soluciones mínimos 1º eso tema 3 divisibilidad

SOLUCIONES MÍNIMOS 1º ESO TEMA 3 DIVISIBILIDAD
Ejercicio nº 1.Responde a las preguntas y justifica tus respuestas:
a) ¿El número 48 es múltiplo de 4? Explica por qué.
b) ¿El número 12 es divisor de 84? Explica por qué.
Solución:
a) Sí; decimos que 48 es múltiplo de 4 porque su cociente es exacto:
b) Sí; decimos que 12 es divisor de 84 porque su cociente es exacto:
48 : 4 = 12.
84 : 12 = 7.
Fecha:
Ejercicio nº 2.Calcula todos los divisores de los siguientes números:
a) 30
b) 15
Solución:
a) Divisores de 30 = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
b) Divisores de 15 = 1, 3, 5, 15
Ejercicio nº 3.Escribe los cuatro primeros múltiplos de cada número:
a) 12, ______, ______, _______, _______.
b) 25, ______, ______, _______, _______.
c) 33, ______, ______, _______, _______.
Solución:
a) 12, 24, 36, 48, 60.
b) 25, 50, 75, 100, 125.
c) 33, 66, 99, 132, 165.
Ejercicio nº 4.De entre los siguientes números, tacha los múltiplos de 2, rodea con un círculo los
múltiplos de tres y subraya los múltiplos de cinco. ¿De qué otro número son múltiplos
los números que están a la vez tachados y subrayados?
10
11
18
20
25
27
30
33
40
42
Solución:
Los números que están a la vez tachados y subrayados son múltiplos también de 10.
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Ejercicio nº 5.Calcula por el método tradicional:
a) mín.c.m. (9, 12)
b) mín.c.m. (25, 50)
c) mín.c.m. (6, 7)
Solución:
a) mín.c.m. (9, 12)
Múltiplos de 9 = 9, 18, 27, 36, 45, …
Múltiplos de 12 = 12, 24, 36, …
mín.c.m. (9, 12) = 36
b) mín.c.m. (25, 50)
Múltiplos de 25 = 25, 50, 75, 100, …
Múltiplos de 50 = 50, …
mín.c.m. (25, 50) = 50
c) mín.c.m. (6, 7)
Múltiplos de 6 = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, …
Múltiplos de 7 = 7, 14, 21, 28, 35, 42, …
mín.c.m. (6, 7) = 42
Ejercicio nº 6.¿De cuántas formas diferentes se puede dividir una clase de 24 estudiantes en equipos
con el mismo número de componentes?
Solución:
EQUIPOS
COMPONENTES
1
2
24 12
3
8
4
6
6
4
8 12
3 2
24
1
Ejercicio nº 7.En un albergue coinciden tres grupos de excursionistas de 40, 56 y 72 personas cada
grupo. El camarero quiere organizar el comedor de forma que en cada mesa haya igual
número de comensales y se reúna el mayor número de personas posible sin mezclar los
grupos. ¿Cuántos comensales sentará en cada mesa?
Solución:
40 2
56 2
72 2
20 2
28 2
36 2
10 2
14 2
18 2
5
1
5
7
1
7
9
3
3
3
1
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máx.c.d. (40, 56, 72) = 23 = 8
En cada mesa sentará a 8 comensales.
Ejercicio nº 8.Un cine tiene un número de asientos comprendido entre 200 y 250. Sabemos que el
número de entradas vendidas para completar el aforo es múltiplo de 4, de 6 y de 10.
¿Cuántos asientos tiene el cine?
Solución:
4
2
6
2
10
2
2
2
3
3
5
5
1
1
1
mín.c.m. (4, 6, 10) = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60
Como el número de asientos está comprendido entre 200 y 250, buscamos un múltiplo de 60
que cumpla esa condición:
60 ⋅ 1 = 60
60 ⋅ 2 = 120
60 ⋅ 3 = 180
60 ⋅ 4 = 240
60 ⋅ 5 = 300
El cine tiene 240 asientos.
Ejercicio nº 1.¿Cuál o cuáles de estos números son múltiplos de 12? Explica por qué:
a) 96
b) 54
c) 84
Solución:
a) 96 → Sí, porque el cociente es exacto: 96 : 12 = 8.
b) 54 → No, porque el cociente no es exacto: 54 : 12 = 4,5.
c) 84 → Sí, porque el cociente es exacto: 84 : 12 = 7.
Ejercicio nº 2.Calcula todos los divisores de los siguientes números:
a) 60
b) 48
Solución:
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a) Divisores de 60 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
b) Divisores de 48 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
Ejercicio nº 3.Escribe los cuatro primeros múltiplos de cada número:
a) 16, ______, ______, ______, ______.
b) 20, ______, ______, ______, ______.
c) 18, ______, ______, ______, ______.
Solución:
a) 16, 32, 48, 64, 80.
b) 20, 40, 60, 80, 100.
c) 18, 36, 54, 72, 90.
Ejercicio nº 4.En los siguientes números:
16
−
−
−
−
22
25
28
30
34
36
40
52
66
80
99
Rodea con un círculo los múltiplos de dos.
Encierra en un triángulo los múltiplos de tres.
Encierra en un cuadrado los múltiplos de cinco.
¿Qué números quedan a la vez rodeados por un círculo y encerrados en un cuadrado?
¿De qué otro número son múltiplos?
Solución:
El 30, 40 y 80. Son múltiplos también de 10.
Ejercicio nº 5.Calcula por el método artesanal:
a) máx.c.d. (6, 9)
b) máx.c.d. (8, 12)
c) máx.c.d. (18, 24)
Solución:
a) máx.c.d. (6, 9)
Divisores de 6 = 1, 2, 3, 6
Divisores de 9 = 1, 3, 9
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máx.c.d. (6, 9) = 3
b) máx.c.d. (8, 12)
Divisores de 8 = 1, 2, 4, 8
Divisores de 12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12
máx.c.d. (8, 12) = 4
c) máx.c.d. (18, 24)
Divisores de 18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18
Divisores de 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
máx.c.d. (18, 24) = 6
Ejercicio nº 6.¿De cuántas maneras distintas se pueden envasar en botes 36 pelotas de tenis de forma
que haya siempre el mismo número de pelotas en cada bote?
Solución:
BOTES
PELOTAS
1
2 3
36 18 12
4
9
6
6
9 12 18
4 3
2
36
1
Ejercicio nº 7.Un electricista tiene tres rollos de cable de 96, 120 y 144 metros de longitud. Desea
cortarlos en trozos iguales de la mayor longitud posible, sin que quede ningún trozo
sobrante. ¿Qué longitud tendrá cada trozo?
Solución:
96 2
120 2
144 2
48 2
60
2
72
2
24 2
30
2
36
2
12 2
15
3
18
2
5
6
2
5
3
3
1
1
9
3
3
3
1
máx.c.d. (96, 120, 144) = 23 ⋅ 3 = 24
Cada trozo medirá 24 cm.
Ejercicio nº 8.Beatriz visita a su abuela cada 8 días, y su hermano David, cada 14 días. Hoy han
coincidido en la visita. ¿Cuándo volverán a coincidir? ¿Cuántas visitas habrá hecho
cada uno a su abuela?
Solución:
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página 5
8 2
4 2
2 2
1
14 2
7 7
1
mín.c.m. (8, 14) = 23 ⋅ 7 = 56
Volverán a coincidir dentro de 56 días.
56 : 8 = 7
56 : 14 = 4
Beatriz habrá hecho 7 visitas y David, 4.
Ejercicio nº 1.Responde a las preguntas y justifica tus respuestas:
a) ¿El número 8 es divisor de 30? Explica por qué.
b) ¿El número 155 es múltiplo de 31? Explica por qué.
Solución:
a) No; porque el cociente no es exacto: 30 : 8 = 3,75.
b) Sí; porque el cociente es exacto: 155 : 31 = 5.
Ejercicio nº 2.Calcula todos los divisores de los siguientes números:
a) 24
b) 36
Solución:
a) Divisores de 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
b) Divisores de 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Ejercicio nº 3.Escribe los cuatro primeros múltiplos de cada número:
a) 14, ______, _______, _______, _______.
b) 13, ______, _______, _______, ________.
c) 7, _______, _______, _______, ________.
Solución:
a) 14, 28, 42, 56, 70.
b) 13, 26, 39, 52, 65.
c) 7, 14, 21, 28, 35.
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Ejercicio nº 4.Observa estos números y completa:
12
14
21
25
36
40
42
45
70
75
Múltiplos de 2:
Múltiplos de 3:
Múltiplos de 5:
Múltiplos de 10:
Solución:
Múltiplos de 2: 12, 14, 36, 40, 42 y 70.
Múltiplos de 3: 12, 21, 36, 42, 45 y 75.
Múltiplos de 5: 25, 40, 45, 70 y 75.
Múltiplos de 10: 40 y 70.
Ejercicio nº 5.Obtén, por el método artesanal, el mín.c.m. de cada par de números:
a) mín.c.m. (9, 12)
b) mín.c.m. (4, 6)
c) mín.c.m. (6, 8)
Solución:
a) mín.c.m. (9, 12)
Múltiplos de 9 = 9, 18, 27, 36, 45, …
Múltiplos de 12 = 12, 24, 36, …
mín.c.m. (9, 12) = 36
b) mín.c.m. (4, 6)
Múltiplos de 4 = 4, 8, 12, 16…
Múltiplos de 6 = 6, 12, …
mín.c.m. (4, 6) = 12
c) mín.c.m. (6, 8)
Múltiplos de 6 = 6, 12, 18, 24, …
Múltiplos de 8 = 8, 16, 24, …
mín.c.m. (6, 8) = 24
Ejercicio nº 6.¿Se puede llenar un número exacto de garrafas de 15 litros con un bidón que contiene
170 litros? ¿Y con un bidón de 180 litros?
Solución:
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página 7
170 : 15 = 11,3 → No se puede porque el cociente no es exacto.
180 : 15 = 12 → Con 180 litros se llenan, exactamente, 12 bidones de 15 litros.
Ejercicio nº 7.Un granjero ha recogido de sus gallinas 30 huevos morenos y 80 huevos blancos. Quiere
envasarlos en recipientes con la mayor capacidad posible y con el mismo número de
huevos (sin mezclar los blancos con los morenos). ¿Cuántos huevos debe poner en
cada recipiente?
Solución:
30 2
80 2
15 3
40 2
5
5
20 2
1
10 2
5
5
1
máx.c.d. (30, 80) = 2 ⋅ 5 = 10
En cada recipiente debe poner 10 huevos.
Ejercicio nº 8.Una rana corre dando saltos de 60 cm perseguida por un gato que da saltos de 90 cm.
¿Cada qué distancia coinciden las huellas del gato y las de la rana?
Solución:
60 2
90 2
30 2
45 3
15 3
15 3
5
5
5
1
5
1
mín.c.m. (60, 90) = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 = 180
Coinciden cada 180 cm.
Ejercicio nº 1.¿Cuáles de estos números son múltiplos de tres? Explica por qué:
15
20
19
33
49
12
Solución:
Son múltiplos de tres los números 12, 15 y 33, porque el cociente es exacto:
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página 8
12 : 3 = 4
15 : 3 = 5
33 : 3 = 11
Ejercicio nº 2.Calcula todos los divisores de los siguientes números:
a) 40
b) 33
Solución:
a) Divisores de 40 = 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
b) Divisores de 33 = 1, 3, 11, 33
Ejercicio nº 3.Escribe los cuatro primeros múltiplos de cada número:
a) 24, ______, ______, _______, _______.
b) 19, ______, ______, _______, _______.
c) 15, ______, ______, _______, _______.
Solución:
a) 24, 48, 72, 96, 120.
b) 19, 38, 57, 76, 95.
c) 15, 30, 45, 60, 75.
Ejercicio nº 4.En los siguientes números:
6
−
−
−
−
12
15
18
20
24
36
44
50
66
70
75
Rodea con un círculo los múltiplos de dos.
Encierra en un triángulo los múltiplos de tres.
Encierra en un cuadrado los múltiplos de cinco.
¿Qué números quedan a la vez rodeados por un círculo y encerrados en un cuadrado?
¿De qué otro número son múltiplos?
Solución:
El 20, 50 y 70. Son múltiplos también de 10.
Ejercicio nº 5.-
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página 9
Calcula por el método artesanal:
a) mín.c.m. (10, 15)
b) mín.c.m. (6, 9)
c) mín.c.m. (8, 12)
Solución:
a) mín.c.m. (10, 15)
Múltiplos de 10 = 10, 20, 30, 40, …
Múltiplos de 15 = 15, 30, …
mín.c.m. (10, 15) = 30
b) mín.c.m. (6, 9)
Múltiplos de 6 = 6, 12, 18, 24, …
Múltiplos de 9 = 9, 18, …
mín.c.m. (6, 9) = 18
c) mín.c.m. (8, 12)
Múltiplos de 8 = 8, 16, 24, 32, …
Múltiplos de 12 = 12, 24, …
mín.c.m. (8, 12) = 24
Ejercicio nº 6.¿De cuántas formas podemos empaquetar 45 libros si debe haber el mismo número de
libros en cada paquete?
Solución:
PAQUETES
LIBROS
1
3
45 15
5
9
9 15
5 3
45
1
Ejercicio nº 7.Un carpintero dispone de tres listones de madera de 40, 60 y 90 cm de longitud,
respectivamente. Desea dividirlos en trozos iguales y de la mayor medida posible, sin
que sobre madera. ¿Qué longitud deben tener esos trozos?
Solución:
40 2
60 2
90 2
20 2
30 2
45 3
10 2
15 3
15 3
5
1
5
5
1
5
5
5
1
máx.c.d. (40, 60, 90) = 2 ⋅ 5 = 10
Los trozos deben medir 10 cm.
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página 10
Ejercicio nº 8.¿Cuál es la capacidad del menor depósito posible que puede llenarse con un número
exacto de bidones de 12, 16 y 18 litros, respectivamente?
Solución:
12 2
16 2
18 2
6
2
8
2
9
3
3
3
4
2
3
3
2
2
1
1
1
mín.c.m. (12, 16, 18) = 24 ⋅ 32 = 144
La capacidad del depósito será de 144 litros.
Ejercicio nº 1.Responde a las preguntas y justifica tus respuestas:
a) ¿El número 14 es divisor de 56? Explica por qué.
b) ¿El número 301 es múltiplo de 31? Explica por qué.
Solución:
a) Sí; decimos que 14 es divisor de 56 porque su cociente es exacto: 56 : 14 = 4.
b) No; decimos que 301 no es múltiplo de 31 porque su cociente no es exacto: 301 : 31 = 9,7.
Ejercicio nº 2.Calcula todos los divisores de los siguientes números:
a) 46
b) 34
Solución:
a) Divisores de 46 = 1, 2, 23, 46
b) Divisores de 34 = 1, 2, 17, 34
Ejercicio nº 3.Escribe los cuatro primeros múltiplos de cada número:
a) 12, ______, _______, _______, _______.
b) 9, _______, _______, _______, _______.
c) 25, ______, _______, _______, _______.
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página 11
Solución:
a) 12, 24, 36, 48, 60.
b) 9, 18, 27, 36, 45.
c) 25, 50, 75, 100, 125.
Ejercicio nº 4.Observa estos números y completa:
15
18
25
30
37
40
42
45
70
75
Múltiplos de 2:
Múltiplos de 3:
Múltiplos de 5:
Múltiplos de 10:
Solución:
Múltiplos de 2: 18, 30, 40, 42 y 70
Múltiplos de 3: 15, 18, 30, 42, 45 y 75
Múltiplos de 5: 15, 25, 30, 40, 45, 70 y 75
Múltiplos de 10: 30, 40 y 70
Ejercicio nº 5.Calcula por el método artesanal:
a) máx.c.d. (20, 25)
b) máx.c.d. (12, 16)
c) máx.c.d. (9, 27)
Solución:
a) máx.c.d. (20, 25)
Divisores de 20 = 1, 2, 4, 5, 10, 20
Divisores de 25 = 1, 5, 25
máx.c.d. (20, 25) = 5
b) máx.c.d. (12, 16)
Divisores de 12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12
Divisores de 16 = 1, 2, 4, 8, 16
máx.c.d. (12, 16) = 4
c) máx.c.d. (9, 27)
Divisores de 9 = 1, 3, 9
Divisores de 27 = 1, 3, 9, 27
máx.c.d. (9, 27) = 9
Ejercicio nº 6.-
IES CINCO VILLAS TEMA 3 DIVISIBILIDAD
página 12
¿De cuántas formas diferentes se puede construir un rectángulo con 36 cuadrados
iguales?
Solución:
ANCHO
ALTO
1
2 3
36 18 12
4
9
6
6
Ejercicio nº 7.El dependiente de una papelería tiene que organizar en botes 36 bolígrafos rojos, 60
bolígrafos azules y 48 bolígrafos negros, de forma que en cada bote haya el mayor
número de bolígrafos posible y todos tengan el mismo número sin mezclar los colores.
¿Cuántos pondrá en cada bote?
Solución:
36 2
18 2
9
3
3
3
1
48 2
60 2
24 2
30 2
12 2
15 3
6
2
5
3
3
1
5
1
máx.c.d. (36, 48, 60) = 22 ⋅ 3 = 12
En cada bote pondrá 12 bolígrafos.
Ejercicio nº 8.Un cometa es visible desde la tierra cada 16 años, y otro, cada 24 años. El último año
que fueron visibles conjuntamente fue en 1968. ¿En qué año volverán a coincidir?
Solución:
16 2
24 2
8
2
4
2
6
2
2
2
3
3
1
12 2
1
mín.c.m. (16, 24) = 24 ⋅ 3 = 48
Coinciden cada 48 años. Volverán a coincidir en el año 2016.
Ejercicio nº 1.¿Cuáles de estos números son múltiplos de tres? Explica por qué:
IES CINCO VILLAS TEMA 3 DIVISIBILIDAD
página 13
15
20
19
33
49
12
Solución:
Son múltiplos de tres los números 12, 15 y 33, porque el cociente es exacto:
12 : 3 = 4
15 : 3 = 5
33 : 3 = 11
Ejercicio nº 2.Calcula todos los divisores de los siguientes números:
a) 46
b) 34
Solución:
a) Divisores de 46 = 1, 2, 23, 46
b) Divisores de 34 = 1, 2, 17, 34
Ejercicio nº 3.Escribe los cuatro primeros múltiplos de cada número:
a) 14, ______, _______, _______, _______.
b) 13, ______, _______, _______, ________.
c) 7, _______, _______, _______, ________.
Solución:
a) 14, 28, 42, 56, 70.
b) 13, 26, 39, 52, 65.
c) 7, 14, 21, 28, 35.
Ejercicio nº 4.Observa estos números y completa:
12
14
21
25
36
40
42
45
70
75
Múltiplos de 2:
Múltiplos de 3:
Múltiplos de 5:
Múltiplos de 10:
Solución:
Múltiplos de 2: 12, 14, 36, 40, 42 y 70.
Múltiplos de 3: 12, 21, 36, 42, 45 y 75.
Múltiplos de 5: 25, 40, 45, 70 y 75.
IES CINCO VILLAS TEMA 3 DIVISIBILIDAD
página 14
Múltiplos de 10: 40 y 70.
Ejercicio nº 5.Calcula por el método tradicional:
a) mín.c.m. (9, 12)
b) mín.c.m. (25, 50)
c) mín.c.m. (6, 7)
Solución:
a) mín.c.m. (9, 12)
Múltiplos de 9 = 9, 18, 27, 36, 45, …
Múltiplos de 12 = 12, 24, 36, …
mín.c.m. (9, 12) = 36
b) mín.c.m. (25, 50)
Múltiplos de 25 = 25, 50, 75, 100, …
Múltiplos de 50 = 50, …
mín.c.m. (25, 50) = 50
c) mín.c.m. (6, 7)
Múltiplos de 6 = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, …
Múltiplos de 7 = 7, 14, 21, 28, 35, 42, …
mín.c.m. (6, 7) = 42
Ejercicio nº 6.¿De cuántas formas podemos empaquetar 45 libros si debe haber el mismo número de
libros en cada paquete?
Solución:
PAQUETES
LIBROS
1
3
45 15
5
9
9 15
5 3
45
1
Ejercicio nº 7.Un carpintero dispone de tres listones de madera de 40, 60 y 90 cm de longitud,
respectivamente. Desea dividirlos en trozos iguales y de la mayor medida posible, sin
que sobre madera. ¿Qué longitud deben tener esos trozos?
Solución:
IES CINCO VILLAS TEMA 3 DIVISIBILIDAD
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40 2
60 2
90 2
20 2
30 2
45 3
10 2
15 3
15 3
5
5
1
5
5
1
5
5
1
máx.c.d. (40, 60, 90) = 2 ⋅ 5 = 10
Los trozos deben medir 10 cm.
Ejercicio nº 8.Un cine tiene un número de asientos comprendido entre 200 y 250. Sabemos que el
número de entradas vendidas para completar el aforo es múltiplo de 4, de 6 y de 10.
¿Cuántos asientos tiene el cine?
Solución:
4
2
6
2
10
2
2
2
3
3
5
5
1
1
1
mín.c.m. (4, 6, 10) = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60
Como el número de asientos está comprendido entre 200 y 250, buscamos un múltiplo de 60
que cumpla esa condición:
60 ⋅ 1 = 60
60 ⋅ 2 = 120
60 ⋅ 3 = 180
60 ⋅ 4 = 240
60 ⋅ 5 = 300
El cine tiene 240 asientos.
IES CINCO VILLAS TEMA 3 DIVISIBILIDAD
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