Parte VI Tabla de mortalidad poblacional de momento: esperanza

Estadı́stica Demográfica. Grado en Relaciones Laborales y Recursos Humanos
Parte VI
Tabla de mortalidad poblacional de
momento: esperanza de vida
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Análisis estadı́stico de la mortalidad: construcción de la tabla de mortalidad
Vamos a suponer que el comportamiento poblacional en lo que se refiere al fenómeno mortalidad en la generación de t (análisis longitudinal), es similar al comportamiento en el año de
observación t (análisis transversal):
En este segundo caso, no es posible la obtención de los cocientes de mortalidad; solamente se
pueden construir las tasas especı́ficas de mortalidad por edad, ya que la única información que
tendremos son las defunciones por edad en un periodo y la población (stock) por edad en un
instante:
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Análisis estadı́stico de la mortalidad: construcción de la tabla de mortalidad
Por este motivo, será necesario estimar los cocientes de mortalidad por edad a partir de las
tasas que se calculan con los datos observados en un periodo. La estimación de estos cocientes
se tratará más adelante. Veamos entonces las columnas que va a tener la tabla de mortalidad de
momento:
ˆ x ,→ edad exacta a inicio del intervalo (x, x + n) donde x ∈ (0, ω − n) siendo n la amplitud
de los intervalos considerados.
ˆ
n P̄x
,→ población media del periodo observado en el intervalo (x, x + n)
ˆ
n Dx
,→ número de defunciones observadas en el intervalo (x, x + n).
ˆ
n mx
,→ tasa especı́fica de mortalidad en el intervalo (x, x + n):
n mx
=
n Dx
n P̄x
ˆ
n q̂x
,→ cociente de mortalidad estimado en el intervalo (x, x + n).
ˆ
n p̂x
,→ probabilidad de supervivencia estimada en el intervalo (x, x+n), siendo n p̂x = 1−n q̂x
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Análisis estadı́stico de la mortalidad: construcción de la tabla de mortalidad
Cuando los cocientes de mortalidad han sido estimados, se procede a generar las series o columnas de la tabla de mortalidad asociada a la generación ficticia, debiendo escoger una raı́z de la
misma que suele tomarse como potencia de 10, es decir, l0 = 10k :
ˆ lx ,→ número de supervivientes a la edad exacta x, de forma que:
l0 = 10k
lx+n = lx − (lx ·n q̂x )
ˆ
n dx
,→ número de defunciones de individuos de la generación ficticia en el intervalo de edad
(x, x + n):
n dx
= lx − lx+n
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Análisis estadı́stico de la mortalidad: construcción de la tabla de mortalidad
ˆ ax ,→ coeficiente de reparto de las defunciones a la edad x (también llamado fracción media
de años vividos en el intervalo (x, x + 1) ). En el caso de que supongamos que las defunciones
ocurren uniformemente dentro del intervalo, este coeficiente es igual a 0.5. Normalmente su
valor solamente varı́a en los primeros y últimos intervalos de edad, ya que por ejemplo, en
el intervalo (0, 1), la mayorı́a de las defunciones ocurren poco después del nacimiento por lo
que el tiempo medio vivido por estos niños en dicho intervalo será bastante bajo (ax < 0.5).
Además, cada Instituto de Estadı́stica toma sus propios ax , como resultado de sus análisis
empı́ricos.
ˆ
n Ax
,→ coeficiente de reparto de las defunciones en el intervalo (x, x + n):
n Ax
ˆ
= n · ax
n Lx
,→ población estacionaria de la tabla (o tiempo vivido por todos los individuos en el
intervalo (x, x + n)). Esta serie representa la estructura por edad que tendrı́a una población
cuya mortalidad fuera la de la tabla y para la que dicha mortalidad, ası́ como el número de
nacimientos se mantuviera constante en el tiempo.
n Lx
= n · lx+n + n · ax ·n dx =
n · lx+n +n Ax (lx − lx+n ) = (n −n Ax )lx+n +n Ax lx =
(n − nax )lx+n + nax lx = n((1 − ax )lx+n + ax lx )
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y en el caso de que ax = 0.5 queda:
lx − lx+n
= n lx+n +
n Lx = nlx+n + n
2
2
n dx
=n
lx + lx+n
2
ˆ Tx ,→ tiempo vivido por todos los individuos desde la edad x hasta el final de la vida (ω):
Tx =
ω−n
X
(n Li )
i=x
ˆ êx ,→ esperanza de vida estimada a la edad x (tiempo medio estimado que le queda por vivir
a un individuo que ha alcanzado la edad x):
êx =
Tx
lx
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En cualquier tabla de mortalidad real, nos vamos a encontrar con un intervalo de edad abierto
(el último); en este caso, se debe tener en cuenta lo siguiente:
qω = 1
dω = lω
lω
Lω =
mω
Tω = Lω
l
eω =
ω
Lω
1
Tω
=
= mω =
lω
lω
lω
mω
En la estimación de la esperanza de vida en el último intervalo, a veces también cada Instituto
de Estadı́stica fija la esperanza de vida en el intervalo abierto; es usual ver en una tabla que termina
en 100 años como la esperanza de vida se ha fijado en 0.5.
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Análisis estadı́stico de la mortalidad: construcción de la tabla de mortalidad
Existen diversos procedimientos para estimar el cociente de mortalidad a partir de la tasa
observada; todos ellos, propuestos por distintos autores son igualmente válidos y proporcionan
resultados bastante semejantes, por lo que usualmente se utiliza aquél cuya expresión es más
sencilla (método actuarial o lineal). Dicho método estima el cociente de mortalidad de la
siguiente forma:
n q̂x
=
2 · n ·n m x
2 + n ·n mx
Ejercicio: Construya la tabla de mortalidad de momento para una población mediante el método
actuarial o lineal con ax = 0.5, utilizando como raı́z de la misma 1000 individuos y conociendo los
datos de población y defunciones en las primeras edades (T10 = 65000).
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Análisis estadı́stico de la mortalidad: construcción de la tabla de mortalidad
Con la información dada, calculamos las tasas especı́ficas; a partir de ellas, estimamos el cociente
de mortalidad aplicando la expresión del método actuarial. Hecho esto, tomamos l0 = 1000, que
multiplicamos por el cociente estimado (0, 00498753) para calcular las defunciones (redondeando,
5). A continuación restamos l0 = 1000 − 5, apareciendo el número de supervivientes al año
de edad (995), que volveremos a multiplicar por el cociente (0, 03921569) y obtendremos las 39
defunciones del intervalo [1, 5). Ası́ sucesivamente...A continuación, calculamos el tiempo vivido
en cada intervalo n Lx a través de su expresión. El tiempo vivido a partir de la edad x no se puede
calcular, puesto que no tenemos los datos de toda la tabla; como sı́ sabemos que T10 = 65000,
bastará ir acumulando dicha cantidad, agregando la columna de n Lx . Por último, la esperanza de
vida; en este caso, se ha obtenido una esperanza de vida al nacimiento de 74,6 años.
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