Modulo 4: Clase 2: Ecuaciones - Facultad de Ciencias Veterinarias

Universidad de Concepción
Facultad de Ciencias Veterinarias
Nivelación en Matemáticas (2012)
Unidad 3 : Ecuaciones
¿Qué es una ecuación?
Es una igualdad entre dos expresiones, en la que hay cantidades desconocidas, llamadas
incógnitas o variables, que se representan con letras: x, y, z,….;
Por ejemplo:
a)
b)
c)
d)
x + b = 5;
ax2 + 3x – b = 0;
ax4 – 2x3 + bx2 – 2x = 0;
x–y=0
Algunos tipos de ecuaciones resultados
Se denomina ecuación algebraica o polinómica a aquellas en que se intenta averiguar
los valores de la variable de un polinomio que lo anulan (su valor es cero). El grado de
una ecuación algebraica corresponde al grado del polinomio que interviene en la
ecuación. Una ecuación algebraica con una incógnita tendrá tantas soluciones como sea
su grado.
Ejemplo 1:
v3 +
1 2
v – 15v + 2 = 0 es una ecuación de tercer grado y tendrá tres
2
soluciones.
1
17
b+
= 3 – b es una ecuación de primer grado o lineal y tendrá una
2
2
sola solución.
Ejemplo 2:
En consecuencia, resolver una ecuación es hallar el (o los) valores de las incógnitas que
satisfacen la ecuación.
Propiedades en la Ecuación (Estas son propiedades de la igualdad)
1. Regla aditiva: Si a ambos miembros de una ecuación se suma un mismo número,
positivo o negativo, la igualdad se mantiene:
1) ax = a / +b
ax + b = a + b
2)
ax = a
/ –b
ax + (–b) = a + (–b)
2. Regla multiplicativa: Si los dos miembros de una ecuación se multiplican por un
mismo número, positivo o negativo, la igualdad se mantiene:
1) au = a
/ •b
2)
az= a
/•
1
b
b≠0
au• b = a • b
a
az
=
b
b
ENUNCIADOS VERBALES A LENGUAJE ALGEBRAICO
Lenguaje común
• Un número buscado…
• El doble de un número…
• La mitad de un número…
• La cuarta parte de un número…
• La suma de la mitad de un número y la cuarta parte del mismo…
• Un número disminuido en 5…
• El triple de un número aumentado en 3…
• La mitad de un número disminuido en 7…
• Las tres cuartas partes de un número…
• El exceso de 20 sobre un número…
3
• Un número disminuido en sus …
8
• x aumentado (o disminuido) en y…
• El cuadrado de a + b…
• La quinta potencia de x…
• La semisuma entre a, b, c…
• El promedio entre m, n, r…
• El inverso multiplicativo o recíproco de x…
• n veces p…
• La enésima parte de m…
• La mitad de: x más y…
• La mitad de x, más y…
• El doble de: x disminuido en y…
• Es igual a, equivalente a, se tiene lo mismo que…
Lenguaje algebraico
x
2x
x
2
x
4
x
x
+
2
4
x 5
3x + 3
x
–7
2
3
3x
x ó
4
4
20 – x
3
x x
8
x±y
(a + b)2
x5
abc
2
mnr
3
1
(x ≠ 0)
x
n•p
m
n
1
x y
(x + y) ó
2
2
x
+y
2
2(x – y)
=
Ejercicio: Resolver la ecuación:
(*)
Solución: Realizar operaciones algebraicas para simplificar las expresiones que
aparecen en la ecuación:
(
expresión:
a (*)
)
. Ahora (*) se expresa como:
y esta fracción es nula si
(
)(
(
)(
)
, ahora factorizando la
), Podemos escribir una ecuación equivalente
, cuyas soluciones son x=2 o x=1
EJERCICIOS
I. Traduzca al lenguaje matemático los siguientes enunciados verbales:
1. El cuádruplo de x disminuido en 15:…………………………………..
2. El doble de m disminuido en n:……………………………………….
4. El promedio entre el doble de x y la mitad de y:………………………
5. El séxtuplo de: el doble de m, aumentado en n veces k:………………
8. x incrementado en el cuádruplo de de y equivale al triple de
z:………………………………
9. El doble de p, disminuido en 9 es lo mismo que q aumentado en
2:…………………………
10. La expresión que representa el enunciado: “El triple de un número aumentado en
dos es igual al cubo del mismo número:………………………………………
11. Al número m se le suma n, dicha suma se divide por p y el resultado se multiplica
por q:……………………………………..
12. Si se resta m de n y se divide por p y luego el resultado se multiplica por q:
13.- Resuelva las siguientes ecuaciones:
a)
c) Al aumentar en 5 metros el lado de un cuadrado, su superficie aumenta
en 75 metros cuadrados. Calcula el lado del cuadrado.