Funciones de Lyapunov y Algunas Aplicaciones

Universidad Veracruzana
Facultad de Matemáticas
Funciones de Lyapunov
y Algunas Aplicaciones
TESIS
que para aprobar la experiencia educativa
Experiencia Recepcional
correspondiente al plan de estudios
de la Licenciatura en Matemáticas
P R E S E N T A:
Mario Alberto Yepez Rivera
DIRECTOR DE TESIS:
Dr. Evodio Muñoz Aguirre.
Mayo del año 2013, Xalapa-Enrı́quez, Veracruz. México
Después de varios años el final de una etapa más de mi vida ha llegado, una
etapa que no fue fácil de transitar, pero gracias a muchas personas hoy estoy
aquı́, en primer lugar a mi madre Herminia Rivera Reyna, quien me ha brindado
la fortaleza para siempre salir adelante y me ha enseñado a nunca darme por
vencido; a mis hermanos: Margarita, Olivia, Flor, Rolando, Wilfrido y Carolina,
quienes siempre creyeron en mı́ y me han brindado su apoyo incondicional; a mis
profesores, quienes me transmitieron los conocimientos; también a mis amigos,
esos que hacı́an todo divertido en la facultad, esos que en mi casa me alentaban a
superarme; también esos amigos que se han ido o pronto los dejaré de ver, porque
han dejado una huella muy grande en mı́; y a Dios por haberme dado esta vida y
ponerme a tan maravillosas personas en el camino.
Índice general
1. Introducción
1
2. Teorı́a de Estabilidad
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Conceptos Básicos de Sistemas Dinámicos .
2.2.1. Descripción y Tipos de Sistemas . .
2.2.2. Puntos de Equilibrio . . . . . . . .
2.3. Definición y Tipos de Estabilidad . . . . . .
2.4. Primer Método de Lyapunov . . . . . . . .
2.4.1. Sistemas Lineales . . . . . . . . . .
2.4.2. Sistemas no Lineales . . . . . . . .
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4
4
4
4
6
6
9
9
14
3. Funciones de Lyapunov
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Segundo Método de Lyapunov . . . . . . . . . . .
3.4. Métodos de busqueda de Funciones de Lyapunov .
3.4.1. Método de Krasovskii . . . . . . . . . . .
3.4.2. Método del Gradiente Variable . . . . . . .
3.4.3. Función de Lyapunov de Forma Cuadrática
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19
19
22
22
24
27
4. Aplicaciones
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Péndulo simple no amortiguado . . .
4.2.1. Modelo . . . . . . . . . . . .
4.2.2. Método de Krasovskii . . . .
4.2.3. Método del Gradiente Variable
4.2.4. Función de Lyapunov . . . . .
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31
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3
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4.3. Controlador de Posición Robótico . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3.1. Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3.2. Función de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5. Conclusiones
39
1
Introducción
Antecedentes
Desde los orı́genes de lo que conocemos como ciencia, el hombre ha tratado
de entender y explicar su entorno, pero se ha encontrado con un mundo cambiante,
donde todo está en movimiento, y se ha propuesto comprender el cómo y el por
qué de esos movimientos. Una forma de explicar este comportamiento es a través de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO’s), pero algunos fenómenos
requieren de un sistema de éstas. La teorı́a de los sistemas dinámicos intenta entender procesos en movimiento, es decir cambios o variaciones de un objeto con
respecto al tiempo.
Se entiende por un sistema dinámico al sistema de ecuaciones diferenciales
ordinarias expresados como ẋ = f (x), según se puede ver en [5], [7], [8], [14],
[15], etc.
La estabilidad es una propiedad cualitativa de los sistemas dinámicos a la que
se le considera la más importante de todas. Los conceptos de estabilidad e inestabilidad están presentes en la vida cotidiana (bolsa de valores, estado de salud,
estructuras en construcción, etc.), por eso es necesario definir un concepto usado
con mucha frecuencia.
No fue sino hasta 1892 cuando Aleksandr Mijáilovich Lyapunov (1857-1918)
formuló de manera precisa el concepto de estabilidad, dando origen a lo que hoy
se conoce como teorı́a de estabilidad, enmarcada en el estudio de los sistemas de
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales y no lineales.
1
1. INTRODUCCIÓN
2
Justificación
Para sistemas lineales, existen resultados que nos indican de una manera fácil
y sencilla si el sistema es estable y a qué tipo de estabilidad nos referimos, ésto
forma parte de la teorı́a de Lyapunov. Estos resultados no se pueden aplicar directamente a los sistemas no lineales, sin embargo en algunos casos se puede llegar
a conocer su comportamiento mediante sistemas linealizados asociados a éstos.
Pero en general no se puede obtener ninguna información del sistema no lineal.
En el análisis de Lyapunov se permite estudiar la estabilidad alrededor de un
punto de equilibrio de sistemas no lineales, por medio de una función a la que
se le llama función de Lyapunov. Una función de Lyapunov es una función
V : Rn → R, tal que V(x) es definida positiva y V̇(x) es definida negativa, ver
[6], [10], [11], [12], [13], etc.
La dificultad que guarda este tema es realmente la identificación de estas funciones, ya que no es posible reconocerlas a simple vista, dado que no existe un
método sistemático que permita dar a conocer una función en sentido de Lyapunov, salvo en algunos casos muy especı́ficos. Estas funciones son de gran utilidad en muchas ramas de la ciencia, en particular en las que se aplica la teorı́a
de control, como por ejemplo aeronáutica, robótica o procesos industriales, por
mencionar algunas.
Este trabajo se puede resumir de la siguiente manera:
En el segundo capı́tulo se dan a conocer definiciones básicas de sistemas de
ecuaciones diferenciales ordinarias, ası́ como sus propiedades, siendo la estabilidad una de las más importantes, la cual se estudia alrededor de los puntos de
equilibrio del sistema.
El estudio de la estabilidad en los sistemas lineales es sencillo, esto, al analizar
las caracterı́sticas de los eigenvalores y eigenvectores de la matriz asociada al sistema, pero en sistemas no lineales no se puede aplicar esta técnica directamente,
para ello se procede a realizar una linealización y a partir del sistema linealizado
se puede hacer el estudio de la estabilidad.
En el tercer capı́tulo se da a conocer que en algunos casos el sistema linealiza-
1. INTRODUCCIÓN
3
do no provee la información deseada, para ello se puede utilizar las funciones de
Lyapunov, ya que éstas estudian la estabilidad a partir del sistema no lineal, pero
estas funciones son difı́ciles de encontrar, ya que no existe un método que siempre
guı́e al hallazgo de una función de Lyapunov.
Algunos métodos que sirven para sistemas no lineales de bajo orden son el de
Krasovskii y el del Gradiente Variable, aunque no siempre son eficaces, incluso
se pueden auxiliar de la construcción de funciones de la forma cuadrática.
En el cuarto capı́tulo se muestra el uso del análisis de Lyapunov en fenómenos
fı́sicos: el movimiento de un péndulo simple y el de un manipulador robótico, ambos tienen su complicación de cierta manera.
El primer fenómeno se puede analizar mediante el método de Krasovskii y el
del gradiente variable, sin embargo con estos métodos no se puede obtener una
función de Lyapunov, ası́, se procede a utilizar una ecuación muy utilizada en
fı́sica como función de Lyapunov: La ecuación de la energı́a.
Para el segundo fenómeno es muy complicado obtener una función de Lyapunov por algunos de los métodos, dada la dimensión del sistema asociado con el
fenómeno, pero para este caso también se puede utilizar la ecuación de la energı́a,
aunque acoplada al fenómeno del manipulador.
Objetivos
OBJETIVO GENERAL:
Realizar un análisis de la estabilidad de sistemas dinámicos descritos por
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias por medio de las funciones de Lyapunov, enfatizar su importancia a través de algunos ejemplos de aplicaciones y mostrar algunos métodos que ayuden a encontrarlas.
OBJETIVOS PARTICULARES:
• Realizar un estudio de las Funciones de Lyapunov.
• Mostrar la importancia de las funciones de Lyapunov con algunos
ejemplos de aplicaciones.
• Exponer algunos métodos para encontrar funciones de Lyapunov.
2
Teorı́a de Estabilidad
2.1.
Introducción
De acuerdo con los libros de ecuaciones diferenciales ordinarias, una ecuación
diferencial ordinaria (EDO) suele representar el modelo matemático de un fenómeno
fı́sico, las ecuaciones pueden ser lineales o no lineales, en algunos casos los
fenómenos fı́sicos, quı́micos, biológicos, etc. se modela como un sistema de éstas.
La solución de un sistema de EDO´s indica el comportamiento de éste, de este
hecho se pueden estudiar algunas de sus propiedades importantes, tal es el caso
de la estabilidad, que se estudia a partir de los puntos de equilibrio.
En este capı́tulo se exponen algunas definiciones y algunos resultados para estudiar la estabilidad local de sistemas lineales y no lineales.
El material que se presenta en éste segundo capı́tulo se puede encontrar en [2],
[7], [10], [12], [13], [15], etc.
2.2.
Conceptos Básicos de Sistemas Dinámicos
2.2.1.
Descripción y Tipos de Sistemas
Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (SEDO) normal es un
conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias relacionadas entre si:
4
2. TEORÍA DE ESTABILIDAD
5
ẋ1 = f1 (t, x1 , x2 , ... , xn )
ẋ2 = f2 (t, x1 , x2 , ... , xn )
..
.
(2.1)
ẋn = fn (t, x1 , x2 , ... , xn ),
donde los f˙i s son funciones reales de n + 1 variables, x1 , ... ,xn ,t ∈ R conocidas
como variables dependientes e independientes respectivamente.
Definición 2.1 Una solución del sistema (2.1) es una función vectorial x = x(t),
que satisface la igualdad, a ésta se le llama trayectoria del sistema o lı́nea de flujo.
Para una mejor notación, se usarán vectores de la siguiente manera:


 x1 
 x2 
x =  ..  .
 . 


xn
Luego se tiene el sistema representado por una sola ecuación
ẋ = f (t, x)
donde

 f1 (t, x1 , x2 , ... , xn )

..
f (t, x) = 
.

fn (t, x1 , x2 , ... , xn )
(2.2)



 .

Definición 2.2 Se dice que el sistema (2.2) es autónomo si no contiene de manera
explı́cita a la variable t.
Ası́, un sistema autónomo nos queda como:
ẋ = f (x)
(2.3)
Definición 2.3 Si cada una de las funciones f1 , . . . , fn de (2.3) es una función
lineal de las variables dependientes x1 , . . . , xn , entonces se dice que el sistema es
lineal; en caso contrario, es no lineal.
2. TEORÍA DE ESTABILIDAD
6
La forma de representar un sistema autónomo lineal es
ẋ = Ax
(2.4)
donde x ∈ R , A es una matriz nxn con entradas constantes y la derivada
 dx1 


dx  dt. 
ẋ =
=  .  .
dt  dx. 
n
dt
Esta forma se utilizará cuando se estudie la estabilidad de dichos sistemas.
2.2.2.
Puntos de Equilibrio
Se puede tener el caso en que una trayectoria sólo le corresponda un punto, a
este punto se le llama punto de equilibrio.
Definición 2.4 Un punto x∗ es un punto de equilibrio, si una vez que x(t) es igual
a x∗ , lo sigue siendo para todo el tiempo futuro.
Esto significa que si el vector constante x∗ es un punto de equilibrio, entonces
satisface
f (x∗ ) = 0
(2.5)
Ası́ que los puntos de equilibrio pueden encontrarse resolviendo la ecuación
algebraica (2.5).
2.3.
Definición y Tipos de Estabilidad
Una de las propiedades más importantes de los sistemas de EDO es la estabilidad, la cual, se puede estudiar de manera local o global, el primer caso se estudia
a partir de los puntos de equilibrio.
En este trabajo se estudiará la estabilidad para los sistemas autónomos. En este
caso, se tiene la siguiente definición.
2. TEORÍA DE ESTABILIDAD
7
Definición 2.5 Se dice que un punto de equilibrio x∗ es estable si, dado cualquier
ε > 0, existe δ > 0 tal que la solución x = x(t) del sistema (2.2), que en t = 0
satisface
kx(0) − x∗ k < δ
existe y satisface
kx(t) − x∗ k < ε
para toda t ≥ 0
Figura 2.1: punto de equilibrio estable
Esto nos dice que las soluciones que inicien suficientemente cercanas a x∗ permanecen cerca.
Definición 2.6 Un punto de equilibrio es inestable, si no es estable.
Figura 2.2: punto de equilibrio inestable
2. TEORÍA DE ESTABILIDAD
8
Definición 2.7 Un punto de equilibrio x∗ es asintóticamente estable si es estable
y si existe δ0 , con 0 < δ0 < δ, tal que si una solución x = x(t) satisface
kx(0) − x∗ k < δ0
entonces
lı́m x(t) = x∗ .
t→∞
Figura 2.3: punto de equilibrio asintóticamente estable
Por tanto las trayectorias que inician suficientemente cerca de x∗ no sólo deben
permanecer cerca, al final deben aproximarse a x∗ cuando t → ∞.
2. TEORÍA DE ESTABILIDAD
2.4.
Primer Método de Lyapunov
2.4.1.
Sistemas Lineales
9
Antes de comenzar con el estudio de la estabilidad de los sistemas no lineales,
se hará un breve estudio sobre la estabilidad de los sistemas lineales, para ello se
toma el caso más sencillo, cuando A es una matriz 2x2 en la ecuación (2.4).
Considere un sistema lineal de segundo orden con coeficientes constantes, este
sistema tiene la forma:
ẋ = Ax.
Claramente x∗ = 0 es un punto de equilibrio.
Para este sistema se buscan soluciones de la forma x = ξeλt . Sustituyendo en
la ecuación anterior se tiene:
(A − λI)ξ = 0.
(2.6)
De esto, λ es un eigenvalor y ξ un eigenvector.
Los números λ0 s son raı́ces de la ecuación polinomial
det(A − λI) = 0
(2.7)
Los eigenvalores pueden determinarse a partir de (2.7).
El plano donde se encuentran ubicadas las soluciones se le llama plano fase y
al conjunto de trayectorias retrato fase.
Para analizar la estabilidad, debemos considerar diferentes casos, dependiendo de los eigenvalores de A. A continuación se hace un esquema de los diferentes
retratos fase al variar las raı́ces del polinomio caracterı́stico.
Caso 1 : Eigenvalores reales y del mismo signo
Se tienen dos opciones:
i) Fuente (Eigenvalores positivos): Las trayectorias del sistema inician
cerca del origen y se alejan de él en diferentes direcciones.
2. TEORÍA DE ESTABILIDAD
10
Figura 2.4: fuente o repulsor (λ1 ≥ λ2 ≥ 0)
ii) Sumidero (Eigenvalores negativos): Las trayectorias del sistema con
condicion inicial fuera del origen se acercan a él en diferentes direcciones.
Figura 2.5: sumidero o atractor (λ1 ≤ λ2 ≤ 0)
Caso 2 : Eigenvalores reales y de signo contrario
Nodo silla: Las trayectorias del sistema con condición inicial fuera del origen se acercan un poco a él y despues se alejan.
2. TEORÍA DE ESTABILIDAD
11
Figura 2.6: nodo silla (λ1 > 0 > λ2 )
Caso 3 : Eigenvalores complejos(λ1−2 = α ± iβ)
Tenemos dos opciones:
i) Espirales (Eigenvalores con parte real diferente de cero):
a) Parte real negativa e imaginaria positiva: las trayectorias con condición inicial fuera del origen se dirigen a él girando en sentido horario.
b) Parte real e imaginaria positivas: las trayectorias surgen en un
punto cercano al origen y se alejan de él girando en sentido horario.
c) Parte real e imaginaria negativas: las trayectorias condición inicial
fuera del origen se dirigen a él girando en sentido antihorario.
d) Parte real positiva e imaginaria negativa: las trayectorias surgen
en un punto cercano al origen y se alejan de él girando en sentido
antihorario.
2. TEORÍA DE ESTABILIDAD
12
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 2.7: Tipos de espirales de acuerdo a su parte real e imaginaria: a) α <
0, β > 0, b) α > 0, β > 0, c) α < 0, β < 0, d) α > 0, β < 0.
ii) Centro (Eigenvalores con parte real igual a cero): Las trayectorias
tienen forma elı́ptica o circular, las cuales giran en sentido
a) antihorario, si la parte imaginaria es negativa.
b) horario, si la parte imaginaria es positiva.
(a)
(b)
Figura 2.8: Tipos de centros de acuerdo a su parte imaginaria: a) β < 0, b) β > 0.
Al reflexionar estos casos y analizar los retratos fase correspondientes se pueden
2. TEORÍA DE ESTABILIDAD
13
hacer las siguientes observaciones:
a) Si los eigenvalores tienen parte real negativa, las trayectorias se aproximan
a x∗ = 0 cuando t → ∞.
b) Si la parte real es cero, las trayectorias permanecen acotadas pero no se
aproximan a x∗ = 0 cuando t → ∞.
c) Si los eigenvalores tienen parte real positiva, las trayectorias tienden al infinito cuando t → ∞.
De las definiciones de estabilidad y de estas observaciones podemos concluir con
la siguiente tabla:
Eigenvalores
λ1 ≥ λ2 > 0
λ1 ≤ λ2 < 0
λ1 < 0 < λ2
λ1−2 = α ± iβ; α > 0
λ1−2 = α ± iβ; α < 0
λ1−2 = ±iβ
Tipo de punto de equilibrio
Estabilidad
Fuente
Inestable
Sumidero
Asintóticamente Estable
Nodo Silla
Inestable
Espiral (repulsor)
Inestable
Espiral (atractor)
Asintóticamente Estable
Centro
Estable
Se puede estudiar el caso de un sistema lineal n-dimensional y se cuenta con
un Teorema [2] que afirma lo siguiente
Teorema 2.1
* Cada solución x = x(t) de (2.4) es estable si todos los eigenvalores de A tienen parte real negativa.
* Cada solución x = x(t) de (2.4) es inestable si al menos un eigenvalor de A
tienen parte real positiva.
2. TEORÍA DE ESTABILIDAD
14
* Supóngase que todos los eigenvalores de A tienen parte real ≤ 0 y λi =
iσ1 . . . λl = iσl tienen parte real cero. Sea λ j = iσ j de multiplicidad k j , ésto
es que el polinomio caracterı́stico de A puede ser factorizado como
P(λ) = (λ − iσ1 )k1 . . . (λ − iσl )kl q(λ)
donde todos las raı́ces de q(λ) tienen parte real negativa, entonces cada
solución x = x(t) es estable si A tiene k j eigenvalores linealmente independientes para cada eigenvalor λ j = iσ j , de otra manera cada solución x(t)
es inestable.
2.4.2.
Sistemas no Lineales
Un aspecto importante de los sistemas lineales es que el comportamiento de
sus soluciones cerca de un punto de equilibrio nos dice el comportamiento de las
soluciones en todo el plano, sin embargo, si se quiere analizar el comportamiento
local de los sistemas no lineales, no se puede hacer de una manera tan directa, ello
se hace mediante un proceso de linealización.
Algunos procesos de linealización nos pueden llevar a casos erróneos, como
el caso de tomar sólo la parte lineal de cada ecuación que compone el sistema, ya
que ésto no garantiza que el sistema linealizado se comporte de manera semejante
al original.
El análisis de la linealización se basa en un concepto del cálculo, la aproximación lineal de Taylor:
f n (a)
f 2 (a)
(x − a)2 + . . . +
(x − a)n
f (x) = f (a) + f˙(a)(x − a) +
2!
n!
( 2
)
3
n
(a)
(a)
(a)
f
f
f
n−2
2
= f (a) + f˙(a)(x − a) + (x − a)
+
(x − a) + . . . +
(x − a)
,
2!
3!
n!
el cual se puede escribir como: f (x) ≈ f (a) + f˙(a)(x − a) + O((x − a)2 ), donde
O((x − a)2 ) representa el hecho de que si x está muy cerca de a, la suma de los
términos a partir del segundo es acotado por un múltiplo de (x − a)2 .
Supóngase que se tiene un sistema autónomo bidimensional, no lineal, de la
forma
ẋ1 = F(x1 , x2 )
,
(2.8)
ẋ2 = G(x1 , x2 )
2. TEORÍA DE ESTABILIDAD
15
que tiene como punto de equilibrio el origen (si el punto de equilibrio no es el
origen se puede hacer una traslación a él); es decir F(0, 0) = 0 y G(0, 0) = 0.
Para la función F(x1 , x2 ) la mejor aproximación en torno al punto (a, b) la
proporciona el plano tangente dado por la fórmula de Taylor
F(x1 , x2 ) ≈ F(a, b) +
donde
(a, b).
∂F
(a, b)
∂x1
y
∂F
(a, b)
∂x2
∂F
∂F
(a, b)(x1 − a) +
(a, b)(x2 − b),
∂x1
∂x2
son las derivadas parciales de F evaluadas en el punto
Si se toma el punto (a, b) como (0, 0), se puede escribir (2.8) en la forma
ẋ1 = F(0, 0) +
∂F
∂F
(0, 0)x1 +
(0, 0)x2 + f (x1 , x2 )
∂x1
∂x2
∂G
∂G
(0, 0)x1 +
(0, 0)x2 + g(x1 , x2 ).
∂x1
∂x2
Como el punto de equilibrio es (0, 0), se tiene que, F(0, 0) = G(0, 0) = 0,
entonces el sistema queda
ẋ2 = G(0, 0) +
ẋ1 = ax1 + bx2 + f (x1 , x2 )
ẋ2 = cx1 + dx2 + g(x1 , x2 ),
donde
a=
∂F
∂G
∂G
∂F
(0, 0), b =
(0, 0), c =
yd=
(0, 0),
∂x1
∂x2
∂x1
∂x2
y se cumple que
lı́m
(x1 ,x2 )→(0,0)
f (x1 , x2 )
g(x1 , x2 )
= lı́m
=0
q
q
(x1 ,x2 )→(0,0)
2
2
2
2
x1 + x2
x1 + x2
La ecuación anterior afirma que en las proximidades del origen f y g son
pequeños en comparación con la distancia del punto (x, y) al origen.
2. TEORÍA DE ESTABILIDAD
16
Con este hecho, el sistema asociado en torno al punto de equilibrio es:
ẋ1 = ax1 + bx2
ẋ2 = cx1 + dx2
(2.9)
!
a
b
ó ẋ = Ax con ẋ = ( ẋ1 , ẋ2 )t , x = (x1 , x2 )t y A =
, esta última igualdad
c d
es el Jacobiano del sistema no lineal evaluado en el origen, en general en un punto
de equilibrio.
De esta manera el comportamiento local del sistema no lineal, puede ser estudiado por medio de su sistema lineal asociado, del cual es mucho más fácil
estudiar la estabilidad.
Este proceso se puede generalizar para un sistema n-dimensional de manera
análoga y nos conduce al resultado que se conoce como primer método de Lyapunov o método indirecto de Lyapunov.
Teorema 2.2 (Primer Método de Lyapunov) Sea x∗ = 0 un punto de equilibrio
del sistema autónomo no lineal ẋ = f (x) donde f : E → Rn es una función
continuamente diferenciable y E ⊂ Rn es un entorno del origen.
Sea entonces:
 ∂ f1 ∂ f1 ∂ f1
∂ f1 
 ∂x1 ∂x2 ∂x3 · · · ∂x


n 
 ∂ f2 ∂ f2 ∂ f2

∂ f2 
 ∂x1 ∂x2 ∂x3 · · · ∂xn 


∂ f (x)  ∂ f3 ∂ f3 ∂ f3
∂ f3 
A=
=  ∂x1 ∂x2 ∂x3 · · · ∂xn 
∂x x∗ =0  .
..
.. . .
. 
 ..
. .. 
.
.
 ∂ fn ∂ fn ∂ fn

∂ fn 
∗
·
·
·
∂x1
∂x2
∂x3
∂xn
x =0
i) El origen es asintóticamente estable, si todos los eigenvalores de A tienen
parte real negativa.
ii) El origen es inestable, si al menos un eigenvalor de A tiene parte real positiva.
Este teorema nos muestra el comportamiento local de los sistemas no lineales
alrededor de un punto de equilibrio que tenga valor propio con parte real distinta
de 0, pero se puede tener el caso de que el punto de equilibrio sea solamente
2. TEORÍA DE ESTABILIDAD
17
estable, es decir un centro, entonces se procederá a estudiar la estabilidad en una
cierta región, para conocer el comportamiento en dicha región se necesitan otro
tipo de técnicas, tal es el caso de las funciones de Lyapunov.
3
Funciones de Lyapunov
3.1.
Introducción
Se ha analizado la estabilidad tanto de los sistemas lineales como de los no
lineales, para estos últimos se ha descrito el proceso de linealización, sin embargo, cuando el punto de equilibrio es un centro no se puede asegurar qué tipo de
estabilidad se tiene, en estos casos se procede a estudiar la estabilidad de los sistemas no lineales en una región alrededor de este punto.
Una de las técnicas para estudiar la estabilidad, es el uso de funciones de Lyapunov, pero éstas tienen cierta particularidad, no existe un método que garantice
que una función es de Lyapunov, ni algún método general para encontrarlas, mas
bien se requiere de habilidad para realizar su búsqueda.
En este capı́tulo se hablará acerca de estas funciones, ası́ como de sus caracterı́sticas para garantizar el tipo de estabilidad que tienen los sistemas, también se
darán algunos métodos para encontrar funciones candidatas a ser de Lyapunov.
Este material se encuentra en [2], [3], [4], [5], [7], [8], [10].
18
3. FUNCIONES DE LYAPUNOV
3.2.
19
Definición
Sea V : D → R un campo escalar continuamente diferenciable definido en un
dominio D ⊂ Rn que contiene a x∗ , entonces:
Definición 3.1 :
V(x) es una función definida positiva si V(x∗ ) = 0 y V(x) > 0 en D − x∗ .
V(x) es una función semidefinida positiva si V(x∗ ) = 0 y V(x) ≥ 0 en D.
V(x) es una función definida negativa si −V(x∗ ) es definida positiva.
V(x) es una función semidefinida negativa si −V(x∗ ) es semidefinida positiva.
Definición 3.2 Una función V(x) definida positiva con V̇(x) semidefinida negativa se le llama Función de Lyapunov para x∗ ; si además se cumple que V̇(x) es
definida negativa, se le llama Lyapunov estricta con relación a x∗ .
3.3.
Segundo Método de Lyapunov
Para estudiar la estabilidad de los sistemas no lineales en una determinada región a partir de las funciones de Lyapunov, se tiene el siguiente teorema, tambien
conocido como método directo de Lyapunov.
Teorema 3.1 (Segundo Método de Lyapunov) Si existe una función de Lyapunov
V(x) para el punto de equilibrio x∗ del sistema (2.3), entonces x∗ es estable.
Además , si esta función es Lyapunov estricta entonces el punto de equilibrio
es asintóticamente estable.
Demostración:
3. FUNCIONES DE LYAPUNOV
20
Para el caso de un sistema bidimensional se tiene al sistema:
dx
dt
dy
dt
= F(x, t)
= G(x, t)
(3.1)
Sea c ≥ 0 una constante y V(x, y) = c la curva en el plano xy con V(0, 0) = 0.
Supóngase que si 0 < c1 < c2 la curva V(x, y) = c1 está dentro de v(x, y) = c2 .
Se sabe que ∇V(x, y) es normal a la curva en c y apunta en dirección de V(x, y)
creciente, es decir V(x, y) crece hacia afuera del origen.
Se consideran las trayectorias x = φ(t), y = τ(t) del sistema y sea T (t) =
φ̇(t)i + τ̇(t) j la tangente en la trayectoria en cada punto.
Sea x1 = φ(t1 ), y1 = τ(t1 ) un punto de intersección de la trayectoria y la curva
V(x, y) = c entonces:
V̇(x, y) = V x (x, y)φ̇(t1 ) + Vy (x, y)τ̇(t1 ) = [V x (x, y)i + Vy (x, y) j] · [φ̇(t1 )i + τ̇(t1 ) j]
= ∇V(x, y) · T (t1 ) = k∇V(x, y)kkT (t1 )k cos ϕ
De ésto V̇(x, y) es el producto escalar de ∇V(x, y) y T (t), como V̇(x, y) ≤ 0, se
tiene que el coseno del ángulo entre ∇V(x, y) y T (t) también es menor o igual a
3. FUNCIONES DE LYAPUNOV
21
cero, entonces este ángulo se encuentra en el intervalo [ π2 , 3π
].
2
Por lo tanto el movimiento de la trayectoria es hacia adentro con respecto a c
o en el peor de los casos es tangente a la curva c.
Caso 1 Si la trayectoria se inicia dentro de la curva nunca podrá salir de ésta. Se
puede tomar una bola de radio ε alrededor del origen y una curva con una
c suficientemente pequeña para asegurar que la trayectoria no escapa de la
bola.
Por lo tanto el origen es un punto estable.
Caso 2 Si V̇(x, y) < 0 entonces las trayectorias siempre apuntan hacia adentro de
), de esta
la curva, dado que el ángulo se encuentra en el intervalo ( π2 , 3π
2
manera la trayectoria no solo irá hacia dentro de la curva sino, además se
aproximará al origen.
Por lo tanto el origen es un punto de equilibrio asintóticamente estable.
3. FUNCIONES DE LYAPUNOV
22
3.4.
Métodos de busqueda de Funciones de Lyapunov
3.4.1.
Método de Krasovskii
Teorema 3.2 (Método de Krasovskii) Considere el sistema autónomo definido
en (2,2), con punto de equilibrio en el origen. Sea A(x) la matriz jacobiana del
sistema, es decir
∂f
A(x) =
∂x
Si la matriz F = A + AT es definida negativa en una vecindad Ω, entonces el punto
de equilibrio en el origen es asintóticamente estable.
Una función de Lyapunov para este sistema es V(x) = f T (x) f (x)
Demostración:
Primero se demostrará que si f (x) es definida negativa entonces la matriz jacobiana A(x) es invertible.
Se probará que si F es definida negativa, entonces f (x) , 0 para x , 0.
Supóngase que A(x) no es invertible, es decir, que A(x) es singular, entonces
existe un vector y0 tal que A(x)y0 = 0.
Se multiplica F por la derecha con y0 y por la izquierda con yT0
yT0 Fy0 = yT0 (A + AT )y0 .
Como A + AT es una matriz simétrica, al efectuar la multiplicación con yT0 y
y0 por la izquierda y por la derecha respectivamente, se tendrá como resultado 2
veces la suma del escalar resultante de yT0 Ay0 , de esto se tiene que
yT0 Fy0 = 2yT0 Ay0 .
La singularidad de A implica que yT0 Ay0 = 0, esto es que yT0 Fy0 = 0, lo que
contradice que F sea una matriz definida negativa.
Como la matriz A es invertible y esta es el jacobiano de f (x), se puede garantizar que f (x) es únicamente invertible, lo cual implica que el sistema tiene solo
3. FUNCIONES DE LYAPUNOV
23
un punto de equilibrio en Ω, es decir que f (x) , 0 para x , 0.
Para mostrar que el origen es asintóticamente estable, se toma la función escalar V(x) = f T (x) f (x), que por construcción es definida positiva, dado que sólo
se tienen sumas de funciones al cuadrado.
Se sabe que f˙ = A f , entonces la derivada de V puede ser escrita como
V̇(x) = f T f˙ + f˙T f = f T A f + f T AT f = f T F f.
Como F es definida negativa se tiene que
V̇(x) = f T F f < 0.
Esto es que V(x) es definida negativa.
Por lo tanto, de acuerdo al método directo de Lyapunov, el origen es asintóticamente estable.
Ejemplo
Considere el sistema no lineal
ẋ1 = −6x1 + 2x2
ẋ2 = 2x1 − 6x2 − 2x23 .
Se puede observar que el origen es un punto de equilibrio.
Como matriz jacobiana de este sistema se tiene
∂f
A=
=
∂x
−6
2
2 −6 − 6x22
y su transpuesta es la misma.
Se suman ambas matrices para obtener F
F=
−12
4
4 −12 − 12x22
!
!
3. FUNCIONES DE LYAPUNOV
24
Sea el vector (a, b)T ∈ R2
=
!
!
−12
4
a
a b
4 −12 − 12x22
b
−12a + 4b 4a − 12b −
12bx22
a !
b
= −12a2 + 4ab + 4ab − 12b2 − 12b2x22
= −12(a2 + b2 + b2 x22 ) + 8ab.
Solo falta comprobar que éste resultado es menor que cero, se sabe que a2 +
b2 > 2ab y partir de ésto se tiene:
a2 + b2 + b2 x22 > 2ab + b2 x22 > 2ab ⇒ a2 + b2 + b2 x22 > 2ab
3(a2 + b2 + b2 x22 ) > 6ab > 2ab ⇒ 3(a2 + b2 + b2 x22 ) > 2ab
12(a2 + b2 + b2 x22 ) > 8ab ⇒ −12(a2 + b2 + b2 x22 ) < −8ab
−12(a2 + b2 + b2 x22 ) + 8ab < 0.
ası́, F es definida negativa, entonces una función de Lyapunov para el sistema
es:
V = (−6x1 + 2x2 )2 + (2x1 − 6x2 − 2x23 )2 .
Por lo tanto el origen es asintóticamente estable.
3.4.2.
Método del Gradiente Variable
El método del gradiente variable es un camino formal para construir funciones
de Lyapunov, consiste en asumir una cierta forma para el gradiente de una función
de Lyapunov, y entonces encontrar la función de Lyapunov por la integración del
gradiente. En sistemas de bajo orden, éste método conduce a encontrar una función de Lyapunov, pero en sistemas de orden superior los cálculos se vuelven muy
complicados.
La función escalar V(x) está relaciona con su gradiente ∇V por la integración
Z x
V(x) =
∇Vdx
0
3. FUNCIONES DE LYAPUNOV
donde ∇V =
n
∂V ∂V
, ,···
∂x1 ∂x2
25
o
∂V T
, ∂x
.
n
Con el fin de obtener una función única V del gradiente ∇V, se procede a
obtener el jacobiano de éste último

 ∂2 V
2V
∂2 V
∂2 V

 2
· · · ∂x∂1 ∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
1
2
1
3
n

 12
2
2
2
∂ V
∂ V 
∂ V

 ∂ V
·
·
·
2

 ∂x2 ∂x1
∂x2 ∂x3
∂x2 ∂xn 
∂x2
 ∂2 V
∂2 V 
∂2 V
∂2 V
· · · ∂x3 ∂xn  .
 ∂x3 ∂x1 ∂x3 ∂x2
∂x32

 .
..
..
.. 
...
 ..
.
.
. 
 2

 ∂V
∂2 V
∂2 V
∂2 V 
···
∂xn ∂x1
∂xn ∂x2
∂xn ∂x3
∂x2
n
Dado esto se puede ver que el jacobiano es una matriz simétrica, es decir
∂∇Vi ∂∇V j
=
∂x j
∂xi
la i-ésima componente ∇Vi es solamente la derivada direccional
(3.2)
∂V
.
∂xi
Entonces para obtener una función gradiente única, ésta tiene que satisfacer la
condición anterior.
Lo principal de este método es asumir una forma especı́fica para ∇V, en lugar
de hacerlo para V.
Una manera simple es asumir que la función gradiente es de la forma
∇Vi =
n
X
ai j x j
(3.3)
j=1
donde los ai j son coeficientes por ser determinados.
Esto conduce al siguiente procedimiento para la búsqueda de una función de
Lyapunov V.
Asumir que ∇V está dado por (3.3).
3. FUNCIONES DE LYAPUNOV
26
Resolver para los coeficientes ai j que satisfacen (3.2).
Restringir los coeficientes en (3.3) para que V̇ sea semidefinida negativa (al
menos localmente).
Calcular V de la integral de ∇V.
Verificar que V es definida positiva.
Ejemplo:
Considere el sistema no lineal
ẋ1 = −2x1
ẋ2 = −2x2 + 2x1 x22 .
Se puede observar que el origen es el punto de equilibrio.
Se asume que el gradiente de la función de Lyapunov está dado por:
∇V1 = a11 x1 + a12 x2
∇V2 = a21 x1 + a22 x2 .
Se resuelven los coeficientes para que se satisfaga (3.2), para ello se toma:
a11 = a22 = 1; a12 = a21 = 0
quedando:
∇V1 = x1
∇V2 = x2
entonces:
∂∇V1 ∂x1
=
∂x2
∂x2
∂∇V2 ∂x2
=
∂x1
∂x1
3. FUNCIONES DE LYAPUNOV
de esto se satisface (3.2)
27
∂x1 ∂x2
=
∂x2 ∂x1
Ahora se procede a calcular V̇
V̇ = ∇V · ẋ = (∇V1 , ∇V2 ) · ( ẋ1 , ẋ2 ) = (x1 , x2 ) · (−2x x , −2x2 + 21 x22 )
= −2x12 − 2x22 + 2x1 x23 = −2x12 − 2x22 (1 + x1 x2 ).
Entonces V̇ es definida negativa para (1 + x1 x2 ) > 0.
Ası́, la función de Lyapunov es:
x12 x22 x12 + x22
+
=
.
V=
x1 dx1 +
x2 dx2 =
2
2
2
0
0
Por lo tanto el origen es asintóticamente estable para la región.
Z
3.4.3.
x1
Z
x2
Función de Lyapunov de Forma Cuadrática
Teorema 3.3 La función
V(x, y) = ax2 + bxy + cy2
es definida positiva si y sólo si
a > 0 y 4ac − b2 > 0,
y es definida negativa si y sólo si
a < 0 y 4ac − b2 > 0.
Ejemplo:
Considere el sistema no lineal
ẋ = −x3 + xy2
ẏ = −2x2 y − y3 .
Se puede observar que el origen es el punto de equilibrio.
Supóngase V como una función cuadrática:
V(x, y) = ax2 + bxy + cy2
3. FUNCIONES DE LYAPUNOV
28
cuya derivada es
V̇(x, y) = V x ẋ + Vy ẏ = (2ax + bx) ẋ + (by + 2cy)ẏ
= (2ax + bx)(−x3 + xy2 ) + (by + 2cy)(−2x2 y − y3 )
= −2ax4 + 2ax2 y2 − bx4 + bx2 y2 − 2bx2 y2 − by4 − 4cx2 y2 − 2cy4
= −(2a + b)x4 + (2a − b − 4c)x2 y2 − (b + 2c)y4
Para que V sea definida positiva a > 0 y 4ac − b2 > 0. Ahora, si se toma b = 0
se tiene que c > 0 y
V̇ = −2ax4 − (4c − 2a)x2 y2 − 2cy4
sólo falta hallar los valores de a y c para que V 0 < 0, esto se cumple para
4c − 2a > 0
4c > 2a
2c > a,
entonces se toma a = 1 y c = 1.
Ası́, la función de Lyapunov para el sistema es
V = x2 + y2
y el origen es asintóticamente estable.
4
Aplicaciones
4.1.
Introducción
Un campo muy amplio en el que puede ser de mucha utilidad el análisis
de Lyapunov es en cuestiones fı́sicas, ya sea desde aplicaciones simples de la
mecánica o complejas en el caso de la robótica. En algunos fenómenos no es fácil
obtener la función de Lyapunov, ya que el sistema asociado al fenómeno puede
ser demasiado complejo, sin embargo, suelen utilizarse los métodos mostrados en
este trabajo o usar una búsqueda mediante ensayo y error.
En este capı́tulo se tratarán dos fenómenos que ejemplifican lo dicho anteriormente, el primero de ellos el movimiento de un péndulo simple y el segundo es
el movimiento de un manipulador robótico. Se verá que, para ambos fenómenos,
puede ser de utilidad la misma ecuación aunque adecuada para cada caso.
El material se puede hallar en [1], [4], [9], [16].
4.2.
Péndulo simple no amortiguado
4.2.1.
Modelo
Considérese una partı́cula de masa m que está suspendida de un punto fijo O
mediante un cable de longitud L cuya masa es despreciable.
29
4. APLICACIONES
30
La siguiente figura muestra el esquema de fuerzas que intervienen en el péndulo después de desplazar la partı́cula de la posición de equilibrio hasta que el cable
forme un ángulo Θ con la vertical (C), después se deja caer y, por el efecto de la
gravedad se forma un movimiento oscilatorio.
En la figura el ángulo θ es el ángulo que indica la posición del péndulo, A y
A0 delimitan la amplitud máxima del péndulo, de esto el diagrama de fuerzas para
una posición queda expresado de la forma siguiente:
De acuerdo a los datos de la figura y la segunda ley de Newton, la ecuación
que representa el movimiento de la partı́cula es
mat = −mg sin θ
4. APLICACIONES
31
siendo at la aceleración tangencial, el segundo término de la ecuación es negativo ya que se opone al movimiento. Por otro lado at = Lθ̈, si se sustituye en la
ecuación ésta queda expresada como
mLθ̈ = −mg sin θ.
Si se toma u = θ y se reordenan los términos, la ecuación queda expresada
como
g
ü + sin u = 0.
L
Se escribe la ecuación como un sistema de ecuaciones de primer orden, donde
x1 = u
ẋ1 = x2
ẋ2 = − Lg sin x1
con punto de equilibrio en (0, 0).
Para estudiar la estabilidad del sistema se procederá a buscar una función de
Lyapunov con los métodos estudiados en el capı́tulo anterior.
4.2.2.
Método de Krasovskii
Considere el sistema
ẋ1 = x2
ẋ2 = − Lg sin x1 .
Se obtiene la matriz A =
∂f
:
∂x
A=
!
0
1
,
− Lg cos x1 0
A =
0 − Lg cos x1
1
0
y por consiguiente
T
!
.
4. APLICACIONES
32
Ahora F = A + AT ,
F=
0
1 − Lg cos x1
1 − Lg cos x1
0
!
.
A continuación se verifica si F es definida negativa.
Sea xT = (a b) ∈ R2 , luego
x Ax =
T
=
a b
b−
bg
L
0
1 − Lg cos x1
1 − Lg cos x1
0
cos x1 a −
ag
L
!
a
b
!
a !
cos x1
b
abg
abg
cos x1 + ab −
cos x1
L
L
2abg
g
= 2ab −
cos x1 = 2ab 1 − cos x1 .
L
L
Para que F sea definida negativa, se tiene que cumplir
g
2ab 1 − cos x1 < 0
L
= ab −
para cualquier (a, b)T ∈ R2 .
Esto no siempre se cumple, dado que el valor de cos x1 oscila entre −1 y 1 y
el de ab no tiene un signo definido debido a que a y b pueden ser tanto positivos
como negativos.
Por lo tanto, el método de Krasovskii no puede ser aplicado a este sistema.
4.2.3.
Método del Gradiente Variable
Considere el sistema
ẋ1 = x2
ẋ2 = − Lg sin x1 .
4. APLICACIONES
33
De acuerdo al análisis hecho en el ejemplo de éste método, es conveniente tomar
∇V = (x1 , x2 ).
Ası́,
g
x2 g
V̇ = ∇V · ẋ = (x1 , x2 ) · x2 , − sin x1 = x1 x2 −
sin x1
L
L
g
= x2 x1 − sin x1 .
L
Para que V sea una función de Lyapunov se tiene que cumplir que
g
V̇ = x2 x1 − sin x1 < 0.
L
Como se puede apreciar en las siguientes gráficas la región que cumple con
ésto son dos cuadrantes que no contienen a los ejes y por lo tanto la región no
contiene al punto de equilibrio.
(a)
(b)
Figura 4.1: Gráfica de x2 x1 − Lg sin x1 : a) vista frontal, b) vista superior.
Por lo tanto, el método no puede ser aplicado al sistema.
4. APLICACIONES
4.2.4.
34
Función de Lyapunov
Dado que los métodos estudiados no conducen a una función de Lyapunov
para el sistema del péndulo, se procederá de una manera diferente.
Para ello se sabe que Lg sin u es la fuerza de restauración y u̇ es la velocidad del
péndulo, ası́, la energı́a potencial en el desplazamiento u del equilibrio es
Z
g u
g
sin αdα = (1 − cos u)
L 0
L
y su energı́a cinética es 21 (u̇)2 , entonces la energı́a total es
1 2 g
(u̇) + (1 − cos u).
2
L
Se tomará a la energı́a total como una función de Lyapunov
1
g
V(x1 , x2 ) = (x2 )2 + (1 − cos x1 ),
2
L
esta función es definida positiva, dado que el término 1 − cos x1 está acotado por
0 y 2 y el otro término es cuadrático.
Sólo falta ver el comportamiento de V̇
V̇(x1 , x2 ) = ∇V(x1 , x2 ) · (x1 , x2 ) =
g
sin x1 , x2 · x2 , − sin x1
L
L
g
g
g
x2 sin x1 − x2 sin x1 = 0
L
L
Entonces V̇ es semidefinida negativa y V es una función de Lyapunov.
=
Por lo tanto el sistema es estable en el origen.
4.3.
Controlador de Posición Robótico
Una tarea fundamental en aplicaciones robóticas es un manipulador robótico
para transferir objetos de un punto a otro.
4. APLICACIONES
35
El sistema mecánico está compuesto por diversas articulaciones, normalmente
se distingue entre el brazo y la parte terminal, que puede ser pinzas u otros dispositivos para tareas especı́ficas. El brazo consiste en un número de articulaciones
conectadas por enlaces de rotación o traslación.
El aumento en el número de articulaciones proporciona mayor maniobrabilidad, pero dificulta el problema de control. Los ingenieros han utilizado técnicas
para el control de brazos robóticos, pero no habı́a ninguna justificación teórica
para la estabilidad de estas últimas, debido a que la dinámica de un robot es altamente no lineal, [1], [9].
4.3.1.
Modelo
Un robot articulado puede describirse definiendo cuatro magnitudes asociadas
a cada articulación. Una de estas magnitudes es la variable de la articulación y las
restantes son parámetros fijos para cada robot.
Ası́, la variable de una articulación i de rotación se representará mediante
el ángulo θi y la de la prismática mediante el desplazamiento di . Los otros dos
parámetros de la articulación son la distancia L entre el eje de la articulación i − 1
y el eje de la articulación i, y el ángulo αi−1 entre estos dos ejes.
El movimiento de un manipulador robótico se puede modelar mediante la
ecuación de Lagrange:
#
"
∂
d ∂
L − L=τ
dt ∂q̇
∂q
donde el Lagrangiano (L) está dado por la diferencia de energı́as, cinética y potencial
L = Ec − E p .
En el caso de un manipulador con una articulación, la energı́a cinética está dada por
1
1
1
Ec = mv2t = m(Lθ̇)2 = mL2 θ̇2
2
2
2
4. APLICACIONES
36
donde la inercia puede ser representada por mL2 = I, y la energı́a potencial es
E p = mgh = mg sin θ
luego
1
L = Ec − E p = mL2 θ̇2 − mg sin θ
2
se realizan las operaciones
∂L
= −mg cos θ
∂θ
∂L
= mL2 θ̇
∂θ̇
" #
d ∂L
= mL2 θ̈
dt ∂θ̇
y al sustituir se tiene
τ = mL2 θ̈ + mgL cos θ.
Al generalizar el caso de un manipulador con n articulaciones y tomar q = θ
se tiene
τ = Dq̈ + H + g
(4.1)
donde
q → Vector de coordenadas articulares.
τ → Vector de fuerzas en cada articulación.
D(q) →Matriz de inercias, de dimensión (nxn), cuyos elementos son función de
q.
H(q, q̇) → Matriz (nx1) de fuerzas coriolis, dependientes de q y q̇.
Se considera un controlador simple compuesto de un término P.D. y un término de compensación de gravedad.
τ = −KD q̇ − KP q + g
donde KD y KP son matrices constantes nxn definidas positivas.
(4.2)
4. APLICACIONES
4.3.2.
37
Función de Lyapunov
Resulta muy tedioso utilizar ensayo y error para hallar una función de Lyapunov para el sistema dado por 4.1 y 4.2. Sin embargo, una función de Lyapunov
puede ser encontrada de manera satisfactoria para tales sistemas robóticos complejos.
Desde puntos de vista fı́sicos se puede encontrar una función de Lyapunov
adecuada para el sistema:
1. Se puede ver que la matriz de inercias (D) es definida positiva para algún q̇,
ya que tomar velocidades negativas no tiene sentido para este fenómeno, sólo se
pueden tomar valores positivos o nulos.
2. El término P.D. de control se puede interpretar como una combinación de amortiguadores y resortes (péndulo).
Esto sugiere que la función de Lyapunov puede ser
1
V = [q̇T Dq̇ + qT KP q]
2
donde el primer término representa la energı́a cinética y el segundo la energı́a potencial artificial del sistema.
La ecuación V es definida positiva puesto que las matrices D y K p también lo
son.
Para el cálculo de la derivada se procederá por separado.
En el caso de la energı́a cinética se puede usar un teorema de la energı́a en
mecánica, el cual establece que la velocidad de cambio de la energı́a cinética
es igual a la potencia proporcionada por las fuerzas externas, de esta manera la
derivada puede ser expresada como
Ėc = q̇T (τ − g).
Para la energı́a potencial se procederá de manera normal:
1
E p = [qT KP q]
2
4. APLICACIONES
38
1
Ė p = [q̇T KP q + qT KP q̇]
2
T
T
pero q̇ KP q = q KP q̇ dado que KP es una matriz cuadrada, de esta manera la
derivada es
1
Ė p = [2q̇T KP q] = q̇T KP q.
2
Por lo tanto
V̇ = q̇T (τ − g) + q̇T KP q.
Al sustituir la ecuación (4.2) en la ecuación anterior se tiene
V̇ = q̇T (−KD q̇ − KP q + g − g) + q̇T KP q
= −q̇T KD q̇ − q̇KP q + q̇T KP q
= −q̇T KD q̇
De esta manera V̇ es definida negativa dado que KD es definida positiva y
q̇ no puede ser negativo ni tampoco cero puesto que alguna articulación está en
movimiento.
La función V es una función de Lyapunov para el sistema (4.1-4.2), pero el
análisis no se hizo en un único punto de equilibrio, sino que fue de forma general.
Por lo tanto se dice que el sistema es globalmente asintóticamente estable.
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Conclusiones
Después de realizar el análisis de sistemas dinámicos no lineales mediante el
uso de las funciones de Lyapunov, se observa que, se requiere de una gran habilidad para la obtención de una función de Lyapunov, ya sea por medio de los
métodos estudiados en este trabajo (o por otros) o por inspección del sistema, ya
que éste último depende de la naturaleza del fenómeno y de sus caracterı́sticas
fı́sicas.
Se mostró el uso de la ecuación de la energı́a como función de Lyapunov
en los fenómenos del péndulo y un manipulador robótico, aunque adecuando la
función para cada aplicación, ésto permite ver cómo gracias a conocimientos del
fenómeno se puede llegar a una función de Lyapunov sin necesidad de hacer muchos cálculos y, en el caso del péndulo, se observó cómo los métodos estudiados
no siempre llevan a encontrar una.
En el trabajo se ha mostrado en general el uso de las funciones de Lyapunov,
aunque fueron poco los ejemplos utilizados. Sin embargo, el tema es muy amplio
y existen diversas aplicaciones para estas.
El trabajo es una introducción a un tema que no se aborda en alguna experiencia educativa oblgatoria de mi plan de estudios, ası́ se puede ver como trabajo
a futuro desarrollar funciones para sistemas más especializados, no sólo sistemas
fı́sicos, sino también en ciencias en las que se pueda utilizar.
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