Q - Pontificia Universidad Javeriana, Cali

300CIG007
Computabilidad y Lenguajes
Formales:
Autómatas de Pila
Pontificia Universidad Javeriana Cali
Ingeniería de Sistemas y Computación
Prof. Gloria Inés Alvarez V.
Basado en [SIPSER, Chapter 2]
Autómatas de Pila (PushDown
Autómata – PDA)

Un PDA se compone de dos cintas (pueden ser de
longitud infinita), la primera cinta contiene la entrada
(cadena que va a ser reconocida), y la segunda una
pila.
Pila

Son equivalentes en
poder de expresión a las
Gramáticas Libres de
Contexto
Entrada
a
x
y
z
a
a
b
Control de
Estados
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Prof. Ma. Constanza Pabón
Autómatas de Pila (PDA)

Formalmente un PDA es una 7-tupla (Q, ∑, Γ, δ, q0,
z0, F), donde:



Q es un conjunto finito de estados
∑ es el alfabeto de entrada (un conjunto finito)
Γ es el alfabeto de la pila (un conjunto finito)

δ : Qx∑εxΓε → P(QxΓε) es la función de transición

q0 ∈ Q es el estado de inicio

z0 ∈ Γ es el símbolo de inicio

F ⊆ Q es el conjunto de estados de aceptación (un
conjunto finito)
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Autómatas de Pila (PDA)

Un PDA funciona realizando dos tipos de
movimientos:

Movimientos que dependen del símbolo siguiente en la
cadena de entrada:
δ(q, a, z) = { (p1, γ1), (p2, γ2), … (pm, γm) }
Donde q y pi, 1≤ i ≤ m, son estados, a ∈ ∑, z ∈ Γ, γi∈ Γ*, 1≤ i ≤
m, tales que cuando el PDA está en el estado q, con el
símbolo de entrada a, y z en el tope de la pila, para
algún i, el PDA entra al estado pi, reemplaza a z por la
cadena γi, y avanza en la cadena de entrada.
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Autómatas de Pila (PDA)

Un PDA funciona realizando dos tipos de
movimientos:

ε-movimientos:
δ(q, ε, z) = { (p1, γ1), (p2, γ2), … (pm, γm) }
Donde q y pi, 1≤ i ≤ m, son estados, z ∈ Γ, γi∈ Γ*, 1≤ i ≤ m, tales
que cuando el PDA está en el estado q, independiente
del símbolo en la cadena de entrada, con z en el tope
de la pila, para algún i, el PDA puede entrar al estado pi,
reemplaza a z por la cadena γi.
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Autómatas de Pila (PDA): Ejemplo

M = (Q, ∑, Γ, δ, q0, $, F), donde:
 Q = {q , q , q ,q }
a,ε → a
0
1
2
3
b,ε → b
 ∑ = { a, b, c }, Γ = { a, b, $ }
ε,ε
→
$
q0
q1
 δ = { (q , ε, ε) → (q , $),
0
1
(q1, a, ε) → (q1, a),
c,ε → ε
(q1, b, ε) → (q1, b),
q2
a,a → ε
(q1, c, ε) → (q2, ε),
b,b → ε
ε,$
→
ε
q3
(q2, a, a) → (q2, ε),
(q2, b, b) → (q2, ε),
(q2, ε, $) → (q3, ε) }
 F = {q }
Que lenguaje reconoce este PDA?
3
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PDA Determinista

Un PDA M = (Q, ∑, Γ, δ, q0, $, F), es determinista si:



Para todo q ∈ Q y z ∈ Γ, siempre que δ (q, ε, z) no es vacío,
entonces δ (q, a, z) es vacía para todo a ∈ ∑
No existe un q ∈ Q, z ∈ Γ, y a ∈ ∑ε , tal que δ (q, a, z) contiene
mas de un elemento.
Los PDA Deterministas no son equivalentes a los PDA no
deterministas, en cuanto al conjunto de lenguajes que
aceptan.
Ejemplo: que sucede con el lenguaje L = { wwR : w ∈ {a, b}* }?
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Equivalencia de PDA y CFG
Teorema:
Un Lenguaje es Libre de Contexto (CFL) si y solo si
existe algún autómata de pila que lo reconoce
Lema 1:
Si un Lenguaje es Libre de Contexto (CFL) entonces existe
algún autómata de pila que lo reconoce
Lema 2:
Si un autómata de pila reconoce un lenguaje, entonces el
Lenguaje es Libre de Contexto (CFL)
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Equivalencia de PDA y CFG:
Lema 1
Sea A un CFL, por definición A tiene una CFG G que lo genera, entonces
es necesario convertir G en un PDA P capaz de reconocer A.
P puede funcionar de la siguiente manera:
 Adicione a la pila un símbolo que marque el inicio ($) y el símbolo
inicial de G
 Repita:



Si en el tope de la pila esta un no terminal N, de manera aleatoria
seleccione una de las reglas producción de N, N→Y1 Y2 …Yk, y
sustituya en la pila N por los símbolos del lado derecho de la regla
seleccionada, en orden inverso (pop N, push(Yk ), push(Yk-1 ), …
push(Y2 ), push(Y1)
Si en el tope de la pila hay un símbolo terminal a, lea el siguiente
símbolo de la cadena de entrada y comparelo con a, si coinciden haga
pop de a. Si no coinciden, rechace esta rama del no-determinismo.
Si en el tope de la pila está el simbolo $, entre en el estado de
aceptación.
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Equivalencia de PDA y CFG:
Lema 1
Formalmente, P = (Q, ∑, Γ, δ, q0, $, F), se construye
así:
Q = { qstart, qloop, qaccept}
δ(qstart, ε, ε) = (qloop, S$) , donde S es el símbolo inicial de la
gramática
δ(qstart, ε, ε) = (qloop, S$) , donde S es el símbolo inicial de la
gramática
δ(qloop, ε, N) = {(qloop, w) : N→w es una regla de producción de G }
δ(qloop,a, a) = { (qloop, ε) } , donde a ∈ ∑
δ(qloop,, ε, ε) = { (qaccept, ε) }
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Equivalencia de PDA y CFG:
Lema 1: Ejemplo
Dada G = (N, Σ, P, S), N = { S }, Σ = { a, b }, P = { S → a S b, S → a b }
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Equivalencia de PDA y CFG:
Lema 2
Si un autómata de pila reconoce un lenguaje,
entonces el Lenguaje es Libre de Contexto (CFL)
El automáta de pila debe cumplir las siguientes condiciones.

Tiene un solo estado de aceptación qf, al cual llega si y solo si
la pila esta vacía

Cada transición hace un push o un pop de la pila, pero no ambos.
Todo NPDA tiene un NPDA equivalente que cumple las dos
condiciones.
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Equivalencia de PDA y CFG:
Lema 2
Si se crea una gramática cuyos símbolos no terminales son de
la forma Apq, donde p y q ∈ Q
Sea P = (Q, ∑, Γ, δ, q0, $, {qaccept}), se construye la gramática G
de la siguiente manera:
El símbolo inicial es Aq0qaccept
 Para todo p, q, r, s ∈ Q, t ∈ Γ, y a,b ∈ ∑ ε si δ(p,a,Ɛ) contiene
(r,t), y δ(s,b,t) contiene (q, Ɛ), agregue la regla Apq → aArsb
 Para todo p,q,r ∈ Q agregue la regla Apq → AprArq
 Para todo p ∈ Q agregue la regla App → Ɛ

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Pumping Lema para CFL
Teorema:
Si A es un Lenguaje Libre de Contexto (CFL)
entonces existe un numero p (pumping length)
donde, si s es alguna cadena que pertenece a A
de longitud mayor o igual a p, entonces s puede
ser dividido en 5 partes s = uvxyz que satisfacen
las siguientes condiciones:
 Para todo i >= 0, uvixyiz ∈A,
 |vy| > 0
 |vxy| <= p
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