¡ReDiMenSionaDo De ViGaS

PREDIMENSIONADO DE VIGAS
Introducción
La viga es el elemento estructural utilizado para cubrir espacios, capaz de soportar el peso colocado de
forma perpendicular al elemento y transportarlo lateralmente a lo largo del mismo, mediante la resistencia a las
fuerzas internas de flexión y corte.
En tal sentido el predimensionado de las vigas consiste en determinar las dimensiones necesarias para que
el elemento sea capaz de resistir la flexión y el corte, así como también debe tener dimensiones tales que la flecha
no sea excesiva. Así, el esquema para cumplir con los requisitos de una viga consiste en:
Determinar
las cargas
Cuantificar las
fuerzas de diseño
Predimensionar mediante
criterio de resistencia
Comprobar las
dimensiones por
rigidez
En este orden de ideas, primero se establece la forma en que se obtienen las fuerzas de diseño, luego se
indican los criterios para el predimensionado por resistencia de vigas de madera, acero y concreto armado. A
continuación se indica los principios para obtener las deflexiones en viga y la forma de comprobación en las
vigas con los materiales mencionados. En último lugar se realiza tres ejemplos de predimensionado de vigas.
Fuerzas de diseño
V
M
M
V
Figura 1. Fuerza cortante y momento flector.
Los efectos que producen las cargas sobre una viga son de dos tipos: Fuerza Cortante (V) y Momento
Flector (M). La magnitud de estas fuerzas son variables a lo largo de la longitud de la viga, siendo así el objetivo
principal de determinar la magnitud de la fuerza cortante y el momento flector máximo aplicado en la viga
(Vmax;Mmax). El procedimiento básico para cuantificar las fuerzas de diseño consiste en:
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1.
2.
3.
4.
Aislar el elemento del sistema estructural,
determinar las reacciones por las ecuaciones estáticas o de las condiciones de apoyos,
realizar un corte en la sección donde se desea conocer la magnitud de las fuerzas internas con un
plano perpendicular al eje del elemento,
las fuerzas internas se obtienen de aplicar el equilibrio sobre una de las dos porciones obtenidas por el
corte.
Fuerza cortante
Definición
Para mantener el equilibrio sobre el segmento de la viga en la Figura 1, se debe incluir la fuerza V, que
actúa perpendicular al eje y se denomina fuerza cortante. La fuerza cortante es igual a la suma de todas las
fuerzas verticales que actúan en la porción aislada ubicada en el lado izquierdo.
Por otra parte, se observa que la magnitud de V es variable, ya que, la magnitud depende del punto donde
se realice el corte imaginario. Por lo tanto esta variabilidad es conveniente representarla gráficamente por
diagramas. En el caso de la fuerza cortante, el diagrama se denomina Diagrama de Fuerza Cortante (DFC) el
cual se indica en la Figura 4.
V = ∑ Fvert izq
(1)
Convenio de signos
Dado que el valor de V obtenido por la suma de la porción de la izquierda es igual pero de sentido
contrario a la suma de las fuerzas de la porción de la derecha, para indicar cuando el valor de V es positivo o
negativo, en la figura 2 se señala el convenio empleado según la tendencia que tiene la fuerza sobre el elemento.
(+)
(-)
Figura 2. Convenio de signos de V.
Momento flector
Definición
Así como la fuerza cortante equilibra las fuerzas verticales, también se debe establecer un equilibrio en los
momentos hasta la sección evaluada de las fuerzas aplicadas sobre la viga en el segmento analizado. Este
momento interno se denomina momento flector y la magnitud es igual a la suma de los momentos sobre la
sección de corte, producidos por las fuerzas aplicadas en la porción de la izquierda.
Así como la fuerza cortante, el momento flector es variable y se representa por el Diagrama de Momento
Flector (DMF).
M = ∑ M izq = ∑ Fizq d F sec
(2)
Convenio de signos
El convenio más extendido de momento flector positivo es cuando produce concavidad hacia arriba, tal
como lo indica la figura 3.
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(+)
(-)
Figura 3. Convenio de signos de M.
w
DFC
DMF
Figura 4. Diagrama de fuerza cortante y momento flector de vigas.
Relación de carga fuerza cortante y momento flector
La carga se relaciona con la fuerza cortante y el momento flector, las cuales permiten un método
alternativo para dibujar los diagramas. Las relaciones están indicadas en la Ecuación 3 (Popov, 1996; Singer y
Pytel, 1982).
V2 − V1 = ΔV = areac arg as
M 2 − M 1 = ΔM = areaDFC
dV
dx
dM
V=
dx
w=
(3)
Vigas hiperestáticas
Las vigas que poseen reacciones redundantes o un exceso de restricciones, aumentan el número de
incógnitas sin el consecuente aumento de ecuaciones disponibles de la estática, por ello se denominan vigas
hiperestaticas o vigas estáticamente indeterminadas (véase figura 5). En todos estos problemas son válidas las
ecuaciones de equilibrio estático, ecuaciones necesarias pero no suficientes para resolver los problemas
hiperestáticos. Las ecuaciones complementarias se establecen partiendo de consideraciones de la geometría de la
deformación. En sistemas estructurales, por necesidad física, ciertos elementos o partes deben flexionarse
conjuntamente, torcerse juntos al mismo tiempo, alargarse juntos, etc., o bien, permanecer fijos. Formulando tales
observaciones cuantitativamente se obtienen las ecuaciones adicionales requeridas (Popov, 1996).
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Métodos
Los mismos métodos para determinar la deformación de las vigas son válidos para la resolución de vigas
hiperestáticas, ya que las ecuaciones adicionales para hacer un sistema matemáticamente determinado son
tomadas de la elástica de la viga.
Una forma alternativa de añadir ecuaciones, es considerar como desconocido o hiperestático los momentos
de los apoyos. Una vez determinados estos momentos también llamados momentos de continuidad, el cálculo de
reacciones se hace sencillo. Uno de estos métodos se denomina tres momentos y la otra distribución de momentos
o rigidez (Singer y Pytel, 1982).
Tres Momentos
Para un número cualquiera de tramos, n, es posible escribir n—1 ecuaciones de tal clase. Esto da
suficientes ecuaciones simultáneas para la determinación de momentos redundantes sobre los apoyos. Tal
fórmula de recurrencia se llama ecuación de los tres momentos, debido a los tres momentos desconocidos que
aparecen en ella y se escribe de la siguiente forma:
Número de
reacciones = 4
Número de
reacciones = 5
Número de
reacciones = 6
Número de reacciones =
2 * número de apoyos
Figura 5. Tipos de vigas hiperestáticas
L1
L2
Figura 6. Esquema de viga de tres momentos
M 1 L1 + 2 M 2 (L1 + L2 ) + M 3 L2 +
Donde:
⎛h
h ⎞
6 A1a1 6 A2 b2
+
= 6 EI ⎜⎜ 1 + 3 ⎟⎟
L1
L2
⎝ L1 L2 ⎠
(4)
M1≡ Momento primer apoyo;
M2≡ Momento segundo apoyo;
M3≡Momento tercer apoyo;
6 A1a1
L1
≡ Término de cargas primer tramo;
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6 A2 b2
L2
≡ Término de cargas segundo tramo;
h1≡ Diferencia de altura entre el primer y segundo apoyo;
h2≡ Diferencia de altura entre el segundo y tercer apoyo.
La ecuación de tres momentos fue determinada en la suposición de momentos flectores positivos, según lo
indicado en la Figura 7.
En un problema particular, donde se tienen más de dos tramos. Un número suficiente de ecuaciones
simultáneas para determinar los momentos desconocidos se obtiene imaginando sucesivamente los apoyos de
tramos contiguos (véase Figura 8). De manera similar ocurre cuando se tiene un solo tramo, donde se agregan
tramos con condiciones cero, para adaptarse a la ecuación de tres momentos.
Figura 7. Convenio de signos (Singer y Pytel, 1982, p. 251).
Caso 1
L2
L1
L2
L3
=
L1
+
L2
L3
Caso 2
=
L
L=0
L
Figura 8. Aplicaciones del método de Tres Momentos en otro tipo de vigas
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Predimensionado de vigas por resistencia
El criterio de resistencia se basa en el empleo del concepto de esfuerzo, para el caso de la fuerza cortante
se produce el esfuerzo cortante y el momento flector produce el esfuerzo de flexión.
Esfuerzo de flexión
La relación entre el momento flector y el esfuerzo de flexión se hace mediante la fórmula de la flexión,
señalada en la Ecuación 5.
Esta ecuación indica que el esfuerzo de flexión es proporcional a la distancia al eje neutro, esta relación se
puede observar en la Figura 9. Asimismo, se observa que el esfuerzo es máximo en los bordes superiores e
inferiores de la viga, el valor de y para los bordes coincide con el valor del centroide de la sección por lo que el
esfuerzo es máximo para y=c. De esta manera el esfuerzo máximo se expresa según la Ecuación 6 (Singer y
Pytel, 1982).
σ=
Donde:
My
I
(5)
σ≡ Esfuerzo normal de flexión;
M ≡ Momento flector aplicado en la sección;
y ≡distancia desde el eje neutro;
I ≡ Momento de inercia centroidal.
c
y
Eje neutro
M
CG
Figura 9. Distribución del esfuerzo de flexión.
σ max =
Donde:
Mc
I
M
; si S = tenemos σ max =
I
c
S
(6)
S≡ Módulo de sección.
El módulo de sección es la propiedad geométrica que establece las dimensiones de la viga. Es por ello, que
se determina el módulo de sección necesario para resistir la carga aplicada sobre la viga según la Ecuación7, esta
indica la sección mínima que debe ser empleada para un esfuerzo admisible establecido según el tipo de material
a utilizar.
S req ≥
Donde:
M
σ adm
(7)
Sreq≡ Módulo de sección requerido;
σadm ≡ Esfuerzo de flexión admisible del material.
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Predimensionado por flexión para viga de Madera
Para vigas de maderas se emplea directamente la Ecuación 7, según un análisis elástico y por el método de
los esfuerzos admisibles, cambiando solo σadm por Fb. El valor de Sreq se busca en las tablas que contienen las
dimensiones disponibles de piezas de madera.
Predimensionado por flexión para viga de Acero
Para el predimensionado de vigas de acero se emplea un diseño plástico que examina el comportamiento
en todo el intervalo de carga, desde una carga pequeña hasta una carga que origina el colapso de la viga1.
En la Figura 10 se indica una viga donde se incrementa la carga, se observa en la Figura 10.a, la viga sigue
un esfuerzo lineal según lo señalado anteriormente, en la Figura 10.b, el esfuerzo máximo es igual al de cedencia.
A partir de este momento el diagrama deja de ser lineal2 y la cedencia avanza hasta el eje neutro. El colapso es
cuando toda la sección tiene un esfuerzo de cedencia (véase Figura 10.d).
Figura 10. Esquema de falla para una viga de acero (Segui, 2000, p. 147).
El diseño de una viga de acero se realiza para el punto de colapso y aplicado el criterio de estados límites,
el momento de colapso o momento plástico Mp o Mn será el momento máximo resistente a flexión que debe ser
mayor o igual al momento producido por la carga Mu. Así, la Ecuación 7 para el caso de acero, bajo la condición
de colapso sería como la señala la Ecuación 8 y por lo tanto el tipo de sección a emplear en acero debe tener un
módulo plástico mayor al determinado por la ecuación (Segui, 2000).
Z req ≥
Mu
φb Fy
(8)
1
Se entiende por colapso de una viga de acero, el punto en el cual toda la sección alcanza el esfuerzo de cedencia.
2
Por no poder obtener un esfuerzo mayor al de cedencia según el diagrama elastoplastico perfecto.
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Donde
Zreq≡ Módulo de sección plástico requerido;
Mu≡ Momento mayorado;
øb≡ Factor de resistencia de viga; øb= 0,9;
Fy≡ Esfuerzo de cedencia del acero del perfil.
Predimensionado por flexión para viga de concreto armado
Las vigas solo de concreto no son eficientes para resistir la flexión, ya que el concreto no soporta la
tracción generada por el momento flector, fallando antes de alcanzar la capacidad que tiene en compresión, por lo
tanto se colocan barras de acero en el extremo sometido a tracción con una capa de concreto que protege el acero
del fuego y la corrosión. Para garantizar el comportamiento de la viga hecha de dos materiales (concreto y acero)
se debe impedir el desplazamiento relativo de las barras de acero respecto al concreto.
En la Figura 11 se indica una viga donde se incrementa la carga hasta la falla, en la Figura 11.c la viga
sigue un esfuerzo lineal según lo señalado anteriormente para esfuerzos menores al de rotura del concreto a
tracción, en 11.b. Cuando la carga aumenta, se sobrepasa la resistencia a tracción del concreto y se agrieta, por lo
tanto el esfuerzo de tracción solo es soportado por las barras de acero al desaparecer la contribución de la
resistencia del concreto por debajo de la línea neutra (véase Figura 11.e). Al seguir aumentando la carga
desaparece la relación lineal del esfuerzo y la deformación por lo que se produce la falla (véase Figura 11.f).
Figura 11. Comportamiento de una viga de concreto armado (Nilson, 1999, p.65).
El punto de colapso de una viga puede ser de dos formas, según la cantidad de acero a colocar. Si el acero
es limitado, el acero cede antes del concreto alcanzar la falla por lo que la deformación es alta así como el tamaño
de las grietas siendo visibles; el concreto por lo tanto falla por aplastamiento. Este tipo de falla es gradual y esta
precedido por grietas visibles así como una flecha evidente.
Por otra parte, cuando el acero es empleado en grandes cantidades, no se llega al punto de cedencia del
acero cuando el concreto falla, en consecuencia no se observan grandes grietas ni deflexiones importantes. El
concreto falla por aplastamiento repentino sin ningún tipo de aviso. Debido a la naturaleza súbita de este tipo de
falla, es aconsejable colocar una cantidad de acero limitada para así tener una colapso que pueda ser anticipado y
tomar medidas antes que esto ocurra.
M u ≤ φM n
ρf y
⎛
M n = ρf y ⎜⎜1 − 0,59
f c′
⎝
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⎞ 2
⎟⎟bd ⇒ M n = Ru bd 2
⎠
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(9)
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Donde:
fy ≡ Esfuerzo de cedencia del acero de refuerzo;
fc´ ≡ Resistencia del concreto de compresión a los 28 días;
ø ≡ Factor de minoración de resistencia a flexión, ø=0,9;
b ≡ Ancho de la sección transversal de la viga (véase Figura 11.b);
d ≡ Altura útil de la viga de concreto armado (véase Figura 11.b);
Ru ≡ Resistencia nominal a la flexión de la viga de concreto armado.
Debido a las particularidades3 del comportamiento en los elementos de concreto armado, el
predimensionado es distinto al indicado en la Ecuación 7, principalmente debido a que las dimensiones de una
viga de concreto armado son función de la cuantía de acero (ρ4). El predimensionado se basa en la ecuación
fundamental de los estados límites5, donde los efectos de la carga (Mu) deben ser menores a la capacidad
disminuida de la viga a flexión (øMn).
Al igualar los efectos de la carga con la capacidad a flexión, obtenemos la Ecuación 10 que proporciona
las mínimas dimensiones de una viga de concreto armado capaz de resistir las cargas aplicadas (Nilson, 1999).
M u = φRu bd 2
d=
Mu
(10)
φRu b
El propósito del predimensionado es obtener las dimensiones de la viga para una cuantía de acero (ρ)
predeterminada. A continuación se indican dos metodologías que ambas conducen al mismo resultado.
Método 1 −
Se selecciona una ρ6 apropiada que este entre ρmax y ρmin,
ε cu
−
−
fc′
ε cu + ε y f y
;
2 β = 0,85
′
si f c ≤ 280 kgf/cm
y ε cu = 0,003
−
Multiplicando el numerador y denominador por Es, tenemos:
−
ρ max = γρb
ρb = 0,85β
ρb = 0,852
6300 f c′
,
6300 + f y f y
γ=0,5 zona sísmica,
γ=0,75 zona no sísmica,
14
,
=
fy
−
ρ min
−
Calcular el factor de resistencia a la flexión Ru,
−
Determinar la altura útil d, según: M u = φRu bd
−
Recordar que h = d + 5 y h = 2;4 b
−
Verificar
[ ]
h≥
L
α
ρf ⎞
⎛
Ru = ρf y ⎜⎜1 − 0,59 y ⎟⎟ ,
f c′ ⎠
⎝
2
,
(Nilson y Winter, 1994).
3
Elementos constituidos por dos materiales y las vigas deben fallar para deformaciones mayores a las de la cedencia del acero.
4
La cuantía de acero es la relación del área de acero de la sección (As) con respecto al área neta de la sección (Ag),
5
6
∑γ Q ≤ φR
ρ=
As
Ag
.
i i
n
.
Esta cuantía debe estar cercana al valor máximo.
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Método 2 Seleccionar q=0,20 o q=0,18
(q = ρ f
y
)
f c' ,
Comprobar que el valor seleccionado de q se encuentre dentro del intervalo,
qb = 0,85β
6300
6300 + f y
qmax = γqb
si
qmin ≤ q ≤ qmax ,
f c′ ≤ 280 kgf/cm2,
γ=0,5 zona sísmica,
γ=0,75 zona no sísmica,
qmin = 14 ′
fc ,
Calcular Ju
J u = 1− 0,59q ,
Calcular la resistencia a la flexión Ru,
Determinar la altura útil d, según:
Recordar que h = d
Verificar
h≥L
α
Ru = f c′qJ u ,
M u = φRu bd 2 ,
+ 5 ; h = [2;4]b ,
(Arnal y Epelboim, 1985).
El método 2 es más práctico por la introducción de dos variables q y Ju, aunque estas carecen de sentido
físico son herramientas para facilitar el cálculo y q tiene la ventaja de ser invariable con respecto a la resistencia
del concreto (f´c). La Tabla 1 contiene los valores de la resistencia a flexión minorada øRu según f´c para q=0,20.
Tabla 1.Valores de øRu
f´c (kgf/cm2)
150
200
210
250
280
φRu(kgf/cm2)
23,81
31,75
33,34
39,69
44,45
P
Figura 12. Comparación entre viga formada por capas y viga maciza.
Esfuerzo cortante
Al hacer una viga formada por varias capas, se observa que cada capa se desliza con respecto a las
contiguas, siendo la viga menos resistente que el caso de una viga maciza, porque la viga de la derecha posee
mayor deflexión ante la misma carga que la viga de la izquierda (véase Figura 12). Esto se debe a que para
compensar la resultante del esfuerzo de flexión se genera un esfuerzo cortante, solo es posible que se genere en
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las vigas macizas, por lo que en las vigas de capas, al no poder formarse el esfuerzo de corte se deslizan las
capas.
Para determinar el esfuerzo cortante se observa que es función de la fuerza cortante vertical, la razón de
ello es que para conservar el equilibrio y la sección no tener una distorsión angular, se debe acompañar a un par
de fuerzas horizontales un par de fuerzas verticales, esto se nota al realizar el equilibrio sobre un elemento
diferencial de la viga. El esfuerzo cortante es máximo por lo general en el eje neutro, contrario a lo ocurrido por
flexión (véase Figura 13).
CG
c
V
Eje neutro
y
d
Ay
b
CG
Figura 13. Distribución del esfuerzo cortante.
τ=
Donde:
VQ
bI
(11a)
τ≡ Esfuerzo cortante;
V ≡ Fuerza cortante;
Q ≡ momento de primer orden; Q=Ay d;
b ≡ ancho de la sección a una altura y;
I ≡ Momento de inercia;
Corte en vigas de madera
Para piezas de madera de sección rectangular se cumple que al sustituir los valores correspondientes a
sección rectangular en los valores de Q y I, tenemos en el centroide de la sección:
τ max
Donde:
h2
8 ⇒τ = 3 V ≤ F
=
max
v
bh3
2 bh
b
12
Vb
(11b)
τmax≡ Esfuerzo cortante máximo;
Fv ≡ Esfuerzo cortante admisible;
Corte en vigas de acero
Los perfiles de acero poseen gran resistencia al corte, por lo que el corte en los perfiles consiste solo en
comprobar que le perfil calculado sea capaz de resistir el corte.
Vu ≤ φVn ; Vn = 0,6 Fy Cv Aw
Donde:
(12)
Vu≡ Corte aplicado sobre el perfil;
Vn≡ Corte resistente del perfil;
Aw≡Area del alma del perfil, Aw=htw;
ø≡ Factor de minoración de resistencia para vigas, ø=0,9;
Cv≡coeficiente de corte según la proporción del alma.
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h
≤ 69,6 ⇒ Cv = 1
tw
69,6 <
86,9 <
Donde:
h
69,6
≤ 86,9 ⇒ Cv =
h
tw
tw
(13)véase nota 7
h
6199
⇒ Cv =
2
tw
⎛h ⎞
⎜ t ⎟
⎝ w⎠
h≡Altura del perfil;
tw≡espesor del alma del perfil.
Corte en viga de concreto armado
La resistencia de las vigas de concreto armado es producida por la suma de la resistencia al corte del
concreto más la resistencia al corte del acero, el acero resistente al corte se proporciona mediante estribos que
amarran las barras longitudinales y cubre el perímetro del núcleo de la sección8, de manera que el concreto en la
parte exterior del estribo es solo de recubrimiento, además las especificaciones establecen la separación
longitudinal de los estribos (s).
s
Figura 14. Esquema de un estribo en la sección transversal y sección longitudinal.
Partiendo de la filosofía de diseño de la norma, se establece la separación de los estribos según la fuerza
cortante aplicada y el corte resistente del concreto.
Vu ≤ φVn ; Vn = vc + vs ; vc = 0,53 f c′bd ; vs =
Donde:
Av f y d
s
(14)
Vu≡ Corte aplicado en la sección;
Vn≡ Corte resistente de la viga;
ø ≡ Factor de minoración de resistencia al corte, ø= 0,75;
vc≡ Corte resistente del concreto;
vs≡ Corte resistente del acero;
Av≡ Area de acero de los estribos;
s ≡ Separación de los estribos.
Predimensionado de vigas por rigidez
Adicionalmente al diseño de vigas por resistencia, se debe determinar la deflexión máxima de una viga
bajo una carga dada, ya que las especificaciones de diseño incluyen un valor máximo admisible para la deflexión
y en algunos casos el diseño de la viga queda determinado más por rigidez que por resistencia.
7
Ecuación válida para acero tipo PS-25.
8
Se denomina “núcleo de sección” a la porción de concreto encerrada por el estribo.
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P otra parte,, el estudio de rigidez de vigga es importannte porque los pisos en un edificio no se pueden
Por
p
flexionaar excesivameente, ya que tiiene un efectoo psicológico en los ocupanntes además se debe minim
mizar o
impedirr el deterioro de
d los materialees frágiles del acabado.
a
Asim
mismo el estudioo de las deform
maciones en lass vigas
provee ecuaciones adicionales, estas
e
con las de equilibriio permiten resolver
r
las vigas estáticaamente
indeterm
minadas o hipeerestáticas.
E la figura 15 se indica la deflexión o flecha
En
fl
por la variable y(x); esta
e constituye la distancia entre la
posiciónn original de la
l viga y la posición que adqquiere después de aplicar lass cargas. La peendiente de unaa recta
tangentte a la posición
n deformada o elástica de la viga,
v
está definnida por el valoor de θ(x) y reppresenta el ánggulo de
la rectaa tangente con respecto a la posición
p
originnal. Es importaante señalar quue las deflexionnes determinaddas por
estas suuposiciones se limitan a defleexiones que sonn pequeñas en relación con laa longitud del claro,
c
por ello se
s dice
que tannθ ≈ θ(x) en rad
dianes.
Figura 15. Variables que intervienen en la deformación
d
de una viga (Beer y Johnston,
J
1993, p. 480).
Métod
dos para determinar
d
la deformación en vigas
v
S utilizan varrios métodos paara determinarr la deformacióón en vigas(dobble integraciónn, superposiciónn, área
Se
de mom
mentos, viga conjugada,
c
riggidez directa, elementos
e
finiitos etc…), toddos están basaados en los mismos
m
principiios pero difiereen en su técnica y objetivos.
Sup
perposición
C
Como
método alternativo parra la evaluacióón de pendientees y ordenadas de la elástica se
s pueden utilizar los
resultaddos de algunos tipos sencilloss de cargas, paara obtener por suma de efecttos, las soluciones corresponddientes
a cargaas más compliccadas. Este proocedimiento llaamado superpoosición, determ
mina la pendiennte y deflexiónn en un
punto mediante
m
la su
uma de las penndientes o defllexiones produucidas en ese mismo
m
punto, por cada una de las
cargas cuando
c
actúan por separado (Singer
(
y Pytell, 1982).
Diseñ
ño por rigid
dez en viga
as de madera
L deflexión en
La
e vigas de madera
m
tiende a ser el factor más crítico, como
c
valor addmisible de fleecha se
tiene
para la carga
c
de serviccio y
para carga viiva. Para el cáálculo de la fllecha se obtienne por
superpoosición la exprresión de flecha máxima conn los valores deel módulo de elasticidad
e
segúún el tipo de madera
m
que se está
e utilizando y el momento de inercia de la
l pieza de maddera (Ambrosee, 1998).
Diseñ
ño por rigid
dez en viga
as de acerro
P
Para
las estruccturas de acero, la deflexión es
e un estado lím
mite de serviciio, no de resisttencia, por lo que
q las
deflexioones deben sieempre calcularsse con cargas de
d servicio9.Paara el cálculo de
d la flecha se emplea
e
el móddulo de
elasticiddad del acero y el momento de inercia del perfil, la flechha máxima se compara
c
con loos valores adm
misibles
para esttructuras de acero (Segui, 20000)
9
Cargas sin ser maayoradas.
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S
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M
Diseño por rigidez en vigas de concreto armado
Para las vigas de concreto armado no es necesario determinar la flecha si se trata de elementos cuya
deformación no perjudique a elementos no estructurales, siempre y cuando se halla chequeado que h ≥ L α ;
donde los valores de α se indican en la Tabla 2. En caso de emplear valores de h menores a lo indicado en la
fórmula, se debe calcular la flecha para carga variable y comparar con la flecha admisible, el valor de I a emplear
en el cálculo de flecha se obtiene al aplicar la Ecuación 15 ya que el momento de inercia es un valor que oscila
entre el correspondiente a la sección completa y el de la sección completamente agrietada (González y Robles,
1997).
Tabla 2. Valores de α.
Tipo de apoyo
α
Simplemente apoyada
16
1 extremo continuo
18,5
2 extremos continuos
21
Volado
8
3
⎡ ⎛ M ag ⎞3 ⎤
⎛ M ag ⎞
⎟⎟ I g + ⎢1 − ⎜⎜
⎟⎟ ⎥ I ag ≤ I g
I e = ⎜⎜
⎢⎣ ⎝ M max ⎠ ⎥⎦
⎝ M max ⎠
M ag =
Donde:
2 f c′I g
yt
Mag≡ Momento de agrietamiento;
Mmax≡ Momento máximo bajo cargas variable;
Ie≡ Momento de inercia efectivo ;
Ig≡ Momento de inercia de la sección completa;
Iag≡ Momento de inercia de la sección agrietada transformada.
Para vigas con ambos extremos continuos
I e = 0,7 I c + 0,15(I e1 + I e 2 )
I
Para vigas con un extremo continuo e
Donde:
(15)
= 0,85 I c + 0,15 I ex
(16a)
(16b)
Ic≡ Momento de inercia efectivo de la parte central;
Ie1 , Ie2, Iex≡ Momento de inercia efectivo en los extremos.
Ejemplos
Predimensionar la viga de la figura, en los diferentes materiales, para las condiciones de carga indicadas
W
6m
wcp= 540 kgf/m; wcv= 360 kgf/m
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El predimensionado consiste en establecer las cargas, determinar las fuerzas de diseño, predimensionar la
viga por resistencia y comprobar las dimensiones por rigidez. Este procedimiento se realiza para viga de madera,
acero y concreto armado
Carga 540
La carga de servicio es
1,6
900 1,4
La carga mayorada es la mayor de
1,2
360
1,2 540
1,4 540
1,6 360
756 y
1224 Carga mayorada es wu= 1224 kgf/m
Predimensionado de viga de madera
La madera Tipo A tiene las siguiente propiedades: Eprom= 130000 kg/cm²; Fb= 210 kg/cm²; Fv= 15 kg/cm²
Fuerzas de diseño La fuerza cortante Vmax y el momento flector Mmax se obtiene por tablas, las expresiones son:
900 6
2
2
2700 900 6
8
8
4050 Predimensionado de viga Según la Ecuación 7, tenemos
1928,57 , de la tabla de
vigas de Materiales Andinos tenemos que la pieza de 14x29 cm tiene una valor de S= 1962,3 cm3; por lo tanto
cumple.
15 El perfil se chequea por corte según la Ecuación 11b
9,98 15 ok. La pieza si cumple por corte.
Comprobación por rigidez Por superposición la expresión de la flecha máxima para este tipo de viga es
Sustituyendo en la expresión tenemos:
2,5
,
Por lo tanto se requiere una sección que tenga un I de
,
4,11
2,5 no cumple por rigidez.
46730,8 .
Al emplear 2 piezas 14x29 (debido a que no existe piezas de mayor tamaño) tenemos I=56907,6 cm4>
46730,8 cm4, cumple con la condición de rigidez y 2 piezas cumplen también las condiciones de resistencia
anteriores, por lo que no es necesario que se compruebe.
Predimensionado de viga de acero
Fuerzas de diseño La fuerza cortante Vmax y el momento flector Mmax se obtiene por tablas, las expresiones son:
1224 6
2
2
8
1224 6
8
3672 5508 Predimensionado de viga Facultad de Arquitectura y Diseño
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Según la Ecuación 8, tenemos
,
244,8 , de la tabla de
perfiles SIDOR el perfil IPN 200 tiene una valor de Z= 247 cm3; por lo tanto cumple.
El perfil se chequea por corte según la Ecuación 12, pero se establece el valor de Cv ´de acuerdo a la
Ecuación 13
26,7 69,1
1
,
0,6
2700
20250 2700
0,9 0,6 2500 1 20 0,75
, cumple por corte.
Comprobación por rigidez Por superposición la expresión de la flecha máxima para este tipo de viga es
,
Sustituyendo en la expresión tenemos:
1,7
,
1,4
1,7 cumple por rigidez.
y
4200 Predimensionado de viga de concreto armado
La viga de concreto armado tiene las siguientes propiedades
210 Fuerzas de diseño La fuerza cortante Vmax y el momento flector Mmax se obtiene por tablas y los valores son los mismo para
acero Vu= 3672 kgf y Mu= 5508 kgf*m.
Predimensionado de viga 33,34 Según el método 2, tenemos
b= 20 cm tenemos que
,
de la Tabla 1 y aplicando la Ecuación 10
28,7 ;y
5
28,7
5
; si
33,7 , se
redondea al múltiplo de 5 superior, por lo tanto h= 35cm.
Dado que la resistencia de las vigas de concreto armado al corte depende de las dimensiones de la viga y
de la separación de los estribos. En caso de las dimensiones no cumplir con el corte, la contribución de los
estribos cubre la diferencia, por lo que ameritaría determinar la separación de los estribos, cálculo que va más allá
del objetivo que consiste en estimar las dimensiones de la viga para el diseño arquitectónico.
Comprobación por rigidez ; el valor de α se obtiene de la Tabla 2 (α= 16) por ser la viga simplemente
Se verifica que
apoyada. 35 600 16 35 37,5 no cumple, por lo que se aumenta h= 40 cm para no determinar la flecha,
dado que la altura cumple por resistencia, la dimensión final de la viga es 20x40 cm.
Referencias
−
Ambrose, J. (1998). Estructuras. México D.F., México: Editorial LIMUSA, S.A. de C.V.
−
Beer, F. y Johnston, E. (1993). Mecánica de Materiales. Santafé de Bogotá, Colombia: McGraw-Hill
InteramericanamS.A.
−
González, O. y Robles, F. (1997). Aspectos Fundamentales del Concreto Reforzado. México D.F., México:
Editorial LIMUSA, S.A. de C.V.
−
Nilson, A. (1999). Diseño de estructuras de concreto. Santafé de Bogotá, Colombia: McGraw-Hill
Interamericana, S.A.
−
Popov, E. (1996). Introducción a la mecánica de sólidos. México D.F., México: Editorial LIMUSA, S.A. de
C.V.
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−
Segui, W. (2000). Diseño de estructuras de acero con LRFD. México D.F., México: Internacional Thomson
Editores, S.A. de C.V.
−
Singer, F. y Pytel, A. (1982). Resistencia de materiales. México D.F., México: Editorial Harla, S.A. de C.V.
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