Ley de Gauss

Ley de Gauss
Objetivo:
• Hasta ahora, hemos considerado cargas puntuales
¿Cómo podemos tratar distribuciones más complicadas, por ejemplo,
el campo de un alambre cargado, una esfera cargada, o un anillo
cargado?
• Hay dos métodos:
Método 1: Divide la distribución en elementos infinitesimales dE e
intégralos para obtener el campo eléctrico total
Método 2: Si hay alguna simetría especial de la distribución, utiliza
la ley de Gauss para obtener el campo
Ley de Gauss
El flujo eléctrico a través de
una superficie cerrada es
proporcional a la carga neta
encerrada por la superficie
17-ene-13
Tema VIII. Electrostática
Primero definimos
el concepto de flujo
41
Flujo de agua
Imaginemos que ponemos un anillo de área
A perpendicular a una corriente de agua
que mana con velocidad v
El producto del área por la velocidad, Av,
da el volumen de agua que pasa a través
del anillo por unidad de tiempo
• Las unidades son m3/s
Si se inclina el anillo un ángulo θ, entonces
el área proyectada es Acos θ, y el volumen
de agua por unidad de tiempo que fluye a
través del anillo es Av cos θ.
17-ene-13
Tema VIII. Electrostática
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Flujo eléctrico (1)
A la cantidad de agua que fluye a través del anillo, la
llamamos flujo de agua
Flux Φ = Av cosθ
Podemos hacer una analogía con las líneas de un campo
eléctrico constante y una corriente fluida de agua
r
E
θ
A
El flujo eléctrico es la densidad de líneas de campo
que atraviesan un área A
17-ene-13
Tema VIII. Electrostática
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Flujo eléctrico (2)
Consideremos un campo
eléctrico constante E que
pasa a través de un área
dada dA:
dΦ=E•dA=EdAcos θ
El ángulo θ es el ángulo
entre el vector de campo
eléctrico y el vector área
La densidad de vectores de
campo eléctrico que pasan a
través de un área dada A se
llama flujo eléctrico
Φ = EAcosθ = E• A
17-ene-13
Tema VIII. Electrostática
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Surfaces and Normal Vectors
For a given surface, we define
r
the normal vector A, which points
normal to the surface and has length A
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Tema VIII. Electrostática
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Flujo eléctrico para
una superficie cerrada
Supongamos un campo eléctrico y una superficie cerrada, en
lugar de la superficie abierta asociada con nuestra analogía
del anillo
En este caso de superficie cerrada, el flujo total eléctrico a
través de la superficie viene dado por una integral sobre la
r r
superficie cerrada
Φ = ∫∫ E ⋅ dA
Los vectores dA siempre señalan hacia
afuera de la superficie cerrada
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Tema VIII. Electrostática
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Ley de Gauss (1)
(named for German mathematician and scientist Johann Carl
Friedrich Gauss, 1777-1855) states
Vamos a imaginar que tenemos una caja en forma de cubo
Se supone que esta caja se construye de un material que no
afecta a los campos eléctricos
Si llevamos una carga positiva a cualquier superficie de la
caja, la carga no siente fuerza
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Tema VIII. Electrostática
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Ley de Gauss (2)
Ahora ponemos una carga positiva dentro
de la caja y llevamos una carga de prueba
positiva hasta la superficie de la caja
La carga de prueba positiva siente una
fuerza hacia fuera debido a la carga
positiva dentro del cubo
Ahora ponemos una carga negativa dentro
de la caja y llevamos la carga de prueba
positiva hasta la superficie de la caja
La carga de prueba positiva siente una
fuerza hacia dentro debido a la carga
negativa dentro del cubo
Las líneas de campo eléctrico parecen salir
de la caja que contiene la carga positiva y
entrar en la caja que contiene la carga
negativa
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Tema VIII. Electrostática
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Ley de Gauss (3)
Ahora imaginemos una caja vacía en un
campo eléctrico uniforme
Si llevamos la carga de prueba positiva
hasta el lado 1 lado, siente una fuerza hacia dentro y
si llevamos la carga de prueba positiva hasta el lado 2,
siente una fuerza hacia fuera
El campo eléctrico es paralelo a los otros cuatro lados,
por lo que la carga de prueba positiva no siente
ninguna fuerza cuando es llevado hasta esos lados
Cuando había una carga dentro de la caja, las líneas de
campo eléctrico parecían fluir hacia dentro o hacia
afuera de la caja
Cuando no hay ninguna carga en la caja, el flujo neto
de campo eléctrico entrando en la caja es el mismo
que el flujo neto saliendo de la caja
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Tema VIII. Electrostática
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Ley de Gauss (4)
Formulación: el flujo del campo eléctrico a través de S es
proporcional a la carga neta encerrada por S
Φ=
q
ε0
∫∫
r r q
E ⋅ dA =
ε0
Φ es el flujo eléctrico neto y
q es la carga dentro de una superficie cerrada S
• Llamamos a esta superficie superficie Gaussiana
• Esta superficie puede ser nuestra caja
• Esta superficie puede ser cualquier superficie cerrada
Por lo general, elegimos una superficie cerrada que posee
simetrías relacionadas con el problema que estamos tratando
de estudiar
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Tema VIII. Electrostática
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La ley de Gauss y la ley de Coulomb
son equivalentes (1)
Vamos a obtener la ley de Coulomb a partir de la Ley de
Gauss
Partimos de una carga puntual q
Construimos una superficie esférica con radio r alrededor
de esta carga
Esta es nuestra superficie Gaussiana
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Tema VIII. Electrostática
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La ley de Gauss y la ley de Coulomb (2)
El campo eléctrico de una carga puntual es radial y, por lo
tanto, es perpendicular a la superficie gaussiana en todo
punto
El campo eléctrico tiene la misma magnitud en cualquier
punto de la superficie
∫∫
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r r
E ⋅ dA =
∫∫ EdA = E∫∫∫∫dAdA = ε0 q
r r
E
⋅
dA
=
ε
q
0
∫∫
Tema VIII. Electrostática
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La ley de Gauss y la ley de Coulomb(3)
Ahora nos queda una integral simple en
una superficie esférica
A=
2
dA
=
4
π
r
∫∫
Según la ley de Gauss
ε 0 E (4π r 2 )= q
Lo cual da
q
q
E=
=
2
4πε 0 r
4πε 0 r 2
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1
⇒
q
E=k 2
r
Tema VIII. Electrostática
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Apantallamiento (blindaje)
blindaje)
Una interesante aplicación de la ley de Gauss:
El campo eléctrico en el interior de un conductor cargado
es cero
Piensa en ello físicamente ...
Los electrones de conducción se mueven en respuesta a
cualquier campo eléctrico
Así, el exceso de carga se moverá a la superficie del
conductor
Así que para cualquier superficie gaussiana en el interior del
conductor – que no encierra ninguna carga - el flujo es 0
Esto implica que el campo eléctrico es cero dentro del
conductor
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Tema VIII. Electrostática
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Apantallamiento:: Ilustración
Apantallamiento
Sea un conductor hueco.
Añadimos carga al conductor
La carga se moverá hacia la
superficie externa.
Podemos definir una superficie gaussiana que encierra
carga cero
El flujo es 0
El campo eléctrico dentro del
conductor es cero!
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Tema VIII. Electrostática
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Ley de Gauss para diferentes
distribuciones de carga
Hemos aplicado la ley de Gauss a una carga puntual y
obtuvimos la ley de Coulomb
Ahora echemos un vistazo a distribuciones más complicadas
de carga pero con alguna simetría y calculemos el campo
eléctrico resultante
Vamos a utilizar una "densidad de carga" para describir la
distribución de la carga
Esta densidad de carga será diferente dependiendo de la
geometría
Symbol
λ
σ
ρ
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Name
Charge per length
Charge per area
Charge per volume
Tema VIII. Electrostática
Unit
C/m
C/m2
C/m3
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Simetría cilíndrica (1)
Calculamos el campo eléctrico
creado por un hilo conductor
largo con densidad lineal de
carga λ utilizando la Ley de
Gauss
∫∫
r r q
E ⋅ dA =
ε0
Comenzamos suponiendo una
superficie
gaussiana
en
forma de cilindro recto con
un radio r y longitud L. El
eje del cilindro se superpone
al alambre.
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Tema VIII. Electrostática
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Simetría cilíndrica (2)
Por simetría podemos ver que el campo eléctrico, se
extiende radialmente desde el alambre
Cómo?
• Si rotamos el alambre a lo largo de su eje,
el campo eléctrico debería verse igual
• Simetría cilíndrica
• Si imaginamos un alambre muy largo,
El campo eléctrico no puede ser diferente
en un punto si se desliza el alambre, según su eje
Simetría traslacional
Así, nuestra suposición de un cilindro recto como una
superficie gaussiana es perfectamente adecuada para el
cálculo del campo eléctrico usando la ley de Gauss
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Tema VIII. Electrostática
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Simetría cilíndrica (3)
El flujo eléctrico a través de los extremos del cilindro es
cero debido a que el campo eléctrico es siempre paralelo a
los extremos
El campo eléctrico es siempre perpendicular a la pared del
r r
cilindro, de manera que
Φ=
∫∫ E ⋅ dA = EA = E ( 2π rL )
= q / ε0 = λL / ε0
(Gauss)
… y el campo es
λ
2k λ
E=
=
2πε 0 r
r
En cualquier punto de la superficie lateral del cilindro (que
constituye la superficie gaussiana)
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Tema VIII. Electrostática
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Simetría plana (1)
Supongamos que tenemos una hoja infinita no conductora de
carga positiva
σ
La densidad de carga es, en este caso, la carga por unidad de
área, σ
De la simetría, podemos ver que el campo eléctrico será
perpendicular a la superficie de la lámina
17-ene-13
Tema VIII. Electrostática
60
Simetría plana (2)
Para calcular el campo eléctrico usando la ley de
Gauss, se asume una superficie Gaussiana en la
forma de un cilindro recto con sección transversal
A y altura 2r, que corta la superficie cargada con
su eje colocado normal a ella
Debido a que E es perpendicular al plano en todo
punto, el campo eléctrico será paralelo a la pared
lateral del cilindro y perpendicular a las bases del
r r
cilindro.
Φ = ∫∫ E ⋅ dA = EA + EA
Usando la ley de Gauss
= q / ε0 = σ A / ε0
(Gauss)
…así para un plano infinito no conductor
uniformemente con densidad de carga σ es
17-ene-13
Tema VIII. Electrostática
cargado
σ
E=
2ε 0
61
Simetría plana,
plana, Conductor (1)
Sea una placa fina conductora infinita (placa de metal) con
carga positiva
La "densidad de carga", en este caso también es la carga por
unidad de área, σ, pero en ambas superficies;
Hay igual densidad de carga a ambos lados
De la simetría, podemos ver que el campo eléctrico será
perpendicular a la superficie de la lámina
Dentro el campo es nulo.
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Tema VIII. Electrostática
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Simetría plana,
plana, Conductor (2)
Para calcular el campo eléctrico usando la ley de Gauss, se
elige una superficie gaussiana en forma de cilindro recto
con sección transversal A y longitud L, que corta el plano
perpendicularmente
El campo en el interior del conductor es cero
de modo que la base interior del cilindro
no contribuye a la integral
A
Debido a que E es perpendicular al plano en
todo punto, E será paralelo a la superficie
lateral del cilindro y perpendicular a la base
del cilindro que está fuera del conductor.
σA
Usando la ley de Gauss
EA =
σ
… por lo que el campo eléctrico
ε0
E
=
de un plano conductor infinito con densidad
ε0
superficial de carga σ es Tema VIII. Electrostática
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Comparación (1)
Plano infinito de carga
Placa conductora
σ
E=
2ε 0
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σ
E=
ε0
Tema VIII. Electrostática
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Comparación (2)
17-ene-13
Tema VIII. Electrostática
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Simetría esférica:
esférica: capa (1)
Campo eléctrico creado por una
capa esférica cargada
uniformemente .
La carga total es q y el radio rS ,
es la capa grisácea.
Consideramos dos regiones
fuera y dentro y en cada una
definimos una superficie
esférica gaussiana concéntrica
con la que está cargada
• fuera r > rS , gaussiana azul
• dentro r < rS , gaussiana roja
17-ene-13
Tema VIII. Electrostática
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Simetría esférica : capa (2)
Empezamos con la superficie gaussiana fuera de la capa esférica de
carga,
r > rS superficie esférica azul
Con argumentos de simetría, conocemos que E será radial
• Si rotamos la esfera, E no va a cambiar
• Simetría esférica
Aplicando Gauss
Flux =
∫∫
r r
E ⋅ dA = E ( 4π r 2 )
= q / ε0
(Gauss)
… y la magnitud del campo E es
1
q
E=
2
4πε 0 r
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Tema VIII. Electrostática
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Simetría esférica : capa (3)
Consideremos ahora la superficie gaussiana dentro de la
capa esférica cargada
r < rS superficie esférica roja
La carga encerrada es cero, así que
Flux = EA = 0
Y por tanto
E=0
en cualquier punto interior.
Resultado:
E, fuera, es el mismo que si la carga
está en el centro y es puntual
E, dentro, es cero
17-ene-13
Tema VIII. Electrostática
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Simetría esférica : capa (4)
La carga que hay en S1
crea en P un campo E
igual y opuesto al que
crea la carga contenida
en S2.
En el interior de la
corteza el campo E=0
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Tema VIII. Electrostática
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Simetría esférica : esfera (1)
Campo creado por una distribución uniforme de carga
volúmica en una esfera
esfera..
Assume that we have a solid sphere of charge Q with radius
R with constant charge density per unit volume ρ
Consideramos dos regiones fuera y dentro y en cada una
definimos una superficie esférica gaussiana concéntrica con
la esfera cargada
R
• r2 > R
• r1 < R
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(outside)
(inside)
Tema VIII. Electrostática
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Simetría esférica : esfera (2)
Let’s start with a Gaussian surface with r1 < R
Con argumentos de simetría, conocemos que E será radial y
perpendicular a la superficie gaussiana.
La ley de Gauss da
∫∫
 4 3  volume
ρ  π r1 
r r
q
3


2
E ⋅ dA = E ( 4π r1 ) = =
area
ε0
ε0
R
Y E dentro es
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ρ r1
Einside =
3ε 0
Tema VIII. Electrostática
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Simetría esférica : esfera (3)
Einside
ρ r1
=
3ε 0
R
En términos de la carga total Q …
17-ene-13
Einside
Q
r1
=4
3
π
R
3ε 0
3
Einside
Qr1
kQr1
=
= 3
3
4πε 0 R
R
Tema VIII. Electrostática
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Simetría esférica : esfera (4)
Now consider a Gaussian surface with radius r2 > R
Otra vez, con argumentos de simetría, conocemos que E será
radial y perpendicular a la superficie gaussiana.
total charge
La ley de Gauss da
∫∫
4
3
ρ
π
R


r r
Q
area 2
3


E ⋅ dA = E ( 4π r2 ) = =
Y E fuera es
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ε0
Eoutside
ε0
R
kQ
= 2
r2
Tema VIII. Electrostática
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