error - Universidad de Sevilla

Teoría de errores y
presentación de resultados
Fundamentos Físicos de la Ingeniería
1er curso de ingeniería industrial
Curso 2004/2005
Dpto. Física Aplicada III
Universidad de Sevilla
1
Índice
• Cifras significativas
• Error en la medida
– Expresión de una magnitud con su error
• Regla de redondeo
– Cálculo de errores
• Medida directa
• Medida indirecta
• Unidades
• Rectas de mejor ajuste
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Dpto. Física Aplicada III
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Cifras significativas
• Número de cifras de un dato
• Ejemplos:
Dato
318 kg
12.45 V
0.0321 A
23.30 J
45000 m
Curso 2004/2005
Cifras significativas
3
4
3
4
Ambiguo
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3
Error en la medida
Tipos de error (según la causa)
• Sistemático
eliminable
• Aleatorio
bandas de error:
Ej: V0 = 3.2±0.3 V
Expresión del error:
• Absoluto: x±Ex
• Relativo: εx=Ex/x
Curso 2004/2005
¡Tiene unidades!
Adimensional
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4
Expresión de la cantidad con su
error
• La banda de error limita el número de
cifras significativas:
U=2.32865±0.3 J
– Si el resultado es incierto en su primera cifra
decimal no tiene sentido dar más
U=2.3±0.312689 J
– Las primeras cifras del error nos dicen donde
está la incertidumbre
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Reglas de redondeo
1.
Se escriben cantidad y error con todas sus cifras:
R=2.83256 ± 0.08621 Ω
2.
Se examinan las dos primeras cifras del error: ¿Son ≤25?
¾
Si: se retienen ambas y se redondea
¾
No: se retiene la primera y se redondea
Redondeo: afecta a la última cifra retenida
• Si la siguiente cifra
es <5: se mantiene
R=2.83256
± 0.09 Ω
• Si la cifra siguiente es ≥5: se incrementa una unidad
3.
Se toman las cifras significativas que marca el error y se
redondea
R=2.83 ± 0.09 Ω
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Reglas de redondeo
1. Se escriben la cantidad y su error con
todas sus cifras:
I= 2.30408415 ± 0.002156 A
I= 2.30408415 ± 0.03674 A
I= 2.30408415 ± 0.2036 A
I= 2.30408415 ± 2.87 A
I= 2.30408415 ± 234 A
I= 2.30408415 ± 0.00962 A
I= 2.30408415 ± 0.257 A
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Reglas de redondeo
2. Se examinan las dos primeras cifras del
error: ¿Son ≤25?
¾
¾
Si: se retienen ambas y se redondea
No: se retiene la primera y se redondea
I= 2.30408415 ± 0.002156 A
I= 2.30408415 ± 0.03674 A
I= 2.30408415 ± 0.2036 A
I= 2.30408415 ± 2.87 A
I= 2.30408415 ± 234 A
I= 2.30408415 ± 0.00962 A
I= 2.30408415 ± 0.257 A
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0.0022 A
0.04 A
0.20 A
3A
230 A
0.010 A
0.3 A
8
Reglas de redondeo
3. Se toman las cifras significativas que
marca el error y se redondea
I= 2.30408415 ± 0.0022 A
I= 2.30408415 ± 0.04 A
I= 2.30408415 ± 0.20 A
I= 2.30408415 ± 3 A
I= 2.30408415 ± 230 A
I= 2.30408415 ± 0.010 A
I= 2.30408415 ± 0.3 A
Curso 2004/2005
I= 2.3041 ± 0.0022 A
I= 2.30 ± 0.04 A
I= 2.30 ± 0.20 A
I= 2 ± 3 A
I= 0 ± 230 A
I= 2.304 ± 0.010 A
I= 2.3 ± 0.3 A
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Cálculo de errores
Estudiaremos diferentes casos:
• Medida directa
– Una sola medida
– Varias medidas
• Medida indirecta
– Función de una sola variable: z=f(x)
– Función de varias variables: z=f(x,y,w)
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Error de una medida directa
• El error depende de la precisión del
aparato
¾Aparatos digitales: se toma como error la propia
precisión.
¾Excepción en el redondeo: 0.1 en vez de 0.10
¾Aparatos analógicos: se toma como error la
mitad de la precisión
¾Pueden tomarse mitades como resultado
¾Si ha de enrasarse por dos extremos: doble error
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Error de varias medidas directas
• Se realizan si existe una incertidumbre no
achacable al aparato de medida:
• Medidas: x1 , x2 , x3 ,..., xn
• Resultado: valor medio
1 n
x = ∑ xi
n i =1
• Error: desviación cuadrática media de la media
de los datos
Si Ex es menor que el error del instrumento
de medida, se escoge este último
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Error de varias medidas directas
• Error: cantidades relacionadas
2σ n
2σ n −1
Ex =
=
n −1
n
σn : desviación estándar de la población
(xσn en las calculadoras)
σn-1 : desviación estándar de la muestra
(xσn-1 en las calculadoras)
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Error de una medida indirecta
Función de una variable
• Suponemos: x = x0 ± Ex con z = f ( x)
• Resultado:
z0 = f ( x0 )
• Error:
∂f
Ez =
Ex
∂x x0
Ejemplo: sección de un cable:
Error de la medida:
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D
S=
π D0
∂S
Es =
ED =
ED
2
∂D D0
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π D02
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Error de una medida indirecta
Función de una variable
• Algunos casos sencillos:
• Una variable proporcional a otra:
y = Kx
• Función exponencial:
y = ae
x
• Logaritmo:
y = ln x
Curso 2004/2005
∂y
Ey =
Ex = KEx
∂x x0
E y = ae x Ex = yEx
Ex
Ey =
= εx
x
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Error de una medida indirecta
Función de varias variables
• Suponemos: z = f ( x, y, w)
x = x0 ± Ex ; y = y0 ± E y ; w = w0 ± Ew
z0 = f ( x0 , y0 , w0 )
• Resultado:
• Error:
2
⎛ ∂f ⎞ 2 ⎛ ∂f ⎞ 2 ⎛ ∂f ⎞ 2
Ez = ⎜ ⎟ E x + ⎜ ⎟ E y + ⎜
⎟ Ew
⎝ ∂x ⎠ x0
⎝ ∂w ⎠ w0
⎝ ∂y ⎠ y0
2
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2
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Unidades
• Todos los datos deben ir acompañados de sus
unidades. También resultados intermedios
• Serie de medidas consecutivas
17 mm – 15 mm – 12 mm – 8 mm
17 – 15 – 12 – 8 (mm)
• Tablas:
F(N)
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a(m/s2)
1.0
2.1
2.0
4.3
3.2
6.2
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Rectas de mejor ajuste
• Estudio de la dependencia (lineal) de una
variable con otra. Permite:
¾Verificar relación lineal
¾Determinar alguna magnitud de forma indirecta
(Ej: pendiente en V=IR)
¾Interpolación o extrapolación
¾Ajustar una función no lineal en una región
restringida
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Rectas de mejor ajuste
V(mV)
I(mA)
1.0
2.8
2.0
6.2
2.9
9.1
3.9
12.5
5.0
14.7
6.1
18.1
7
21.0
8.2
24.2
9.0
26.5
10.2
30.0
11.1
33.5
11.9
35.9
Curso 2004/2005
• Paso 1: gráfica de los datos
– Permite verificar relación lineal.
– Permite eliminar puntos erróneos.
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Recta de mejor ajuste
V(mV)
I(mA)
V frente a I
2.8
2.0
6.2
14
2.9
9.1
12
3.9
12.5
10
5.0
14.7
8
6.1
18.1
7
21.0
8.2
24.2
9.0
26.5
10.2
30.0
11.1
33.5
11.9
35.9
Curso 2004/2005
V(mV)
1.0
6
4
2
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
I(mA)
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20
Recta de mejor ajuste
•
•
•
Marcar claramente
datos
experimentales
(aspas si se
representan a
mano)
No señalar datos
experimentales en
los ejes
Magnitudes y
unidades en los
ejes
Debe ocupar toda
la página
V frente a I
14
12
10
V(mV)
•
8
6
4
2
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
I(mA)
Curso 2004/2005
Dpto. Física Aplicada III
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21
Recta de mejor ajuste
•
•
•
Marcar claramente
datos
experimentales
(aspas si se
representan a
mano)
No señalar datos
experimentales en
los ejes
Magnitudes y
unidades en los
ejes
Debe ocupar toda
la página
V frente a I
2,8
V(mV)
•
14
20
6,2
18
12
16
10
14
9,1
12,5
14,7
18,1
12
8
10
6
8
21
24,2
26,5
6
4
4
2
2
30
33,5
35,9
0
0
5
10 10
1520
20
3025
30 40
35
50
40
I(mA)
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Rectas de mejor ajuste
• Paso 2: Obtención del coeficiente de correlación
(r)
–
–
–
–
–
Es una medida del grado de alineación
r Є (-1,1)
No tiene error
No tiene unidades
Redondeo: hasta la primera cifra distinta de 9.
Ejemplos:
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r = 0.999678
r = -0.99128
r = 1.099678
r = 0.9996
r = -0.991
r = Erróneo
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23
Rectas de mejor ajuste
• Paso 3: Obtención de pendiente y ordenada
en el origen: y=ax+b
– Tienen unidades que hay que especificar
– Tienen error: hay que redondear
Para nuestro ejemplo:
r = 0.9993
r = 0.99934675
b = 0.3366870 Ω
Eb =0.00770058 Ω
a = -0.05442597 mV
Ea = 0.17030002 mV
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V = bI + a
b = R = 0.337 ± 0.008 Ω
a = -0.05 ± 0.17 mV
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Rectas de mejor ajuste
• Paso 4: Trazado de la recta de mejor ajuste
sobre la gráfica
– Se realiza a partir de dos puntos
– Estos puntos NO SE REPRESENTAN
– Debe observarse si, efectivamente, es la recta
de mejor ajuste
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Rectas de mejor ajuste
V frente a I
14
12
V(mV)
10
8
6
4
2
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
I(mA)
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Rectas de mejor ajuste: ejemplos
V frente a I
14
12
V(mV)
10
8
6
4
2
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
I(mA)
¡Recta mal calculada o mal trazada!
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Rectas de mejor ajuste: ejemplos
V frente a I
14
12
V(mV)
10
8
6
4
2
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
I(mA)
¡Punto erróneo!: debe eliminarse
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Rectas de mejor ajuste: ejemplos
V frente a I
14
12
10
8
6
4
2
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
¡Faltan etiquetas en los ejes!
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Rectas de mejor ajuste: ejemplos
V frente a I
14
12
10
V(mV)
8
6
4
2
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
I(mA)
¡Recta mal calculada o mal trazada!
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Rectas de mejor ajuste: ejemplos
V frente a I
14
12
10
V
8
6
4
2
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
I
¡Faltan puntos experimentales y unidades!
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Rectas de mejor ajuste: ejemplos
V frente a I
14
12
V(mV)
10
8
6
4
2
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
I(mA)
Para gráficas por ordenador: incluir tramas
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Rectas de mejor ajuste: ejemplos
V frente a I
14
Datos caso 1
12
Recta caso 1
V(mV)
10
Datos caso 2
Recta caso 2
8
6
4
2
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
I(mA)
Para varias curvas: distintos símbolos y colores
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Rectas de mejor ajuste
Resumen de pasos a seguir:
•
Representar los datos experimentales
•
Obtener el coeficiente de correlación
•
Calcular de la pendiente y la ordenada en el
origen con su error
•
Obtener información física
•
Representar la recta de mejor ajuste
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