Movimiento circular no uniforme

Nombre:
Curso:
Fecha:
Índice
Pagina
Introducción 3
Desarrollo del tema
• Estática 5
• Movimiento circular no uniforme 10
Conclusión 15
Bibliografía 18
Introducción
La Estática es parte de la física que estudia los cuerpos sobre los que actúan fuerzas y momentos cuyas
resultantes son nulas, de forma que permanecen en reposo o en movimiento no acelerado. El objeto de la
estática es determinar la fuerza resultante y el momento resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un
cuerpo para poder establecer sus condiciones de equilibrio.
Un sistema de fuerzas que actúa sobre un cuerpo puede ser reemplazado por una fuerza resultante y por un
momento resultante que produzcan sobre el cuerpo el mismo efecto que todas las fuerzas y todos los
momentos actuando conjuntamente. Como la fuerza resultante provoca un movimiento de traslación en el
cuerpo y el momento resultante un movimiento de rotación, para que el cuerpo se encuentre en equilibrio debe
cumplirse, simultáneamente, que la fuerza resultante y el momento resultante sean nulos. No obstante,
equilibrio no es sinónimo de reposo, ya que una fuerza resultante nula y un momento resultante nulo implican
una aceleración lineal y angular nula, respectivamente, pero el cuerpo puede encontrarse en reposo o tener un
movimiento rectilíneo y uniforme. Así, un cuerpo está en equilibrio cuando se encuentra en reposo o cuando
se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme.
Esta condición de equilibrio implica que una fuerza aislada aplicada sobre un cuerpo no puede producir por sí
sola equilibrio y que, en un cuerpo en equilibrio, cada fuerza es igual y opuesta a la resultante de todas las
demás. Así, dos fuerzas iguales y opuestas, actuando sobre la misma línea de acción, sí producen equilibrio.
El equilibrio puede ser de tres clases: estable, inestable e indiferente. Si un cuerpo está suspendido, el
equilibrio será estable si el centro de gravedad está por debajo del punto de suspensión; inestable si está por
encima, e indiferente si coinciden ambos puntos. Si un cuerpo está apoyado, el equilibrio será estable cuando
la vertical que pasa por el centro de gravedad caiga dentro de su base de sustentación; inestable cuando pase
por el límite de dicha base, e indiferente cuando la base de sustentación sea tal que la vertical del centro de
gravedad pase siempre por ella.
1
También hablaremos sobre el Movimiento Circular, el cual es un movimiento cuya trayectoria es una
circunferencia. En este movimiento el vector velocidad varía constantemente de dirección, y su módulo puede
también variar o no. Esto permite clasificar el movimiento circular en movimiento circular uniforme, si el
módulo de la velocidad no varía, y movimiento circular uniformemente variado, si el módulo de la velocidad
varía de manera constante en el transcurso del tiempo.
Las ecuaciones de los movimientos circulares se expresan frecuentemente con magnitudes angulares como la
velocidad angular, la aceleración angular y el ángulo barrido.
En este caso, se tratara el Movimiento Circular No Uniforme, el cual se caracteriza por que tanto el módulo
como la dirección de la velocidad varían constantemente con el tiempo
Estática
Como anteriormente se definió, la estática estudia las condiciones para que un cuerpo sobre el cual actúan
fuerzas o cuplas, o fuerzas y cuplas a la vez quede en equilibrio, es decir, un cuerpo esta en equilibrio cuando
se halla en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme.
En dinámica llegamos a la conclusión de que un cuerpo esta en reposo o en moviendo rectilíneo uniforme
cuando sobre él no actúa ninguna fuerza. Sin embargo, es evidente que un cuerpo puede estar sometido a dos
fuerzas, o a dos cuplas, y seguir en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme; más todavía: en los trenes y
automóviles, para que el movimiento sea rectilíneo y uniforme, es imprescindible la fuerza del motor para
anular el rozamiento. Pero la contradicción es solo aparente.
Sistema de Fuerzas o de Cuplas
Se dice que un cuerpo esta sometido a un sistema de fuerzas, o de cuplas, cuando esta sometido a varias
fuerzas o a varias cuplas.
También en este caso se necesita hablar de vectores, los cuales son modelos matemáticos, que tienen:
• Modulo: valor numérico que se asigna una respectiva unidad de medida.
• Dirección: recta de acción
• Sentido: según el sistema de referencia, tendrá signo positivo o negativo
Resultante de un Sistema
Siempre es posible hallar una fuerza, o una cupla, que aplicada al cuerpo produzca exactamente el mismo
efecto que todo el sistema. Esa fuerza, o cupla, única, se llama Resultante del Sistema.
Esta claro, ahora que si la resultante del sistema es nula, a pesar de tener aplicadas allí un conjunto de fuerzas
o cuplas, el cuerpo seguirá en equilibrio. Por ejemplo, cuando se esta jugando al tirar la cuerda, y hay 3 niños
por lado, habrían vectores con la misma recta de acción y sentido opuesto.
Condición General de Equilibrio
Para que un cuerpo sometido a un sistema de fuerzas y a un sistema de cuplas este en equilibrio, la resultante
de las fuerzas y la resultante de las cuplas deben ser nulas.
Condición de equilibrio:
• Resultante de las fuerzas, R = 0
2
• Resultante de las cuplas, M = 0
Condición Algebraica
Condición Grafica
Si el resultante de un sistema de vectores es nulo, el polígono que se forma será cerrado.
Por lo tanto, el problema por resolver, para poder determinar el equilibrio de un cuerpo, consiste en calcular
las resultantes de fuerzas y de cuplas. Sin embargo, ya se conocen las soluciones en varios casos. En efecto:
tanto las fuerzas como las cuplas son vectores, de modo que para hallar la resultante hay que componerlos, tal
como se componen los vectores, ya sean velocidades, aceleraciones, fuerzas. Etc.
Resultante de un Sistema de Vectores
Se presentan diversos casos:
• Todos los vectores tienen la misma recta de acción:
• Con sentido opuesto.
◊ con el mismo sentido
3
• Todos los vectores son concurrentes.
• Todos los vectores son paralelos:
♦ Tiene el mismo sentido
◊ Tienen sentidos opuestos
♦ Los vectores son cualesquiera.
Cuerpo Rígido: un cuerpo es rígido cuando no se ha deformado por grandes que sean las
fuerzas aplicadas, es decir, cuando la distancia entre dos cualesquiera de sus puntos
permanece invariable. En todo lo que sigue solo trataremos de fuerzas aplicadas a cuerpos
rígidos.
Vectores con la misma recta de acción y sentidos opuestos
Tal como vimos en el caso de composición de velocidades, aceleraciones, etc., la resultante
de dos vectores que tienen la misma recta de acción y sentidos opuestos tiene las siguientes
4
características:
◊ Recta de acción: la de las componentes
◊ Medida: la diferencia de las medidas de las componentes
◊ Punto de aplicación: cualquiera de los de su recta de acción
Vectores con la misma recta de acción y el mismo sentido
La resultante de dos o más vectores con la misma recta de acción y el mismo sentido tiene las
siguientes características:
◊ Recta de acción: la misma que los componentes
◊ Sentido: el mismo que los componentes
◊ Medida: la suma de las medidas de los componentes
◊ Puntos de aplicación: cualquiera de los de su recta
Movimiento Circular No Uniforme
Si una partícula se mueve con velocidad variable en una trayectoria circular, demás de la
componente centrípeta de la aceleración, también hay una
componente tangencial de magnitud dv . Puesto que la aceleración total de la
dt
partícula es a = ar + at, la fuerza total ejercida sobre la partícula es r t F = F + F, como en la
figura.
El vector Fr dirigido hacia el centro del círculo y es responsable de la aceleración centrípeta.
El vector Ft es responsable de la aceleración tangencial,
la cual hace que la velocidad de la partícula cambie con el tiempo. El siguiente
ejemplo demuestra este tipo de movimiento.
Aceleración Angular
Es una magnitud vectorial que caracteriza la variación de la velocidad angular de un móvil
que describe una trayectoria circular o de un sólido rígido que gira alrededor de un eje fijo. Se
representa por á y su unidad es rad·s−2.
La aceleración angular se define como la derivada del vector velocidad angular respecto al
tiempo. Como la derivada de un vector es también un vector, la aceleración angular es un
vector, cuyo módulo vale at/r, donde at es la aceleración lineal tangencial y r es el radio de la
trayectoria circular o la distancia al eje de giro. La dirección de la aceleración angular
coincide con la de la velocidad angular, y su sentido depende de si la velocidad angular está
creciendo o decreciendo. Si la velocidad angular está creciendo, el sentido de ambas
magnitudes coincide, y si la velocidad angular está disminuyendo, sus sentidos son opuestos.
En el caso de la rotación de un sólido alrededor de un eje fijo, la naturaleza vectorial de esta
magnitud carece de importancia, ya que si se considera el eje Z como el eje de rotación, la
aceleración angular sólo tiene componente z y, por tanto, sólo puede variar de módulo.
5
Velocidad Angular
Es una magnitud vectorial que caracteriza la variación del ángulo recorrido por un móvil que
describe una trayectoria circular o de un sólido rígido que gira alrededor de un eje fijo. Se
representa por ù y su unidad es rad·s−1, aunque también se suele expresar en revoluciones por
minuto, r.p.m., y revoluciones por segundo, r.p.s.
Cuando un móvil describe una trayectoria circular de centro O, su posición en cualquier
instante viene dada por el vector de posición, r, y el ángulo, è, formado por este vector y otra
recta de referencia fija en el espacio. Su velocidad angular, ù, está representada por un vector
axial cuyo módulo es dè/dt, su dirección es perpendicular en O al plano de giro y cuyo sentido
viene dado, en función del sentido de giro, por la regla de la mano derecha.
Cuando un sólido gira sin deslizar alrededor de un eje fijo, los puntos situados en el eje son
fijos, mientras que el resto de los puntos están animados de movimientos circulares cuyos
centros se encuentran en el eje. Cada uno de estos puntos posee una velocidad lineal distinta,
v, pero la velocidad angular de todos ellos es común, ù, y es la velocidad angular de rotación
del sólido alrededor del eje.
Giro vertical
Una pequeña esfera de masa m está unida al extremo de una cuerda de longitud la cual gira en
un círculo vertical alrededor de un punto fijo O, como se
muestra en la figura. Determinemos la tensión en la cuerda en cualquier instante cuando la
velocidad de la esfera es v y la cuerda forma un ángulo con a vertical.
Observemos que la velocidad no es uniforme puesto que hay una
componente tangencial de aceleración que surge del peso de la esfera. A partir
del diagrama de cuerpo libre de la figura 8a se ve que las únicas fuerzas que
actúan sobre la esfera son el peso, mg, y la fuerza de tensión ejercida por la
cuerda, T.
Después de esto se descompone mg en una componente tangencial, mgsen , y una
componente radical, mgcos. Al aplicar la 2º ley de Newton a las fuerzas en la dirección
tangencial, se obtiene:
Ft = mgsen = mat
Esta componente hace que v cambie en el tiempo, puesto que t a = dv/dt . Si se aplica la 2º
ley de Newton a las fuerzas en la dirección radical y se observa que tanto T como están
dirigidas hacia O, se encuentra que:
Fr = T − mgcos = mv2
r
T = m ( v + gcos)
6
r
Casos límite: En la parte más alta de la trayectoria, donde = 180°, se tiene cos180° = −1, y
la ecuación de la tensión se vuelve:
T arriba = ( v2 arriba − g)
R
Este es el valor mínimo de T. En este punto t a = 0 y, en consecuencia, la aceleración es
radical y esta dirigida hacia abajo, como en la figura.
En la parte inferior de la trayectoria, donde = 0°, en virtud de que cos 0° = 1, se ve que:
Tabajo = (v2 abajo + g)
R
Este es el valor máximo de T. Otra vez, en este punto t a = 0 y la aceleración es radical y esta
dirigida hacia arriba.
Conclusión
La cinemática se ocupa de la descripción del movimiento sin tener en cuenta sus causas. La
velocidad (la tasa de variación de la posición) se define como la razón entre el espacio
recorrido (desde la posición x1 hasta la posición x2 ) y el tiempo transcurrido y un tipo de
movimiento es aquél en el que se mantiene constante la aceleración. Como la velocidad
varía, hay que definir la velocidad instantánea, que es la velocidad en un instante
determinado. En el caso de una aceleración a constante, considerando una velocidad inicial
nula (v = 0 en t = 0), la velocidad instantánea transcurrido el tiempo t será:
v = a.t
La distancia recorrida durante ese tiempo será
e = ½.a.t2
Esta ecuación muestra una característica importante: la distancia depende del cuadrado del
tiempo (t2). En el movimiento uniformemente variado la velocidad varia y la aceleración es
distinta de cero y constante.
a ¹ 0 = cte
v = variable
Este movimiento se caracteriza porque su trayectoria es una circunferencia y tanto el módulo
como la dirección de la velocidad varían constantemente con el tiempo. Por tanto, la
aceleración tangencial es constante, ya que el módulo de la velocidad varía uniformemente
con el tiempo, y la aceleración normal es constante por los mismos motivos que en el
movimiento circular uniforme.
La ecuación de la velocidad angular de un móvil que se desplaza con un movimiento circular
7
uniformemente variado con una aceleración angular á es:
ù = ù0 + á·t
donde ù0 es la velocidad angular del móvil en el instante inicial.
El ángulo total barrido por un móvil que describe un movimiento circular uniformemente
variado es:
è = è0 + ù0·t + ½·á·t2
donde è0 es el ángulo barrido por el móvil en el instante inicial.
Por otro lado, la estática, forma parte de la física que estudia los cuerpos sobre los que actúan
fuerzas y momentos cuyas resultantes son nulas, de forma que permanecen en reposo o en
movimiento no acelerado. El objeto de la estática es determinar la fuerza resultante y el
momento resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo para poder establecer sus
condiciones de equilibrio.
Un sistema de fuerzas que actúa sobre un cuerpo puede ser reemplazado por una fuerza
resultante y por un momento resultante que produzcan sobre el cuerpo el mismo efecto que
todas las fuerzas y todos los momentos actuando conjuntamente. Como la fuerza resultante
provoca un movimiento de traslación en el cuerpo y el momento resultante un movimiento de
rotación, para que el cuerpo se encuentre en equilibrio debe cumplirse, simultáneamente, que
la fuerza resultante y el momento resultante sean nulos. No obstante, equilibrio no es
sinónimo de reposo, ya que una fuerza resultante nula y un momento resultante nulo implican
una aceleración lineal y angular nula, respectivamente, pero el cuerpo puede encontrarse en
reposo o tener un movimiento rectilíneo y uniforme. Así, un cuerpo está en equilibrio cuando
se encuentra en reposo o cuando se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme. Véase
Mecánica.
Esta condición de equilibrio implica que una fuerza aislada aplicada sobre un cuerpo no
puede producir por sí sola equilibrio y que, en un cuerpo en equilibrio, cada fuerza es igual y
opuesta a la resultante de todas las demás. Así, dos fuerzas iguales y opuestas, actuando sobre
la misma línea de acción, sí producen equilibrio.
El equilibrio puede ser de tres clases: estable, inestable e indiferente. Si un cuerpo está
suspendido, el equilibrio será estable si el centro de gravedad está por debajo del punto de
suspensión; inestable si está por encima, e indiferente si coinciden ambos puntos. Si un
cuerpo está apoyado, el equilibrio será estable cuando la vertical que pasa por el centro de
gravedad caiga dentro de su base de sustentación; inestable cuando pase por el límite de dicha
base, e indiferente cuando la base de sustentación sea tal que la vertical del centro de
gravedad pase siempre por ella.
Bibliografía
◊ www.google.com
◊ www.wikimedia.org
◊ www.fisicanet.com
◊ Enciclopedia Encarta 2001
◊ Física II (Maiztegui − Sabato)
8