Solucion Asignacion 5

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
ININ4010
Prof. DAVID GONZÁLEZ BARRETO
ASIGNACIÓN 5
1. Un estudio geológico indica que una perforación exploratoria para localizar petróleo en una determinada región encuentra éste con una probabilidad de 0.1. Determine la probabilidad de que lo encuentre por segunda vez al perforar el quinto pozo. Solución En este caso, el fenómeno se modela mediante una distribución binomial negativa. Al reemplazar en la ecuación siguiente los valores disponibles: 1
1
,
1
Se obtiene: 5
2
5,2
1
0.1 0.9 1
5,2
0.02916 Por lo tanto, la probabilidad de que se encuentre petróleo por segunda vez al perforar el quinto pozo es igual a 0.02916. 2. Un producto industrial se envía en lotes de 20 unidades. Efectuar pruebas para determinar si un artículo tiene defectos es costoso; así que el fabricante toma muestras de su producción en vez de probar el 100%. Un plan de muestreo elaborado para reducir al mínimo la cantidad de artículos defectuosos que se envían a los consumidores, requiere que se muestreen 5 artículos de cada lote. Se toma la decisión de rechazar el lote completo si se encuentra más de un artículo defectuoso. Si un lote contiene 4 artículos defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que sea rechazado? ¿cuál es el número esperado de artículos defectuosos en la muestra de tamaño 5? Solución Sea X el número de productos con defecto en la muestra. Entonces, N = 20, r = 4 y n = 5. El lote será rechazado si X = 2, 3 ó 4. Por lo tanto, P(Rechazo del lote) = P( X ≥2 ) = p(2) + p(3)+ p(4) = 1 – p(0) – p(1) 1
4
0
16
5
20
5
4
1
16
4 20
5
= 1 ‐ 0.2817 – 0.4696 = 0.2487 En la distribución hipergeométrica se cumple que: Donde n es el tamaño de muestra, N es el tamaño de la población y r es el número de éxitos en la población (en este caso, el número de engranajes defectuosos). Entonces, la media del número de artículos defectuosos en la muestra de tamaño 5 es: 5 4
20
1 3. En promedio, cada seis minutos pasa un auto por un sector en el cual se planea construir un túnel. El paso de muchos vehículos indicaría riesgo de congestiones en la nueva construcción. Los ingenios a cargo del proyecto necesitan determinar si es menor que 0.04 la probabilidad de que en una hora circulen por el sector más de 5 vehículos. Solución Si llegan autos a razón de uno cada seis minutos, entonces en promedio la tasa de llegada por hora será de 10 vehículos ( λ ). Por lo tanto, P
5
1
1
1
0!
5 !
10
10
P
10
1!
5!
= 0.997 Es evidente que la probabilidad de que en una hora circulen más de 5 vehículos es mayor que 0.04 4. Trabajos de reparación llegan de manera totalmente aleatoria a un taller a una tasa de 10 por día. a. ¿Cuál es el número promedio de trabajos que se reciben diariamente en la tienda? b. ¿Cuál es la probabilidad de que ningún trabajo llegue durante 1 hora, asumiendo que el taller está abierto 8 horas al día? Solución a. El número promedio de trabajos por día es igual a λ = 10 b. Para determinar la probabilidad de que no ocurran llegadas en 1 hora, necesitamos calcular la tasa de llegadas por hora. Es decir, λhora = 10/8 = 5/4 de trabajo por hora. Por lo tanto, 0
0!
.
1.25
0!
0.2865 5. En un estacionamiento hay 2 entradas. Los automóviles pueden acceder por la entrada 1, de acuerdo con una distribución de Poisson con una frecuencia promedio de 3 por hora; y por la entrada 2 con una frecuencia promedio de 4 por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que un total de tres automóviles entre al estacionamiento durante una hora determinada? (Nota: suponga que el número de automóviles que llegan por las 2 entradas son independientes). Solución Debido a que las variables aleatorias son independientes, y sus distribuciones son Poisson, la tasa total de llegadas es igual a la suma de las tasas de llegada (3+4=7 por hora). 3
3!
7
3!
0.05213 Así, la probabilidad de que en una hora cualquiera ingrese un total de 3 automóviles es aproximadamente 0.052. En una línea de producción de robots industriales se pueden ensamblar cajas de engranajes en un minuto cada una, cuando existen las perforaciones adecuadas, y en 10 minutos si es necesario volver a realizar las perforaciones. En un almacén hay 20 cajas de engranajes: 2 con perforaciones mal hechas, entre las que se pueden elegir 5 para instalarlas en la línea de producción. a. ¿Cuál es la probabilidad de que 5 cajas de engranajes ajusten correctamente? b. Determine la media del tiempo que se requiere para instalar las 5 cajas de engranajes. Solución Debido a que no hay sustitución, el proceso se puede modelar mediante la distribución hipergeométrica. Por lo tanto, 0
0
2
0
18
5 20
5
0.5526 Para resolver la parte b), primero se calcula el número esperado de engranajes defectuosos. De esta manera, 5·2
20
0.5 Entonces, el número de engranajes no defectuosos en cada muestra es 4.5. Para calcular el tiempo esperado de ensamble de los engranajes, basta con obtener el promedio ponderado: Tiempo esperado = 0.5x10+4.5x1 = 9.5 minutos