Ejercicios Interferometría y experimento de Young

Ejercicios de Interferometría y experimento de Young.
1.-Se tienen dos fuentes luminosas coherentes cuyas frecuencias son = 5
∙ 10 .
En un punto P, situado a una distancia de 32[mm] de la primera y a 35[mm] de la segunda, se
observa que cuando actúa sólo la primera fuente la intensidad en el punto P es 80 [ ] y
]
cuando actúa sólo la segunda la intensidad luminosa en P es de 20 [
. Encuentre la
intensidad luminosa en P cuando actúan las dos fuentes simultáneamente.
Solución
P
r1
S1
r2
S2
Datos :
= 5 ∙ 10 = 80 ,
, = 32[] = 32 ∙ 10[] , = 35[] = 35 ∙ 10[],
= 20 ,
=?
Se sabe que: = ! "#$% " , siendo "#$% " la amplitud y ! la constante de proporcionalidad.
Por otro lado:
& = + + 2 ( )
)
*5 cos[k/ − 1 + /ϕ − ϕ 1] 34
(1)
Luego:
& = + + 2 ( cos[k/ − 1 + /ϕ − ϕ 1]
Como ϕ = ϕ
6
cos[k/ − 1] = cos 7 / − 1 = cos 68
/
9
Sustituyendo los valores: cos/10 :1 = 1
Introduciendo los valores se obtiene:
& = + + 2 ( = 80 + 20 + 2 √1600
− 1
(2)
De aquí: → & = 180 .
2.- Los focos
F1 y F2 de la figura son coherentes. Se sabe que la intensidad en P cuando
y
actúa sólo la fuente F1 es 36 cuando actúa solamente la fuente F2 es 9 .
Determine la intensidad en P cuando actúan simultáneamente las dos fuentes:
a) Cuando no está presente la lámina de espesor l.
b) Cuando está presente la lámina.
Solución
Datos:
= 36 =?
,
= 9 ,
? @ = ? @ , A = 1.5 , C = 2000[A], D = 400[A],
a) Al igual que en el caso anterior: & = + + 2 ( cos[F/ − 1], pero,
? @ = , ? @ = Como ? @ = ? @ el cos[F/ − 1] = 1, luego:
& = 36 + 9 + 2√324 = 81 .
b)
F1
F2
n
L
P
Al estar presente la lámina C se produce una diferencia de camino óptico entre ambos rayos,
por lo tanto la diferencia de camino óptico entre los rayos que interfieren está dada por:
G = − = AC − C = C /A − 11
G = 2000 /1,5 − 11 = 1000[A]
Como:
& = + + 2 ( cos[F/ − 1]
K
& = 36 + 9 + 2√324 HIJ 55 ∙ 1000 → & = 9 .
3.- Los radios de curvatura de una lente convergente miden 30[cm] y están hechas de un
cristal de n = 1,6.
a) Determine sus distancias focales,
b) Dibuje la imagen de un objeto colocado, más allá, a la izquierda del foco objeto. Mencione
sus características.
Solución
FI
FO
a)
b)
L
L
= /A − 11 MN −
O
P
N
= /1,6 − 11 M5 −
P
5
es la llamada ecuación del fabricante de lentes
→ = 25[H].
Características de la imagen: real, invertida, más pequeña que el objeto.
Fi
Fo
Repetir todo el proceso considerando ahora una lente divergente.
5.- La figura muestra el esquema
del interferómetro que sirve para medir índice de
refracción de sustancias transparentes. S es una ranura estrecha, iluminada con luz
monocromática de longitud de onda 589[nm]; 1 y 2 son dos tubos idénticos que contienen
aire; la longitud de cada uno de ellos, l = 10,0 [cm] y D es el diafragma con dos rendijas.
Cuando en el tubo 1 se cambia el aire por amoniaco, el cuadro de interferencia en la pantalla P
se desplazó hacia arriba en 17 bandas. El índice de refracción del aire es n = 1,000277.
Calcule el índice de refracción del amoniaco.
Solución
D
P
Y
1
S
O
d
2
m=0
L
Datos: D = 589[A], C = 10[H] = 10Q [nm] , = 17, A = 1,000277 AU. = ?
G = G − G
(1)
G = AU C − AC
(2)
Además, G = 3JVAW = 34XAW ( W es pequeño)
Luego:
G = 3
Y
Z
(3)
Introduciendo (2) y (3) en (1):
G = AU C − AC − 3
AU. =
Y
Z
= D
_
[ \]\ ^ `
,
AU. = 1,0022796
reemplazando lo valores, se obtiene:
6.- Para cubrir
una de las aberturas de un aparato de doble abertura se usa una hoja delgada
de mica (A = 1,58). El punto central de la pantalla queda ocupado por lo que anteriormente
era la séptima franja brillante. Si D = 550 [nm], ¿cuál es el espesor de la lámina de mica?
Solución
n
C
O m=7
Datos: A = 1.58, D = 550 [nm], = 7.
La lámina provoca una diferencia de camino óptico en el espacio C:
G = C A − C = C/A − 11
(1)
Ya que en O se forma el máximo de interferencia de orden 7, se tiene:
G = D
(2)
Igualando (1) y (2)
C /A − 11 = D → C =
[
/]1
Reemplazando los valores dados: → C = 6637[A].
7.- Frente a la pantalla de doble ranura se colocan dos tubos llenos de aire, como muestra la
figura. Sobre ella incide luz de 450[nm]. ¿Cuál debe ser el índice de la sustancia que se debe
colocar en el tubo de longitud C para que el patrón de interferencia se desplace hacia arriba en
10 bandas.
Solución
C
n1
S
O
n2
2C
Datos:
A = 1, D = 450 [nm], C = 15[H] = 15 ∙ 10Q [A], = 10 , A = ?
La diferencia de marcha se produce antes de llegar a la pantalla de doble abertura:
CA − 2CA = D
→ A =
[
+ 2
Reemplazando los valores: → A = 2,00003.
8.- Cuando sobre el sistema
de la figura incide luz monocromática, se observa que el máximo
de interferencia de tercer orden se encuentra en un ángulo de 0,01 [rad] con la horizontal.
a) Calcule la longitud de onda de la luz incidente si d = 150 000[nm].
b) Si frente a la rendija superior se coloca una lámina de índice de refracción 1,5 y espesor C
de 4 λ, halle el máximo de interferencia que aparece en el punto A. Considere que los rayos
inciden normalmente y que L >> d.
c) Si frente a la rendija inferior se coloca una segunda lámina de índice de refracción 1.3,
calcule cuál debe ser el espesor de la lámina 2 para que en A se forme el máximo de orden
cero.
Solución
L1
A
d
L
Datos:
W = 0.01 [X3], 3 = 150000 [A], A = 1.5 , A = 1.3 , C = 4 D, = 3, a ≫ 3
a) Condición de máximo de interferencia:
3 sin W = D
Para ángulos pequeños: sin W ≈ W.
Reemplazando los valores: → D = 500 [A]
b) Como L >>d, se pueden despreciar las desviaciones de los rayos producidas por la refracción
de éstos en la lámina. Por otro lado, esta condición permite considerar que los rayos que
llegan a A son prácticamente paralelos y tienen dirección horizontal.
Desde el punto de vista geométrico los rayos que interfieren en A hacen el mismo recorrido,
pero el camino óptico es diferente, produciéndose una diferencia de marcha óptica, es decir:
G = A C − C
(1)
Ya que en el punto A aparece un máximo:
G =D
(2)
Igualando (1) y (2):
A C − C = D → = 2.
c)
O
L1
n1
A
n2
L2
O’
En este caso la diferencia de marcha se produce antes que los rayos llegue a OO’.
El rayo superior tiene un recorrido óptico dado por:
C A + /C − C 1
El rayo inferior recorre:
C A,
Luego:
G = [C A + /C − C 1] − C A, = /C A − C 1 − eC A, − C f .
Para que en el punto A se forme el máximo de orden cero, la diferencia de marcha debe ser
cero, o sea:
/C A − C 1 − eC A, − C f = 0
/4D ∙ 1,5 − 4D1 − /1,3 C − C 1 = 0 → C = 6,66 D.
9.-
Dibuje el esquema del experimento de Young.
a) Para obtener haces paralelos que lleguen hasta la pantalla que contiene la doble abertura,
¿qué tipo de lente debe utilizarse y dónde, respecto a la lente L1 , debe colocarse la fuente
puntual S que emite luz de 589[nm]?
b) Para obtener un patrón de interferencia, ¿dónde debe colocar la pantalla que recoge dicho
patrón, respecto a la segunda lente L2 , ubicada detrás de la primera pantalla?
c) Determine la distancia focal de L2 si se sabe que la distancia lineal entre el máximo central y
el primer máximo lateral es de 0,5[mm] y las ranuras están separadas 0,20[mm].
d) ¿Cuál es la posición angular del primer mínimo? Considere ángulos pequeños.
e) ¿Qué ocurrirá si entre la ranura superior y la lente L2 se coloca una lámina de espesor 1[mm]
y de índice de refracción 1,4?
f) ¿Qué sucederá si todo el dispositivo se introduce en agua? Explique.
Solución
P
L1
L2
r1
ly
r2
S
O
d
a) Se utiliza una lente convergente. La fuente S debe colocarse en el foco objeto de dicha
lente para obtener haces paralelos que incidan sobre la pantalla de doble abertura.
b) La pantalla que recoge el patrón de interferencia se debe colocar en el plano focal imagen de
la segunda lente.
c) Al aplicar las condiciones de máximo de Young:
3 JVAW = D
( = 0, ±1, ±2, ±3 ….)
(1)
Considerando ángulos pequeños, se tiene:
3 JVAW = 3 tan W = D
tan W =
(2)
∆Y
(3)
L
Introduciendo (3) en (2):
3
∆Y
L
=D → =
Reemplazando los valores:
^∆Y
[
=
5,5[mm]∙5,n[mm]
∙nop ∙ 5qr [mm]
= 169[mm] = 16,9[cm]
d) Al aplicar las condiciones de mínimo de Young:
3 JVAW = / + 1 D
JVAW =
( = 0, ±1, ±2, ±3 ….)
(4)
O
/\1 [
^
Para = 0 ,
JVAW =
O
nop∙ 5qs []
5,5 ∙ 5qt []
= 0,001472.
Cuando W VJ pequeño sin W ≈ W expresado en radianes; en grados W ≈ 0,085
e) Si se coloca una lámina de 1[mm ] de espesor se produce una diferencia de camino óptico:
n
C
G = C − C = C A − C = C / A − 11 = 0,4 = D.
Reemplazando los valores:
=
5,∙ 5r
= 679.
nop
El máximo central de orden cero se corre 679 franjas hacia arriba.
f)
[
Si el dispositivo se introduce en agua el patrón de interferencia se estrecha porque D] = ] ,
por lo tanto :
3 JVAW = [
]
,
lo que significa que W se hace más pequeño.