Sobre el análisis de una viga reforzada con una

Vector 9 (2014) 59 - 67
ISSN 1909 - 7891
Sobre el análisis de una viga reforzada
con una lámina de fibra de carbono
Mauricio Areiza Hurtadoa*, Carlos Alberto Riveros Jerezb*, Carlos Vega Posadac*
a
Estudiante de Doctorado, Universidad Nacional de Colombia sede Medellín.
b Profesor Asociado, Escuela Ambiental, Universidad de Antioquia. Medellín, Colombia.
c Profesor, Escuela Ambiental, Universidad de Antioquia. Medellín, Colombia.
Recibido: 10/06/2015. Aprobado: 21/07/2015.
Resumen
Se presenta una formulación para el análisis de una viga reforzada con una lámina de fibra de carbono adherida en su cara inferior. En
la formulación se considera la deformación por flexión de los elementos estructurales constituyentes y una carga transversal distribuida
de cualquier forma. Como caso particular de análisis, se ha supuesto que sobre la viga actúa una carga distribuida que se comporta
como un polinomio de orden 2, que puede ser utilizado para simular diferentes tipos de carga distribuidas, tales como: uniforme,
triangular, trapezoidal y parabólica. Se presentan dos ejemplos, donde se analiza el comportamiento de una viga sometida a carga
transversal uniforme y triangular.
Palabras clave: análisis de esfuerzos, viga compuesta, viga repotenciada, fibra de carbono, FRP.
Analysis of a beam reinforced with a carbon fiber sheet
Abstract
This paper presents a methodology to analyze a beam strengthened with a fiber reinforced polymer (FRP) strip attached to the bottom. The expressions developed include the flexural deformation of the structural elements and any type or combination of transverse
load. For the analysis presented herein, it is assumed that the beam is subjected to a transverse load that fit a second-order polynomial
curve, including uniformly distributed transverse load, trapezoidal and parabolic loads. Two examples have been discussed, where the
behavior of a beam subjected to uniform and triangular transverse load is analyzed.
Key words: stress analysis, composite beam, reinforced beam, carbon fiber sheet, FRP
1. Introducción
En ocasiones es necesario incrementar la capacidad
a flexión de una viga de concreto reforzado debido a
un cambio de uso de la estructura, daños estructurales,
optimización de la geometría de la sección, etc. Un
modo de aumentar la capacidad a flexión de una viga,
consiste en adherir en su cara externa a tracción una
lámina FRP mediante resina epóxica. Anteriormente
se usaban láminas de acero adheridas química o
mecánicamente a la viga, pero problemas prácticos de
construcción, grandes espesores de la lámina, estética,
oxidación, etc., han hecho que esta técnica caiga en
desuso y que las láminas de FRP tomen cada día más
* Autor de correspondencia.
E-mail: [email protected] (M. Areiza)
E-mail: [email protected] (C. Riveros)
E-mail: [email protected] (C. Vega)
fuerza debido a su fácil implementación en obra, alta
resistencia mecánica, libre de corrosión, baja densidad,
espesores pequeños, etc.
El conocimiento de la distribución de los esfuerzos
en el sistema de conexión (resina) entre los elementos
estructurales (viga-lámina de FRP) es de gran
importancia para el diseñador debido a que se quiere
evitar que dichos esfuerzos superen los límites de diseño
y, de este modo, garantizar el buen comportamiento
del sistema. La distribución de los esfuerzos de
adherencia en la interface dependen de la rigidez de
los elementos que lo componen, de la geometría y
rigidez de la conexión, de las condiciones de apoyo,
de las cargas aplicadas y de la longitud de la unión,
lo que hace necesario para el diseño un conocimiento
detallado de todas las variables involucradas en el
problema y su efecto sobre el sistema. Debido a la
naturaleza del problema, encontrar la distribución de
Cómo citar este artículo:
Areiza M., Riveros C.A., Vega C. (2014). Sobre el análisis de una viga reforzada con una lámina de fibra de carbono. Revista Vector, 9: 59-67. DOI:
Mauricio Areiza Hurtado, Carlos Alberto Riveros Jerez, Carlos Vega Posada / Vector 9 (2014) 59-67
los esfuerzos de adherencia en la interface se vuelve
bastante complejo, ya que involucra la solución de un
sistema de ecuaciones diferenciales en dos variables
y la aplicación de una gran cantidad de condiciones
de borde (Cosenza y Pecce, 2001; Yang et al., 2009; Su
y Gao, 2014).
En la actualidad se disponen de diferentes
metodologías para encontrar la distribución de
esfuerzos de adherencia, tales como: elementos finitos
(Iancu, 2005; Reza et al., 2009; Yang et al., 2013), métodos
numéricos (Zhao et al., 2014), métodos semiempíricos
y métodos experimentales. Algunos de ellos son de
gran complejidad y difícil implementación, otros son
tan simplificados que conducen a soluciones de poca
fiabilidad en la práctica al no involucrar variables
importantes en su desarrollo. En este documento se
trata la solución al problema de adherencia de una
manera clásica, es decir, aplicando las tres leyes básicas
de estática, leyes constitutivas y compatibilidad de
deformaciones.
Cosenza y Pecce (2001) presentan un modelo
estructural clásico para el análisis de sistemas
compuestos tales como: muros de cortante, vigas
repotenciadas con FRP y vigas mixtas de acero
hormigón. El modelo tiene en cuenta los esfuerzos de
adherencia tanto normal como cortante. Sin embargo,
el modelo es limitado a carga transversal uniforme
distribuida, además omite la deformación por cortante
de sus elementos principales y la solución presentada
es válida para ciertos tipos de apoyo o condiciones
de borde.
Yang et al. (2009) presentaron un modelo para
el análisis de vigas reforzadas con FRP basado en
métodos de energía haciendo una descomposición en
series de Fourier de los esfuerzos de adherencia. Este
método requiere la suma de hasta 3500 términos para
lograr curvas “suaves” de esfuerzos.
Zhang y Wang (2012) presentaron un modelo que
incluye efectos viscoelásticos en el adhesivo, ellos
demostraron que los efectos viscoelásticos hacen que
se reduzcan los esfuerzos de adherencia, sin embargo
esta reducción solo se presenta en una pequeña zona
cerca de los extremos de la lámina, el modelo solo
admite carga transversal uniforme.
Reza y Al-Emrani (2012) presentan un modelo
simplificado para el cálculo de los esfuerzos de
adherencia en una viga de concreto repotenciada con
FRP. Este modelo no tiene en cuenta la interacción entre
el esfuerzo normal y cortante.
En el trabajo actual se presenta un modelo para
el análisis de una viga de concreto simplemente
apoyada repotenciada con una lámina de FRP en su
cara inferior. El modelo tiene la capacidad de modelar
diferentes tipos de carga transversal distribuida, tal
como: uniforme, triangular, trapezoidal, parabólico,
etc.; interacción entre el esfuerzo normal y cortante,
y puede ser utilizado para la determinación de los
esfuerzos de adherencia, deflexiones, rotaciones,
fuerzas axiales, cortantes, momentos, etc., en cualquier
sección del elemento.
2. Modelo estructural
La Figura 1 muestra dos elementos estructurales
prismáticos (i=1,2), con módulo de elasticidad Ei, área
Ai, momento de inercia Ii. Los elementos estructurales
están unidos por una interface que posee una rigidez
uniformemente distribuida kv y kh, vertical y horizontal
respectivamente, que se extiende a lo largo de toda su
longitud. En general, los dos elementos estructurales
pueden estar hechos de diferentes materiales, pero
ambos son elástico-lineales, homogéneos e isotrópicos
(Cosenza y Pecce, 2001; Areiza-Hurtado, 2005; Liu et
al., 2014). En forma general, los elementos 1 y 2 están
sometidos a cargas distribuidas transversales de
cualquier forma qi.
q 1(x)
M 1 V 0 x=0
1
0
0
P1
0
P2
0
M2 V
X,u
0
2
L
x=L V 1L M1
P1
(2)
P2
L
q (x)
2
L
L
V2 M2
Y,y
Figura 1. Sistema compuesto por dos elementos estructurales prismáticos.
[ 60 ]
L
(1)
Sobre el análisis de una viga reforzada con una lámina de fibra de carbono
3. Derivación de las ecuaciones
A continuación se muestra la deducción de las
ecuaciones gobernantes del sistema basándonos en
tres leyes básicas del análisis estructural: equilibrio,
compatibilidad de deformaciones y leyes constitutivas
de los materiales. Se supone que las deformaciones
son pequeñas, secciones planas permanecen planas y
la convención de signos de Timoshenko. La derivación
de las ecuaciones incluye la deformación debida al
momento flector y la fuerza cortante.
3.1. Equilibrio traslacional y rotacional
La Figura 2 muestra el elemento diferencial del
sistema compuesto, se ha dibujado como un sólido libre
cada uno de los componentes de sistema, mostrando
las fuerzas que actúan sobre cada uno de ellos.
q1
V1
P1
X,u
M1
V2
Y,y
(1)
b
b
d1
c1
M 1 +dM 1
N.A.
P1 +dP1
V 1+dV 1
b
b
b
b
b
b
P2
M 2 +dM 2
(2)
d2
c2
N.A.
q2
M2
P2 +dP2
V 2+dV2
dx
Figura 2. Elemento diferencial. Diagrama de cuerpo libre.
Las ecuaciones de equilibrio rotacional y traslacional
de los elementos 1 y 2 se muestran a continuación:
dy dx = dyb dx + dys dx , s i d e s p r e c i a m o s l a
deformación por cortante, tenemos:
y1II = ybII,1 (4-a)
y2II = ybII,2 (4-a)
La deformación en la fibra inferior del elemento 1
y la deformación en la fibra superior del elemento
2 son causadas por la acción de la carga axial y del
momento flector sobre los elementos y viene dada por
las ecuaciones (5):
3.2. Compatibilidad de deformaciones y leyes
constitutivas de los materiales
Como es mostrado por Timoshenko y Gere (1961, p.
134), la tangente de la línea central en cualquier punto x
a lo largo de un elemento consiste de dos componentes
θ( = dyb dx causada por el momento flector) y γ(
= dys dx usada por la fuerza transversal), es:
u1,I B =
P1
Mc
+ 11 ( EA)1 ( EI )1
(5-a)
u2,I T =
P2
( EA) 2
(5-b)
M 2d2
( EI ) 2
Los subíndices b y s en la ecuación hacen referencia
a flexión (bending) y cortante (shear) respectivamente
[ 61 ]
Mauricio Areiza Hurtado, Carlos Alberto Riveros Jerez, Carlos Vega Posada / Vector 9 (2014) 59-67
y los subíndices B y T en la ecuación (5) hacen
referencia a la fibra inferior (Botton) y superior (Top)
del elemento, respectivamente.
La deformación por flexión y por cortante se
relaciona con el momento flector según las ecuaciones
(6), de la siguiente manera:
M1
y =
( EI )1
ybII,2 =
(6-a)
M2
( EI ) 2 (6-b)
Se supone que el sistema de conexión entre los
elementos 1 y 2 se comporta de manera elástico-lineal
y que obedece las siguientes leyes:
= kh (u1, B u2,T )
= kv ( y1 y2 ) (7-a)
M
( )
M2
EI
(
)
2
y2II =
II
III
[ 62 ]
2
= kh
2 I
+ ckv
V1
( EI )1
= kv
q1
( EI )1
1
1
+
( EI )1 ( EI )2
c=b
I
4
+4
(10-b)
q2
( EI )2
(10-c)
4
= kv b
2
= bkh
c1
( EI )1
d2
( EI )2
c2
d2
1
1
+ 1 +
+ 2
( EA)1 ( EI )1 ( EA) 2 ( EI ) 2
Sustituyendo σ de la ecuación (9-c) en (10-c),
integrando una vez, haciendo algunas simplificaciones
algebraicas, se encuentra la ecuación diferencial (11)
en función de la variable τ:
VI
2 IV
+4
4 II
4
4
2
(1 j ) =
kh kvb(c1 + d 2 )
c q III d q III
T( x ) kh 1 1 + 2 2
( EI )1 ( EI )2
( EI )1 ( EI ) 2
(11)
Donde:
(8-b)
c1V1
dV
+ 2 2 ( EI )1 ( EI )2
ckh = kh
IV
V2
( EI )2
Donde:
(8-a)
P1
Mc
P
M d
+ 11+ 2 + 2 2
( EA)1 ( EI )1 ( EA) 2 ( EI ) 2
= kh
+ ckv = kv
(7-b)
Reemplazando la ecuación (5) en la primera derivada
de (7-a) y derivando sucesivamente tenemos:
I
= kv
III
4
Donde: kh y kv son las rigideces horizontal y vertical
del sistema de conexión, respectivamente; u1, B , u2,T son
los desplazamientos en dirección X del elemento 1 en
la fibra inferior y del elemento 2 en la fibra superior,
respectivamente, y y1 , y2 son los desplazamientos en
dirección Y del elemento 1 y 2, respectivamente.
Reemplazando en (4) la ecuación (6):
1
y1II =
EI 1
M2
M1
(10-a)
( EI )2 ( EI )1
II
II
b ,1
Reemplazando la ecuación (8) en la segunda
derivada de la ecuación (7-b) y derivando
consecutivamente y reemplazando tenemos:
c1q1
dq
+ 2 2
( EI )1 ( EI ) 2
(9-a)
(9-b)
(9-c)
k k c2
j = h 4v 2 y T( x ) = V0
4
x
( q1 + q2 ) dx
0
la cortante total en x. ,
La ecuación (11) es la ecuación gobernante del
problema, es una ecuación diferencial de sexto orden
de coeficientes constantes no homogénea, la cual
admite cargas externas distribuidas de cualquier forma,
esta ecuación fue presentada por Cosenza y Pecce
(2001) incluyendo una carga transversal uniforme
distribuida.
La solución de la ecuación diferencial (11) se
compone de dos partes: 1) la parte homogénea
(τh) y la parte no homogénea (τp) que depende de
la naturaleza de la carga aplicada, la solución a la
ecuación diferencial será:
Sobre el análisis de una viga reforzada con una lámina de fibra de carbono
=
h
+
p
q1
(12)
Donde:
6
=
h
i =1
(1)
Ci exp(mi x) Los valores de mi son las raíces del polinomio
característico proveniente de la ecuación diferencial
(11), tal como se muestra en (13):
m6
2
m4 + 4
4
m2 4
4
2
(1 j ) = 0 (13)
Para hallar la solución particular τp, supondremos
2
que q1 ( x) = a0 + a1 x + a2 x y q2 ( x) = 0 , es decir,
nuestro elemento estará sometido a una carga
transversal que describe un polinomio de segundo
orden que se aplica sobre la viga de concreto.
Se puede demostrar que la solución particular,τp
está dada por:
p
=
V0 + a0 x +
1
4
4
+
x2
8
a1 +
2
4
x3
a2 (14)
3
x+
Donde:
1 =
kh kv b(c1 + d 2 ) y
( EI )1 ( EI ) 2
=4
4
2
(1 j )
Al reemplazar la ecuación (12) en (9-c) podemos
encontrar el esfuerzo normal σ(x) como combinación
lineal de las constantes de integración como se muestra
en la ecuación (15):
= 1
ckh
6
i =1
Ci mi ( mi2
2
) exp(m x) +
i
III
p
2 I
p
+ kh
c1q1
( EI )1 (15)
4. Condiciones de borde
La Figura 3 presenta un diagrama de la viga
repotenciada. Observe que la lámina de FRP no
cubre toda la longitud de la viga y es por ello que
nuestro análisis se aplica a la zona de la viga que
está reforzada por la lámina, luego el sistema de
coordenadas comienza en el extremo izquierdo de la
zona reforzada. En forma general, cada elemento (viga
de concreto, lámina de FRP; i=1,2) en la zona reforzada
está sometido simultáneamente en cada uno de sus
j
extremos (j=0, L) a una fuerza axial Pi , una fuerza
j
j
cortante Vi y un momento flector M i .
(2)
L
X
Y
r
r
L1
Figura 3. Viga repotenciada con una lámina de fibra de carbono.
Las condiciones de borde que se presentan a
continuación, necesarias para encontrar las constantes
de integración, introducen una limitación en el modelo
propuesto: es necesario conocer las reacciones en
los extremos del sistema viga-lámina de FRP. Lo
anterior implica que se pueden analizar estructuras
estáticamente determinadas directamente (como
aquellas presentadas en los ejemplos de este trabajo) o
determinar previamente dichas reacciones por medio
de algún método de análisis estructural cuando la viga
haga parte de un sistema más complejo, tales como
pórticos o estructuras estáticamente indeterminadas.
En X = 0
P10 = 0 ; V10
P20 = 0 ; V20
= V0 ; M 10 = M 0
= 0 ; M 20 = 0
X =L
P = 0 ; V1L = �V0 ; M 1L = M 0
P = 0 ; V2L = 0 ; M 2L = 0
En
L
1
L
2
Combinando las ecuaciones (9-c) y (10-a) y
utilizando (12) se obtiene:
V
( x)
2 III
( x) = ckh kv
M2
( EI )2
M1
( EI )1
kh
c1q1II
( EI )1
(
V
p
( x)
2 III
p
( x) ) (16)
Evaluando las condiciones de borde para en X=0
y X=L en las ecuaciones (9-a), (9-b) y (16) se obtiene el
siguiente sistema de ecuaciones:
c1kh
M 0 ( EI )1
I
II
(0) =
( 0)
2
( )
0 = 0 V
(0)
2 III
ckh kv
M0
(0) =
( EI )1
(17-a)
(17-b)
c1q1II ( 0 )
(17-c)
kh
( EI )1
[ 63 ]
Mauricio Areiza Hurtado, Carlos Alberto Riveros Jerez, Carlos Vega Posada / Vector 9 (2014) 59-67
6
ck
I
( L ) = 1 h M 0 ( EI )1
(17-d)
c1kh
V0 ( EI )1
(17-e)
II
2
( L)
( L) =
V
2 III
( L)
( L) =
ckh kv
M0
( EI )1
i =1
i =1
6
i =1
6
i =1
i =1
i =1
c1kh
M0
( EI )1
Ci ( mi2
Ci {mi5
6
6
Ci mi =
2
2
mi3 } =
2
( 0)
(18-a)
) = ( (0)
II
p
ckh kv
M0
( EI )1
Ci mi exp ( mi L ) =
Ci ( mi2
I
p
) exp ( m L ) =
i
kh
2
c1q1II ( 0 )
( EI )1
(
c1kh
M0
( EI )1
c1kh
V0
( EI )1
V
p
p
( 0 ))
2 III
p
(0)
I
p
(L)
( (L)
II
p
2
(0) )
ckh kv
M0
( EI )1
kh
c1q1II ( L )
( EI )1
(
V
p
(L)
2 III
p
(L) )
(18-f)
1
{c} = [ A] {b}
(19)
5. Ejemplos numéricos y verificación
(18-b)
Para verificar las ecuaciones propuestas y su
utilización, se proponen los siguientes ejemplos:
(18-c)
Ejemplo 1: Viga repotenciada con una lámina de fibra
de carbono sometida a una carga uniforme
El siguiente ejemplo fue discutido por Cosenza
y Pecce (2001), consiste en una viga de concreto
repotenciada con una lámina de fibra de carbono.
(Ver Figura 4).
(18-d)
p
mi3 } exp ( mi L ) =
Introduciendo la ecuación (19) en las ecuaciones
(12) y (15) se puede obtener una expresión para
los esfuerzos de adherencia cortante y normal,
respectivamente.
Reemplazando la ecuación (12) en las ecuaciones
(17) se forma un conjunto de 6 ecuaciones con 6
incógnitas:
6
2
Las ecuaciones (18) se pueden escribir en forma
matricial de la siguiente manera: [ A]{c} = {b}, donde [ A]
es la matriz de coeficientes, {b} es el vector de cargas
externas y {c} es el vector que contiene las constantes de
integración. La solución para (18) se expresa en forma
matricial de la siguiente manera:
c1q1II ( L )
(17-f)
( EI )1
kh
Ci {mi5
( L )) (18-e)
q1
(1)
Y
X
(2)
L
r
L1
r
Figura 4. Viga repotenciada con una lámina de fibra de carbono sometida a carga
uniforme.
La viga de concreto tiene una longitud L1=2.4m, con
módulo E1=30000MPa, de ancho 100mm y alto 150mm.
La lámina de fibra de carbono se adhiere sobre todo el
ancho de la viga y se corta a una distancia r=300mm.
El módulo de la lámina es E2=230000MPa y espesor
t2=3mm. El adhesivo utilizado tiene espesor ta=2mm,
módulo de elasticidad E a=1500MPa y módulo de
[ 64 ]
cortante Ga=580MPa. Según (Cosenza y Pecce, 2001), la
rigidez normal y cortante de la conexión están dadas
por: kh = Ga ta y kv = Ea ta , donde ta es el espesor
del adhesivo.
En este caso q1=q, consiste en carga uniformemente
distribuida sobre toda la luz del elemento.
Sobre el análisis de una viga reforzada con una lámina de fibra de carbono
La Figura 5a muestra la distribución de esfuerzo
normal y de esfuerzo cortante en toda la longitud de
la lámina para r=300, en la Figura 5b se muestran los
esfuerzos de adherencia para valores de r=100, 300, 500.
Se observa una buena correlación con los resultados
presentados en (Cosenza y Pecce, 2001).
Luego:
V0 = q
L1
2
(20-a)
r (20-b)
M 0 = q L1 r x / 2
(
)
10
30
Modelo de Cosenza
20
10
0
100
300
500
Modelo propuesto
0
s
b/q
t
b/q
-10
s
100
300
500
b/q
t
-20
b/q
-10
-30
-20
-40
-30
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
-50
1.0
0.0
X/L 1
a)
0.1
0.2
0.3
X/L 1
0.4
0.5
b)
Figura 5. Esfuerzo normal y cortante: a) Para valores de r=300. b) Para r=100, 300 y 500.
En las figuras 5a y 5b se observa que los esfuerzos
máximos se encuentran en los extremos de la lámina
de carbono, estos esfuerzos deben ser controlados para
evitar la delaminación de la lámina de carbono, la cual
comenzará por los bordes de la lámina. Se observa,
además, que el esfuerzo cortante es antisimétrico
respecto a un eje que pasa por el centro de luz y que
no es lineal como lo predice el modelo de Zurawski
(Beer y Johnston, 1993) de esfuerzos cortantes para
una carga uniforme. En la Figura 5b se observa que
los esfuerzos de adherencia máximos aumentan a
medida que disminuye la longitud de adherencia L1,
razón por la cual el tipo de falla por delaminación es
una falla progresiva.
En la Figura 5a se observa que en el modelo
de Cosenza y Pecce los esfuerzos cortantes no
son simétricos respecto al eje vertical que pasa
por el centro de la luz de la viga, lo que parece
contradictorio debido a la simetría del problema
respecto a cargas impuestas y geometría en general,
luego: �( L 2) = kh (u1, B � u2,T ) = 0 . El autor cree que
es un error en la figura presentada por Cosenza y Pecce,
pues según las condiciones de borde impuestas en su
documento, Cosenza y Pecce tuvieron dicha condición
en cuenta. Se observa, además, que los esfuerzos
normales son bastante similares.
Ejemplo 2: Viga repotenciada con una lámina de fibra
de carbono sometida a una carga triangular.
Considere la viga de concreto repotenciada con una
lámina de fibra de carbono presentada en el ejemplo
anterior. Suponga que la viga está sometida a una
carga transversal trapezoidal a lo largo de toda su luz.
(Ver Figura 6).
2
En este caso q1 ( x ) = a0 + a1 x + a2 x , consiste
en carga distribuida triangular sobre toda la luz del
elemento. Observe que el eje X comienza en el extremo
izquierdo de la lámina de FRP.
Luego:
a0 =
q0 r
q
; a1 = 0 ; a2 = 0
L1
L1
V0 =
q0 L1 q0 r 2
q L r q r3
y M0 = 0 1 � 0
�
6
2 L1
6
6 L1
[ 65 ]
Mauricio Areiza Hurtado, Carlos Alberto Riveros Jerez, Carlos Vega Posada / Vector 9 (2014) 59-67
q0
(1)
Y
(2)
L
X
r
L1
r
Figura 6. Viga repotenciada sometida a una carga triangular.
La Figura 6 muestra la distribución de esfuerzo
normal y de esfuerzo cortante en toda la longitud de
la lámina, se observa que el punto de corte entre el
esfuerzo cortante es cero y se ha corrido a la derecha
del centro de la viga, condición marcada por la
asimetría de la carga:
15
10
5
s
b/q
0
t
b/q
-5
-10
-15
0.0
0.2
0.4
X/L 1
0.6
0.8
1.0
Figura 7. Esfuerzos de adherencia.
6. Conclusiones
Se ha presentado una formulación para el
análisis de vigas repotenciadas con FRP. El modelo
presentado tiene en cuenta la rigidez a flexión y una
carga transversal de cualquier forma, y considera la
interacción entre el esfuerzo normal y cortante en la
zona de adherencia de unión.
La ecuación gobernante del sistema consiste en una
ecuación diferencial de sexto orden de coeficientes
constantes no homogéneo. Para hallar la solución de
dicha ecuación diferencial se requiere encontrar 6
[ 66 ]
constantes de integración aplicando 12 condiciones
de borde (fuerzas axiales, cortantes y momentos
flectores). La solución al problema finalmente es
expresada como un sistema de ecuaciones lineales de
dimensión 6x6.
Para verificar la formulación desarrollada se
realizaron dos ejemplos. El primer ejemplo de una viga
sometida a carga transversal distribuida uniforme,
muestra una concentración de esfuerzos normales y
cortantes en la zona ubicada cerca de los extremos de la
viga. Se observa que debido a la simetría del problema,
el esfuerzo normal resulta ser simétrico mientras que
el cortante es antisimétrico para cargas uniformes. El
incremento en los esfuerzos de adherencia en la zona
de unión puede explicar la importancia que cobra el
tipo de falla por delaminación en el diseño de este
tipo de elementos. Se observa un incremento en los
valores máximos de los esfuerzos de adherencia a
medida que se disminuye la longitud de adherencia.
En el segundo ejemplo se estudió el caso de carga
transversal distribuida trapezoidal. Se observa que
la pérdida de la simetría en la carga externa provoca
un “desplazamiento” horizontal en las curvas de
esfuerzos. El punto de esfuerzo cortante cero se
encuentra ubicado en X=0.6 L1 aproximadamente.
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Notación
Los siguientes símbolos son utilizados en este trabajo:
A = Área de la sección transversal.
b = ancho.
c = parámetro mecánico.
ci, di = distancia al centro de.
E = módulo de Young.
G = módulo de cortante.
h = altura.
Ii = inercia de la sección transformada.
i = grado de interacción.
kh = rigidez horizontal de la conexión.
kv = rigidez vertical de la conexión.
L = longitud.
M = momento flector.
N = fuerza axial.
V= fuerza cortante.
t = espesor.
u = desplazamiento a lo largo del eje x.
w = desplazamiento a lo largo del eje z.
αβγδη= parámetros mecánicos.
σ= esfuerzo normal.
τ= esfuerzo cortante.
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