MATEM ´ATICAS OBSERVACIONES: El alumno deberá responder

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
DE LOS MAYORES DE 25 AÑOS
Convocatoria 2013
FASE ESPECÍFICA
MATEMÁTICAS
OBSERVACIONES:
El alumno deberá responder únicamente a una de las cuestiones de cada bloque.
La puntuación de las dos cuestiones de cada bloque es idéntica.
Responda razonadamente a cada cuestión. Exprese las √
soluciones de manera simplificada
y sin utilizar la calculadora, es decir, si la solución es 2 utilice este valor y no su valor
aproximado 1,414...
No está permitido el uso de calculadoras programables, gráficas, ni aquellas que realicen
cálculo simbólico.
Utilice bolı́grafo azul o negro.
BLOQUE 1. [2.5 Puntos]
Cuestión 1.A Dado el siguiente sistema de ecuaciones


x + y − z
3x + αy + αz


4x + αy
lineales:
=1
=5
=5
donde α ∈ R.
1. Determinar para qué valores del parámetro α el sistema anterior es compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible. (1.5 Puntos)
2. Resolver dicho sistema cuando α = 5 utilizando el método que estime más adecuado.
(1 Punto)
Solución: En primer lugar estudiamos el rango de la matriz de coeficientes:


1 1 −1
 3 α α .
4 α 0
Si calculamos el determinante de esta matriz obtenemos:
1 1 −1
3 α α = 4α − 3α + 4α − α2 = 5α − α2 = α(5 − α).
4 α 0
1
Como se puede observar el determinante es igual a 0 cuando α = 0 o cuando α = 5, y
en caso contrario será distinto de 0. Ası́ el rango de la matriz de coeficientes será 3 para
α 6= {0, 5}. Si α = 0 el rango de la matriz de coeficientes es 2 y también es 2 en el caso
en el que α = 5. Para α = 0 la matriz ampliada queda de la forma:


1 1 −1 1
 3 0 0 5 ,
4 0 0 5
realizando transformaciones elementales o calculando el determinante
1 1 1
3 0 5 = 20 − 15 = 5 6= 0
4 0 5
el rango de la matriz ampliada es 3, luego el sistema en este caso es incompatible. Para
α = 5 la matriz ampliada queda de la forma:


1 1 −1 1
 3 5 5 5 .
4 5 0 5
Realizando transformaciones elementales obtenemos:

 
 

1 1 −1 1
1 1 −1 1
1 1 −1 1
 3 5 5 5  ∼  0 2 8 2  ∼  0 1 4 1 .
4 5 0 5
0 1 4 1
0 0 0 0
Luego el sistema es compatible indeterminado. La solución en este caso viene dada por
{(5λ, 1 − 4λ, λ) : λ ∈ R}.
Cuestión 1.B Sean las matrices:
A=
−1 α 0
0 −1 β


0 −1
B =  1 −1  ,
−1 0
donde α, β ∈ R.
1. Calcule el producto de matrices A · B. (1 Punto)
2. Calcule el producto de matrices B · A. (1 Punto)
3. Para β = 0 calcule el rango de la matriz B · A en función de los valores de α. (0.5
Puntos)
Solución: Realizando las operaciones obtenemos:
α
1−α
1. A · B =
.
−1 − β
1


0
1
−β
2. B · A =  −1 α + 1 −β .
1
−α
0
2
3. Para β = 0 la matriz anterior queda de la forma:


0
1
0
B · A =  −1 α + 1 0  .
1
−α 0
El rango de esta matriz es 2 para cualquier valor de α.
BLOQUE 2. [2.5 Puntos]
Cuestión 2.A Dadas las rectas en R3 :
(
x + y − 3z
r1 :
x−y−z


x = 2 + 3λ
r2 : y = 1 + λ


z = 2λ
= −2
= −4
λ ∈ R.
Calcule la ecuación cartesiana del plano paralelo a r1 y que contiene a r2.(2.5 Puntos)
Solución: Para calcular la ecuación del plano sólo necesitamos obtenemos dos vectores
directores y un punto del mismo. Si el plano es paralelo a la recta r1 el vector director de
la recta debe ser un vector director del plano. Calculamos entonces el vector director de
la recta y obtenemos que las ecuaciones paramétricas de la recta r1 vienen dados por


x = −3 + 2λ
,
y =1+λ


z =λ
luego el vector director de r1 viene dado por v~1 = (2, 1, 1). El vector director de r2 es
v~2 = (3, 1, 2) y un punto P = (2, 1, 0). Ası́ la ecuación del plano viene dada por:
x−2 y−1 z
2
1
1 = 2(x − 2) + 3(y − 1) + 2z − 3z − (x − 2) − 4(y − 1) = x − y − z − 1 = 0.
3
1
2
Es decir, la ecuación del plano es x − y − z = 1.
Cuestión 2.B 1. Calcule las ecuaciones cartesianas de la recta r perpendicular al plano
π : x + y − z = 0 que pasa por el punto P = (2, 1, −1). (1.5 Puntos)
Solución: El vector director de la recta es el vector normal al plano, es decir, ~v =
(1, 1, −1). Ası́, tenemos un vector director de la recta y un punto P = (2, 1, −1). Las
ecuaciones de la recta son:
y−1
z+1
x−2
=
=
,
1
1
−1
de donde
(
x−y
r:
x+z
3
=1
=1
2. Calcule el punto P 0 del plano π tal que la distancia de P al plano π es igual a la
distancia de P a P 0 . (1 Punto)
Solución: Para obtener P 0 basta obtener la intersección de la recta calculada en el apartado anterior y el plano π. Tenemos que resolver el sistema:


=1
x − y
x+z
=1,


x+y−z =0
, 1 ).
que sabemos que es compatible determinado. Resolviendo obtenemos que P 0 = ( 32 , −1
3 3
BLOQUE 3. [2.5 Puntos]
Cuestión 3.A Sea la función f (x) =
2x
.
(x − 1)2
1. Determinar el dominio de definición de la función f (x). (0.25 Puntos)
Solución: Dom(f ) = R \ {1}.
2. Calcular los lı́mites laterales lı́mx→1+ f (x) y lı́mx→1− f (x). (0.5 Puntos)
Solución: lı́mx→1+ f (x) = +∞, lı́mx→1− f (x) = +∞.
3. Calcular lı́mx→+∞ f (x) y lı́mx→−∞ f (x). (0.5 Puntos)
Solución: lı́mx→±∞ f (x) = 0
4. Calcular f 0 (x). (0.5 Puntos)
Solución: f 0 (x) =
2(x−1)−4x
(x−1)3
=
−2x−2
(x−1)3
=
−2(x+1)
.
(x−1)3
5. Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. (0.5 Puntos)
Solución: Estudiando el signo de la derivada obtenemos que en (−∞, −1)∪(1, +∞)
la función es decreciente, en (−1, 1) la función es creciente. Tiene en el punto x = −1
un mı́nimo relativo.
6. Utilizando los resultados de los apartados anteriores, esbozar la representación gráfica aproximada de la función. (0.25 Puntos)
Solución:
x+2
. Calcular para qué valores de x la recta tangente a la función
x−1
f (x) es paralela a la recta y = −3x + 1. (2.5 Puntos)
Cuestión 3.B Sea f (x) =
4
Solución: Calculamos la derivada de la función f (x):
f 0 (x) =
(x − 1) − (x + 2)
−3
=
.
2
(x − 1)
(x − 1)2
Tenemos que calcular cuando la derivada de la función es igual a −3. De ahı́ obtenemos
que (x − 1)2 = 1, es decir, x − 1 = ±1, de donde obtenemos dos soluciones: x = 2 y x = 0.
BLOQUE 4. [2.5 Puntos]
Cuestión 4.A Determinar el área de la región limitada por la función f (x) = −x2 − 3x + 4 y
el eje X. (2.5 Puntos)
Solución: En primer lugar calculamos los puntos de corte de la función con el eje X.
Obtenemos entonces que los puntos son x = −4 y x = 1. El área buscada viene dada por
la integral
1
−x3 3x2
−
+ 4x
A=
−x − 3x + 4dx =
3
2
−4
−4 3
−1 3
(−4)
3(−4)2
=
− +4− −
−
+ 4(−4)
3
2
3
2
125
=
.
6
Z
1
2
Cuestión 4.B Calcular la primitiva:
Z
x · ex dx
(2.5 Puntos).
Solución: Resolveremos la integral utilizando integración por partes.
Z
Z
x
x
x · e dx = x · e − ex dx = x · ex − ex + C = ex (x − 1) + C.
5