Calcula los valores y vectores propios de cada una de las

Calcula
0 los valores
1 y vectores
0 propios de
1 cada una
0 de las siguientes
1 matrices
1
0 0
2 1 3
5
6
6
2A
a) @ 3 1 0A
b) @1 2 3 A
c) @ 1 4
4
7 1
3 3 20
3
6
4
Calcula también la dimensión del espacio propio E ( ) correspondiente a
cada valor propio .
Solución:
a) 0
1
1
0 0
A = @ 3 1 0A
4
7 1
0 0
1 0
11
0
1 0 0
1
0 0
1
P ( ) = det ( I A) = det @ @0 1 0A @ 3 1 0AA = det @ 3
0 0 1
4
7 1
4
2
3
3
3 +
1
3
f( )=(
1)
Esta matriz tiene un solo valor propio, 1, con multiplicidad 3.
Para
encontrar
propios, debemos resolver
1 los
0 vectores
1 0 1
0
x
x
1
0 0
@ 3 1 0A @y A = @y A
z
z
4
7 1
o sea
10 1 0 1 0
1 0 1
0
x
x
0
0
1
0 0
@ 3 1 0A @y A @y A = @
3x A = @0A
z
z
4x 7y
0
4
7 1
0
1
7
De aquí es claro que x = 0 y y = 0, pero z queda totalmente libre, así que
el espacio de vectores propios asociados al valor propio 1, es
t (0; 0; 1) con t 6= 0
es decir, es el eje Z.
La dimensión del eigenespacio es 1.
b)
80 1 19
80 19
80 19
1
0
>
>
>
2 1 3
1 =
3 =
=
<B 6 C>
<
<
1C $
A = @1 2 3 A, eigenvectors: @ 1 A $ 1; @ 3A $ 2; B
@ A>
>
:
;
:
;
>
0
1
3 3 20
;
: 6 >
1
21
0 0
1 0
11
0
1 0 0
2 1 3
2
1
2
f ( ) = det ( I A) = det @ @0 1 0A @1 2 3 AA = det @ 1
0 0 1
3 3 20
3
3
65
24 2 + 3 42
f( )=(
1) (
2) (
21)
Los valores propios son f1; 2; 21g
Para encontrar los vectores propios correspondientes a
solver
1
= 1, debemos re-
1
0
0 A=
1
1
3
3 A=
20
0
10 1 0 1
2 1 3
x
x
@1 2 3 A @ y A = @ y A
3 3 20
z
z
0
10 1 0 1 0
1 0 1
2 1 3
x
x
x + y + 3z
0
@1 2 3 A @y A @y A = @ x + y + 3z A = @0A
3 3 20
z
z
3x + 3y + 19z
0
Multiplicando la segunda ecuación por -3 y sumandosela a la tercera obtenemos
z=0
Entonces tenemos y = x; y por tanto, los vectores propios están dados
como
t (1; 1; 0) con t 6= 0:
La dimensión del eigenespacio es 1.
Para
solver
0
2
@1
03
2
@1
3
Para
0
0
@1
3
encontrar los vectores propios correspondientes a = 2, debemos re10 1
0 1
x
x
1 3
2 3 A @y A = 2 @y A
3 201 0 z 1
0 z1 0
1 0 1
1 3
x
x
y + 3z
0
A = @0A
2 3 A @y A 2 @y A = @
x + 3z
3 20
z
z
3x + 3y + 18z
0
resolver
este
sistema
utilizamos
el
método
de
eliminación
1
0
1
0
1de Gauss, 0
1
1 3
1 1 0
1 1 0
0 3 A R1 R2 @ 1 0 3 A 6R2 + R3 @ 1 0 3A R2 $ R3 @ 3
!
!
!
1
3 18 0
3 3 0
18
3 3 0
1
1
0 0 0
0 0 0
R2=3 + R1 @ 3 3 0A R2=3 @ 1 1 0A
! 1 0 3
! 1 0 3
queda
x+y =0
y
x + 3z = 0
así que los vectores propios son
t (3; 3; 1) con t 6= 0:
La dimensión del eigenespacio es 1.
Para encontrar los vectores propios correspondientes a
= 21, debemos
resolver
0
10 1
0 1
2 1 3
x
x
@1 2 3 A @y A = 21 @y A
03 3 201 0 z 1
0 z1 0
1 0 1
2 1 3
x
x
y 19x + 3z
0
@1 2 3 A @y A 21 @y A = @x 19y + 3z A = @0A
3 3 20
z
z
3x + 3y z
0
Para encontrar la solución a este sistema de ecuaciones, utilizamos el método
de eliminación de Gauss,
2
1
1 0
3 0A
0 3
0
0
1
1
3
10 10
0
@
3 A 3R3 + R1 @ 1
19 3 A
!
1
3
3
1
1
0
1
0
10 10
0
0
0
0
0 0
10 0 A R2 + R1 @ 10
10 0 A R2=10 @ 1
1
3R3 + R2 @ 10
!
!
!
3
3
1
3
3
1
3 3
Por tanto
x y = 0 y 3x + 3y z = 0
y = x ! 3x + 3x z = 6x z = 0 ! z = 6x
El espacio de los vectores propios es
t (1; 1; 6) con t 6= 0:
La dimensión del eigenespacio es 1.
c) 0
1
5
6
6
2A
A=@ 1 4
3
6
4
1 0
11
0
0 0
5
6
6
5
1 0 0
2 AA = det @ 1
f ( ) = det ( I A) = det @ @0 1 0A @ 1 4
3
6
4
3
0 0 1
8
5 2+ 3 4
Es obvio que = 1 es una solución, asi que podemos escribir
2
f( )= 3 5 2+8
4=(
1) 2 4 + 4 = (
1) (
2)
y los valores propios son f1; 2; 2g, es decir, el 2 tiene multiplicidad 2.
19
1
3
1
19
3
0
Para encontrar los vectores propios correspondientes a = 1, debemos resolver
0
10 1 0 1
x
5
6
6
x
@ 1 4
2 A @y A = @y A
6
41 0 z 1 0 z1 0
03
1 0 1
5
6
6
x
x
4x 6y 6z
0
@ 1 4
2 A @y A @y A = @ x + 3y + 2z A = @0A
3
6
4
z
z
3x 6y 5z
0
De la primera ecuación despejamos z
2
z= x y
3
En la segunda también
1
3
z= x
y
2
2
Las igualamos
2
1
3
1
1
x
x y= x
y ) x+ y =0)y =
3
2
2
6
2
3
Sustituyendo en la primera
2
x
z = x+ =x
3
3
Por tanto, la solución es
x (1; 1=3; 1)
y los vectores propios son t ( 3; 1; 3) con t 6= 0
3
1
0
0 A
1
6
4
6
1
6
2 A=
+4
El espacio generado por los vectores propios asociados a este valor propio,
tiene dimensión 1
Para encontrar los vectores propios correspondientes a = 2, debemos resolver
0
10 1
0 1
5
6
6
x
x
@ 1 4
2 A @y A = 2 @y A
6
41 0 z 1
03
0 z1 0
1 0 1
5
6
6
x
x
3x 6y 6z
0
@ 1 4
2 A @y A 2 @y A = @ x + 2y + 2z A = @0A
3
6
4
z
z
3x 6y 6z
0
Tenemos una sola ecuacion, x 2y 2z = 0, que es un plano. Si llamamos
s a y y t a z, la ecuación paramétrica de dicho plano es
t (2; 0; 1) + s (2; 1; 0) = 2s + 2t s t con s; t no ambos cero, al menos uno
diferente de cero (ya que el vector cero no es propio).
Los vectores propios son (2; 0; 1) y (2; 1; 0)
El espacio generado por los vectores propios asociados a este valor propio,
tiene dimensión 2, es un plano.
4