DINAMICA DE SISTEMAS ECOLOGICOS

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DINAMICA DE SISTEMAS ECOLOGICOS
Práctica Dirigida D4: Retroalimentación positiva y negativa.
Introducción
Los flujos de retroalimentación tienen la particularidad de hacer que el sistema tenga comportamientos
autónomos, es decir, no dependientes de entradas del ambiente para su funcionamiento. Esta particularidad
hace que, en la medida en que la dinámica quede explicada por dichos flujos, el modelo estará menos
condicionado por la información externa al mismo y, en cierto modo, será más autosuficiente en la
explicación del comportamiento dinámico del sistema al que hace referencia.
FLUJOS DE RETROALIMENTACIÓN POSITIVA
Actividad 1:
Proceso de desintegración radiactiva
Tras un proceso de contaminación radiactiva ha sido contaminada una extensa región (10.000 Has) con
elementos radiactivos. Se estudiará el Cs137 por los siguientes motivos:
- Tener una actividad radiológica intermedia, es decir, de vida media suficientemente larga como
para constituir un problema de contaminación duradero, y además por suponer, en cantidades relativamente
pequeñas, un peligro para los procesos biológicos.
- Tener una incidencia importante en las rutas tróficas, por tener análogos químicos (elementos
químicos naturales con comportamiento similar a los radiactivos) bien representados en dichas rutas. El
análogo químico del Cs137 es el K, macroelemento que se encuentra bien representado en dichas rutas.
Hemos podido comprobar que el Cs137 queda adsorbido, en su practica totalidad, en los primeros 25 cm del
suelo.
A fin de medir la contaminación por Cs137 se han tomado muestras de suelo: cilindros de 25 cm de
profundidad y 3,568 cm de radio. En cada una de estas muestras se han realizado las siguientes mediciones:
1º Pesado de la muestra, lo que ha arrojado un peso medio por cilindro, en la zona de estudio, de
1.150 gramos en peso seco.
2º Se ha medido la actividad de dichas muestras y se ha encontrado que ésta era, en promedio, de 500
Bq (Becquerel = una desintegración por segundo) por Kg de suelo analizado, lo que corresponde (por su peso
atómico y su tasa de desintegración) a una cantidad de 1,552 . 10-16 g de Cs137 por Kg de suelo.
3º Se sabe que el período de semidesintegración del Cs137 es de 30 años.
Se pide establecer un sistema dinámico de la evolución temporal de la cantidad total del Cs137 del conjunto
del territorio. En principio, el sistema ha de asumir como única perdida de Cs137 la desintegración de éste,
pero, al mismo tiempo, ha de permitir añadir información sobre otras causas adicionales de cambio de dicha
cantidad.
Para implementar el sistema anterior ha de calcularse el coeficiente de desintegración en la unidad
temporal considerada, para lo cual ver la nota siguiente:
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Obtención del coeficiente de semidesintegración.
 = coeficiente de semidesintegración, que se obtiene de la información sobre el período de
semidesintegración. Así, a partir de un modelo de tipo exponencial:
.
Q(t) = Qo . e( t)
(expresión integral: variación de la cantidad en el compartimento a lo largo del tiempo)
dQ / dt =  . Q
(expresión derivada: función del incremento del compartimento por unidad de tiempo, correspondiente, en el
caso de la desintegración, a un flujo de salida)
Puesto que se trata del período de semidesintegración (momento en el que la actividad o cantidad inicial se ha
reducido a la mitad), sustituímos Q(t) por Qo/2:
.
Qo/2 = Qo . e( t)
.
1/2 = 1 . e( t) -> Ln(0,5) =  . t
 = (Ln 0,5)/t -> En años-1, si t se da en años. (Ln 0,5 = -0.693)
 = (Ln 0,5)/(t . 365 . 60 . 60. 24 ) -> En segundos-1, si t se da en años.
Dando a t el valor del período de semidesintegración ("vida media" del radioisótopo).
Expresado en años, el valor de este coeficiente para el Cs137 sería:
 = (Ln 0,5)/30 = - 0,0231 (años-1)
Cuestiones adicionales:
-¿Qué modificaciones introducirías en el diagrama Stella para incorporar otras causas de cambio del
contaminante?
-¿Qué diferencias crees que existirían si la contaminación se midiese por medio del Yodo I 131 (emisor Beta y
Gamma), que es emitido en cantidades importantes en la actividad nuclear (la vida media de este radioisótopo
es de 8 días)? Crear un sistema para responder a esta pregunta.
Actividad 2:
Explotación de una población cinegética
En un coto de caza se quiere estudiar la dinámica de la población de conejos con fines comerciales, durante la
estación de caza.
Se sabe que la intensidad de caza diaria es aproximadamente del 2% de la población de conejos en
cada momento. Se parte, al comienzo del período de caza con una población inicial de 32.000 conejos. La
duración de la estación de caza es de 3 meses. Cada pieza da al propietario de la finca una ganancia de 2
euros.
Se pide construir un modelo que describa la evolución de piezas cobradas y los ingresos obtenidos a
lo largo de dicho periodo de caza
Cuestiones adicionales:
- ¿Qué tipo de proceso se supone que está ocurriendo para que la caza tenga lugar como se ha descrito?
- Si se duplicase la presión cinegética ¿cuál será la evolución de la población y de las ganancias?
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FLUJOS DE RETROALIMENTACIÓN NEGATIVA
Actividad 3:
Modelos de flujo con acción correctora
Se tienen tres series de datos de crecimiento que siguen tendencias similares en el tiempo (figuras 1-3 de la
siguiente página). En los tres casos se da un aumento de la variable considerada hasta que se llega a una fase
de estabilización de los valores. Estos datos corresponden a:
(1) Crecimiento de una población de aves en un bosque (unidades: número de individuos).
(2) Aumento de la cantidad de un contaminante que resulta de una reacción química en contacto con
el agua (unidades: gramos).
(3) Aumento de la ocupación de un territorio que está siendo colonizado por agricultores en
pequeñas parcelas (unidades: hectáreas).
A pesar de su apariencia similar, estas tres series de datos siguen modelos de crecimiento muy diferentes,
cuya forma de funcionamiento trataremos de analizar en esta actividad.
Se pide, en primer lugar, averiguar a qué modelo corresponde cada serie de datos, sabiendo que cada una
debe ajustarse a uno de los tres siguientes:
Modelo logístico:
Q(t) =
k
. ;
1+eLn((k/Qo)-1)-rt
Modelo monomolecular: Q(t) = k (1-e-rt)
;
Modelo discontinuo:
;
Q(t) = rt
; para Q < k
Q(t) = cte. ; para Q > k
dQ = rQ(1-(Q/k))
dt
dQ = r (k-Q)
dt
;
dQ = r ; para Q < k
dt
dQ = 0 ; para Q > k
dt
Donde: Q = cantidad de la variable considerada.
k = valor de estabilización de Q.
r = tasa de crecimiento.
Para ello, vamos a realizar un contraste estadístico entre los datos reales y los modelos propuestos,
comparando el grado de ajuste entre ambos para decidir cuál es el mejor modelo explicativo en cada caso.
El resultado de este ajuste, junto con la estima de los parámetros (r y k) de cada modelo se ofrece en
la siguiente tabla:
Serie de datos
Modelos
R^2
r
KoC
Población
Logístico
Monomolecular
Discontinuo
0,994
0,892
0,971
0,365
0,071
2,428
49,042
53,333
20,196(C)
Reacción
Logístico
Monomolecular
Discontinuo
0,91
0,988
0,952
0,421
0,078
2,527
47,557
53,037
19,228(C)
Ocupación
Logístico
Monomolecular
Discontinuo
0,958
0,946
0,989
0,328
0,064
2,217
50,871
57,077
23,195(C)
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Notas- (1) El valor de R2 indica el grado de ajuste entre los datos y el modelo (ejemplo: R 2 = 0.8 equivale a
una explicación de los datos por el modelo del 80%).
(2) En el caso del modelo discontinuo no se estima k, sino el tiempo crítico (C) al que se produce la
estabilización de Q (cuando Q=k).
Se pide, a continuación:
(1) Implementar estos tres modelos en el Stella, utilizando los valores de los parámetros estimados con el
ajuste estadístico anterior. Tener en cuenta si se quiere un flujo uniflow o biflow en función del modelo que
se está implementando (si tiene sentido que se haga o no negativo).
Para indicar el flujo en el modelo discontinuo hay que hacer lo siguiente:
(i) Calcular el valor de Q en el tiempo C, es decir, Qc = r C
(ii)Calculado Qc se construye una sentencia lógica condicional del tipo:
IF Q < Qc THEN r ELSE 0 (usando los valores estimados de Qc y r)
(2) Simular el cambio de Q y dQ/dt frente al tiempo (48 tiempos).
(3) Representar dQ/dt frente a Q.
Cuestiones adicionales:
- ¿Qué diferencia hay entre el modelo logístico y los otros dos en cuanto a la indicación de un valor inicial en
el compartimento donde se acumula Q? ¿A qué puede deberse esta diferencia?
- De las comparaciones efectuadas, ¿qué conclusiones pueden sacarse sobre el poder inductivo de Q y dQ/dt
sobre el funcionamiento de los modelos? ¿Es esto distinto en el caso de modelos sin retroalimentación, como
los que se construyeron en otras prácticas?
- ¿Es el modelo discontinuo realmente un modelo de retroalimentación?
- ¿Cúal sería el resultado de aplicar los mismos valores de los parámetros (r y k) a los tres modelos vistos?
- ¿Cómo añadirías efectos aleatorios a estos modelos?
- Si suponemos que los modelos vistos son modelos de producción, ¿cómo gestionarías cada sistema para
maximizar la producción y la productividad teniendo en cuenta costes económicos para los incrementos que
deseen hacerse?
5
60
50
POBLAC
40
30
20
10
0
0
10
20
30
40
50
TIEMPO
Fig.1
60
50
REACC
40
30
20
10
0
0
10
20
30
40
50
TIEMPO
Fig.2
60
50
OCUPAC
40
30
20
10
0
0
10
20
30
40
50
TIEMPO
Fig.3
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Actividad 4 (opcional):
Crecimiento de un organismo
Existen numerosos modelos de crecimiento de organismos individuales. Entre ellos, uno de los más conocidos
es el de Bertalanffy, que asume el crecimiento de un organismo como el resultado neto de dos procesos, uno
de anabolismo (ganancia) y otro de catabolismo (pérdida). Bertalanffy considera en su modelo que la
ganancia en peso de un animal es proporcional al área de su superficie corporal. Si consideramos una entrada
constante de energía anabolizada H (medida en equivalentes en peso) por unidad de superficie, el proceso
anabólico producirá un flujo de energía que resultará de multiplicar esta cantidad por la superficie S de dicho
organismo.
El catabolismo, única pérdida considerada en este proceso, se asume proporcional al peso del
organismo. Si se considera que, por unidad de peso, el organismo pierde una cantidad constante de energía C
(medida en equivalentes en peso), el catabolismo producirá unas pérdidas que resultarán de multiplicar dicha
cantidad por W, el peso del organismo.
Para simplificar, se supondrá que el organismo tiene forma esférica, que mantendrá durante todo el
proceso de crecimiento. Recuérdese que una esfera de radio r tiene la siguiente relación con superficie y
volumen:
V = 4  r3 /3
S = 4  r2
Suponiendo que:
H = 0.1
C = 0.9
W=1
Densidad del organismo = 1.2
Se pide:
1º Implementar este modelo de crecimiento en el programa Stella.
2º Expresar el comportamiento dinámico de las siguientes variables:
- peso
- volumen
- superficie
3º Analizar la relación entre el peso del organismo y:
- anabolismo
- catabolismo
- flujo neto (anabolismo – catabolismo)
Recordar que tienen que indicarse las unidades de cada variable (de nivel o de flujo).