NOTAS SOBRE CRECIMIENTO Y CICLOS ECONOMICOS

NOTAS SOBRE CRECIMIENTO Y
CICLOS ECONOMICOS
Carlos Urrutia
Ilades-Georgetown University
Diciembre, 1996
Tabla de Contenidos
Contents
1 Introducci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
I
6
Crecimiento
2 Ahorro, Inversi¶on y Crecimiento . . . . . . . . . .
2.1 Introducci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 El Modelo de Solow . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Estado Estacionario . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Transici¶on y Convergencia Condicional . . .
3 El Modelo de Crecimiento Neocl¶asico . . . . . . .
3.1 Introducci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 El Modelo B¶asico . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Equilibrio General Competitivo . . . . . . .
3.4 El Problema del Plani¯cador Social . . . . .
3.5 Condiciones de Primer Orden . . . . . . . .
3.6 Estado Estacionario . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Estabilidad y Transici¶on . . . . . . . . . . .
3.8 Un Ejemplo Ilustrativo . . . . . . . . . . . .
4 Extensiones del Modelo de Crecimiento Neocl¶asico
4.1 Introducci¶on del Gobierno . . . . . . . . . .
4.2 Decisi¶on Trabajo-Ocio . . . . . . . . . . . .
4.3 Cambio Tecnol¶ogico y Crecimiento Ex¶ogeno
4.4 Un Modelo Simple de Crecimiento End¶ogeno
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11
11
13
14
15
18
18
20
22
22
27
31
34
II
Ciclos Econ¶
omicos
37
5 Ciclos Econ¶omicos Reales . . . . . . . . . . . . . . .
5.1 Introducci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Representaci¶on de los Ciclos Econ¶omicos . . .
5.3 Un Modelo Simple de RBC . . . . . . . . . .
5.4 Calibraci¶on del Modelo . . . . . . . . . . . . .
5.5 Simulaci¶on y Resultados . . . . . . . . . . . .
6 Dinero y Ciclos Econ¶omicos . . . . . . . . . . . . .
6.1 Introducci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 El Modelo de Cash-In-Advance . . . . . . . .
6.3 Estado Estacionario y Neutralidad del Dinero
6.4 Ciclos Econ¶omicos Monetarios . . . . . . . . .
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52
53
III
Referencias
55
IV
Ap¶
endices
58
A Preguntas de Repaso .
A.1 Parte I . . . . . .
A.2 Parte II . . . . .
B Problemas y Ejercicios
B.1 Parte I . . . . . .
B.2 Parte II . . . . .
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61
61
66
1. Introducci¶
on
El presente trabajo es una recopilaci¶on de algunas notas que utilic¶e para el dictado
del curso de Macroeconom¶³a I en el programa de post-grado de Ilades/Georgetown
University (en Santiago de Chile), instituci¶on en donde permanec¶³ como profesor
visitante durante el segundo semestre de 1996. El objetivo del curso fue presentar de manera introductoria algunos de los avances recientes en macroeconom¶³a
din¶amica, relacionados tanto con el comportamiento de largo plazo de la econom¶³a
(crecimiento) como con sus °uctuaciones de corto plazo (ciclos econ¶omicos).
En el enfoque macroecon¶omico tradicional, predominante hasta los setenta,
el crecimiento y los ciclos econ¶omicos eran temas tratados por separado. Los
modelos est¶aticos de corto plazo explicaban el nivel de actividad de la econom¶³a en
un momento del tiempo tomando los stocks (capital, activos ¯nancieros o dinero)
como dados. Se asum¶³a que la evoluci¶on de estos stocks en el tiempo no afectaba
las decisiones presentes de consumo e inversi¶on, las cuales respond¶³an a reglas
ad-hoc sin mayor sustento microecon¶omico. Dicha evoluci¶on pod¶³a ser entonces
estudiada de manera independiente usando modelos din¶amicos de crecimiento.
Durante los setenta este enfoque pas¶o a ser seriamente cuestionado. Al retomar la hip¶otesis de expecativas racionales, diversos economistas mostraron que
los par¶ametros de las funciones consumo e inversi¶on no eran estructurales sino que
respond¶³an a los cambios en el ambiente econ¶omico (especialmente en las pol¶³ticas
seguidas por el gobierno)1. La alternativa propuesta fue volver a los fundamentos microecon¶omicos, modelando expl¶³citamente las decisiones de los agentes en
un contexto din¶amico. Esto elimin¶o de hecho la separaci¶on arti¯cial entre corto
plazo y largo plazo, puesto que las expectativas sobre el futuro afectan las deciones
presentes, y estas a su vez afectan las oportunidades futuras2.
1
Estos argumentos est¶a n condensados en la llamada Cr¶³tica de Lucas, presentada por primera
vez en Lucas (1976).
2
Los art¶³culos introductorios de Lucas (1980) y Mankiw (1990) muestran desde perspectivas
distintas varios de estos aspectos de la evoluci¶o n de la macroeconom¶³a en las ¶ultimas d¶ecadas.
3
Este enfoque alternativo est¶a a¶un en construcci¶on. Muchos de los avances
recientes en esa direcci¶on est¶an asociados a los llamados nuevos cl¶asicos, formados
en el paradigma del equilibrio general. La piedra angular en esta literatura es el
modelo de crecimiento neocl¶asico, en sus versiones determin¶³stica y estoc¶astica.
Este modelo, usado inicialmente para el an¶alisis del largo plazo, poco a poco se
ha ido imponiendo como un est¶andar para el estudio de los ciclos econ¶omicos.
Esto se debe tanto a su disciplina, pues obliga a hacer expl¶³citos los supuestos
sobre el ambiente en que los agentes toman decisiones, como a su °exibilidad,
ya que puede ser adaptado para incorporar distintas fuentes de °uctuaciones y
mecanismos de transmisi¶on.
El objetivo de estas notas es entonces presentar con cierto detalle el modelo
de crecimiento neocl¶asico junto con algunas aplicaciones a temas de crecimiento
y ciclos econ¶omicos, con el ¯n de proveer a los lectores de las t¶ecnicas requeridas
para entender el debate macroecon¶omico actual. En esa direcci¶on, los problemas
inclu¶³dos en el Ap¶endice buscan reforzar el manejo de estas t¶ecnicas y mostrar su
amplia gama de aplicabilidad a problemas concretos de distinto tipo.
Dado el car¶acter introductorio del curso, trat¶e de utilizar un m¶³nimo de herramientas matem¶aticas nuevas. As¶³, por ejemplo, prefer¶³ no introducir t¶ecnicas de
optimizaci¶on intertemporal tales como programaci¶on din¶amica o control ¶optimo,
usadas extensivamente en la literatura reciente3. Alternativamente, segu¶³ un enfoque m¶as intuitivo (aunque no menos riguroso) basado en una extensi¶on simple
de las condiciones de primer orden obtenidas de los problemas de optimizaci¶on
est¶atica. Dicho enfoque fue su¯ciente para los efectos del curso, pero tiene algunas limitaciones en aplicaciones m¶as elaboradas (por ejemplo, para resolver
num¶ericamente y simular los modelos de ciclos econ¶omicos).
Aparte de las herramientas matem¶aticas ya mencionadas, algunos de los temas
que tuve que dejar de lado por motivos de tiempo fueron los siguientes. En la
parte de crecimiento, falt¶o una revisi¶on de los modelos de crecimiento end¶ogeno,
especialmente aquellos con externalidades o capital humano4. Asimismo, no se
analizaron modelos con dos o m¶as sectores, importantes por ejemplo para tratar
3
Estas t¶ecnicas pueden ser estudiadas a partir de libros de texto como el de Sargent (1987)
y el de Barro y Xala-i-Martin (1995). Ambos textos constituyen adem¶a s una buena referencia
sobre le modelo de creciemiento neocl¶asico.
4
Estos temas son tratados en detalle en el texto de Barro y Xala-i-Martin (1995).
4
el tema del comercio. Con respecto a los ciclos econ¶omicos, la omisi¶on m¶as importante es la de los modelos con competencia imperfecta y rigideces nominales
(nuevos keynesianos), cuyas versiones m¶as recientes tratan de incorporar este tipo
de elementos dentro del modelo de crecimiento neocl¶asico5 . Por u¶ltimo, falt¶o estudiar modelos con agentes heterog¶eneos, que permiten abordar temas como la
distribuci¶on del ingreso6.
Finalmente, debo agradecer a mis alumnos y colegas de Ilades/Georgetown
University, quienes me alentaron a publicar estas notas y se~
nalaron m¶as de un
errror en las versiones preliminares. Evidentemente, la responsabilidad por los
errores subsistentes es totalmente m¶³a.
Carlos Urrutia.
5
V¶ease, por ejemplo, el art¶³culo de Rotemberg (1987)
Este y otros temas avanzados en la literatura de ciclos econ¶omicos est¶a n inclu¶³dos en el libro
editado por Cooley (1995).
6
5
Part I
Crecimiento
6
2. Ahorro, Inversi¶
on y Crecimiento
2.1. Introducci¶
on
En la tradici¶on keynesiana, los modelos macroecon¶omicos predominantes hasta
los setenta se caracterizan por analizar los determinantes del nivel de ingreso en
un momento del tiempo. Es decir, se trata de modelos est¶aticos que no toman en
cuenta la evoluci¶on de la econom¶³a en el tiempo, ni como las decisiones presentes
afectan las oportunidades en el futuro.
Esta limitaci¶on es especialmente importante para el tratamiento del ahorro
y la inversi¶on. En los modelos est¶aticos, la inversi¶on es un componente m¶as de
la demanda agregada, cuyas °uctuaciones afectan s¶olo el ingreso presente. Sin
embargo, resulta evidente que la ¶unica manera de racionalizar el hecho que los
agentes ahorren e inviertan, renunciando a consumir m¶as en el presente, es porque
esperan obtener un mayor ingreso y consumo futuro. Esta idea de sustituci¶on
intertemporal del consumo es imposible de analizar en un modelo est¶atico.
El art¶³culo de Solow (1956) es uno de los primeros en los cuales se analiza desde
esta perspectiva la relaci¶on entre la tasa de ahorro de una econom¶³a y su nivel de
ingreso en el largo plazo. El resultado central es que pa¶³ses que ahorran una mayor
proporci¶on de su producto acumulan un mayor nivel de capital por trabajador,
luego alcanzan mayores niveles de ingreso per-c¶apita. La solidez emp¶³rica de este
resultado ha sido demostrada entre otros por Mankiw, Romer y Weil (1992).
2.2. El Modelo de Solow
Vamos a presentar una versi¶on del modelo de Solow en tiempo discreto, que nos
permite mostrar sus principales resultados e introducir cierta notaci¶on que va a
ser u¶til m¶as adelante.
En esta econom¶³a existe un ¶unico bien, producido usando la funci¶on de producci¶on agregada con retornos a escala constantes:
Yt = F (Kt ; Lt )
7
en donde K t es el stock de capital y Lt la fuerza laboral en la econom¶³a, que crece
a la tasa constante n:
Lt+1 = (1 + n)Lt
Como es habitual, se asume que la funci¶on de producci¶on es c¶oncava, luego
FK ; FN > 0, FKK ; F NN < 0 y FKN > 0.
El producto total es usado para consumo e inversi¶on:
Yt = Ct + It
Por simplicidad, Solow asume que la tasa de ahorro (inversi¶on) es una constante
s, luego:
It = sYt
Por ¶ultimo, la inversi¶on incrementa el stock de capital en el siguiente per¶³odo, de
acuerdo a:
Kt+1 = (1 ¡ ±)K t + It
en donde ± es una tasa constante de depreciaci¶on.
2.3. Estado Estacionario
Dividiendo todas las variables por Lt y aprovechando las propiedades de la funci¶on
de producci¶on, podemos reescribir el modelo en forma intensiva como:
yt = f (kt )
yt = ct + it
i t = syt
(1 + n)kt+1 = (1 ¡ ±)kt + i t
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
en donde las variables en min¶
usculas est¶an expresadas en unidades del u¶nico bien
por trabajador, y tenemos f (k) = F ( KL ; 1), con f 0 > 0 y f 00 < 0.
8
Un estado estacionario es una soluci¶on a (2.1) - (2.4) en la cual todas las
variables por trabajador permanecen constantes. Claramente, el stock de capital
k ¤ en estado estacionario debe satisfacer:
(1 + n)k ¤ = (1 ¡ ±)k ¤ + sf(k ¤)
o, simpli¯cando:
(n + ±)k¤ = sf(k ¤)
(2.5)
A partir de (2.5), podemos mostrar que existe un ¶unico stock de capital por
trabajador k¤ en estado estacionario y por lo tanto un ¶unico nivel de producto
por trabajador y¤ = f (k¤ ). Podemos mostrar tambi¶en que un aumento ex¶ogeno
en la tasa de crecimiento de la fuerza laboral n reduce k¤ y y ¤, mientras que un
aumento ex¶ogeno en la tasa de ahorro s incrementa k ¤ y y¤.
2.4. Estabilidad
Queremos analizar si el modelo tiende en el largo plazo hacia el estado estacionario,
es decir si dado cualquier k 0 inicial, la trayectoria kt converge hacia k ¤. S¶olo en
ese caso tiene sentido pensar en el estado estacionario como una predicci¶on del
comportamiento de largo plazo de la econom¶³a. De ser as¶³, decimos que el modelo
es globalmente estable.
Para ello, combinamos (2.1), (2.3) y (2.4) para obtener:
(1 + n)kt+1 = (1 ¡ ±)k t + sf(kt )
luego:
"
#
kt+1 ¡ kt
1
f(kt )
°k =
=
s
¡ (± + n) = ©(kt )
(2.6)
kt
1+n
kt
es decir, la tasa de crecimiento del capital por trabajador ° k depende del nivel de
kt .
Usando (2.5), podemos veri¯car que (i) ©(k ¤) = 0; (ii) ©(kt) > 0, 8kt < k ¤; y
(iii) ©(kt ) < 0, 8kt > k¤ . Por lo tanto, si el stock de capital por trabajador est¶a
9
por debajo (encima) de k¤ , este crecer¶a a una tasa positiva (negativa). Solo una
vez llegado al estado estacionario, el stock de capital por trabajador se mantiene
constante.
En otras palabras, kt ! k¤ monot¶onicamente, independientemente del valor
inicial k0, por lo que el modelo es globalmente estable. Similarmente, es facil
mostrar que yt ! y¤ monot¶onicamente.
2.5. Transici¶
on y Convergencia Condicional
La tasa de crecimiento de kt durante la transici¶on hacia k ¤ est¶a dada por la funci¶on
©(kt ) en (2.6). Hallando su primera derivada:
"
s
f(kt ) ¡ f 0 (kt )kt
© (kt ) =
1+n
(kt)2
0
#
(2.7)
vemos que ©0 (kt ) < 0, 8kt. Por lo tanto, la tasa de crecimiento del capital por
trabajador (en valor absoluto) disminuye conforme kt se acerca a k ¤.
Del mismo modo, podemos mostrar que la tasa de crecimiento del producto por
trabajador (° y ) disminuye conforme yt se acerca a su nivel de estado estacionario
y ¤.
En otras palabras, si tenemos dos econom¶³as con el mismo estado estacionario
pero con distintos niveles iniciales de capital (y producto), la econom¶³a m¶as pobre
crecer¶a a una tasa mayor. Ahora bien, si dos econom¶³as tienen distintos estados estacionarios (por ejemplo, porque tienen distintas tasas de ahorro), lo ¶unico
que podemos decir es que la econom¶³a que se encuentre m¶as lejos de su estado
estacionario ser¶a la que crecer¶a m¶as r¶apido. A esta propiedad se le conoce como
convergencia condicional.
10
3. El Modelo de Crecimiento Neocl¶
a sico
3.1. Introducci¶
on
El modelo de crecimiento de Solow (1956) muestra que hay una relaci¶on positiva
entre la tasa de ahorro de una econom¶³a y su nivel de ingreso en el largo plazo.
Sin embargo, al asumir esta tasa como una constante ex¶ogenamente dada, est¶a
sujeto al igual que los modelos macroecon¶omicos tradicionales a la cr¶³tica de Lucas
(1976). Di¯cilmente podemos creer que la tasa de ahorro sea un par¶ametro estructural, independiente de las expectativas de los agentes y las pol¶³ticas seguidas
por el gobierno.
El modelo de crecimiento neocl¶asico, desarrollado de manera independiente por
Ramsey, Cass y Koopmans, busca endogenizar la tasa de ahorro como el resultado
de agentes competitivos resolviendo problemas de maximizaci¶on din¶amicos. En
¶el, los u¶nicos par¶ametros estructurales son aquellos que describen las preferencias
de estos agentes y la tecnolog¶³a a la que tienen acceso. En ese sentido, es un
primer paso para reconstruir la teor¶³a macroecon¶omica a partir de fundamentos
microecon¶omicos.
3.2. El Modelo B¶
asico
Existen dos tipos de agentes en esta econom¶³a. En primer lugar, tenemos un
n¶umero grande de familias id¶enticas, que viven un in¯nito n¶
umero de per¶³odos y
que podemos modelar como una u¶nica familia representativa. En segundo lugar,
tenemos un n¶umero grande de ¯rmas id¶enticas que producen el u¶nico bien de la
econom¶³a, y que podemos modelar tambi¶en como una ¶unica ¯rma representativa.
La familia representativa (de tama~no Lt ) tiene preferencias descritas por la
funci¶on de utilidad intertemporal:
U=
µ ¶
1
X
Ct
t
¯u
t=0
Lt
(3.1)
en donde u es una funci¶on de utilidad de un per¶³odo (con u0 > 0 y u00 < 0) y ¯ es
un factor de descuento que asumimos constante.
11
Esta familia pos¶ee todo el capital y trabajo en la econom¶³a, que renta a las
¯rmas. Al mismo tiempo compra a estas ¯rmas el u¶nico bien, que puede ser usado
tanto para consumo como inversi¶on. Pero la familia es tambi¶en due~
na de la ¯rma
representativa (a trav¶es de acciones), por lo tanto recibe todos los bene¯cios que
¶esta pueda generar.
La familia representativa enfrenta entonces la siguiente restricci¶on presupuestaria:
Ct + It = w tLt + rt Kt + ¦t
(3.2)
en donde los gastos en consumo e inversi¶on deben ser iguales a los ingresos (salarios
mas renta del capital mas bene¯cios) en cada per¶³odo. N¶otese que estamos normalizando el precio del u¶nico bien para que sea igual a uno en cada per¶³odo, por
lo tanto w t y rt son precios relativos expresados en unidades del u¶nico bien.
El stock de capital familiar crece de acuerdo a:
Kt+1 = (1 ¡ ±)K t + It
(3.3)
en donde ± es una tasa constante de depreciaci¶on, mientras que el n¶
umeros de
trabajadores (o el tama~no de la familia) crece a la tasa ex¶ogena n:
Lt+1 = (1 + n)Lt
(3.4)
De otro lado est¶a la ¯rma representativa, que renta capital y trabajo de las familias para producir el ¶unico bien en la econom¶³a, usando la funci¶on de producci¶on
agregada con retornos a escala constantes:
Yt = F (Kt ; Lt )
(3.5)
en donde asumimos que FK ; FN > 0, FKK ; FNN < 0 y FK N > 0. El objetivo de
esta ¯rma es maximizar bene¯cios ¦t en cada per¶³odo, en donde:
¦t = Yt ¡ wtLt ¡ rt Kt
(3.6)
normalizando nuevamente el precio del ¶unico bien para que sea uno en cada
per¶³odo. Podemos demostrar que con rendimientos a escala constantes los bene¯cios van a ser siempre iguales a cero.
12
Puesto que el tama~no de la poblaci¶on crece a una tasa constante, podemos
reescribir el modelo en forma intensiva, en donde las variables ct, i t, kt, yt est¶an
expresadas en unidades del ¶unico bien por trabajador. As¶³, por ejemplo:
u
µ
Ct
Lt
¶
= u (ct )
Kt+1
Lt+1 K t+1
=
= (1 + n) kt+1
Lt
Lt Lt+1
y, usando la propiedad de retornos a escla constantes de la funci¶on de producci¶on:
yt =
Yt
Kt
= F ( ; 1) = f (kt )
Lt
Lt
con f 0 > 0 y f 00 < 0.
3.3. Equilibrio General Competitivo
Un Equilibrio General Competitivo (EGC) para esta econom¶³a es un conjunto de
secuencias para las cantidades ct , i t , yt y kt+1 y los precios wt y rt tales que:
i) Dados k 0 > 0,wt y rt, las secuencias ct , it y kt+1 resuelven el problema:
1
X
max
¯ t u (ct )
(3.7)
t=0
s:t:
ct + it = wt + rtk t
(1 + n) kt+1 = (1 ¡ ±) kt + i t
8t
8t
ii) En cada per¶³odo t, dados wt y rt , los valores yt y k t resuelven el problema:
max
s:t:
yt ¡ wt ¡ rt kt
yt = f (kt )
13
(3.8)
iii) En cada per¶³odo t, hay igualdad entre oferta y demanda:
y t = ct + i t
(3.9)
N¶otese que estamos autom¶aticamente asumiendo que los mercados de trabajo
y capital est¶an en equilibrio, y que los bene¯cios de la ¯rma son iguales a cero.
3.4. El Problema del Plani¯cador Social
Consideremos por un momento una econom¶³a como la descrita anteriormente,
pero en la cual las decisiones son tomadas por un plani¯cador social o un dictador benevolente. Este plani¯cador busca maximizar la utilidad de las familias
representada por (3.1), sujeto a las restricciones tecnol¶ogicas dadas por (3.3) y
(3.5). Las cantidades resultantes de esta maximizaci¶on son Optimos de Pareto,
en el sentido que no es posible aumentar la utilidad de alguna de las familias sin
reducir la de otra.
Formalmente, un Optimo de Pareto (OP) para esta econom¶³a es un conjunto
de secuencias para las cantidades ct , it y kt+1 que, dado k0 > 0, resuelven el
problema del plani¯cador social:
max
1
X
¯ t u (ct )
(3.10)
t=0
s:t:
ct + it = f (k t)
(1 + n) kt+1 = (1 ¡ ±) kt + it
8t
8t
Podemos demostrar (m¶as adelante lo haremos) que si no existen distorsiones
tales como impuestos o externalidades, todo EGC es un OP y para cada OP existe
un sistema de precios que lo hace un EGC. Esta equivalencia entre el problema
del plani¯cador social y los problemas de familias y ¯rmas competitivas es una
aplicaci¶on directa de los Teoremas del Bienestar. En la pr¶actica, nos permite
hallar el EGC resolviendo primero el problema del plani¯cador social, que es mas
sencillo, y luego encontrando los precios.
14
3.5. Condiciones de Primer Orden
Para caracterizar la soluci¶on al problema del plani¯cador social, construimos la
funci¶on lagrangeana intertemporal:
L=
1 h
X
t
t=0
i
¯ u (ct ) ¡ ¸1t (ct + it ¡ f (kt )) ¡ ¸2t ((1 + n) kt+1 ¡ (1 ¡ ±) kt ¡ i t)
Maximizando L, las condiciones de primer orden para (3.10) est¶an dadas por:
@L
@ct
@L
@i t
@L
@ kt+1
@L
@¸1t
@L
@¸2t
= ¯ t u0 (ct) ¡ ¸1t = 0
(3.11)
= ¡¸1t + ¸2t = 0
(3.12)
= ¸1t+1f 0 (kt ) ¡ ¸2t (1 + n) + ¸2t+1(1 ¡ ±) = 0
(3.13)
= ct + it ¡ f (k t) = 0
(3.14)
= (1 + n) kt+1 ¡ (1 ¡ ±) kt ¡ it = 0
(3.15)
m¶as la condici¶on de transversalidad :
lim vtkt = 0
t!1
Q
(3.16)
¸2j
en donde vt = 1
on
j=t ¸2j+1 representa el valor de una unidad de capital. La condici¶
de transversalidad asegura que el valor del stock de capital sea cero al "¯nal" del
problema; en caso contrario, el plani¯cador quedar¶³a con recursos no utilizados.
Combinando (3.12) y (3.13), vemos que:
¸2t
f 0(k t+1 ) + (1 ¡ ±)
=
¸2t+1
1 +n
y por lo tanto:
1
Y
f 0 (kj+1) + (1 ¡ ±)
vt =
1 +n
j=t
15
es decir, vt es el producto de las tasas de retorno presente y futuros (por persona y
netos de depreciaci¶on) de invertir una unidad adicional de capital por un per¶³odo.
Ahora bien, combinando (3.11), (3.12) y (3.13) obtenemos la Ecuaci¶on de
Euler:
u0 (ct )
f 0 (kt+1) + (1 ¡ ±)
=
¯u0 (ct+1)
1+n
(3.17)
que dice intuitivamente que la tasa marginal de sustituci¶on entre el consumo
presente y el consumo en el siguiente per¶³odo, ajustada por el factor de descuento,
debe ser igual a la tasa de retorno a la inversi¶on por un per¶³odo mencionada
anteriormente
De otro lado, combinando (3.14) y (3.15), obtenemos:
ct = f(kt ) ¡ (1 + n) kt+1 + (1 ¡ ±) kt
(3.18)
que expresa el consumo como la diferencia entre la producci¶on total menos la inversi¶on en nuevo capital. Las condiciones (3.17) y (3.18) forman un sistema no lineal de ecuaciones en diferencias en ct y kt, que puede ser resuelto num¶ericamente.
Este sistema, junto a la condici¶on de transversalidad (3.16), caracterizan completamente el Optimo de Pareto.
El siguiente paso es encontrar los precios para los cuales el OP anterior es
un EGC. Para ello, resolvemos el problema de la ¯rma representativa (3.8), que
podemos reescribir como:
max
f (kt ) ¡ wt ¡ rtkt
y cuya soluci¶on nos da los precios:
rt = f 0 (kt )
w t = f (kt ) ¡ f 0 (kt )kt
(3.19)
(3.20)
que junto a las cantidades descritas anteriormente constituyen un Equilibrio General Competitivo. N¶otese que para hallar wt usamos la propiedad de que los
bene¯cios son cero con rendimientos a escala constantes.
16
S¶olo para veri¯car que efectivamente tenemos un EGC, podemos resolver el
problema de la familia (3.7), cuyo lagrangeano est¶a dado por:
L=
1 h
X
t=0
i
¯t u (ct ) ¡ ¸1t (ct + it ¡ wt ¡ r tkt ) ¡ ¸2t ((1 + n) kt+1 ¡ (1 ¡ ±) k t ¡ it )
con condiciones de primer orden:
@L
= ¯ t u0 (ct ) ¡ ¸1t = 0
@ct
@L
= ¡¸1t + ¸2t = 0
@it
@L
= ¸ 1t+1rt+1 ¡ ¸2t (1 + n) + ¸2t+1(1 ¡ ±) = 0
@kt+1
@L
= ct + it ¡ wt ¡ rt kt = 0
@¸1t
@L
= (1 + n) kt+1 ¡ (1 ¡ ±) kt ¡ i t = 0
@¸2t
y condici¶on de transversalidad:
lim vtkt = 0
con vt =
Q1
t!1
(3.21)
(3.22)
(3.23)
(3.24)
(3.25)
(3.26)
¸2j
j=t ¸2j+1 .
Al igual que en el OP, podemos colapsar estas condiciones en el sistema de
ecuaciones en diferencias compuesto por la Ecuaci¶on de Euler:
u0 (ct)
rt+1 + (1 ¡ ±)
=
¯u0(ct+1)
1+n
(3.27)
ct = wt + [rt + (1 ¡ ±)] kt ¡ (1 + n) kt+1
(3.28)
y la condici¶on:
Comparando las ecuaciones (3.17) - (3.18) con (3.27) - (3.28), podemos ver
que estas son id¶enticas si se cumple que rt+1 = f 0(kt+1 ) y que wt + rt kt = f (kt ).
Pero esto est¶a garantizado por (3.19) y (3.20), que son condiciones de equilibrio
obtenidas a partir del problema de la ¯rma representativa. Por lo tanto, veri¯camos la equivalencia entre OP y EGC para este modelo en particular.
17
3.6. Estado Estacionario
Un Estado Estacionario para esta econom¶³a es un Equilibrio General Competitivo
en el cual todas las cantidades son constantes a lo largo del tiempo.
El estado estacionario es sencillo de caracterizar. Puesto que ct+1 = ct = c¤ y
kt+1 = kt = k ¤, tenemos usando (3.17) que:
f 0 (k ¤) =
1+n
¡ (1 ¡ ±)
¯
(3.29)
y puesto que f 0 es decreciente, podemos mostrar que existe un u¶nico stock de capital por trabajador de estado estacionario k ¤. Adicionalmente, podemos mostrar
que un aumento en n o ± reduce el capital por trabajador (luego el ingreso per
capita) en estado estacionario, mientras que un aumento en ¯ lo incrementa.
El consumo en estado estacionario puede hallarse usando (3.18):
c¤ = f(k ¤) ¡ (n + ±) k ¤
por lo que la tasa de ahorro (o inversi¶on) estar¶³a dada por:
s¤ =
f(k ¤) ¡ c¤
k¤
=
(n
+
±)
f(k ¤)
f (k ¤)
(3.30)
N¶otese que (3.30) es la misma relaci¶on encontrada en el estado estacionario del
k
modelo de Solow, aunque en este caso s¤ es end¶ogena. Puesto que f(k)
es una
funci¶on creciente de k, un aumento en ¯ incrementa la tasa de ahorro, pero el
efecto de n y ± es ambiguo.
3.7. Estabilidad y Transici¶
on
Es posible demostrar que el modelo que estamos analizando es globalmente estable, es decir que si k0 > 0, el stock de capital por trabajador tiende a su valor
de estado estacionario k¤ . Por lo tanto, tiene sentido usar el estado estacionario
como una aproximaci¶on al comportamiento de largo plazo de la econom¶³a. La
demostraci¶on es, sin embargo, m¶as complicada que en el modelo de Solow.
18
En general el an¶alisis de la transici¶on hacia el estado estacionario es dif¶³cil en
este tipo de modelos, dado el car¶acter no lineal del sistema de ecuaciones en diferencias que lo describe. Por ello, estos modelos suelen resolverse num¶ericamente.
Esto implica especi¯car formas funcionales, asignar valores para los par¶ametros
y obtener del computador una aproximaci¶on a las trayectorias para las variables
que nos interesen.
Un m¶etodo simple para computar la trayectoria de kt se obtiene combinando
las ecuaciones (3.17) y (3.18), de donde tenemos:
u0(f (kt ) ¡ (1 + n) k t+1 + (1 ¡ ±) k t)
f 0 (kt+1) + (1 ¡ ±)
=
¯u0 (f(kt+1 ) ¡ (1 + n) kt+2 + (1 ¡ ±) kt+1 )
1+n
condici¶on que podemos reescribir como:
ª (kt ; kt+1; kt+2) = 0
en donde la funci¶on ª depende de la forma de las funciones u y f m¶as los
par¶ametros ¯, ± y n (que debemos escoger previamente).
El algoritmo es el siguiente. Dado un k 0 > 0, "adivinamos" un valor para k1
y hallamos k 2, k 3, k4 , ... resolviendo iterativamente:
ª (k0; k 1; k2) = 0
ª (k1; k 2; k3) = 0
ª (k2; k 3; k4) = 0
y as¶³ sucesivamente hasta completar una secuencia lo su¯cientemente larga kt .
Esta secuencia depende del valor inicial que asignamos a k1 (que puede ser correcto
o no). Lo que hacemos es veri¯car si la trayectoria kt converge hacia el valor de
estado estacionario k¤ , que podemos calcular a partir de (3.29). Si no converge,
cambiamos el valor de k1 y volvemos a recalcular la secuencia, hasta obtener
convergencia.
N¶otese que una vez obtenida la secuencia de valores para kt podemos calcular
las trayectorias para ct , yt , w t, rt y cualquier otra variable de inter¶es.
19
3.8. Un Ejemplo Ilustrativo
A modo de ilustraci¶on, vamos a trabajar con un caso particular de la econom¶³a
descrita anteriormente, en el cual
u(ct ) = log ct
f(kt ) = kt®
donde la funci¶on de producci¶on en forma intensiva se deriva de una Cobb-Douglas,
de la forma F (Kt ; Lt) = K t® L1¡®
.
t
El equilibrio est¶a caracterizado por la ecuaci¶on de Euler:
®¡1
ct+1
®kt+1
+ (1 ¡ ±)
=
¯ct
1 +n
junto con la condici¶on:
ct = k®t ¡ (1 + n) kt+1 + (1 ¡ ±) kt
mas los precios:
rt = ®k®¡1
t
wt = (1 ¡ ®)kt®
y la condici¶on de transversalidad.
En estado estacionario, tenemos que:
® (k¤ )®¡1 =
1+n
¡ (1 ¡ ±)
¯
luego, el valor del stock de capital por trabajador en estado estacionario est¶a dado
por:
2
k ¤ = 4 1+n
¯
3
®
5
¡ (1 ¡ ±)
1
1¡®
de donde podemos veri¯car que un aumento en ® o ¯, o una disminuci¶on en n o
±, aumenta k¤ .
20
Tambi¶en sabemos que en estado estacionario:
s¤ = (n + ±) (k¤ )1¡®
luego, la tasa de ahorro en estado estacionario est¶a dada por:
s¤ =
(n + ±)®
¡ (1 ¡ ±)
1+n
¯
de donde podemos mostrar que un aumento en ®, ¯, n o ± aumenta s¤ .
Finalmente, la funci¶on que utilizamos anteriormente para computar la trayectoria de kt fuera del estado estacionario est¶a dada por:
ª (kt; kt+1 ; kt+2) =
k®t+1 ¡ (1 + n) kt+2 + (1 ¡ ±) kt+1 ®k®¡1
+ (1 ¡ ±)
¡ t+1
®
¯ (kt ¡ (1 + n) kt+1 + (1 ¡ ±) kt)
1+n
que depende tan solo de los valores que escojamos para ®, ¯, n y ±.
21
4. Extensiones del Modelo de Crecimiento Neocl¶
asico
4.1. Introducci¶
on del Gobierno
El Modelo de Crecimiento Neocl¶asico puede ser usado para evaluar los efectos
din¶amicos de distintas pol¶³ticas econ¶omicas. Para ello, debemos introducir un
agente adicional, el gobierno, que ¯nancia sus gastos mediante la recaudaci¶on
de impuestos y posiblemente emisi¶on de bonos. M¶as adelante veremos como
introducir dinero en esta econom¶³a.
Vamos a suponer que el gobierno tiene ¶unicamente una funci¶on redistributiva.
Sus ingresos provienen de impuestos al ingreso, consumo e inversi¶on, pagados por
las familias. Sus gastos consisten ¶unicamente en transferencias lump-sum a las
mismas familias. El d¶e¯cit corriente generado es ¯nanciado mediante la emisi¶on
de bonos, vendidos a las familias a un precio q.
La restricci¶on presupuestaria de las familias es entonces:
(1 + ¿ c )ct + (1 + ¿ i )it + qt bt+1 = (1 ¡ ¿ y) [w t + r tkt ] + bt + Tt
(4.1)
en donde Tt representa el monto de la transferencia por trabajador, y bt el monto
de bonos comprados al gobierno en el per¶³do t ¡ 1, tambi¶en por trabajador. Por
su parte, la restricci¶on presupuestaria del gobierno es:
Tt + bt = ¿ cct + ¿ iit + ¿ y [wt + rtk t] + qtbt+1
(4.2)
El resto del modelo permanece igual.
Un Equilibrio General Competitivo (EGC) para esta econom¶³a es un conjunto
de secuencias para las cantidades ct , it , yt, kt+1, Tt y bt+1 y precios wt , rt y qt ,
junto con los n¶
umeros ¿ c, ¿ i y ¿ y , tales que:
22
i) Dados k0 > 0, b0 > 0, Tt , qt , wt y rt, las secuencias ct, it , k t+1 y bt+1 resuelven
el problema:
1
X
max
¯ t u (ct )
(4.3)
t=0
s:t:
(1 + ¿ c )ct + (1 + ¿ i )it + qt bt+1 = (1 ¡ ¿ y ) [wt + rt kt] + bt + Tt
(1 + n) kt+1 = (1 ¡ ±) kt + it
8t
ii) En cada per¶³odo t, dados wt y rt , los valores yt y k t resuelven el problema:
max
s:t:
yt ¡ wt ¡ rt kt
(4.4)
yt = f (kt )
iii) En cada per¶³odo t, el gobierno satisface la restricci¶on presupuestaria:
Tt + bt = ¿ cct + ¿ iit + ¿ y [wt + rtk t] + qtbt+1
(4.5)
iv) En cada per¶³odo t, hay igualdad entre oferta y demanda:
y t = ct + i t
(4.6)
N¶otese que estamos autom¶aticamente asumiendo que los mercados de trabajo,
capital y bonos del gobierno est¶an en equilibrio, y que los bene¯cios de la ¯rma
son iguales a cero.
Puesto que el gobierno solo redistribuye recursos, la de¯nci¶on del Optimo de
Pareto (OP) para esta econom¶³a sigue siendo la misma: un conjunto de secuencias
para las cantidades ct , it y kt+1 que, dado k0 > 0, resuelven el problema del
plani¯cador social:
23
max
1
X
¯ t u (ct )
(4.7)
t=0
s:t:
ct + it = f (k t)
(1 + n) kt+1 = (1 ¡ ±) kt + it
8t
8t
Dado que los impuestos introducen distorsiones en la econom¶³a, ya no existe una
equivalencia entre el EGC y el OP. Debemos resolver entonces directamente el
Equilibrio Competitivo.
Empecemos resolviendo el problema de la familia representativa, cuyo lagrangeano est¶a dado por:
L =
1 h
X
t
t=0
¯ u (ct ) ¡ ¸1t ((1 + ¿ c)ct + (1 + ¿ i )it + qt bt+1 ¡ (1 ¡ ¿ y ) [wt + rt kt ]
¡bt ¡ Tt ) ¡ ¸2t ((1 + n) kt+1 ¡ (1 ¡ ±) kt ¡ it )]
con condiciones de primer orden:
@L
@ct
@L
@i t
@L
@k t+1
@L
@bt+1
@L
@¸1t
@L
@¸2t
= ¯ tu0 (ct) ¡ ¸1t(1 + ¿ c ) = 0
(4.8)
= ¡¸ 1t (1 + ¿ i) + ¸ 2t = 0
(4.9)
= ¸1t+1(1 ¡ ¿ y )rt+1 ¡ ¸2t (1 + n) + ¸ 2t+1(1 ¡ ±) = 0
(4.10)
= ¡¸ 1t qt + ¸1t+1 = 0
(4.11)
= (1 + ¿ c)ct + (1 + ¿ i)i t + qt bt+1 ¡ (1 ¡ ¿ y ) [wt + rt kt ] ¡ bt ¡ Tt (4.12)
=0
= (1 + n) kt+1 ¡ (1 ¡ ±) kt ¡ it = 0
y condiciones de transversalidad:
24
(4.13)
lim vt kt = 0
t!1
lim zt bt = 0
t!1
en donde zt =
Q1
1
j=t qj
representa el valor de un bono del gobierno.
Combinando (4.8) - (4.10), obtenemos la Ecuaci¶on de Euler:
u0 (ct )
=
¯u0 (ct+1)
(1¡¿ y )r t+1
(1+¿ i )
+ (1 ¡ ±)
1+n
(4.14)
y de (4.12) y (4.13), la condici¶on:
(1 + ¿ c)ct = (1 ¡ ¿ y) [wt + rt kt ] + [bt ¡ qtbt+1] + Tt
¡(1 + ¿ i) [(1 + n) kt+1 ¡ (1 ¡ ±) kt ]
(4.15)
Adicionalmente, de (4.8) y (4.11) obtenemos:
qt =
¯u0 (ct+1)
u0(ct )
(4.16)
que nos da el precio de los bonos del gobierno.
Del problema de la ¯rma obtenemos como es usual:
rt = f 0 (kt)
wt = f(kt ) ¡ f 0 (k t) kt
(4.17)
(4.18)
y combinando (4.14), (4.15), (4.17) y (4.18) mas la restricci¶on presupuestaria del
gobierno (4.5), obtenemos ¯nalmente el sistema:
u0 (ct)
=
¯u0 (ct+1)
(1¡¿ y )f 0 (kt )
(1+¿ i )
+ (1 ¡ ±)
1+n
ct = f(kt ) ¡ (1 + n) kt+1 + (1 ¡ ±) kt
25
(4.19)
(4.20)
[qt bt+1 ¡ bt ] = Tt ¡ (¿ c + ¿ y ) f (k t)
¡ (¿ i ¡ ¿ c) [(1 + n) kt+1 ¡ (1 ¡ ±) kt ]
(4.21)
N¶otese que las dos primeras ecuaciones del sistema son similares a las que se
obtendr¶³an resolviendo el OP (que es equivalente al EGC sin gobierno) con la
excepci¶on de que el producto marginal del capital en la ecuaci¶on de Euler est¶a
ajustado por los impuestos al ingreso y a la inversi¶on. Podemos ver tambi¶en que
el impuesto al consumo y el monto de las transferencias no tienen efectos sobre el
stock del capital, el ingreso ni el propio consumo, s¶olo sobre la cantidad de bonos
emitidos.
En estado estacionario, tenemos de (4.19) que:
"
#
1 + ¿i 1 + n
f (k ) =
¡ (1 ¡ ±)
1 ¡ ¿y
¯
0
¤
y puesto que f 0 es decreciente, podemos mostrar que un aumento en ¿ i o ¿ y
reduce el stock de capital por trabajador k ¤, luego el ingreso y consumo de estado
estacionario. Comparando con el OP, esta econom¶³a con distorsiones lleva a un
stock de capital por debajo del nivel socialmente ¶optimo.
q¤
Por ultimo, a partir de (4.16) y (4.21) sabemos que en estado estacionario
= ¯, y adem¶as:
[¯b¤ ¡ b¤] = T ¤ ¡ (¿ c + ¿ y) f (k ¤) ¡ (¿ i ¡ ¿ c) (n + ±) k ¤
de donde:
b¤ =
T ¤ ¡ (¿ c + ¿ y ) f (k ¤) ¡ (¿ i ¡ ¿ c) (n + ±) k¤
¯¡1
lo que nos da la cantidad de bonos que el gobierno emite per¶³odo a per¶³odo para
¯nanciar su d¶e¯cit en estado estacionario.
26
4.2. Decisi¶
on Trabajo-Ocio
En el Modelo de Crecimiento Neocl¶asico b¶asico, la oferta de trabajo es ex¶ogena
y en particular no responde a cambios en en salario real. Una extensi¶on natural consiste en endogenizar la cantidad de horas destinadas al mercado laboral,
introduciendo la decisi¶on trabajo-ocio.
Para ello, supongamos que las preferencias de la familia representativa est¶an
descritas por la funci¶on de utilidad intertemporal:
1
X
µ
Ct Lt ¡ Lst
U=
¯u
;
Lt
Lt
t=0
t
¶
(4.22)
en donde Lst representa la oferta total de trabajo de la familia, luego Lt ¡ Lst
representa el tiempo de ocio. Asumimos que u1 > 0, u2 > 0, u11 < 0, u22 < 0 y
u21 > 0.
Como es habitual, vamos a expresar el modelo en forma intensiva, dividiendo
todas las variables por el tama~no Lt de la familia (no por la oferta de trabajo Lst ).
La funci¶on de utilidad de un per¶³odo queda como:
u (ct ; 1 ¡ lt )
en donde lt es la oferta de trabajo de cada miembro de la familia. La restricci¶on
presupuestaria es entonces:
ct + it = wt lt + rt kt
asumiendo como siempre que los bene¯cios son cero, y la funci¶on de producci¶on:
µ
Yt
K t Lst ¶
=F
;
= F (k t; lt )
Lt
Lt Lt
Por lo dem¶as, el resto del modelo se mantiene igual.
yt =
(4.23)
Un Equilibrio General Competitivo (EGC) para esta econom¶³a es un conjunto
de secuencias para las cantidades ct, i t , lt , yt y kt+1 y los precios wt y rt tales que:
27
i) Dados k 0 > 0,wt y rt, las secuencias ct , lt, it y kt+1 resuelven el problema:
max
1
X
t
t=0
s:t:
¯ u (ct ; 1 ¡ lt )
ct + it = wt lt + rt kt
(1 + n) kt+1 = (1 ¡ ±) kt + i t
(4.24)
8t
8t
ii) En cada per¶³odo t, dados wt y rt , los valores yt , kt y lt resuelven el problema:
yt ¡ wt lt ¡ rt kt
max
s:t:
(4.25)
yt = F (kt ; lt)
iii) En cada per¶³odo t, hay igualdad entre oferta y demanda:
y t = ct + i t
(4.26)
N¶otese que al igual que antes estamos autom¶aticamente asumiendo que los
mercados de trabajo y capital est¶an en equilibrio, y que los bene¯cios de la ¯rma
son iguales a cero.
De otro lado, un Optimo de Pareto (OP) para esta econom¶³a es un conjunto
de secuencias para las cantidades ct , lt , it y kt+1 que, dado k0 > 0, resuelven el
problema del plani¯cador social:
max
1
X
t
t=0
s:t:
¯ u (ct ; 1 ¡ lt )
ct + it = F (kt; lt )
(1 + n) kt+1 = (1 ¡ ±) kt + i t
28
(4.27)
8t
8t
La funci¶on lagrangeana intertemporal para este problema est¶a dada por:
L=
1 h
X
t
t=0
i
¯ u (ct ; 1 ¡ lt ) ¡ ¸1t (ct + i t ¡ F (kt ; lt )) ¡ ¸2t ((1 + n) kt+1 ¡ (1 ¡ ±) kt ¡ it )
con condiciones de primer orden:
@L
@ct
@L
@lt
@L
@it
@L
@kt+1
@L
@¸1t
@L
@¸2t
= ¯t u1 (ct; 1 ¡ lt ) ¡ ¸1t = 0
(4.28)
= ¡¯ tu2 (ct ; 1 ¡ lt) + ¸1t FL (k t; lt ) = 0
(4.29)
= ¡¸1t + ¸2t = 0
(4.30)
= ¸1t+1F K (kt+1 ; lt+1) ¡ ¸2t(1 + n) + ¸2t+1(1 ¡ ±) = 0
(4.31)
= ct + i t ¡ F (kt ; lt ) = 0
(4.32)
= (1 + n) kt+1 ¡ (1 ¡ ±) kt ¡ i t = 0
(4.33)
m¶as la condici¶on de transversalidad habitual.
Combinando estas ecuaciones, obtenemos la Ecuaci¶on de Euler:
y la condici¶on:
u1 (ct ; 1 ¡ lt )
FK (kt+1; lt+1) + (1 ¡ ±)
=
¯u1 (ct+1; 1 ¡ lt+1)
1 +n
(4.34)
ct = F (kt ; lt ) ¡ (1 + n) kt+1 + (1 ¡ ±) kt
(4.35)
m¶as una ecuaci¶on adicional, obtenida de (4.28) y (4.29):
u1 (ct ; 1 ¡ lt) =
u2 (ct; 1 ¡ lt )
FL (k t; lt )
(4.36)
que dice que la utilidad marginal del consumo debe igualar a la utilidad marginal
del ocio, dividida por el costo de oprtunidad del ocio en unidades de consumo
(dada por FL , que como veremos es igual al salario real). Esta relaci¶on nos de¯ne
29
impl¶³citamente una funci¶on de oferta de trabajo que depende positivamente del
salario real.
Los precios que convierten el OP anterior en un EGC se obtienen del problema
de la ¯rma, de donde:
rt = FK (kt ; lt )
wt = FL (kt ; lt)
(4.37)
(4.38)
El estado estacionario, en donde todas las variables por trabajador permanecen
constantes, est¶a caracterizado por el sistema:
1
F (k¤ ; l¤) + (1 ¡ ±)
= K
¯
1 +n
(4.39)
c¤ = F (k¤ ; l¤) ¡ (n + ±) k ¤
(4.40)
u1 (c¤ ; 1 ¡ l¤) =
u2 (c¤; 1 ¡ l¤ )
FL (k ¤; l¤)
(4.41)
que podemos resolver para k ¤, l¤ y c¤.
A modo de ilustraci¶on, consideremos un caso particular de la econom¶³a descrita
anteriormente, en el cual:
lt´
u(ct ) = log ct ¡
´
® 1¡®
F (kt ; lt ) = kt lt
Las ecuaciones (4.39) - (4.41) de estado estacionario se convierten en el sistema:
®
1
=
¯
Ã
³
k¤
c = ¤
l
¤
´
k¤ ®¡1
¤
l
+ (1 ¡ ±)
1 +n
!®
l¤ ¡ (n + ±) k¤
30
1
(l¤)´¡1
³ ´®
=
¤
c¤
(1 ¡ ®) kl¤
Resolviendo el sistema anterior, obtenemos:
Ã
k¤
l¤
2
!
= 4 1+n
¯
3
®
5
¡ (1 ¡ ±)
de donde podemos expresar l¤ en funci¶on del ratio
¤
l =
2
6
4
(1 ¡ ®)
1 ¡ (n + ±)
y el resto de variables en funci¶on de l¤ y
¤
k =
¤
c =
"Ã
k¤
l¤
!®
Ã
³
³
k¤
l¤
k¤
l¤
´
:
1
1¡®
(4.42)
³
k¤
l¤
31
´
:
´
7
´1¡® 5
(4.43)
!
k¤ ¤
l
l¤
(4.44)
Ã
k¤
¡ (n + ±) ¤
l
!#
l¤
(4.45)
N¶otese que un aumento en el par¶ametro ´ (que representa el grado de utilidad
del ocio) reduce en estado estacionario la oferta de trabajo, el stock de capital y
el consumo por miembro de la familia en la misma proporci¶on.
4.3. Cambio Tecnol¶
ogico y Crecimiento Ex¶
ogeno
El Modelo de Crecimiento Neocl¶asico b¶asico tiene como caracter¶³stica que en
estado estacionario el producto por trabajador se mantiene constante. En otras
palabras, no hay "crecimiento" (en el sentido com¶
unmente aceptado) en el largo
plazo.
31
Una manera de introducir crecimiento de largo plazo es incorporando progreso
t¶ecnico en la funci¶on de producci¶on. Por conveniencia, asumimos que el cambio
tecnol¶ogico es ex¶ogeno y afecta la productividad del trabajo. Rede¯nimos la
funci¶on de producci¶on como:
F (K t; At Lt )
en donde At mide el nivel tecnol¶ogico, y evoluciona de acuerdo a:
At+1 = (1 + g)At
en donde g es la tasa (ex¶ogenamente dada) de progreso t¶ecnico. Por simplicidad,
asumimos A0 = 1.
Para facilitar el an¶alisis, vamos a dividir todas las variables por AtLt de manera
tal que queden expresadas en unidades del ¶unico bien por unidades efectivas de
trabajo. Por ejemplo:
c^t =
Ct
c
= t
At Lt At
mide el consumo ya no por trabajador, sino por unidades efectivas de trabajo.
Con esta transformaci¶on, la funci¶on de producci¶on sigue siendo:
y^t = f (^kt ) = F
µ
Kt
;1
AtLt
¶
mientras que la restricci¶on presupuestaria de las familias es:
^ct + ^i t = w^t + rtk^t
t
en donde w
^t = w
es el salario por unidad efectiva de trabajo, y el capital evoluAt
ciona de acuerdo a:
(1 + g) (1 + n) ^kt+1 = (1 ¡ ±) ^kt + ^it
La u¶nica complicaci¶on surge con la funci¶on de utilidad, que queremos expresar
como una funci¶on del consumo por unidades efectivas de trabajo ^c. Si bien es
posible hacer un an¶alisis m¶as general, vamos a especializar el modelo al caso:
32
c1¡¾
u(ct ) = t
1¡¾
En este caso, tenemos entonces que:
1
X
¯t u(ct ) =
t=0
1
X
¯t
t=0
=
=
1
X
t=0
1
X
¯
t
c1¡¾
t
1 ¡¾
A1¡¾
t
t
¯^ u(^ct )
c^1¡¾
t
1¡¾
t=0
en donde ¯^ = ¯(1 + g)1¡¾.
De esta manera, hemos rede¯nido las variables del modelo de manera tal que
su estructura sea similar a la del Modelo de Crecimiento Neocl¶asico b¶asico. Por
lo tanto, la de¯nici¶on de equilibrio y las condiciones de primer orden ser¶an las
mismas. En particular, podemos obtener la ecuaci¶on de Euler:
u0 (^ct)
f 0 (^kt ) + (1 ¡ ±)
=
^ 0(^
(1 + n) (1 + g)
¯u
ct+1)
(4.46)
c^t = f(k^t ) ¡ (1 + n) (1 + g) ^kt+1 + (1 ¡ ±) ^kt
(4.47)
y la condici¶on:
Asimismo, sabemos que en largo plazo la econom¶³a converge hacia un estado
estacionario, en donde ^kt y c^t permanecen constantes con niveles dados por:
(1 + n) (1 + g)
f 0(k^¤) =
¡ (1 ¡ ±)
¯^
(1 + n) (1 + g)¾
=
¡ (1 ¡ ±)
¯
y adem¶as:
33
(4.48)
c^¤ = f(k^¤) ¡ (± + n + g + ng) k^¤
(4.49)
N¶otese, sin embargo, que a diferencia del Modelo de Crecimiento Neocl¶asico,
en estado estacionario todas las variables por trabajador crecen a la misma tasa
constante g (senda de crecimiento balanceado). Es decir, hemos conseguido crecimiento de largo plazo, pero a una tasa que esta dada ex¶ogenamente por la tasa
de progreso t¶ecnico y que es independiente de otros par¶ametros (por ejemplo, de
variables de pol¶³tica). Por ello, se trata de un modelo de Crecimiento Ex¶ogeno.
4.4. Un Modelo Simple de Crecimiento End¶
ogeno
La literatura de Crecimiento End¶ogeno busca construir modelos en los cuales
la tasa de crecimiento de las variables por trabajador sea un resultado de la
optimizaci¶on de los agentes, y por lo tanto pueda ser afectada por variables de
pol¶³tica.
El m¶as simple de estos modelos es conocido como el modelo Ak. Se trata
de una versi¶on del Modelo de Crecimiento Neocl¶asico b¶asico con la funci¶on de
producci¶on:
F (Kt ; Lt) = AK t
que podemos reescribir en forma intensiva como:
f(kt ) = Akt
N¶otese que esta funci¶on de producci¶on (i) ya no depende del trabajo, luego en equilibrio tendremos wt = 0; (ii) sigue exhibiendo rendimientos a escala constantes; y
(iii) ya no presenta rendimientos decrecientes en el capital (en equilibrio, rt = A,
independientemente de kt).
La de¯nici¶on de equilibrio y las condiciones de primer orden siguen siendo las
mismas. En particular, podemos obtener la ecuaci¶on de Euler:
u0 (ct )
A + (1 ¡ ±)
=
0
¯u (ct+1 )
1+n
34
(4.50)
y la condici¶on:
ct = Akt ¡ (1 + n) kt+1 + (1 ¡ ±) kt
(4.51)
La diferencia con el Modelo de Crecimiento Neocl¶asico b¶asico es que no existe
en general un estado estacionario en donde kt y ct permanecen constantes, pues
la ecuaci¶on (4.50) implicar¶³a que:
1
A + (1 ¡ ±)
=
¯
1 +n
(4.52)
lo cual no tiene necesariamente que ser cierto (no hay ninguna variable que se
ajuste, solo par¶ametros).
Lo que s¶³ existe en este modelo es una senda de crecimiento balanceado, en
donde kt y ct crecen a la misma tasa °. Esta tasa puede encontrarse a partir de
la ecuaci¶on de Euler. Por ejemplo, en el caso en que:
c1¡¾
u(ct ) = t
1¡¾
tenemos de (4.50) que:
1
¯
Ã
ct
ct+1
!¡¾
=
(1 + °)¾
A + (1 ¡ ±)
=
¯
1+n
(4.53)
#1
(4.54)
y por lo tanto:
"
A + (1 ¡ ±)
°= ¯
1+n
¾
¡1
nos da la tasa de crecimiento de todas las variables por trabajador en el largo
plazo, como una funci¶on de los par¶ametros del modelo.
De otro lado, a partir de (4.51) obtenemos que en la senda de crecimiento
balanceado:
ct = [A ¡ (± + n + ° + n°)] k t
35
(4.55)
de donde la tasa de ahorro es constante y dada por:
s=
Akt ¡ ct
± + n + ° + n°
=
Akt
A
(4.56)
Por ¶ultimo, podemos mostrar que en el modelo Ak la convergencia hacia la
senda de crecimiento balanceado es instant¶anea. Es decir, dado cualquier k 0 > 0
inicial, el valor de c0 en equilibrio ser¶a tal que inmediatamente se satisfagan (4.53)
y (4.55). No existe por lo tanto un per¶³odo de transici¶on, como en el modelo con
crecimiento ex¶ogeno.
Esto implica adem¶as que el modelo Ak no exhibe convergencia condicional,
pues la tasa de crecimiento de una econom¶³a es independiente de sus condiciones iniciales. As¶³, por ejemplo, la brecha en ingreso por trabajador entre dos
econom¶³as con los mismos par¶ametros pero distintos valores iniciales se mantendr¶a en el largo plazo, pues ambas crecen a la misma tasa desde el per¶³odo
inicial. N¶otese que esto no ocurre en el modelo con crecimiento ex¶ogeno, en donde
econom¶³as con los mismos par¶ametros pero distintos valores iniciales convergen al
mismo nivel de ingreso por trabajador y la misma tasa de crecimiento.
36
Part II
Ciclos Econ¶
omicos
37
5. Ciclos Econ¶
omicos Reales
5.1. Introducci¶
on
El estudio de los ciclos econ¶omicos, entendidos como las °uctuaciones de corto
plazo de la econom¶³a en torno a su senda de crecimiento de largo plazo, recobra
importancia a ¯nes de los setenta. Hasta entonces, la tradici¶on keynesiana explicaba estas °uctuaciones a partir de cambios en la demanda agregada que generan
desequilibrios temporales en la econom¶³a, usando modelos est¶aticos de corto plazo
complementados con mecanismos ad-hoc tales como la Curva de Phillips.
Por el contrario, los llamados "nuevos cl¶asicos" buscan entender los ciclos
econ¶omicos dentro del paradigma del equilibrio general, usando modelos din¶amicos
con fundamentos microecon¶omicos. El punto de partida es el Modelo de Crecimiento Neocl¶asico, que como vimos anteriormente ofrece un marco consistente
para analizar el comportamiento de largo plazo de la econom¶³a. A este modelo se
le incorporan shocks estoc¶asticos para que depliegue °uctuaciones de corto plazo,
con lo cual el mismo modelo permite explicar tanto el crecimiento como los ciclos
econ¶omicos.
Dentro de esta corriente, Kydland y Prescott (1982) construyen un modelo
en el cual los impulsos de corto plazo est¶an dados por shocks tecnol¶ogicos, y
muestran que las caracter¶³sticas de las °uctuaciones generadas por su modelo
(medidas a trav¶es de ciertos estad¶³sticos que re°ejan la variabilidad, persistencia
y correlaciones de las principales variables) son similares a las de los datos de
Estados Unidos en la post-guerra. Puesto que el modelo no incluye dinero, a ¶este
y otros estudios que le siguen se les agrupa en la literatura de Ciclos Econ¶omicos
Reales (RBC).
La naturaleza de los shocks que generan los ciclos econ¶omicos es uno de los
puntos principales en la agenda de investigaci¶on actual. Diversos autores usan una
metodolog¶³a similar para analizar fuentes alternativas de °uctuaciones, tales como
shocks monetarios, shocks internacionales e incluso shocks de demanda al estilo
keynesiano. El debate no est¶a cerrado, pero existe cada vez un mayor consenso
acerca de los t¶erminos en los cuales debe llevarse a cabo.
38
5.2. Representaci¶
on de los Ciclos Econ¶
omicos
Cualquier an¶alisis cuantitativo de los ciclos econ¶omicos debe partir por distinguir
el crecimiento de largo plazo (tendencia) de las °uctuaciones de corto plazo (ciclos)
en las variables econ¶omicas de inter¶es.
Dada una serie de observaciones de la variable Yt (t = 1; :::T ), existen varios
m¶etodos para separar la tendencia del ciclo. En ellos se asume normalmente que
podemos expresar Yt como el producto de un componente de tendencia Ytg y un
componente c¶³clico Ytc:
Yt = Ytg £ Ytc
o, tomando logaritmos:
yt = ytg + yct
en donde las variables en min¶
uscula representan el logaritmo de la variable original.
El m¶etodo m¶as usado en la literatura de RBC es el ¯ltro de Hodrick-Prescott
(HP), que consiste en hallar una serie ygt que minimice:
T
X
t=1
(yt ¡
ygt )2
+¸
T
X
t=1
g
[(yt+1
¡ ytg) ¡ (ygt ¡ ygt¡1 )]2
(5.1)
El par¶ametro ¸ mide el peso que se le da en la minimizaci¶on a la suavidad de ytg
en relaci¶on a su cercan¶³a a la serie original yt . Si ¸ = 0 tenemos que ytg es igual
a yt (no se le da ning¶
un peso a la suavidad), mientras que cuando ¸ ! 1, ytg
tiende a una linea recta (todo el peso en la suavidad). Para datos trimestrales,
se recomienda el valor ¸ = 1600. Una vez hallado ytg, el componente c¶³clico se
encuentra usando ytc = yt ¡ ygt .
El siguiente paso en la representaci¶on de los ciclos econ¶omicos consiste en
encontrar regularidades en el comportamiento de los componentes c¶³clicos de las
principales variables macroecon¶omicas, tales como producto, consumo, inversi¶on
y empleo. Para ello se suelen usar series trimestrales, ajustadas usando el ¯ltro
HP. Estas regularidades constituyen los hechos estilizados que cualquier modelo
que busque explicar los ciclos econ¶omicos debe satisfacer.
39
Por ejemplo, para la econom¶³a de Estados Unidos se reconocen los siguientes
hechos estilizados:
² El consumo, la inversi¶on y el empleo son proc¶³clicos (est¶an positivamente
correlacionados con el producto);
² El consumo es menos volatil (tiene menor varianza) que el producto;
² La inversi¶on es m¶as volatil (tiene mayor varianza) que el producto; y
² El empleo tiene la misma variabilidad que el producto.
5.3. Un Modelo Simple de RBC
A ¯n de ilustrar la metodolog¶³a seguida en la literatura de RBC, vamos a trabajar
con una versi¶on simple del modelo de Kydland y Prescott (1982). Este es a su vez
una versi¶on del Modelo de Crecimiento Neocl¶asico con cambio t¶ecnico ex¶ogeno
y decisi¶on trabajo-ocio, al cual se le incorporan shocks tecnol¶ogicos que afectan
la funci¶on de producci¶on. La naturaleza de estos shocks es estoc¶astica, luego sus
realizaciones no son conocidas (aunque si predecidas) por los agentes.
La estructura del modelo, con todas las variables expresadas en unidades del
¶unico bien por unidades de trabajo efectivo, es similar a la de los modelos vistos
anteriormente. Las preferencias de las familias est¶an descritas por la funci¶on de
utilidad intertemporal:
1
X
t=0
¯ tu(ct; 1 ¡ lt )
su restricci¶on presupuestaria para el periodo t es:
ct + it = wt lt + rt kt
y la regla de acumulaci¶on del capital:
(1 + n) (1 + °) kt+1 = (1 ¡ ±)kt + it
en donde n es la tasa de crecimiento de la poblaci¶on y ° la tasa de progreso
t¶ecnico, ambas ex¶ogenas.
40
El u¶nico cambio se da en la funci¶on de producci¶on, que es ahora:
yt = ez t F (kt ; lt )
(5.2)
en donde zt es un shock tecnol¶ogico que afecta la tasa de crecimiento de la productividad total de los factores, y que sigue el proceso autoregresivo:
zt+1 = ½z t + "t+1
(5.3)
en donde "t es un ruido blanco con varianza ¾ 2. Suponemos que z t es conocido a
comienzos del per¶³odo t, antes de tomar cualquier decisi¶on en ese per¶³odo.
Antes de de¯nir un equilibrio para esta econom¶³a, es necesario introducir cierta
notaci¶on. Si z t corresponde al shock tecnol¶ogico ocurrido en el periodo t, el vector
z t = (z0; z1 ; :::; zt ) denota la historia de todos los shocks ocurridos hasta el per¶³odo
t. Un plan contingente para la variable x, que denotamos x(z t), es una funci¶on
en el conjunto de posibles historias. Es decir, x(z t) nos da el valor de x previsto
para el periodo t en caso que ocurriese la historia de shocks z t .
Dado que las familias no conocen cuales ser¶an las realizaciones de zt en el
futuro (y por lo tanto no conocen los precios futuros), lo mejor que pueden hacer
es escoger planes contingentes para el consumo, la inversi¶on y la oferta de trabajo
que maximizen su utilidad esperada.
Un Equilibrio General Competitivo Estoc¶astico (EGCE) para esta econom¶³a es
un conjunto de planes contingentes para las cantidades c(z t), i(z t ), l(z t), y(z t) y
k(z t), junto con los precios contingentes w(z t ) y r(z t ), tales que:
i) Dados z0, k0 ´ k(z ¡1) > 0, w(z t ) y r(z t ), los planes contingentes c(z t ), l(z t ),
i(z t ) y k(z t ) resuelven el problema:
max
E0
1
³
X
t
t=0
s:t:
´
¯ u c(z t ); 1 ¡ l(z t )
c(z t ) + i(z t ) = w(z t )l(z t ) + r(z t )k(z t¡1)
(1 + n) (1 + °) k(z t ) = (1 ¡ ±) k(z t¡1 ) + i(z t )
zt+1 = ½z t + "t+1
en donde "t es un ruido blanco con varianza ¾2.
41
(5.4)
8z t; 8t
8z t ; 8t
8t
ii) Para cada historia z t en cada periodo t, dados w(z t ) y r(z t), los valores
y(z t ), k(z t¡1) y l(z t ) resuelven el problema:
y(z t) ¡ w(zt )l(z t ) ¡ y(z t )k(z t¡1)
max
³
(5.5)
´
y(z t ) = ezt F k(z t¡1); l(z t )
s:t:
iii) Para cada historia z t en cada periodo t, hay igualdad entre oferta y demanda:
y(z t ) = c(zt ) + i(z t )
(5.6)
De manera similar, podemos de¯nir un Optimo de Pareto Estoc¶astico (OPE)
para esta econom¶³a como un conjunto de planes contingentes para las cantidades
c(z t), i(z t ), l(z t) y k(z t) que, dados z0 y k0 ´ k(z ¡1 ) > 0, resuelven el problema
del plani¯cador social:
max
E0
1
³
X
t
t=0
s:t:
´
¯ u c(z t ); 1 ¡ l(z t )
³
(5.7)
´
c(z t ) + i(z t ) = ezt F k(z t¡1); l(z t )
(1 + n) (1 + °) k(z t ) = (1 ¡ ±) k(z t¡1) + i(z t )
zt+1 = ½zt + "t+1
8z t ; 8t
8z t ; 8t
8t
en donde "t es un ruido blanco con varianza ¾2.
N¶otese que tanto el EGCE como el OPE nos dan planes contingentes para
todas las variables, que son funciones que dependen de las realizaciones de los
shocks tecnol¶ogicos. Para cada secuencia de realizaciones de estos shocks, tendremos distintas trayectorias de las variables que nos interesan.
42
5.4. Calibraci¶
on del Modelo
El modelo anterior es di¯cil de resolver anal¶³ticamente. La alternativa es usar
m¶etodos num¶ericos, para lo cual se necesita especi¯car las formas funcionales y
dar valores a los par¶ametros del modelo.
Las formas funcionales m¶as usadas en la literatura de RBC son la funci¶on de
producci¶on Cobb-Douglas:
F (k; l) = k® l1¡®
(5.8)
y una funci¶on de utilidad de la forma:
u(c; 1 ¡ l) = (1 ¡ Á) log c + Á log(1 ¡ l)
(5.9)
que es separable en consumo y ocio.
El siguiente paso es escoger valores para los par¶ametros del modelo, que son
®, Á, ¯, ±, n y ° (m¶as adelante nos ocuparemos de ½ y ¾). Si bien nada impide
la estimaci¶on econom¶etrica estructural (es decir, tomando en cuenta las restricciones impuestas por el modelo) de dichos par¶ametros, un m¶etodo sencillo usado
extensivamente en la literatura es el de la calibraci¶on.
La idea de la calibraci¶on es ajustar los par¶ametros del modelo de manera tal
que el estado estacionario (o la senda de crecimiento balanceado) de la parte
determin¶³stica (haciendo z t = 0, 8t) sea consistente con algunas observaciones de
largo plazo para la econom¶³a que estamos analizando. Los pasos a seguir en este
modelo sencillo son los siguientes:
1. Obtener n como la tasa de crecimiento promedio de la poblaci¶on.
2. Obtener ° como la tasa de crecimiento promedio del producto per c¶apita
(mejor si es del producto por trabajador).
3. Dados n y °, obtener ¯ usando informaci¶on sobre la tasa de inter¶es real
promedio i y la relaci¶on de estado estacionario:
(1 + n) (1 + °)
= r + (1 ¡ ±) ´ 1 + i
¯
43
(5.10)
4. Obtener ® usando informaci¶on sobre la participaci¶on del retorno al trabajo
(salarios mas otro tipo de compensaciones) en el producto total, puesto que:
1 ¡® =
wL
Y
(5.11)
5. Dados n, °, ® y ¯, obtener ± usando informaci¶on sobre la tasa de ahorro
s=1¡C
promedio y la relaci¶on de estado estacionario:
Y
k
®
= (± + n + ° + n°)
y
r
Ã
!¡1
(1 + n) (1 + °)
= ®(± + n + ° + n°)
¡ (1 ¡ ±)
¯
s = (± + n + ° + n°)
(5.12)
6. Dado ®, obtener Á usando informaci¶on sobre la tasa de ahorro s y la proporci¶on del tiempo destinado al mercado de trabajo l (si no se encuentra,
se suele asumir l = 0:3), junto con la relaci¶on de estado estacionario:
Ã
!
Ã
!Ã
!µ ¶
Á
1 ¡l
1¡l
wl
y
=
w=
1¡Á
c
l
y
c
Ã
!
µ
¶
1¡l
1
=
(1 ¡ ®)
l
1¡s
(5.13)
N¶otese que si los datos de largo plazo requeridos para la calibraci¶on son anuales,
tambi¶en ser¶an anuales las tasas n, °, ± y ¯ que se encuentren. Por lo tanto, si el
modelo va a ser simulado para reproducir datos trimestrales, n, °, ± y ¯ deben ser
transformados a una frecuencia trimestral. Por ejemplo, una tasa de crecimiento
de la poblaci¶on anual del 3% (o 0:03) implica una tasa de crecimiento trimestral
de 0:75% (donde 1:0075 = (1:03)1=4).
Nos queda calibrar el proceso estoc¶astico para los shocks tecnol¶ogicos, es decir
los par¶ametros ½ y ¾. Sabemos que, dada su especi¯caci¶on autoregresiva, los
principales momentos para zt est¶an dados por:
Ezt = 0
44
(5.14)
¾2
1 ¡ ½2
½¾ 2
=
1 ¡ ½2
Ezt2 =
Ezt zt¡1
(5.15)
(5.16)
Los shocks tecnol¶ogicos corresponden en el modelo al residuo de Solow, medido restando de la tasa de crecimiento del producto las partes explicadas por el
crecimiento de los distintos factores de producci¶on:
z t = log Yt ¡ ® log Kt ¡ (1 ¡ ®) log Lt
(5.17)
Obteniendo series para el stock de capital y el empleo, podemos calcular una serie
para zt y observar su varianza y primera autocovarianza. Entonces, usando (5.15)
y (5.16), podemos encontrar los valores de ½ y ¾ que sean consistentes con dichas
observaciones.
Siguiendo procedimientos similares a los descritos, y usando datos de largo
plazo para la econom¶³a de Estados Unidos, se encuentran los siguientes valores
(trimestrales) para los par¶ametros:
n = 0:003
® = 0:3
½ = 0:95
° = 0:004
¯ = 0:99
¾ = 0:007
± = 0:012
Á = 0:64
que son los usados en la literatura de RBC.
5.5. Simulaci¶
on y Resultados
Una vez obtenidas las formas funcionales y los valores de los par¶ametros, se puede
simular las trayectorias de equilibrio para las variables de inter¶es. Los metodos
num¶ericos usados con mayor frecuencia son el de aproximaci¶on Linear-Cuadr¶atica
(LQ) en torno al estado estacionario, y el de Elementos Finitos (FEM). Ambos
son relativamente complejos, por lo que su exposici¶on queda pospuesta para m¶as
adelante. En todo caso, una buena referencia es el art¶³culo de Hansen y Prescott
(1995).
45
Los resultados obtenidos simulando el modelo de RBC para la econom¶³a de
Estados Unidos quedan resumidos en la siguiente tabla:
S:D:(y)
S:D:(c)
S:D:(i)
S:D:(l)
C orr(y; c)
C orr(y; i)
C orr(y; l)
Modelo
0:0135
0:0033
0:0595
0:0077
0:85
0:99
0:72
Datos
0:0172
0:0127
0:0824
0:0159
0:83
0:91
0:86
en donde todas las variables (tanto las observaciones como las obtenidas simulando
el modelo) han sido ajustadas mediante el ¯ltro HP para aislar el componente
c¶³clico y est¶an expresadas en logaritmos.
Como se puede apreciar, el modelo simple de RBC con shocks tecnol¶ogicos
reproduce las correlaciones entre las principales variables observadas en los datos.
Asimismo, reproduce alrededor del 70% de la variabilidad observada en el producto. Sin embargo, genera menor variabilidad en el consumo y el empleo que la
observada. Con todo, el modelo parece consistente con los hechos estilizados del
ciclo econ¶omico: tanto el consumo, como la inversi¶on y el empleo son fuertemente
proc¶³clicos, y la inversi¶on es m¶as volatil que el consumo y el empleo.
La intuici¶on detr¶as de estos resultados es la siguiente. Un shock tecnol¶ogico
positivo aumenta la productividad de los factores, luego el ingreso y el consumo.
Al aumentar la rentabilidad del capital, los agentes incrementan fuertemente la
inversi¶on (sustituci¶on intertemporal del consumo). Por u¶ltimo, al aumentar los
salarios, los agentes ofrecen mayor cantidad de horas de trabajo al mercado (sustituci¶on intertemporal del ocio). Estos efectos generan los patrones de correlaci¶on
en las variables descritos anteriormente.
46
N¶otese ¯nalmente que si la fuente de °uctuaciones en la econom¶³a fuese ya
no shocks tecnol¶ogicos, sino por ejemplo shocks en las preferencias, obtendr¶³amos
resultados completamente distintos. Como un principio general, los patrones de
correlaci¶on entre las variables en este tipo de modelos depende del tipo de shocks
que afectan a la econom¶³a, y no son por lo tanto invariantes ante intervenciones
de pol¶³tica.
47
6. Dinero y Ciclos Econ¶
omicos
6.1. Introducci¶
on
El enfoque de Ciclos Econ¶omicos Reales ha sido criticado por no incluir elementos
monetarios. Observaciones para la econom¶³a de Estados Unidos muestran que (i)
la cantidad de dinero es fuertemente proc¶³clica; (ii) la velocidad de circulaci¶on
es tambi¶en proc¶³clica; (iii) el nivel de precios es contrac¶³clico; pero (iv) la tasa
de in°aci¶on es proc¶³clica. Estos hechos estilizados no pueden ser capturados por
los modelos de RBC, y pueden ser potencialmente importantes para explicar los
ciclos econ¶omicos.
El estudio de estos fen¶omenos dentro de la metodolog¶³a de RBC pasa por
resolver el problema de c¶omo introducir dinero en el Modelo de Crecimiento
Neocl¶asico. La soluci¶on no es obvia, pues se necesita que los agentes escojan
racionalmente el mantener un stock de dinero entre per¶³odos, renunciando a invertirlo en activos (tales como bonos o nuevo capital) que ofrecen un retorno
positivo.
En la ¶ultima d¶ecada se han explorado diversas soluciones a este problema.
La m¶as sencilla (y menos atractiva te¶oricamente) es introducir el dinero como
un argumento en la funci¶on de utilidad de las familias, de manera tal que estas
siempre demanden un stock positivo del mismo. Una alternativa con la cual vamos
a trabajar es el modelo de cash-in-advance, propuesto por Lucas y Stokey (1987),
en el cual las familias demandan dinero por motivos transaccionales.
6.2. El Modelo de Cash-In-Advance
Vamos a trabajar con una versi¶on simple del Modelo de Crecimiento Neocl¶asico, al
cual le vamos a introducir un gobierno que ¯nancia sus gastos mediante la emisi¶on
de nuevo circulante (no hay impuestos ni bonos). Su restricci¶on presupuestaria
est¶a dada por:
ptg t = Mt+1 ¡ Mt
48
en donde el valor nominal de sus gastos debe ser igual a la cantidad de dinero
creada en el per¶³odo. Por simplicidad, vamos a asumir que el gobierno sigue la
regla de pol¶³tica monetaria:
Mt+1 = (1 + ¹)M t
en donde la cantidad de dinero crece a la tasa constante ¹.
Las familias, por su parte, utilizan su ingreso (salarios m¶as renta del capital)
para adquirir bienes de consumo e inversi¶on. El punto es que los bienes de consumo
deben ser adquiridos con dinero tra¶³do del periodo anterior, puesto que deben ser
cancelados antes de que las familias reciban su ingreso correspondiente al per¶³odo.
Tenemos entonces la restricci¶on de cash-in-advance:
pt ct = Mt
y la restricci¶on presupuestaria:
Mt+1 + pt it = wt + rt kt
de acuerdo a la cual las familias usan su ingreso nominal (en este contexto wt y rt
son precios monetarios, no relativos) para adquirir bienes de inversi¶on y guardar
dinero para el siguiente per¶³odo.
Un Equilibrio General Competitivo (EGC) para esta econom¶³a es un conjunto
de secuencias para las cantidades ct , it , yt , kt+1, g t y Mt+1, junto con los precios
pt, wt y rt, tales que:
i) Dados k0 > 0, M0 > 0 y los precios pt , wt y rt , las secuencias ct , it , kt+1 y
Mt+1 resuelven el problema:
max
1
X
¯ t u (ct )
(6.1)
t=0
s:t:
Mt+1 + pt i t = wt + rt kt
pt ct = Mt
(1 + n) kt+1 = (1 ¡ ±) kt + it
49
8t
8t
8t
ii) En cada per¶³odo t, dados pt, wt y rt, los valores yt y k t resuelven el problema:
ptyt ¡ wt ¡ rtkt
max
s:t:
(6.2)
yt = f (kt )
iii) En cada per¶³odo t, el gobierno satisface la restricci¶on presupuestaria:
ptg t = Mt+1 ¡ Mt
(6.3)
Mt+1 = (1 + ¹)M t
(6.4)
y sigue la regla de pol¶³tica monetaria:
iv) En cada per¶³odo t, hay igualdad entre oferta y demanda:
yt = ct + it + g t
(6.5)
Como veremos m¶as adelante, el gobierno introduce una distorsi¶on en la econom¶³a
al emitir dinero para ¯nanciar sus gastos. Por lo tanto, no podemos usar los Teoremas del Bienestar resolviendo el problema del plani¯cador social, y debemos
trabajar directamente con el EGC.
Empecemos resolviendo el problema de la familia representativa, cuyo lagrangeano est¶a dado por:
L =
1 h
X
t
t=0
¯ u (ct ) ¡ ¸1t (Mt+1 + pti t ¡ wt ¡ rt kt ) ¡ ¸2t (ptct ¡ Mt )
¡¸3t ((1 + n) kt+1 ¡ (1 ¡ ±) kt ¡ it )]
con condiciones de primer orden:
@L
= ¯ tu0 (ct ) ¡ ¸2t pt = 0
@ct
@L
= ¡¸1t pt + ¸3t = 0
@i t
50
(6.6)
(6.7)
@L
@kt+1
@L
@Mt+1
@L
@¸1t
@L
@¸2t
@L
@¸3t
= ¸1t+1rt+1 ¡ ¸3t (1 + n) + ¸3t+1 (1 ¡ ±) = 0
(6.8)
= ¡¸1t + ¸2t+1 = 0
(6.9)
= Mt+1 + pt it ¡ wt ¡ rt kt = 0
(6.10)
= ptct ¡ M t
(6.11)
= (1 + n) kt+1 ¡ (1 ¡ ±) k t ¡ it = 0
(6.12)
y las condiciones de transversalidad habituales.
De (6.6) - (6.9) podemos obtener la ecuaci¶on de Euler:
Ã
!Ã
!
rt+1
u0 (ct+1)
pt+1
pt+1 pt+1 + (1 ¡ ±)
=
(6.13)
¯u0 (ct+2)
pt
pt+2
1+n
que iguala la tasa marginal de sustituici¶on intertemporal al ratio de los rendimientos (medidos en unidades de consumo) de invertir una unidad monetaria en nuevo
capital y de guardarla como dinero hasta el siguiente per¶³odo.
De la restricci¶on de cash-in-advance de las familias (6.11) tenemos:
µ
¶
yt
Mt
(6.14)
ct
una versi¶on simple
on cuantitativa del dinero, con velocidad de circu³ ´ de la ecuaci¶
laci¶on igual a yctt .
ptyt =
Por ¶ultimo, del problema de la ¯rma obtenemos como es usual:
rt = ptf 0 (kt )
wt = pt [f (kt ) ¡ f 0 (kt ) kt ]
(6.15)
(6.16)
que reemplazando en (6.13) nos da:
u0 (ct+1)
=
¯u0 (ct+2)
Ã
pt+1
pt
!Ã
pt+1
pt+2
51
!
f 0 (kt+1) + (1 ¡ ±)
1+n
(6.17)
6.3. Estado Estacionario y Neutralidad del Dinero
Vamos a analizar ahora el estado estacionario del modelo, en donde todas las
cantidades por trabajador se mantienen constantes. De (6.14) podemos ver que,
si el consumo por trabajador es constante, la tasa de in°aci¶on debe ser igual a la
tasa de crecimiento de la oferta monetaria ¹. Asimismo, de (6.15) y (6.16) vemos
que los precios de los factores de producci¶on deben crecer a esa misma tasa ¹.
Usando la ecuaci¶on de Euler (6.17), tenemos que en estado estacionario:
1
f 0 (k¤ ) + (1 ¡ ±)
=
(6.18)
¯
1 +n
luego cambios en la tasa de crecimiento de la oferta monetaria no afectan el nivel
de capital por trabajador (ni el ingreso por trabajador) de estado estacionario.
En ese sentido, el dinero es neutral en el largo plazo.
De la restricci¶on presupuestaria del gobierno (6.3), la regla de pol¶³tica monetaria (6.4) y la ecuaci¶on cuantitativa (6.14), obtenemos en estado estacionario:
g ¤ = ¹c¤
(6.19)
Reemplazando en la ecuaci¶on de cierre del mercado de bienes (6.5):
c¤ =
f (k¤ ) ¡ (n + ±)k ¤
1 +¹
(6.20)
vemos que un aumento en la tasa de crecimiento de la oferta monetaria aumenta
el gasto de gobierno y reduce el consumo de las familias en la misma magnitud.
En res¶
umen, en este modelo el gobierno puede expandir su gasto (o d¶e¯cit)
¯nanci¶andolo mediante emisi¶on de dinero. En el largo plazo, esta pol¶³tica expansiva no afectar¶a la inversi¶on ni el nivel de producto, pero s¶³ su composici¶on: el
consumo de las familias se ver¶a reducido en la misma magnitud que el aumento
en el d¶e¯cit ¯scal. El mecanismo mediante el cual el gobierno obliga a las familias
a reducir su consumo es mediante un aumento en los precios, que reduce el valor
real del stock de dinero. De esta manera, la emisi¶on en este modelo funciona como
un impuesto in°acionario al consumo.
52
6.4. Ciclos Econ¶
omicos Monetarios
Cooley y Hansen (1995) analizan las °uctuaciones generadas por un modelo de
cash-in-advance sujeto tanto a shocks tecnol¶ogicos como shocks monetarios. Los
primeros afectan la funci¶on de producci¶on, al igual que en la literatura de RBC.
Los shocks monetarios, por su parte, afectan la tasa de emisi¶on de dinero. Es
decir, ¹ sigue un proceso estoc¶astico descrito por:
¹t+1 = ´¹ t + »t+1
que asumimos independiente al proceso seguido por los shocks tecnol¶ogicos.
El modelo es calibrado para los datos de largo plazo de la econom¶³a de Estados
Unidos, resuelto num¶ericamente y simulado para 150 trimestres. Los estad¶³sticos
obtenidos de la simulaci¶on son comparados con los obtenidos en el modelo simple
de RBC (sin shocks monetarios) y con los datos para la econom¶³a de Estados
Unidos en la post-guerra. Los principales resultados son:
² Las variables reales (producto, inversi¶on, consumo y empleo) tienen una
varianza similar en ambos modelos y reproducen los patrones de correlaci¶on
observado en los datos.
² En cuanto a las variables nominales, el nivel de precios y la in°aci¶on son
mucho m¶as variables en el modelo con shocks monetarios que en los datos.
² Adicionalmente, en el modelo con shocks monetarios se obtiene que el nivel
de precios es contrac¶³clico y la velocidad de circulaci¶on proc¶³clica, tal como
se observa. Sin embargo, se obtiene tambi¶en que la tasa de in°aci¶on es
contrac¶³clica, lo cual no se observa.
Los primeros dos resultados muestran que la introducci¶on de shocks monetarios en el contexto de un modelo de cash-in-advance agrega muy poco a la
explicaci¶on de las °uctuaciones en las variables reales (que siguen siendo explicadas b¶asicamente por shocks tecnol¶ogicos) y genera al mismo tiempo demasiada
variabilidad en las variables nominales. Esto tiene que ver, por supuesto, con
las propiedades de neutralidad del dinero en este modelo, por lo cual los shocks
monetarios son acomodados principalmente por movimientos en precios y no en
cantidades.
53
Un punto importante dentro del debate actual sobre los Ciclos Econ¶omicos
tiene que ver con la construcci¶on de modelos de econom¶³as con dinero en los
cuales los shocks monetarios no generen una excesiva variabilidad en los precios.
En ese sentido, los llamados "nuevos keynesianos" proponen la introducci¶on de
rigideces nominales (como contratos de largo plazo, costos de men¶
u, etc.) que
eviten el ajuste autom¶atico de los precios y, de paso, eliminen la propiedad de
neutralidad del dinero.
En el mismo art¶³culo, Cooley y Hansen testean una alternativa de este tipo.
Para ello, utilizan un modelo de cash-in-advance con rigideces en los salarios debidas a la existencia de contratos traslapados (como en Fisher (1977)). El intento
no es del todo satisfactorio, sin embargo, pues si bien con esa modi¯caci¶on se
reduce la variabilidad del nivel de precios y aumenta la del producto, algunos
patrones de correlaci¶on entre las variables reales que se obtienen ya no son consistentes con los datos.
54
Part III
Referencias
55
References
[1] Barro, Robert y Xavier Sala-i-Martin. Economic Growth. New York:
McGraw-Hill, 1995.
[2] Cooley, Thomas, ed. Frontiers of Business Cycle Research. Princeton: Princeton University Press, 1995.
[3] Cooley, Thomas y Edward Prescott. "Economic Growth and Business Cycle".
En Cooley (1995).
[4] Cooley, Thomas and Gary Hansen. "Money and the Business Cycle". En
Cooley (1995).
[5] Fisher, Stanley. "Long Term Contracts, Rational Expectations, and the Optimal Money Supply Rule". Journal of Political Economy, vol. 85, 1977.
[6] Hansen, Gary y Edward Prescott. "Recursive Methods for Computing Equilibria of Business Cycle Models". En Cooley (1995).
[7] Kydland, Finn y Edward Prescott. "Time to Build and Aggregate Fluctuations". Econometrica, vol. 50, 1982.
[8] Lucas, Robert. "Econometric Policy Evaluation: a Critique". En: Brunner,
Carl y Allan Meltzer, eds. The Phillips Curve and Labor Markets, Vol. 1 of
the Carnegie-Rochester Series on Public Policy. Amsterdam: North Holland,
1976.
[9] Lucas, Robert. "Methods and Problems in Business Cycle Theory". Journal
of Money, Credit and Banking, vol. 12, 1980.
[10] Lucas, Robert y Nancy Stokey. "Money and Interest in a Cash-in-Advance
Economy". Econometrica, vol. 55, 1987.
[11] Mankiw, Gregory. "A Quick Refresher Course in Macroeconomics". Journal
of Economic Literature, vol. 28, 1990.
[12] Mankiw, Gregory, David Romer y David Weil. "A Contribution to the Empirics of Economic Growth". Quarterly Journal of Economics, vol. 107, 1992.
56
[13] Prescott, Edward. "Theory Ahead of Business Cycle Measurement". Federal
Reserve Bank of Minneapolis Quarterly Review, Fall 1986.
[14] Rotemberg, Julio. "The New Keynesian Microfoundations". NBER Macroeconomics Annual, 1987.
[15] Sargent, Thomas. Dynamic Macroeconomic Theory. Cambridge: Harvard
University Press, 1987.
[16] Solow, Robert. "A Contribution to the Theory of Economic Growth". Quarterly Journal of Economics, vol. 70, 1956.
57
Part IV
Ap¶
endices
58
A. Preguntas de Repaso
A.1. Parte I
Pregunta 1
Considere el nivel de capital por trabajador de estado estacionario k ¤ en el
modelo de crecimiento neocl¶asico sin distorsiones (obtenido resolviendo el problema del plani¯cador social o el equilibrio competitivo). >Es k¤ el valor del stock
de capital por trabajador que maximiza el consumo por trabajador en estado
estacionario?
Pregunta 2
Explique por qu¶e en el modelo de crecimiento neocl¶asico un impuesto al consumo no tiene efectos sobre el nivel de ingreso por trabajador. >Sigue siendo esta
conclusi¶on cierta cuando se introduce la decisi¶on trabajo-ocio?
Pregunta 3
Analice los efectos de un impuesto a la inversi¶on sobre la tasa de crecimiento
del ingreso por trabajador en el modelo Ak. >Qu¶e ocurre en el largo plazo con la
brecha entre dos econom¶³as con los mismos par¶ametros pero distintos impuestos
a la inversi¶on? >Es ¶esto consistente con la hip¶otesis de convergencia condicional?
A.2. Parte II
Pregunta 1
Analice los patrones de correlaci¶on entre las principales variables (producto,
consumo, inversi¶on y empleo) que se obtendr¶³an en un modelo de RBC en el cual
en vez de shocks tecnol¶ogicos se tiene shocks de preferencias que afectan el factor
59
de descuento ¯. >Son estos patrones de correlaci¶on consistentes con los hechos
estilizados para la econom¶³a de Estados Unidos?
Pregunta 2
En el modelo de cash-in-advance visto en clase el dinero es neutral, en el
sentido que cambios en la tasa de crecimiento de la oferta monetaria no afectan el
nivel de ingreso por trabajador en el largo plazo. >Sigue siendo el dinero neutral
si tanto los bienes de consumo como los de inversi¶on deben ser adquiridos con
dinero tra¶³do del per¶³odo anterior?
60
B. Problemas y Ejercicios
B.1. Parte I
Pregunta 1
Considere el Modelo de Crecimiento Neocl¶asico en su versi¶on m¶as simple, con
las siguientes formas funcionales:
u(ct ) =
c1¡¾
¡1
t
1¡¾
f (kt ) = k®t
en donde ¾ > 0 y ® < 1 son par¶ametros dados.
i) De¯na un Equilibrio Competitivo para esta econom¶³a.
ii) Caracterice lo mejor posible el Equilibrio Competitivo (halle la ecuaci¶on de
Euler, etc.)
iii) Halle los valores en estado estacionario para k ¤, c¤ , y¤ , r ¤, w¤ y la tasa de
ahorro s ¤.
iv) Dados los siguientes valores para los par¶ametros:
® = 0:3
¯ = 0:95
¾ = 1:5
± = 0:06
n = 0:03
Utilizando el m¶etodo propuesto en la Secci¶on 3.7, y partiendo de k0 = 1:5, gra¯que
la trayectoria de equilibrio para kt .
v) En base al resultado obtenido en (iv), gra¯que las trayectorias para ct , yt ,
rt , wt , la tasa de ahorro s t y la tasa de crecimiento de yt >Existe convergencia
condicional en este modelo?
61
Pregunta 2
Considere un modelo de crecimiento en el que existe intermediaci¶on ¯nanciera.
Las ¯rmas son las due~
nas del capital y toman las decisiones de inversi¶on. Las
familias ahorran depositando unidades del ¶unico bien (dt ) en un banco por el cual
ganan una tasa de inter¶es pasiva r dt. El banco, por su parte, presta unidades
del ¶unico bien (mt) a las ¯rmas, a una tasa de inter¶es activa rtm. La tecnolog¶³a
¯nanciera est¶a descrita por:
mt = µdt
en donde 0 < µ < 1 es un par¶ametro que re°eja la e¯ciencia del sistema bancario
(es decir (1 ¡ µ)dt re°eja los recursos perdidos en el proceso de intermediaci¶on).
El mercado ¯nanciero es competitivo, luego los bene¯cios son cero. Las ¯rmas
maximizan el valor presente de sus bene¯cios, descontados de acuerdo a la tasa
de inter¶es activa. Puesto que el mercado de bienes es tambi¶en competitivo, dicho
valor presente debe ser cero.
i) De¯na un Equilibrio Competitivo para esta econom¶³a.
ii) Caracterice lo mejor posible el Equilibrio Competitivo.
iii) Halle los valores en estado estacionario para k ¤, c¤ , y¤ , r ¤, w ¤ , r d¤ , r m¤.
Introduzcamos ahora un gobierno, que desea reducir el spread bancario (la diferencia entre las tasas de inter¶es activa y pasiva). Para ello cuenta con dos alternativas: (a) una reforma del sistema ¯nanciero que reduzca la ine¯ciencia del mismo
(incrementando µ), y (b) un impuesto ¿ al inter¶es recibido por los bancos, cuya
recaudaci¶on es devuelta a los consumidores como una transferencia lump-sum Tt
(es decir, Tt = ¿rtmmt ).
iv) Analice los efectos de ambas alternativas sobre los valores de estado estacionario encontrados en (iii) y compare su e¯cacia en reducir el spread.
Pregunta 3
Considere el siguiente modelo de crecimiento, en donde el gasto del gobierno
entra en la funci¶on de producci¶on (en forma intensiva) de la siguiente manera:
62
f(k t) = kt® gt°
con ® + ° < 1. Este gasto de gobierno (podemos pensarlo como construcci¶on de
carreteras) es ¯nanciado mediante un impuesto a los retornos del capital:
g t = ¿rt kt
La funci¶on de utilidad tiene la forma usual:
u(ct ) = log ct
y por simplicidad asuma que no hay crecimiento de la poblaci¶on ni progreso
t¶ecnico.
i) De¯na un Equilibrio Competitivo para esta econom¶³a.
ii) Caracterice lo mejor posible el Equilibrio Competitivo.
iii) Encuentre el valor de estado estacionario k¤ y graf¶³quelo como una funci¶on
del impuesto ¿.
iv) En base al resultado en (iii), muestre que existe un valor distinto de cero
para ¿ que maximiza k ¤. Encuentre este valor y graf¶³quelo como una funci¶on del
par¶ametro °. Interprete estos resultados.
Pregunta 4
Considere el siguiente modelo de crecimiento, que incluye la decisi¶on trabajoocio e introduce de manera sencilla capital humano. Las familias deben dividir
su dotaci¶on de tiempo entre trabajo (lt ), educaci¶on (et ) y ocio (1 ¡ lt ¡ et ). El
tiempo de ocio entra en la funci¶on de utilidad de la siguiente manera:
u(ct ; lt ; et ) = log ct + log(1 ¡ lt ¡ et )
Las familias usan el tiempo de educaci¶on para acumular capital humano ht de
acuerdo a:
63
ht+1 = (1 ¡ ±)ht + et
y rentan este capital (m¶as su trabajo no cali¯cado lt ) a las ¯rmas. La funci¶on de
producci¶on (en forma intensiva) es:
f(ht; lt ) = h®t lt1¡®
y como no existe capital f¶³sico ni inversi¶on, todo el producto va destinado al consumo. Por simplicidad, asuma nuevamente que no hay crecimiento de la poblaci¶on
ni progreso t¶ecnico.
i) De¯na un Equilibrio Competitivo para esta econom¶³a.
ii) Caracterice lo mejor posible el Equilibrio Competitivo
iii) Encuentre los valores de estado estacionario de h¤ , l¤, c¤ y e¤.
Suponga ahora que existe un gobierno, el cual quiere fomentar la educaci¶on en
esta econom¶³a. Para ello, ofrece un subsidio a las familias proporcional al tiempo
dedicado a educarse, subsidio que es ¯nanciado mediante un impuesto lump sum
a las mismas familias.
iv) Rede¯na el Equilibrio Competitivo para esta econom¶³a.
v) Caracterice lo mejor posible el nuevo Equilibrio Competitivo.
vi) Encuentre los nuevos valores de estado estacionario para h¤, l¤, c¤ y e¤ .
Compare sus resultados con los obtenidos en (iii) y eval¶ue la e¯cacia del subsidio
educativo.
Pregunta 5
Considere la siguiente versi¶on del modelo de crecimiento neocl¶asico con capital
humano. La tecnolog¶³a est¶a dada por:
Yt = F (Kt ; Ht) = Kt® Ht1¡®
64
en donde K es el stock de capital f¶³sico y H el stock de capital humano. El
producto puede ser usado para consumo, inversi¶on en capital f¶³sico e inversi¶on en
capital humano:
Yt = Ct + +ItK + ItH
Las familias maximizan una funci¶on de utilidad intertemporal:
1
X
¯ t log
t=0
Ct
Lt
sujetos a la restricci¶on presupuestaria:
Ct + ItK + ItH = rtK Kt + rtHHt
y las leyes de acumulaci¶on para ambos tipos de capital:
K t+1 = (1 ¡ ±)K t + ItK
Ht+1 = (1 ¡ ±)Ht + ItH
N¶otese que el trabajo no cali¯cado (Lt ) no entra ni en la funci¶on de producci¶on
ni en la restricci¶on presupuestaria de las familias.
Por simplicidad, asuma que el tama~
no de la poblaci¶on es constante (n = 0) y
que no hay gobierno ni cambio tecnol¶ogico.
i) De¯na un Equilibrio Competitivo para esta econom¶³a.
ii) Caracterice lo mejor posible el Equilibrio Competitivo.
iii) Muestre que no existe un estado estacionario en esta econom¶³a.
iv) Encuentre la tasa de crecimiento de todas las variables por trabajador en
la senda de crecimiento balanceado.
65
B.2. Parte II
Pregunta 1
Considere la siguiente versi¶on estoc¶astica del modelo de cash-in-advance. El
gobierno ¯nancia sus gastos mediante emisi¶on de dinero. La oferta monetaria
crece a una tasa ¹ t, que sigue el proceso estoc¶astico:
¹t+1 = ¹ + ´¹ t + ²t+1
en donde ²t es un ruido blanco con varianza ¾2² .
Por su parte, las familias maximizan una funci¶on de utilidad intertemporal
que depende ¶unicamente del consumo:
1
X
¯t log ct
t=0
sujeto a su restricci¶on presupuestaria y una restricci¶on de cash-in-advance, seg¶un
la cual los bienes de consumo deben ser adquridos con dinero tra¶³do del per¶³odo
anterior. La regla de acumulaci¶on del capital es la habitual, con tasa de depreciaci¶on ±.
Finalmente, las ¯rmas operan con una tecnolog¶³a descrita por la funci¶on de
producci¶on:
Yt = e zt Kt® L1¡®
t
en donde zt es un shock tecnol¶ogico que sigue el proceso estoc¶astico:
zt+1 = ½z t + "t+1
y en donde "t es un ruido blanco con varianza ¾2" .
Por simplicidad, asuma que no hay crecimiento de la poblaci¶on ni cambio
tecnol¶ogico ex¶ogeno.
i) De¯na un Equilibrio Competitivo estoc¶astico para esta econom¶³a.
66
ii) Caracterice lo mejor posible el estado estacionario para la versi¶on determin¶³stica del modelo (es decir, con ¹t = ¹ y zt = 0, 8t).
iii) Suponga que dispone u¶nicamente de la siguiente informaci¶on de largo plazo:
wL
= 0:6
Y
K
=4
Y
G
= 0:3
Y
C
= 0:5
Y
Usando las relaciones encontradas en (ii), calibre los par¶ametros ¯, ±, ® y ¹ .
Pregunta 2
Considere el siguiente modelo de RBC con producci¶on en el hogar. Las preferencias de las familias est¶an descritas por una funci¶on de utilidad intertemporal
que depende del consumo y el ocio:
1
X
t=0
h
³
h
m
h
¯ t ° log cm
t + (1 ¡ °) log ct + log 1 ¡ l t ¡ lt
´i
h
en donde cm
t es el consumo de bienes adquiridos a las ¯rmas y ct es el consumo de
bienes producidos en el hogar. Asimismo, lm
on del tiempo
t representa la proporci¶
destinada al mercado laboral y lht la proporci¶on del tiempo destinada a producir
en el hogar.
Con el ingreso proveniente de rentar trabajo y capital a las ¯rmas, las familias
compran bienes de consumo e inversi¶on sujetas a la restricci¶on presupuestaria:
m
cm
t + it = wt lt + rt kt
Adicionalmente, las familias operan una tecnolog¶³a que les permite producir bienes
de consumo en el hogar, descrita por la funci¶on de producci¶on:
cht = Álht
La regla de acumulaci¶on del capital es la habitual, con tasa de depreciaci¶on ±.
67
Finalmente, las ¯rmas operan con una tecnolog¶³a descrita por la funci¶on de
producci¶on:
1¡®
yt = ez t (kt)® (lm
t )
en donde zt es un shock tecnol¶ogico que sigue el proceso estoc¶astico:
zt+1 = ½z t + "t+1
y en donde "t es un ruido blanco con varianza ¾2" .
N¶otese que todas las variables est¶an expresadas en unidades por trabajador.
Por simplicidad, asuma que no hay crecimiento de la poblaci¶on ni cambio t¶ecnico
ex¶ogeno.
i) De¯na un Equilibrio Competitivo estoc¶astico para esta econom¶³a.
ii) Caracterice lo mejor posible el estado estacionario para la versi¶on determin¶³stica del modelo (con zt = 0, 8t).
iii) Suponga que dispone u¶nicamente de la siguiente informaci¶on de largo plazo:
wlm
= 0:6
y
k
=4
y
i
= 0:3
y
lm = 0:4
lh = 0:3
Usando las relaciones encontradas en (ii), calibre los par¶ametros ¯, ±, ®, ° y Á.
iv) Volviendo a la versi¶on estoc¶astica del modelo, suponga que ocurre un shock
tecnol¶ogico positivo. >Qu¶e ocurre con la proporci¶on del tiempo destinada al mercado laboral, a la producci¶on en el hogar y al ocio? >Es la variaci¶on en las horas
destinadas al mercado laboral mayor o menor a la que se obtiene en el modelo
simple de RBC, sin producci¶on en el hogar?
68