La red L es la configuración básica de las redes adaptadoras de

Adaptación de impedancias
1.- El transformador ideal
+V1
I1
I2
+V2
TI
0
0
Transformador ideal
V1
I 2 = − a. I1 , válidas para cualquier frecuencia ≠ 0.
a
Si se conecta una resistencia R al secundario, entre el nodo +V2 y 0, del
transformador se tiene que:
relaciones V-I:
V2 =
V2 =
V1
= − I2 . R
a
∴
I2 = −
V1
a. R
I2
V
= 21
La impedancia de entrada del lado
a
a .R
primario (entre el nodo +V1 y 0) vale: Ze= (V1/I1) = a2.R
y,
I1 = −
De la misma manera, una resistencia R conectada al primario se refleja en el
secundario como: Zs = R/a2
2.- El transformador real
Dos inductores acoplados magnéticamente, parte del flujo magnético de L1 induce
una tensión en L2 y viceversa.
+V1
I1
I2
M
L1
+V2
L2
0
0
Transformador real
Las relaciones V-I del transformador real, sin pérdidas, respetando la convención de
tensión y corriente indicadas en la figura, son:
V1 = jωL1 . I1 + jωM . I 2
V2 = jωM . I1 + jωL2 . I 2
en las ecuaciones de arriba, M es la inductancia mutua (dimensión Hy) entre los
inductores L1 y L2, definida por M = k . L1 .L2 , donde k (número adimensional, ≤1) es
el factor de acoplamiento entre los inductores (proporción de flujo concatenado),
controlable con la posición relativa entre ellos.
jωL1.I1 es la tensión generada en L1 por la corriente I1
jωM.I2 es la tensión generada en L1 por la corriente I2
jωM.I1 es la tensión generada en L2 por la corriente I1
jωL2.I2 es la tensión generada en L2 por la corriente I2
Las ecuaciones definen la matriz de impedancias del transformador real:
FGV IJ =
HV K
1
Z .
2
LM I OP
NI Q
1
Z =
donde
2
LM jωL
N jωM
1
jωM
jωL2
OP
Q
Las relaciones V-I, sugieren un modelo equivalente:
+V1
L1
I1
I2
L2
jwM.I2
+V2
jwM.I1
0
0
o, sin utilizar generadores controlados:
+V1
I1
L1-M
L2-M
I2
+V2
M
0
0
El modelo “T” reponde a las ecuaciones del transformador, sin embargo, presenta
un terminal común y existe acoplamiento de corriente continua entre entrada y
salida. Se puede perfeccionar agregando un transformador ideal a la entrada o
salida:
+V1
I1
L1-M
L2-M
M
I2
+V2
TI
0
0
Transformador ideal
1:1
Para una mejor interpretación del funcionamiento del transformador y notar en forma
directa el efecto de los distintos parámetros, es conveniente modificar el modelo T
en la siguiente forma:
+V1
I1
Ld
I2/a
I2
+V2
TI
Lm
0
0
Transformador ideal
a:1
La matriz Z del circuito propuesto (modelo L) es:
LM jω ( L + L )
Z =M
MN jω La
d
m
m
Lm
a
Lm
jω 2
a
jω
OP
PP
Q
Igualando los términos obtenidos con los de la matriz original, resulta :
Lm
=M
a
Ld + Lm = L1
Lm
= L2
a2
O sea que:
M = a. L2
∴ a=
Lm = a. M = k .
M k . L1 . L2
L
=
= k. 1
L2
L2
L2
L1
. k . L1 . L2 = k 2 . L1
L2
Ld = L1 − Lm = L1 .(1 − k 2 )
Lm es la inductancia de magnetización, que modela al flujo concatenado
Ld es la inductancia de dispersión, que modela al flujo disperso.
a es la relación de transformación real. Notar que, si se acepta que el valor de la
inductancia de una bobina es proporcional al cuadrado del número de espiras, la
constante a puede ponerse también como a=k.n1/n2 donde n1 y n2 son el número de
espiras del primario y secundario respectivamente.
Si k=1, se tiene un transformador perfecto. El modelo se simplifica a:
+V1
+V2
L1
0
TI
0
Transformador ideal
((L1/L2)^0.5):1 = (n1/n2):1
Si además que k=1, L1 y L2 tienen inductancias muy grandes, el transformador
tiende a un transformador ideal. En la práctica, no existe. El valor de k puede ser del
orden de 0.9 en transformadores toroidales a frecuencias relativamente bajas, en
inductores de núcleo de aire y en el rango de frecuencias de VHF, con acoplamiento
fuerte, el factor k varía usualmente entre 0.01 y 0.1.
2.1.- El autotransformador
Usado extensamente en el rango bajo de frecuencias (menores a 200/300MHz)
I1
+V1
L1
I2
+V2
L2
0
0
Considerando que la inductancia mutua entre los inductores L1 y L2 es M e
introduciendo el modelo con generadores dependientes, se puede calcular la matriz
Z del autotransformador :
Z =
LM jω .( L + L + 2. M )
N jω .( L + M )
1
2
2
jω .( L2 + M )
jω . L2
OP
Q
Igualando los elementos de la matriz a los del modelo “L”, se tiene que:
Lm
= L2 + M
a
Lm + Ld = L1 + L2 + 2.M
de donde :
L2 + M = a. L2
∴
Lm = a.( L2 + M ) =
a = 1+
Lm
= L2
a2
M
L
= 1+ k. 1
L2
L2
( L2 + M ) 2
= L2 + k 2 . L1 + 2. k L1 . L2
L2
Ld = L1 + L2 + 2. M −
( L2 + M ) 2
= L1 .(1 − k 2 )
L2
Si k=1, se tiene que:
a =1+
L1
L2
Lm = L1 + L2 + 2. L1 . L2
Ld = 0
L + L2
L1
n +n
donde (n1+n2) es el número total
= 1
= 1 2
L2
n2
L2
de espiras del inductor y n2 el número de espiras de la derivación.
también:
a =1+
+V1
I2
I1
+V2
TI
L1+L2+2M
0
0
Transformador ideal
((n1+n2)/n2):1
Notar que en el autotransformador, el valor de la inductancia de magnetización es
mayor que en el transformador de dos arrollamientos (a igualdad de L1). En general,
esto hace que, el comportamiento del autotransformador, se desvíe menos del
comportamiento ideal que el de dos arrollamientos y como consecuencia, la
predicción simple de suponerlo como tal, da normalmente resultados mas o menos
correctos en la práctica.
2.2.- El transformador/autotransformador como adaptador de impedancias
Los modelos presentados permiten calcular las inductancias L1, L2 y el factor de
acoplamiento k necesarios para transformar una resistencia de valor R1 en otro R2
que aparecerá, necesariamente, acompañada por un reactancia inductiva que
puede eliminarse con un capacitor adecuado. El problema algebraico es complejo y
rara vez vale la pena intentarlo. Una aproximación práctica es suponer el
transformador como si fuera perfecto, aplicar el modelo simplificado y corregir en el
banco de laboratorio la desviación que aparezca.
Para tener un idea de la magnitud de los errores que pueden presentarse, se
muestra el ensayo simulado de un transformador sin pérdidas con los siguientes
parámetros: L1=320nH, L2=80nH, k variable desde 0.1 hasta 1 (T. perfecto) y una
resistencia de 50Ω conectada al secundario, la frecuencia de operación es 100MHz.
Si k=1, debería esperarse una impedancia en el primario Rp de 200Ω en paralelo
con una reactancia inductiva Xp de 200Ω . Los resultados al variar k son:
k= 0.1
k= 0.3
k= 0.5
k= 0.7
k= 0.9
k= 1.0
Rp= 39.811k
Rp= 4.082k
Rp= 1.255k
Rp= 515.457
Rp= 255.922
Rp= 200.000
Xp= 200.056
Xp= 192.393
Xp= 179.389
Xp= 167.553
Xp= 174.827
Xp= 201.062
Notar que el error que se comete al suponer el transformador perfecto puede ser
grande en la componente resistiva.
En el caso de un autotransformador, se elijen los siguientes parámetros: L1=80nH,
L2=80nH, k variable y la resistencia conectada a la derivación 50Ω. Los resultados
son:
k= 0.1
k= 0.3
Rp= 240.931 Xp= 91.570
Rp= 224.761 Xp= 108.493
k= 0.5
k= 0.7
k= 0.9
k= 1.0
Rp= 212.633
Rp= 204.548
Rp= 200.505
Rp= 200.000
Xp= 127.985
Xp= 151.780
Xp= 182.280
Xp= 201.062
En este caso, el error que se comete con la aproximación de T. perfecto no es tan
grave como en el caso anterior.
3.- Transformación de impedancia con redes reactivas canónicas
La red L es la configuración básica de las redes adaptadoras de impedancia:
jX1
Ze
jX2
R
La impedancia de entrada de la red vale:
Z e = jX 1 +
F
GH
jRX 2
RX 2
R2X2
= 2 2 2 + j X1 + 2
R + jX 2
R + X2
R + X 22
I
JK
Si se busca que Ze= r + j0 , debe ser:
r=
RX 22
R 2 + X 22
(1)
y
X1 = −
R2X2
R 2 + X 22
(2)
de la condición (2), surge que
X1 debe ser de signo distinto a X2.
De (1) se despeja el valor de X2 necesario para obtener el resultado buscado,
reemplazando el valor obtenido en (2), se puede determinar X1:
X 22 =
R 2r
R−r
∴
X2 = ± R
r
R−r
Para que X2 sea real, R debe ser mayor
que r. En todo lo que sigue, se supone que R es mayor que r
X1 = −
R2
2
R r
R +
R−r
2
LM±R
MN
r
R−r
OP = ∓
PQ
r (R − r )
El circuito equivalente, visto del extremo de menor resistencia, es una resistencia r y
dos reactancias iguales y de signo contrario, el Q del circuito, a la frecuencia de
diseño, vale:
Q=
X1
r
=
r (R − r )
r
=
R−r
R
=
−1
r
r
(3)
Resulta mas práctico expresar las
reactancias X1 y X2 en términos del factor Q obtenido:
X 1 = r (R − r ) , de (3) se tiene que
X 1 = Qr , de la misma manera, X 2 =
con lo que queda:
R − r = rQ
R
Q
(se sobreentiende que son de distinto signo)
La transformación de impedancias calculada, es exacta sólo en la frecuencia de
diseño, en la que se cumplen las condiciones (1) y (2). El factor Q determinado en
(3) indica, aproximadamente dentro de que rango de frecuencia es válida.
Al ser la red L reactiva pura, si, con los valores calculados de X1 y X2, se carga el
extremo de baja resistencia con una resistencia de valor r, la impedancia de salida
de la red será R.
Recordar, como regla mnemotécnica: En una red L, la rama paralelo va del lado de
resistencia mayor y la rama serie, del lado de menor resistencia.
3.1.- Redes de tres elementos
Una característica ( y limitación) de la red L es que, fijadas las resistencias de carga
y entrada, queda automáticamente determinado el Q (o ancho de banda) del
circuito. Si la especificación de la transformación exige un Q mayor al que resulta de
(3), se deben agregar elementos reactivos a la red:
a) Redes L en cascada
Dados R y r, se debe realizar la transformación con Q >
R
− 1 . El problema se
r
resuelve adoptando una resistencia intermedia (ficticia) de valor adecuado y
realizando la transformación mediante dos redes "L" en cascada. Pueden darse dos
casos:
a1) R intermedia (r'), menor que R y r
red 1, r --> r'
red 2, r' --> R
jX2
jX1
Quedan definidos dos Q: Q1 =
R
jX4
r'
r
jX3
r
−1
r'
Q2 =
R
−1
r'
como R>r, Q2>Q1 el Q
de las dos secciones en cascada será, aproximadamente, Q2 (dominante) de alli
puede determinarse el valor de r' según: r ' =
R
Q22
+1
Con r', se calcula Q1 y se
pueden determinar las reactancias X1=r/Q1, X2=r'Q1 y X3=R/Q2, X4=r'Q2 las
reactancias X2 y X4 se agrupan en una única componente, y se forma una red "π":
j(X2+X4)
r
R
jX1
jX3
Como X1 y X2 deben ser de signo contrario, lo mismo que X2 y X3, pueden darse
cuatro posibles configuraciones:
I) Pasa bajo - Pasa bajo
r'
r
R
r
R
II) Pasa alto - Pasa alto
r'
r
R
r
R
III) Pasa bajo - Pasa alto
r'
r
R
r
R
Como Q2>Q1, la rama serie se transforma en un capacitor porque la reactancia
capacitiva de la red 2 es mayor que la inductiva en la red 1.
IV) Pasa alto - Pasa bajo
r
r'
R
r
R
Igual que en el caso (III), la reactancia inductiva de la red 2 es mayor que la
capacitiva de la red 1 por lo que la rama serie se reduce a una inductancia.
a2) R intermedia (R'), mayor que r y R
red 1, r --> R'
red 2, R' --> R
jX1
jX3
r
R'
R
jX2
jX4
Igual que en (a1), quedan definidos : Q1 =
R'
−1
r
Q2 =
R'
−1
R
como R>r,
Q2<Q1 el Q de las dos secciones en cascada será, aproximadamente, Q1
(dominante) de alli puede determinarse el valor de R' según: R ' = r (Q12 + 1) Con R', se
calcula Q2 y se pueden determinar las reactancias X1=rQ1, X2=R'/Q1 y X3=RQ2,
X4=R'/Q2 . Las reactancias X2 y X4 se agrupan en una única componente y se forma
una red "T":
jX1
jX3
r
R
jX4X2/(X2+X4)
Dependiendo de las configuraciones de las redes L componentes, igual que arriba,
pueden presentarse cuatro alternativas:
I) Pasa bajo - Pasa bajo
r
R'
R
r
R
R
r
R
II) Pasa alto - Pasa alto
r
III) Pasa bajo - Pasa alto
R'
r
R
r
R
Al ser Q1>Q2, la reactancia resultante de la rama paralelo es capacitiva (la
reactancia C es menor que la L)
IV) Pasa alto - Pasa bajo
R'
r
R
r
R
Idem que (III), con la diferencia que, en éste caso, la reactancia dominante de la
rama paralelo es inductiva.
b) Modificación de una red L
Si se fijan los valores jX1 y jX2 para transformar R en r y el Q del circuito es inferior al
solicitado, puede dividirse la reactancia serie jX1 en dos valores jXa y jXb, en valores
que cumplan, a la frecuencia de diseño :
X1 = Xa − X b
r
jXa
X a = Qr
jXb
jX1=jXa-jXb
|Xa|=Qr
jX2
R
La elección de la configuración de una determinada topología de red depende de
cada caso particular. Se debe tener en cuenta: (a) realizabilidad por valores de los
componentes, (b) conveniencia de estructura pasa altos o pasa bajos, (c) régimen
de trabajo de los componentes.
3.2.- Mayor ancho de banda
Problema inverso al visto en el punto anterior: Transformación de r a R con un Q
R
− 1 . Una forma simple de resolver el problema es
r
menor al establecido por
diseñar una cascada de redes L que vayan transformando los valores terminales R y
r en resistencias intermedias entre esos valores:
r'
jX1
r''
jX3
r'''
jX5
jX7
r
jX2
jX4
jX8
jX6
R
r < r' < r'' < r''' < R
Si se diseñan las redes con idéntico Q, debe cumplirse:
r'
r''
r'''
R
=
=
= .... = ( n −1) = k
r
r'
r''
r
(k es una constante y n el número de secciones). De la relación de arriba surge que:
r' = kr ; r'' = kr' = k2r ; r''' = kr'' = k3r ; ... ; r(n-1) = kr(n-2) = k(n-1)r
; R = kr(n-1) = knr
El Q de cada sección vale Q = k − 1 , el valor de Q para la red completa es
aproximadamente el mismo, por lo que el k necesario es k = Q2+1. El número de
secciones necesario será:
kn =
R
r
FG R IJ
HrK
n=
logbk g
log
∴
Una vez calculado n, si no es entero (normalmente es
así) se debe tomar el entero inmediato superior y recalcular k =
n
R
para poder
r
determinar el Q real y determinar las reactancias de la red.
Para el caso mas simple, n=2, se tiene que k =
R
r
y r ' = kr =
R
r = Rr
r