97 Estos triángulos resultan semejantes puesto que: 756 54 54 3 6

Estos triángulos resultan semejantes puesto que:
4
6
4 .5
6.75
3
4 .5
2
3
El Corolario 1 del Teorema de Thales, puede reformularse diciendo:
y la razón de proporcionalidad es: r
C
N
“Toda paralela a un lado de un triángulo
determina con los otros dos lados o sus
prolongaciones, un triángulo semejante al
primero”.
'
C
N
B
M
A
'
A
M
B
En la figura tenemos: ABC semejante a MBN
Ejemplo 2:
'
'
Sean ABC y A´BC´ dos triángulos
1
construidos de forma que A' B
AB
2
1
BC'
BC , como los lados AC y A´C´ son
2
paralelos, resultan los ángulos iguales, o sea
D D ' ; E E' ; J J '
Supongamos que AB
Por los datos, A' B
4 cm y AC
A
D
A´
D´
E
AB
4
2
A' B
AB
AC
6
A' C '
A' C '
Respuesta: A' C '
C´
C
6 cm . ¿Cuánto mide A' C' ?.
2 cm , por lo tanto:
A' B
J
J´
B
2 , en consecuencia: A' C '
2 , por semejanza de los triángulos
1
AC
2
1
6
2
3 .
3 cm
El teorema de Thales y la semejanza de triángulos nos permiten resolver de manera sencilla
algunas situaciones problemáticas:
Ejemplo 3:
Dada la siguiente figura, calcular la altura del árbol utilizando una varilla de 40 cm de longitud. Se
conoce que la sombra de la varilla es de 1m y la sombra del árbol es de 6 m.
h
0.4 m
1m
6m
Solución
Como muestra la figura, nos queda determinado dos triángulos semejantes, por lo tanto:
h
6
Ÿ h 2 .4 m
0 .4 1
97
4.7.1 Criterios de semejanza de triángulos
A continuación daremos las condiciones necesarias y suficientes para saber si dos triángulos
son semejantes.
Dos triángulos son semejantes cuando:
1)
2)
3)
4)
tienen respectivamente proporcionales dos lados e igual el ángulo comprendido;
tienen respectivamente proporcionales los tres lados;
tienen respectivamente iguales dos ángulos;
tienen respectivamente proporcionales dos lados e igual el ángulo opuesto al mayor de
ellos.
Nota: a) Dos triángulos equiláteros cualesquiera son semejantes.
b) Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual.
c) Dos triángulos isósceles que tienen un ángulo igual son semejantes.
Ejemplo 1:
Dada la siguiente figura, calcular el perímetro del trapecio BCEF, conociendo los lados del
triángulo ABC y el segmento AF.
a 8 cm, b 5 cm, c 6 cm , AF 2 cm
A
F
E
B
C
Solución
Recordando que el perímetro de un cuadrilátero es la suma de los lados, se deben calcular los
lados FB ,CE y EF .
FB
AB AF
62
4 Ÿ
FB
(1)
4 cm
Los triángulos ABC y AEF son semejantes, ya que los lados BC y EF son paralelos, por lo
tanto los lados homólogos son proporcionales:
2
Ÿ EF
6
EF
BC
AF
AB
Ÿ
EF
8
2
Ÿ EF
6
8.
CE
BF
AC
AB
Ÿ
CE
5
4
Ÿ CE
6
20
Ÿ CE
6
8
cm (2)
3
10
3
El perímetro es:
perímetro( BCEF )
98
EF FB BC CE
10
8
48
3
3
18 Ÿ perímetro( BCEF ) 18 cm
4.8
Práctico : Tópicos de Triángulos
Ejercicio 1: Hallar el complemento y el suplemento del ángulo 47º 15 c 42cc
Ejercicio 2: Hallar el suplemento del ángulo 105º 49 c 5 cc
ˆ 132º y r1 // r 2 , encontrar los otros 7 ángulos.
Ejercicio 3: Se sabe que 4
r1
r2
Ejercicio 4: Sea D 32º 7 c ,
Obtener
1) D E
2) E J
3) D E J
4)
5)
6)
E
121º 45 c 56 cc , J
85º 28 c 57 cc
2D
E:5
2D E : 5
Ejercicio 5: Completar la siguiente tabla
D
E
48º 28 cc
DE
D E
3D
E: 4
181R45´
126º 34 c 18 cc 72º 27 c 46 cc
143º 16 c
21R22´46´´
Ejercicio 6: Hallar un ángulo sabiendo que es igual a los tres séptimos de su suplementario.
Ejercicio 7: Un grifo llena 5/12 de un depósito en 1 hora. ¿Cuánto tardará en llenar el depósito
completo?.
Ejercicio 8: Un grifo tarda 2 horas en llenar 7 depósitos iguales. ¿Cuánto tardará en llenar un
depósito?.
Ejercicio 9: Explicar por qué los ángulos del mismo nombre son iguales
99
D
E
E
D
Ejercicio 10: ¿Cuánto miden los ángulos en un triángulo equilátero?
Ejercicio 11: Si en un triángulo isósceles, uno de los ángulos iguales mide 35 R 10´ 43´´
¿cuánto valen los otros dos ángulos?.
š
Ejercicio 12: Hallar las medidas de los ángulos D y A .
B
D
A
C
D
Ejercicio 13: De acuerdo con la figura de análisis, completar el cuadro siguiente.
E
B
J
A D
Â
B̂
32º
46º
C
Ĉ
D̂
20º 25’
53º
120º 5”
Ejercicio 14: Calcular los ángulos numerados:
100
Ê
Ĵ
145º
95º
145º 16’
a)
B
A
b)
C
r1//r2
r1
B
r2
A
C
Ejercicio 15: a) Dibujar un triángulo acutángulo.
b) Marcar las alturas, bisectrices y medianas.
Ejercicio 16: a) Dibujar un triángulo obtusángulo.
b) Marcar las alturas, bisectrices y medianas.
Ejercicio 17: a) Dibujar un triángulo rectángulo.
b) Marcar las alturas, bisectrices y medianas
'
Ejercicio 18: Dado el triángulo BAC rectángulo en A
D
C
R
y sabiendo que el ángulo con vértice en B mide 40 30´,
calcular la medida de los ángulos D y E indicados en la
figura.
Justifica la respuesta.
40º30´
A
E
B
Ejercicio 19:Si un lado de un triángulo equilátero mide 8 cm, calcular la medida de la altura y
el área.
Ejercicio 20: Dado el segmento
AB de 7.5 cm, hallar un punto C
AC 3
CB 4
perteneciente a la recta que contiene a AB , exterior al segmento dado y que verifique
AC 3
BC 4
a) perteneciente al segmento tal que verifique la relación
b)
c)
Calcular la longitud del segmento AC para el item a) y para el b).
Ejercicio 21: Siendo AB y BC segmentos consecutivos y tales que
AB
BC
7
4
101
a) Hallar
AC
AC BC
;
;
AB
BC
AB
b) Hallar los segmentos cuyas razones son
14
3
;
8
11
Ejercicio 22: Dado un segmento AB , hallar un punto P de la recta que contiene al AB , tal
PA 2
que se verifique la relación:
PB 5
Ejercicio 23: Dados los segmentos a = 3 cm, b = 4 cm y c = 5.5 cm.
Encontrar geométricamente y analíticamente el segmento x tal que
a
b
x
c
Ejercicio 24: Las dimensiones de un rectángulo son 3 cm y 4 cm. ¿Cuáles de los siguientes
rectángulos son semejantes a él?.
Cuando lo sean, establecer la razón de semejanza:
a) 45 cm y 60 cm
b) 18 cm y 32 cm
c) 30 m y 40 m
Ejercicio 25: Dado un segmento AB ; dividirlo en 3 segmentos proporcionales a los números
2, 3 y 5.
Ejercicio 26:
AB
12 cm
A' B'
x 1
A
BC
y
B
9 cm
B' C'
x 1
m
A´
B´
p
C´
C
a) Calcular x
t2
t1
b) Calcular A' B' y B' C'
q
Ejercicio 27: Siendo a // b // c
E
Escribir cuatro de las proporciones posibles
A
B
C
con segmentos incluidos en t y t '
F
a
D
b
G
c
102
t´
t
Ejercicio 28: Se sabe que: AB
BD
7,5 m , C' D'
3 m , A' B'
A
5m
B
2,5 m
C
D
a A´
Calcular los valores de los segmentos:
B´
b
B' C' , BC y CD .
C´
D´
c
d
Ejercicio 29: En el trapecio ABCD
B
EF BC
C
E
F
A
D
AE
x 1m
EB
2x 3 m
CF 11m
FD 6 m
Calcular el segmento AB
Ejercicio 30: a) Demostrar que los triángulos ADB y ADC son semejantes y son también
semejantes al triángulo BAC que es rectángulo en A.
A
b) Sabiendo que
AB
15 m
BC
25 m
AC
20 m
h
B
D
C
Calcular los segmentos AD y DC
103
104