 0
s1
π3
π3
(polo simple)
(polo simple)
(polo simple)
(polo doble)
Los residuos de primer orden s1 , s2 , s3 se calculan por:
Rpsj q s2j 1 sj t
e
s2j
3 s2j
ps2j
1q esj t
3 s4j
ÝÝÑ
j 1
Rps1 q 2 cos π3 eiπ{3
3 e
ÝÝÑ
j 2
Rps2 q 2 cos π3 eiπ{3
3 e
ÝÝÑ
j 3
Rps3 q 2 t
e
3
El residuo en s 0
Rp0q D
s2
s3
1 st
e
1
s 0
t
t
t
2sps3
sj
1
s
j
esj t
3 s3j
13
e
13
e
1
2
1
2
1q 3s2 ps2
ps2 1q2
ÝÝÝÑ
` 23 i
t
`3 2
i t
1q
s2
s3
est
1 st
te
1
s 0
Entonces
y ptq 1 1 t `3 it
e2 e 2
3
e
`3
2
it
`
2 t
e
t
3
2 t
e
t
3
2 1
3
y ptq e 2 t cos
t
3
2
Verificación:
`
3 8
2
2 1 1t
3
y3 e 2 cos
t
1 1
3 e2t
2
y3
y
e
1
2t
`
34 cos 23 t
` `
e
3
2
1
2t
`
sen
3
t
2
`
3 3
3
sen
t
8
2
2 t
e
3
0
` `
` :0
:0
182
3
2 3 3 2
3
3
cos 3 t 2 sen
t
24 3
2 24
2 3 8
3 8
et
13.2.
1 1
3 e2t
4
`
*0
2 2
t
3 3
t
Sistemas de ED lineales con coeficientes constantes
Ejemplo 1.
#
x1
xy
y 1 2x 4y
xp0
q5
y p0 q 7
Transformando el sistema lineal de ED se obtiene un sistema lineal de ecuaciones algebraicas.
#
s X psq xp0
q X psq Y psq
s Y psq y p0 q 2 X psq 4 Y psq
62
ordenando:
#
5 X psq p1 sq
7 X psq p2q
Y psq p1q
Y psq p4 sq
Se resuelve por el teorema de Cramer
1 s
∆
2
1 s2 5s
4 s
6 ps 2q ps 3q
Este determinante no es otro que el polinomio caracterı́stico |A s I |, donde las raı́ces de ∆ son
los polos de las transformadas X psq e Y psq, y son los autovalores de A.
5 1 ∆x 5s 27
7 4 s
1 s
∆y 2
5 7s
7
3
Por lo tanto, antitransformando por Heaviside : t ¡ 0
X psq Y ps q 5s 27
2t
3t
ps 2q ps 3q € xptq 17 e 12 e
Verificamos xp0 q 5
7s 3
2t
ps 2q ps 3q € yptq 17 e
24 e3t
Verificamos y p0
q7
Puede realizarse una verificación general
x1
34 e2t 36 e3t 17 e2t 12 e3t 17 e2t 24 e3t
34 e2t 36 e3t
y 1 34 e2t 72 e3t 2 17 e2t 12 e3t
4 17 e2t 24 e3t 34 e2t 72 e3t
Ejemplo 2.
#
x1
x
1
y 2x
2y
et
y
xp0
q0
y p0 q 1
Transformando:
$
&sX s
p q xp0 q X psq
%
s Y psq y p0 q X psq
2 Y psq
Y ps q
1
s
1
ordenando:
$
&
s 1 1 X ps q p1 s q
%
1 X psq p2q
Y psq p2q
Y psq p1 sq
63
Se resuelve por el teorema de Cramer
1 s
∆
2
2 s2 2s 3 ps
1 s
1
∆x s 1
1
2 s 1
1 s s 1
1 s
∆y 2
2
s 1 1 s 1
1 1q ps 3q
3s 1
s 1
2
s
1
s
2
s
1
1
Antitransformando por Heaviside : t ¡ 0
X psq Rp3q 3s
ps 3q ps
10 3t
e
16
Rp1q D
1
1 q2
58 e3t
3s 1 st
e
s3
€ xptq Rp3q
Rp1q
3ps p3sq3pq3s2
s1
2 t et et 5
10
e t
16
4
8
xptq et
5 3t
e
8
58
1
t
2
Verificamos xp0
Y psq s2 1
ps 3q ps 1q2
Rp3q 10 3t
e
16
1
s
166 et 24 t et et
y ptq 5 3t
e
8
e t
3
8
12 t
1
s
Rp1q
2sps 3q ps2
ps 3q2
3
8
12 t
Verificamos y p0
3s 1 st
te
s3
q0
€ yptq Rp3q
est
58 e3t
s2 1 st
Rp1q D
e
s3
1
t
2
1q
q1
64
1q
e
st
s2 1 st
te
s3
1
s
Verificación:
x1
et
158 e3t
et
15 3t
e
8
12 t
5
8
1
2
12 t
9
4
et
158 e3t
38 2t 12
et
15 3t
e
8
13.3.
72 t 78
5 3t
5
e
et 8
8
5 3t
3
2
e
et
8
8
et
158 e3t
y1
2
et
15 3t
e
8
5 3t
e
8
15 3t
e
8
15 3t
e
8
58
2t
e t
et
et
Ejemplo 1.
3
ˆ
t
0
y pτ q senpt τ q dτ
et
Transformando:
Y psq
3 Y psq
1
s2
1
1
s 1
Despejando:
Y psq
s2 1 3
s2 1
s11
Y psq ps
s2 1
1q ps2
4q
Antitransformando:
y ptq Rp1q
Rp1q
Rp2iq
Rp2iq
Rp2iq
Rp2iq
2 t
e
5
4 1 i2t 3 p1 2iq i2t
p2i 1q 4i e 4i 5 e
4 1
i2t 3 p1 2iq i2t
p2i 1q p4iq e 4i 5 e
65
58
3
8
1
t
2
12 t
108
t
2
7
8
t
et
t
1
Ecuaciones Integro-Diferenciales
y ptq
9
4
6
8
t
2
et
5 3t
e
8
1
t
2
12 t
3
8
1
t
2
y ptq y ptq 3 i2t
e
ei2t 2i ei2t ei2t
20i
3
p2i sen 2t 4i cos 2tq
20i
2 t
e
5
2 t
e
5
2 t
e
5
3
cos 2t
5
3
sen 2t
10
Ejemplo 2.
t
ˆ
4
0
4
Y ps q
s
Y psq
Y psq
y 1 pt q
y pτ q dτ
s Y psq
s
4
s
s
s2
1
`
ps
s3
2
p3s
p6
`
Rp 2 iq
`
1
1
`2 i
s
`
2 iq2 2 ps
`
ps 2 iq4
s3
s
`
D
est
p s 2 i q2
1 q ps p6
2t
y p0q 1
1
`
2 iq ps3
`
sq
ei
`
1q p8q 2 p2 2 iq p 2 iq p1q
14.
`
2
p3s
y ptq cos
s
est
2 iq2
1q ps
`
y pτ q cospt τ q dτ
Rp 2 iq
D
0
`
y ptq Rp 2 iq
Rp 2 iq
t
2
spsp2s 2q12q
Y psq
`
ˆ
1 Y psq s2 s
4 s4 s2 s2
s ps2 1q
4s2
est
ps
`
`
2t
64
s3
`
s
t est
2 iq2
`2 i
s
2 i p1q i `2 t
8 t e
`2 i
s
2 iq2 2 ps `
ps 2 iq4
1q p8q 2 p2
`
`
2 i q ps 3
`
sq
e
e i
2 iq p 2 iq p1q
s3
s
st
`
ps 2 iq2 t e
st
`
64
2t
p
`
`2 i
s
2 iq p1q i `2 t
te
8
`
`
2
t sen 2 t
4
Aplicaciones
La principal aplicación de la T.L. es resolver con rapidez las ecuaciones y sistemas de ecuaciones
diferenciales lineales con coeficientes constantes.
66
Además pueden resolverse ecuaciones lineales en derivadas parciales, ecuaciones integro-diferenciales
y aún ecuaciones diferenciales con coeficientes no constantes.
El primer modelo, por excelencia, es el presentado en el párrafo 7, regido por la ecuación
diferencial de 2o grado que se trata a continuación.
14.1.
Resolución del modelo EDL con coeficientes constantes
14.1.1.
Ecuación general en s
Se resuelve entonces el modelo planteado en 7 en el caso general, aún con condiciones de
contorno no nulas.
Sistema
optq
a o2 ptq
pa, b, cq
€
iptq
Z psq
i ps q
Opsq
b o1 ptq
c optq iptq
ctes. reales
q o1 p0 q
b s Opsq op0 q
c Opsq I psq
a s2 Opsq s op0
Por lo tanto, la ecuación general de Opsq es:
Opsq I ps q
a s2 b s
Llamando Z psq a s2
Opsq I ps q
Z psq
pa s
c
bs
pa s
bq op0 q a o1 p0
a s2 b s c
q
c
bq op0 q a o1 p0
Z psq
q
Donde el primer término ZI ppssqq es la respuesta a la excitación de entrada y el segundo término es la
respuesta del sistema a las condiciones iniciales op0 q y o1 p0 q.
Para estudiar mejor la respuesta optq se clasifican los siguientes casos, según sea iptq.
TIPO DE ENTRADA
Nula (libre)
Forzada
Constante
Cisoidal
Poliarmónica
General
iptq 0
iptq 0
iptq A
iptq A eiωt
° 8
iptq n8
cn eint
iptq genérica
Por la linealidad de la T.L. se puede siempre estudiar por separado
y luego superponer los resultados.
14.2.
p q y rpa s bq op0 q
pq
Z psq
I s
Z s
Repuesta para entrada nula (movimiento libre)
Siendo iptq 0
Opsq pa s
 I psq 0, la respuesta general se reduce a
bq op0 q a o1 p0 q
pa s bq op0 q a o1 p0 q
Z ps q
a s2 b s c
67
p qs
a o1 0
que es una función racional que tiene como denominador un polinomio de 2o grado. Sus raı́ces son
los ceros de la impedancia Z psq.
Z psq a s
2
c0
bs
ùñ
s1,2
b d
2a
b
2a
2
ac
Se pueden clasificar tres casos según el discriminante ∆
∆
b
2a
2
ac
∆¡0
∆0
∆ 0
I
II
III
s1
s1
s1
s2
s2
s2
raı́ces reales y distintas
raı́ces reales e iguales
raı́ces complejas conjugadas
IIa) Solución en el caso I (∆ ¡ 0)
bq op0 q a o1 p0
a s2 b s c
pa s
Opsq q ps b{aq op0 q a o1 p0 q
ps s1 q ps s2 q
Por el teorema de los residuos
ps1 b{aq op0 q
s1 s2
optq a o1 p0
q
es1 t
ps2 b{aq op0 q
s2 s1
a o1 p0
Analizando el resultado se tiene:
b
s1 s2 2a
`
∆
b `
2a ∆
s1
b
a
2ab
`
b
a
2ab
`
s2
b
a
2ab `
b
a
2ab `
∆
∆
∆ s 2
∆ s 1
Por lo tanto:
s2 op0 `q
optq op0 q
`
2 ∆
o1 p0
optq 2
q
∆
s2 es t
1
s1 op0 q` o1 p0 q es t
2 ∆
o1 p0 q s t
`
es t
e es t
es1 t
s1
2
2
1
2
2 ∆
Verificando el resultado con respecto a las conficiones iniciales:
optq ÝÝÝÝÑ
op0 q
` ps2
2 ∆
o1 ptq ÝÝÝÝÑ
op0 q
` ps2 s1
2 ∆
Ñ0
t
Ñ0
t
s1 q
o1 p0 q
` p0q op0
2 ∆
s1 s2 q
o1 p0 q
` ps1 s2 q o1 p0
2 ∆
IIb) Solución en el caso II (∆ 0)
Opsq s
b
a
op0 q o1 p0
ps s1 q2
q
q
68
q
q
es2 t
Por el teorema de los residuos
optq op0
q es t
optq op0
q es t
optq op0
q p1 s1 tq es t
1
b
a
s1
1
op0
o1 p0
ps1 q op0 q
o1 p0
1
o1 p0
q
q
q
t es1 t
t es1 t
q t es t
1
Se verifican las condiciones iniciales:
optq ÝÝÝÝÑ op0
q
Ñ0
t
o1 ptq op0
q rps1 q p1 s1 tq s1 s es t o1 p0 q p1
ÝtÝÝÝ
Ñ op0 q ps1 s1 q o1 p0 q o1 p0 q
Ñ0
s1 tq es1 t
1
IIc Solución en el caso III (∆ 0)
Siendo los polos diferentes y complejos conjugados, la solución es la misma que en el caso I.
optq op0 q
`
2 ∆
s2 es t
s1 es2 t
1
o1 p0 q s1 t
`
e es2 t
s ∆
pero aquı́ podemos analizar: ∆ 0 ùñ
s1
2ab
`
2ab
s2
2ab `
a
2ab i |∆|
optq ∆
op0 q
a
2i |∆|
∆
b
2a
i
i
b
o1 p0 q
a
e 2a
2i |∆|
a
∆i
|∆ |
e
|∆|
t
b i`|∆| t
2a
b
2a
e
b i`|∆| t
i
a
|∆|
e
b i`|∆| t
2a
2a
p q t b
a
qe a
2i sen |∆| t
2i |∆| 2a
a
ep q t o1 p0 q a
2i sen |∆| t
2i |∆|
b
2a
optq op0
a
|∆|
|∆|
`
i
a
`
a
a
|∆| 2i cos |∆| t
b
2a
ep 2a q t
optq a
|∆|
b
op0
q
a
b
sen |∆| t
2a
a
a
|∆| cos |∆| t
69
o1 p0
a
q sen |∆| t
Se verifican las condiciones iniciales
1 1
optq ÝÝÝÝÑ a
o p0
tÑ0
|∆|
ep 2a q t
o1 ptq a
b
a
q |∆|
0
op0 q
b op0 q b sen a|∆| t
2a
2a
a
a
o1 p0
a
|∆| cos |∆| t
q sen |∆| t
|∆|
a
2
a
a
a
a
ep q t
b a
a
op0 q
|
∆| cos |∆| t |
∆| sen |∆| t
o1 p0 q |∆| cos |∆| t
2a
|∆|
b op0 q a|∆| op0 q b a|∆| o1 p0 q a|∆| o1 p0 q
1
a
ÝtÝÝÝ
Ñ
2a
Ñ0
|∆| 2a
b
2a
14.2.1.
Condiciones de estabilidad en caso de entrada nula
Se define a un sistema como estable cuando la solución no diverge, es decir, está acotada.
SISTEMA ESTABLE :
t : |optq| M
Se estudiará la estabilidad en el caso del sistema lineal de entrada nula, caso por caso, suponiendo que los coeficientes a, b y c son no nulos.
Caso I (∆ ¡ 0) Siendo las respuestas una combinación lineal de exponenciales es1 t y es2 t , la
solución es acotada si y sólo si:
(
0
t : |optq| M ðñ ss1 ¤
¤
0
2
O sea que:
s1
s2
2ab |∆| ¤ 0
a
b |∆| ¤ 0
a
2a
s1 entonces
s2 s1 ¤ 0
Como s2
y basta demostrar solamete que s1
b
a
|∆| ¤ 0
2a
a
b
2a
2
|∆| ¤ 2ab
¤
c
a
0¤
Por otra parte, de
0 ¤0
a
a
c
a
b
2a
2
ùñ
sg b sg a
|∆| ¤ 2ab
|∆| ¤ 2ab ùñ
sg b sg a
En resumen:
Caso I
SISTEMA ESTABLE
ðñ
sg a sg b sg c
70
Caso II (∆ 0) Las respuestas en este caso son una combinación lineal de es1 t y t es2 t , por lo
tanto:
t : |optq| M ðñ
s1
s1 ¤ 0
De donde
s1
2ab ¤ 0
0¤
b
2a
ùñ
sg b sg a
Además
∆0
0¤
c
a
b
2a
b
2a
2
2
ac
ùñ
sg c sg a
Análogamente al caso I
Caso II
SISTEMA ESTABLE
ðñ
sg a sg b sg c
Caso III (∆ 0) La respuesta es una combinación de funciones seno y coseno, multiplicadas
b
por una exponencial ep 2a q t , entonces:
t : |optq| M ðñ 2ab ¤ 0
0¤
ùñ
b
2a
sg b sg a
Por otra parte
∆ 0
0¤
ùñ
b
2a
2
b
2a
2
ac ¤ 0
ac ùñ
sg c sg a
Como resultado se repite lo que ya se obtuvo en los casos I y II
Caso III
SISTEMA ESTABLE
ðñ
sg a sg b sg c
Entonces: Condición necesaria y suficiente de estabilidad es que los coeficientes a, b, c (no
nulos) tengan el mismo signo.
0 iptq
Sistema
optq
SISTEMA
ESTABLE
a o2 b o1 c s o
a0 b0 c0
71
ðñ
sg a sg b sg c
14.2.2.
Sistemas de entrada nula no amortiguados
Este caso se presenta cuando b, el coeficiente de o1 , es nulo.
SISTEMA NO AMORTIGUADO : b 0
La respuesta es un caso III, pues s12
optq op0
a
q cos |∆| t
o1 p0
a
q sen |∆| t
caso de vibración armónica no amortiguada, donde
14.2.3.
a
a ac i |∆|. La solución optq se reduce a:
a
|∆| se llama frecuencia natural de vibración.
Tabla para caso de entrada nula (movimiento libre)
CASO
I
Sobreamortiguado
∆
∆¡0
optq op0 q
a
2 |∆|
SOLUCION
s 2 e
s1 t
s1 es2 t
o1 p0 q
a
es1 t es2 t
2 |∆|
y
o1 0
p q
p q
o 0
x
II
Amortiguado
Lı́mite
∆0
optq op0
q p1 s1 tq es t
1
o1 p0
q t es t
1
y
o1 0
p q
p q
o 0
x
III
Subamortiguado
∆ 0
e 2a t
optq a
op0
|∆|
b
q
a
b
sen |∆| t
2a
y
a
a
|∆| cos |∆| t
o1 0
p q
p q
o 0
x
72
o1 p0
a
q sen |∆| t
14.3.
Respuesta para entrada forzada. iptq A (constante)
De acuerdo a lo visto en I
Opsq I ps q
Z psq
a o1 p0
bq op0 q
Z psq
pa s
q
La respuesta del sistema es la superposición de los términos de la expresión anterior:
O1 psq O2 psq I ps q
Z psq
pa s
a o1 p0
bq op0 q
Z psq
q
el segundo de los cuales es la respuesta del sistema al caso de entrada nula (movimiento libre) ya
estudiado.
Por lo tanto, se realiza el análisis de O1 psq:
i pt q A
O1 psq  I psq As
A
s Z ps q
s ps sAq{aps s q
1
2
De acuerdo a los casos estudiados de s1 y s2 , se tiene:
Caso I (∆ ¡ 0)
o1 ptq A
a
Como s1 s2
es1 t
s1 ps1 s2 q
1
s1 s2
A
a s1 s 2
es2 t
s2 ps2 s1 q
s2 es1 t s1 es2 t
s1 s2
1
ac
o1 ptq A
c
1
1
2
a
|∆|
s1 t
s2 e
s1 e
s2 t
Caso II (∆ 0)
O1 psq o1 ptq o1 ptq A{a
s ps s 1 q 2
st A 1
e
D
a s2
s
ss1
A
s1 t
s1 t
1e
s1 t e
c
Aa
1 es t
1
s21
1
s21
1
t es1 t
s1
Caso III (∆ 0) El resultado es análogo al del caso I, con
o1 ptq A
c
1
1
2
a
|∆|
s2 es1 t s1 es2 t
`
∆i
a
|∆|
Realizando las mismas operaciones que en el análisis del caso IIc, queda:
o1 ptq A
b
1 e 2a t
c
a
b
sen |∆| t
2a
a
a
|∆| cos |∆| t
Observación: Las condiciones de estabilidad son análogas a las vistas para el sistema de movimiento
libre.
73
14.4.
Respuesta para el caso general de entrada forzada
Se estudia la respuesta
I ps q
Z psq
O1 psq Antitransformando
I psq st
o1 ptq R
Z
psq e , sk
k1
ņ
donde se suman los residuos en los polos de
¸
o1 ptq polos
pq
1
Z s
I psq st
R
e , sk
Z psq
El primer término (polos de
es1 t
y
o
es2 t
t es1 t
y
t es2 t
p q y en los polos de I psq.
1
Z s
¸
pq
polos I s
I psq st
R
e , sk
Z psq
1
Z s
p q ) es una combinación lineal de exponenciales.
de la misma manera que en el caso de entrada nula.
Si se cumplen las condiciones de estabilidad (sg a
cero para t Ñ 8.
I psq st
R
e , sk
Z psq
¸
polos
pq
1
Z s
sg b sg c) , estas soluciones tienden a
ÝtÝÝÝ
Ñ 8Ñ 0
Esta respuesta, conjuntamente con la respuesta o2 ptq, que depende de las condiciones iniciales,
forman parte del régimen transitorio.
El segundo término
I psq st
R
e , sk
Z ps q
¸
pq
polos I s
ÝtÝÝÝ
Ñ0
Ñ 8
puede también tener transitorios, pero además puede tener respuesta permanente, que no desaparece cuando t Ñ 8.
Un ejemplo es el caso armónico:
i1 ptq B sen ωt
I1 psq 14.4.1.
 I psq s2B ωω2
1 Bω
1
2
2
a s
ω ps s1 q ps s2 q
s2B ωω2
Respuesta a s1 , s2
Caso I (∆ ¡ 0)
Rps1 q 1 Bω
1
es1 t
2
2
a s1 ω s1 s2
Rps2 q 1 Bω
1
es2 t
2
2
a s2 ω s2 s1
74
a s2
1
bs
c
Caso II (∆ 0)
Rps1 q 1
Bω
D 2
est
a
s
ω2
s s1
Baω ps2 2sω2 q2 est
Baω es t ps2 2 sω12 q
1
1
s2
ω2
s21
ω2
s s1
1
1
t est
t
Caso III (∆ 0) Análogo al caso I
14.4.2.
Respuesta a los polos de I psq
Rpiω q Rpiω q Bω
1
2 i ω a piω q2 b iω
Bω
2 i ω a piωq2
c
eiωt
1
b piω q
La suma de los residuos se puede reducir a la forma:
Rpiω q
Rpiω q α sen ωt
β cos ωt
que es la respuesta permanente del sistema.
75
c
eiωt