Aplicaciones lineales

149 – Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal
Capı́tulo 10
Aplicaciones lineales
10.1
Definición. Núcleo e imagen
Definición 291.- Sea f : V −→ W una aplicación entre los espacios vectoriales reales V y W . Se dice que f
es una aplicación lineal si:
(1)
f (u + v) = f (u) + f (v); ∀ u, v ∈ V,
(2)
f (ku) = kf (u); ∀ u ∈ V y ∀ k ∈ R.
Estas dos propiedades se pueden reunir en:
f (ku + lv) = kf (u) + lf (v);
∀ u, v ∈ V, ∀ k, l ∈ R.
y, en general, se tiene:
f (k1 u + k2 u + · · · + kr ur ) = k1 f (u ) + k2 f (u ) + · · · + kr f (ur )
∀ ui ∈ V,
∀ ki ∈ R
Si V = W la aplicación lineal también se dice que es un operador lineal.
Ejemplos 292 Las siguientes aplicaciones son aplicaciones lineales
1.- f : V −→ V definida por f (v) = 2v :
f (λv + µw) = 2(λv + µw) = λ2v + µ2w = λf (v) + µf (w)
2.- Dada A =
0 −1 1
1 0 −1
, la aplicación f : R3 −→ R2 con f (x) = Ax =
0 1 1
1 0 −1


x1
 x2  :
x3
f (λx + µy) = A(λx + µy) = A(λx) + A(µy) = λAx + µAy = λf (x) + µf (y)
Proposición 293.- Si f : V −→ W es una aplicación lineal, entonces:
a) f () = ;
b) f (−v) = −f (v);
4
∀v ∈ V
Definición 294.- Dada una aplicación lineal f : V −→ W , se define el núcleo o ker(nel) de f , que se denota
por ker(f ) ó ker f , como el conjunto:
ker f = {v ∈ V : f (v) = }
y se define la imagen de f , que se denota por Img(f ) ó Img f (a veces f (V ) ), como el conjunto
Img f = {w ∈ W : ∃v ∈ V tal que w = f (v)}
El ker f es un subespacio vectorial de V y la Img f es subespacio vectorial de W (ver ejercicio 10.260).
Definición 295.- Si f : V −→ W es una aplicación lineal, entonces la dimensión del núcleo se denomina la
nulidad de f y la dimensión de la imagen de f se denomina el rango de f .
Proposición 296.- Sea f : V −→ W es una aplicación lineal y B = {v , v , . . . , vn } una base de V , entonces
Img f = lin{f (v ), f (v ), . . . , f (vn )}
Demostración:
En efecto, todo v ∈ V puede escribirse como v = k1 v + k2 v + · · · + kn vn , luego
f (v) = f (k1 v + k2 v + · · · + kn vn ) = k1 f (v ) + k2 f (v ) + · · · + kn f (vn )
En consecuencia, si w ∈ Img f , w = f (v) = k1 f (v ) + k2 f (v ) + · · · + kn f (vn ) , para algún v .
Prof: José Antonio Abia Vian
Grado de Ing. en Diseño Industrial y Desarrollo de producto : Curso 2016–2017
150 – Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal
10.2 Matrices de una aplicación lineal
Ejemplo Tomemos el ejemplo 2) de los Ejemplos 292 anteriores:
ker f = {x ∈ R3 : f (x) = } = {x ∈ R3 : Ax = }
luego son las soluciones del sitema de ecuaciones lineales AX = 0 . Como son los vectores de la forma (z, −z, z) ,
para cualquier valor de z ∈ R , se tiene que ker f = {(z, −z, z) ∈ R3 : z ∈ R} = lin{(1, −1, 1)}.
Para la imagen: tomemos en R3 la base canónica, entonces
Img f = lin{f (e ), f (e ), f (e )} = lin{Ae , Ae , Ae } = lin{(0, 1), (−1, 0), (1, −1)} = lin{(0, 1), (−1, 0)} = R2
pues (1, −1) = (−1)(0, 1) + (−1)(−1, 0) . Se tiene además, que dim(ker f ) = 1 y dim(Img f ) = 2 .
4
No por casualidad, sucede que
dim(ker f ) + dim(Img f ) = 1 + 2 = 3 = dim R3 :
Teorema de la dimensión 297.- Si f : V −→ W es una aplicación lineal entre espacios vectoriales,
dim V = dim(ker f ) + dim(Img f )
Demostración:
Si la dim(ker f ) = n = dim V , entonces ker f = V , y f (v) =  ∀ v ∈ V , luego Img f = {} que tiene dimensión
cero, por lo que se cumple
dim(ker f ) + dim(Img f ) = dim V
(n + 0 = n)
Si la dim(ker f ) = r < n , tomemos Bker = {u , . . . , ur } una base del ker f ⊆ V que podemos completar con
n − r vectores hasta una base de V , BV = {u , . . . , ur , vr+ , . . . , vn } , y el conjunto imagen será por tanto
n
o
Img f = lin f (u ), . . . , f (ur ), f (vr+ ), . . . , f (vn )
n
o
n
o
= lin , . . . , , f (vr+ ), . . . , f (vn ) = lin f (vr+ ), . . . , f (vn )
Si probamos que el conjunto formado por esos n − r vectores es linealmente independiente, será una base de la
Img f y habremos probado que
dim(ker f ) + dim(Img f ) = dim V
( r + n−r = n )
como querı́amos. Veamoslo: por ser f una aplicación lineal,
λr+1 f (vr+ ) + · · · + λn f (vn ) =  ⇐⇒ f (λr+1 vr+ + · · · + λn vn ) =  ⇐⇒ λr+1 vr+ + · · · + λn vn ∈ ker f
luego en la base Bker se expresa con λr+1 vr+1 + · · · + λn vn = µ1 u + · · · + µr ur , para ciertos µi . Luego
−µ1 u − · · · − µr ur + λr+1 vr+1 + · · · + λn vn = 
y −µ1 = · · · = −µr = λr+1 = · · · = λn = 0 por formar esos vectores una base de V . En particular, con
λr+1 = · · · = λn = 0 se prueba que el conjunto {f (vr+1 ), . . . , f (vn )} es un conjunto linealmente independiente
de vectores, que por ser también generador de la Img f es una base de ella.
10.2
Matrices de una aplicación lineal
Teorema 298.- Sean V y W espacios vectoriales con dim V = n y dim W = m , y sea f : V −→ W , una
aplicación lineal. Si B1 = {v , v , . . . , vn } es una base de V y B2 = {w , w , . . . , wm } una base de W ,
entonces la matriz
[f
(v
)]
[f
(v
)]
·
·
·
[f
(v
)]
Am×n =
 B2
 B2
n B2
es la única matriz que verifica que [f (v)]B2 = A[v]B1 , para cada v ∈ V .
Demostración:
Todo v ∈ V se escribe de forma única como una combinación lineal de los vectores de la base,
k1 v + k2 v + · · · + kn vn , luego su imagen f (v) = k1 f (v ) + k2 f (v ) + · · · + kn f (vn ) .
Como los vectores f (v ) , f (v ) , . . . , f (vn ) son de W , sean sus coordenadas en la base B2 :



f (v )
= (a11 , a21 , . . . , am1 )


f (v ) = a11 w + a21 w + · · · + am1 wm
B2




 f (v )

= (a12 , a22 , . . . , am2 )
f (v ) = a12 w + a22 w + · · · + am2 wm

⇐⇒
B2
·····················






· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

f
(v
)
=
a

n
1n w + a2n w + · · · + amn wm
 f (vn )
= (a1n , a2n , . . . , amn )
v =
B2
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151 – Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal
10.2 Matrices de una aplicación lineal
Entonces, sustituyendo en f (v) , se tiene
f (v) = k1 (a11 w + a21 w + · · · + am1 wm ) + k2 (a12 w + a22 w + · · · + am2 wm )
+ · · · · · · · · · · · · · · · · · · + kn (a1n w + a2n w + · · · + amn wm )
= (k1 a11 + k2 a12 + · · · + kn a1n )w + (k1 a21 + k2 a22 + · · · + kn a2n )w
+ · · · · · · · · · · · · · · · · · · + (k1 am1 + k2 am2 + · · · + kn amn )wm
por tanto, las coordenadas de f (v) en la base B2 son
  a
11 a12
k1 a11 + k2 a12 + · · · + kn a1n
a
 k1 a21 + k2 a22 + · · · + kn a2n  
21 a22
=
=

..

  ..
···············
.
.
k1 am1 + k2 am2 + · · · + kn amn
am1 am2

[f (v)]B2
· · · a1n
· · · a2n
.
· · · ..
· · · amn





k1
k2
..
.



 = A[v]B1

kn
y A, tiene por columnas las coordenadas en la base B2 de las imágenes de los vectores de la base B1 .
Definición 299.- Sean B1 una base de V , B2 base de W y f : V −→ W una aplicación lineal. A la única
matriz A, tal que [f (v)]B2 = A[v]B1 , para cada v ∈ V , se le llama matriz de f respecto de las bases B1
y B2 .
Si f : V −→ V es un operador lineal y consideramos que tenemos la misma base B en el espacio de partida
y en el de llegada, entonces se habla de matriz de f respecto de la base B .
Ejemplo Sea f : R2 [X] −→ R1 [X] dada por f (P (X)) = P 0 (X) . Sean B1 = {1, X, X2 } y B2 = {1, X} bases
respectivas de R2 [X] y R1 [X] . Entonces, comof (1) = 0, f (X) = 1 y f (X2 ) = 2X se tiene que
0 1 0
es la matriz de f asociada a B1 y B2 .
A = [f (1)]B2 [f (X)]B2 [f (X2 )]B2 =
0 0 2
En efecto
 
a
b
0
1
0
2
2


b
=
= [b + 2cX]B2
f (a + bX + cX ) = b + 2cX y A[a + bX + cX ]B1 =
4
2c
0 0 2
c
Observación 300.- Si f : V −→ W es una aplicación lineal y A la matriz de f respecto de B1 y B2 , entonces
n
o n
o n
o
ker f = v ∈ V : f (v) =  = v ∈ V : [f (v)]B2 = []B2 = v ∈ V : A[v]B1 = 
luego las coordenadas en la base B1 de los vectores del ker f son las soluciones del sistema homogéneo Ax = .
n
o
n
o
w ∈ Img f = lin f (v ), f (v ), . . . , f (vn ) ⇐⇒ [w]B2 ∈ lin [f (v )]B2 , [f (v )]B2 , . . . , [f (vn )]B2
luego el espacio de las columnas de la matriz A, Ec (A) , está compuesto por las coordenadas en la base B2 de
los vectores de la Img f . En consecuencia, dim(Img f ) = dim Ec (A) = rg(A) .
Ejemplo
Sean B

1 = {v , v , v } base de V , B2 = {w , w , w } base de W , f : V −→ W aplicación lineal
1 0 1
y A =  −1 1 1  la matriz de f asociada a B1 y B2 . Encontrar una base de ker f y otra de Img f .
1 1 3
Como A[v]B1 = [f (v)]B2 , v ∈ ker f ⇐⇒ A[v ]B1 = 0 , luego resolviendo el sistema AX = 0 :







 


1 0 1
1 0 1
1 0 1
x
−1
 x = −z
A =  −1 1 1  −→  0 1 2  −→  0 1 2  =⇒ y = −2z =⇒ [v ]B1 =  y  = z  −2 

1 1 3
0 1 2
0 0 0
z=z
z
1
el vector (−1, −2, 1) genera las coordenadas en B1 de los vectores del ker f . Luego ker f = lin{−v −2v +v } .
Además, dim(ker f ) = 1 luego dim(Img f ) = 3 − 1 = 2 = rg(A) . Y una base de la imagen se obtendrá de
una base del espacio de las columnas de A (para operar sobre las columnas de A , operamos es las filas de At ):

t 





1 0 1
1 −1 1
1 −1 1
1 −1 1
At =  −1 1 1  =  0 1 1  −→  0 1 1  −→  0 1 1 
1 1 3
1 1 3
0 2 2
0 0 0
luego los vectores (1, −1, 1) y (0, 1, 1) generan las coordenadas en la base B2 de los vectores de la Img f . En
consecuencia, Img f = lin{w −w +w , w +w } .
4
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152 – Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal
10.2 Matrices de una aplicación lineal
Observación 301.- Pueden obtenerse de una sola vez una base para ker(f ) y otra para la Img(f ) . Basta para
ello, tener en cuenta que las operaciones elementales realizadas sobre las columnas de la matriz, son operaciones
sobre los vectores imagen.


1 2 −1 1 0 1
 −1 1 −2 2 1 0 

Ejemplo Sea A = 
 2 −1 −1 −1 1 −1  la matriz de la aplicación f : V −→ W , referida a las
1 6 −9 7 4 0
bases B1 = {v , v , v , v , v , v } y B2 = {w , w , w , w } . Para obtener una base de la imagen, hacemos
operaciones elementales en las filas de At (en las columnas de A):






1 −1 2 1 : C1
1 −1 2 1 : C1
1 −1 2 1 : C1
1 
 0 1 −3 0 : C6 −C1 

 2 1 −1 6 : C2  FF23−2F
+F1


 0 3 −5 4 : C2 − 2C1 

 F4 −F
1





F
−F
1 −8 : C3 +C1 
0
−3
1
−8
:
C
+
C
−1
−2
−1
−9
:
C
F
↔F
6  0 −3
6
1 
3
1  2
3 
t


A = 
 −→  0 3 −3 6 : C4 − C1  −→  0 3 −3 6 : C4 −C1 




 1 2 −1 7 : C4 
 0 1 1 4 : C5

 0 1 1 4 : C5

 0 1 1 4 : C5 
0 3 −5 4 : C2 −2C1
0 1 −3 0 : C6 − C1
1 0 −1 1 : C6




1 −1 2 1 : C1
1 −1 2 1 : C1
F3 +3F2

 0 1 −3 0 : C6 − C1

 0 1 −3 0 : C6 − C1
F4 −3F2




F5 −F2



F6 −3F2  0
0
0
4
4
:
C
−
C
+
C
0
−8
−8
:
C
+
C
+
3(C
−
C
)
F
↔F
3
5 
5
6
1
3
1
6
1



−→ 
−→ 


0
0
6
6
:
C
+
2C
−
3C
0
0
6
6
:
C
−
C
−
3(C
−
C
)
4
1
6 
4
1
6
1



 0 0 −8 −8 : C3 − 2C1 + 3C6 

 0 0 4 4 : C5 − (C6 − C1 )
0 0 4 4 : C2 + C1 − 3C6
0 0 4 4 : C2 − 2C1 − 3(C6 − C1 )


1 −1 2 1 : C1

F4 − 3 F3  0
1 −3 0 : C6 − C1
2

F5 +2F3 
 0 0 4 4 : C5 − C6 + C1

F6 −F3


−→ 
3
3
1

C
−
C
−
C
0
0
0
0
:
C
+
4
2 1
2 6
2 5 

 0 0 0 0 : C3 + C6 + 2C5

0 0 0 0 : C2 − 2C6 − C5
La matriz final es escalonada, luego las tres primeras filas son linealmente independientes, pero éstas en realidad
son: C1 = [f
 )]B2 = [f (v − v )]B2 y C5 − C6 + C1 = [f (v − v + v )]B2 .
n(v )]B2 , C6 − C1 = [f (v )]B2 − [f (vo
Por lo que f (v ), f (v − v ), f (v − v + v ) es base de Img(f ) ( rg(A) = dim(Img f ) = 3 ).
Las tres filas restantes de la matriz son cero, en realidad:
 = C4 + 12 C1 − 23 C6 − 32 C5 = [f (v +  v −  v −  v )]B2
 = C3 + C6 + 2C5 = [f (v + v + v )]B2
 = C2 − 2C6 − C5 = [f (v − v − v )]B2
luego los vectores v +  v −  v −  v , v +v +v y v −v −v son vectores de ker(f ) . Como son
linealmente independientes (ver justificación en Anexo 12.3, pág 178) y dim(ker f ) = 6 − dim(Img f ) = 3 ,
forman una base del ker(f ) .
Definición 302.- Si f : Rn −→ Rm es una aplicación lineal, a la matriz de f asociada a las bases canónicas de
Rn y Rm , se le llama la matriz estándar.
Definición 303.- Para cada matriz Am×n , la aplicación f : Rn −→ Rm definida por f (x) = Ax es lineal y A
es la matriz estándar de f . Se dice que f es una aplicación matricial.
10.2.1
Composición de aplicaciones lineales
Aplicación y función tienen el mismo significado (aunque esta última denominación es la que suele usarse en los
temas de Cálculo) por lo que la definición siguiente no debe plantear sorpresas:
Definición 304.- Sean f : V −→ W y g: W −→ U aplicaciones lineales. Llamaremos aplicación compuesta
de f y g , a la aplicación g ◦ f : V −→ U definida por
(g ◦ f )(v) = g(f (v)),
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∀ v ∈ V.
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153 – Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal
10.3 Teorema de Semejanza
Proposición 305.- Sean f : V −→ W y g: W −→ U aplicaciones lineales, con dim V = n , dim W = m y
dim U = p , y sean B1 , B2 y B3 bases de V , W y U , respectivamente. Entonces:
a) g ◦ f es una aplicación lineal.
b) Si Am×n es la matriz asociada a f respecto de las bases B1 y B2 , y Cp×m es la matriz asociada a g
respecto de B2 y B3 , entonces CAp×n es la matriz asociada a g ◦ f respecto de las bases B1 y B3 .
Demostración:
a) (g ◦ f )(λu + µv) = g(f (λu + µv)) = g(λf (u) + µf (v)) = λg(f (u)) + µg(f (v))
= λ(g ◦ f )(u) + µ(g ◦ f )(v).
b) Teniendo en cuenta que [g(w)]B3 = C[w]B2 y [f (v)]B2 = A[v]B1 ,
[(g ◦ f )(v)]B3 = [g(f (v))]B3 = C[f (v)]B2 = CA[v]B1 ;
10.3
∀ v ∈ V.
Teorema de Semejanza
Proposición 306.- Sea f : V −→ W una aplicación lineal entre espacios vectoriales, B1 y B1∗ dos bases de V
y B2 y B2∗ dos bases de W . Si A1 es la matriz de f asociada a las bases B1 y B2 , P la matriz de cambio
de base la base B1∗ a la base B1 y Q la matriz de cambio de base de B2 a B2∗ ; entonces la matriz, A∗ , de f
asociada a las bases B1∗ y B2∗ viene dada por
A∗ = QAP
Demostración:
QAP [v]B1∗ = QA[v]B1 = Q[f (v)]B2 = [f (v)]B2∗ = A∗ [v]B2∗ ,
∀v ∈ V .
Luego A∗ = QAP .
Teorema de semejanza 307.- Sean f : V −→ V , un operador lineal, A1 la matriz de f respecto de una base
B1 de V , A2 la matriz de f respecto de otra base B2 y P la matriz de paso de B2 a B1 . Entonces
A2 = P −1 A1 P
Observación: Una manera de recordar bien este proceso es tener en cuenta los diagramas siguientes, donde la
obtención de las nuevas matrices se reduce a la búsqueda de caminos alternativos:
V
f
V
−→ W
A
A
∗
A = QAP
P
B1 −→ B2
↑
|
|
↓
A∗
B1∗ −→ B2∗
f
−→ V
Q
P
1
B1 −→
B1
↑
|
|
↓
P −1
A2 = P −1 A1 P
A
2
B2 −→
B2
No hay que olvidar, que las matrices se operan en orden inverso (las matrices multiplican a los vectores por la
izquierda, sucesivamente). Obviamente, el Teorema de Semejanza es un caso particular de la Proposición 306.
Definición 308.- Dadas dos matrices A y B de orden n , se dice que A y B son semejantes si existe una
matriz P inversible tal que B = P −1 AP .
Corolario 309.- Dos matrices A y B son semejantes si y sólo si representan al mismo operador lineal respecto
a dos bases.
Corolario 310.- Si A y B son matrices semejantes, entonces tienen el mismo rango.
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154 – Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal
10.4
10.4 Ejercicios
Ejercicios
10.259 Determinar si las siguientes aplicaciones son o no lineales:
√ √
a) f : R2 −→ R2 definida por f (x, y) = ( 3 x, 3 y)
b) f : R3 −→ R2 definida por f (x, y, z) = (2x + y, 3y − 4z) .
a b
c) f : M2×2 −→ R definida por f
= a2 + b2 .
c d
a b
4
d) f : M2×2 −→ R definida por f
= (a − b, b − c, c − d, d − a) .
c d
e) f : R2 [X] −→ R3 [X] definida por f (p(X)) = (X − 1) · p(X) .
f) Si w ∈ V − {} , sea f : V −→ V definida por f (v) = v + w .
Z X
g) f : R4 [X] −→ R5 [X] definida por f (p(X)) =
p(t) dt .
0
10.260 Sea f : V −→ W una aplicación lineal.
a) Probar que ker f es un subespacio de V
b) Probar que Img f es un subespacio de W
10.261 Sean V un espacio vectorial y T : V −→ V la aplicación lineal tal que T (v) = 3v . ¿Cuál es el núcleo de
T ? ¿Cuál es la imagen de T ?
10.262 Sea B = {v = (1, 2, 3), v = (2, 5, 3), v = (1, 0, 10)} una base de R3 y f : R3 −→ R2 una aplicación
lineal para la que f (v ) = (1, 0) , f (v ) = (0, 1) y f (v ) = (0, 1) .
a) Encontrar una matriz de la aplicación f indicando las bases a las que está asociada.
b) Calcular f (v − v − 2v ) y f (1, 1, 1) .
 
x
1 3 4
10.263 Sea T : R3 −→ R3 la aplicación lineal dada por la fórmula T (x, y, z) =  3 4 7   y  .
z
−2 2 0

a) Comprobar que el núcleo de T es una recta y encontrar sus ecuaciones paramétricas
b) Comprobar que la imagen de T es un plano y hallar su ecuación (cartesiana)
10.264 Obtener núcleo, imagen y una matriz de cada aplicación lineal del ejercicio 10.259
10.265 Encontrar la matriz en las bases canónicas de cada una de las aplicaciones lineales siguientes:

 




 



x1
x4
x1
x1
x1 + 2x2 + x3
x4 − x1
 x2   x1 
 x2 
 

 

a) f  x2  =  x1 + 5x2 
b) f 
c) f 
 x3  =  x3 
 x3  = x1 + x2
x3
x3
x2 − x3
x4
x4
x1 − x3
Encontrar una base del nucleo y otra de la imagen, para cada una de ellas
10.266 Sea T : R3 −→ W la proyección ortogonal de R3 sobre el plano W que tiene por ecuación x + y + z = 0 .
a) Hallar una fórmula para T (x, y, z) y calcular T (3, 8, 4)
b) Encontar el núcleo y la imagen de T , y una base de cada uno de ellos
c) ¿Hay vectores que cumplan la igualdad T (v) = v ?, ¿cuáles?
10.267 Sea A una matriz de tamaño 5 × 7 con rango 4 .
a) ¿Cuál es la dimensión del espacio de soluciones de Ax =  ?
b) ¿ Ax = b tiene solución para todo b de R5 ? ¿Por qué?
10.268 Se dice que una aplicación lineal es inyectiva si a cada vector de la imagen le corresponde un único
original (es decir, si f (u) = f (v) =⇒ u = v ). Demostrar que f es inyectiva si y sólo si ker f = {}.
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Grado de Ing. en Diseño Industrial y Desarrollo de producto : Curso 2016–2017
155 – Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal
10.4 Ejercicios
10.269 Sea T : R2 −→ R3 la transformación lineal definida por T (x1 , x2 ) = (x1 + 2x2 , −x1 , 0) .
a) Encontrar
la matriz de la aplicación
T en lasnbases:
n
o
o
B1 = u = (1, 3), u = (−2, 4)
y B2 = v = (1, 1, 1), v = (2, 2, 0), v = (3, 0, 0) .
b) Usar la matriz obtenida en el apartado anterior para calcular T (8, 3) .
a11 a12
−1 2
a11 a12
10.270 Sea f : M2×2 −→ M2×2 definida por: f
=
y sean las bases Bc
a21 a22
0 1
a21 a22
(hace el papel de la canónica)
:
y B de M2×2
1 0
0 1
0 0
0 0
1 0
0 2
0 1
0 0
Bc =
,
,
,
B=
,
,
,
0 0
0 0
1 0
0 1
0 0
1 0
2 0
0 1
a) Demostrar que f es lineal.
b) ¿Cuál será el tamaño de la matriz de f asociada a la base Bc ? Hallarla.
c) Hallar el núcleo y la imagen de f ası́ como sus dimensiones y bases.
d) Hallar la matriz de f respecto de la base B .


3 −2 1 0
10.271 Sea A =  1 6 2 1  la matriz de la aplicación lineal T : R4 −→ R3 respecto de las bases:
−3 0 7 1
n
o
B1 = v = (0, 1, 1, 1), v = (2, 1, −1, −1), v = (1, 4, 1, −2), v = (6, 9, 4, 2) y
n
o
B2 = w = (0, 8, 8), w = (−7, 8, 1), w = (−6, 9, 1) .
a) Hallar [T (v )]B2 , [T (v )]B2 , [T (v )]B2 y [T (v )]B2
b) Encontrar T (v ) , T (v ) , T (v ) y T (v )
c) Hallar T (2, 2, 0, 0)
x1
x1 + 7x2
=
.
x2
3x1 + 4x2
Hallar la matriz de T respecto de la base B1 y aplicar el teorema de semejanza para calcular la matriz
de T respecto de la base
n B2 , siendo
o
n
o
B1 = u = (2, 2), u = (4, −1)
y B2 = v = (1, 3), v = (−1, −1)
10.272 Sea T : R2 −→ R2 la aplicación lineal definida por
T
10.273 Dado el operador lineal T : R2 [X] −→ R2 [X] tal que [T ( p )]B = A[ p ]B siendo:


−2 a
1
n
o
A =  1 −2a 1  y B = p = 1 − X, p = X − X2 , p = −1
1
a −2
a) Calcular los subespacios ker(T ) y Img(T ) según los valores de a
b) Hallar la matriz de T en la base B0 = {1, X, X2 }
c) Hallar la matriz de T respecto de las bases B0 y B y de las bases B y B0

 

x1
λx1 + µx2 + x3
10.274 Sea T : R3 −→ R3 la aplicación lineal T =  x2  =  x1 + λµx2 + x3  . Se pide:
x3
x1 + µx2 + λx3
a) Encontrar los valores de λ y µ para los que Img(T ) = R3 , ¿quién es entonces el núcleo?
b) Para λ = 1 , encontrar una base del núcleo
c) Sea λ = 1 y µ = 0 . Se pide:
n
o
B = u = (−1, 0, 1), u = (0, 1, 0), u = (4, 1, 2)
n
o
(c.2) Encontrar la matriz de paso de B a B1 = v = (1, 1, 2), v = (1, 1, 0), v = (−1, 1, −1)
(c.1) Hallar la matriz de T respecto de la base
(c.3) Encontrar la matriz de T en la base B1 aplicando el teorema de semejanza
(c.4) Encontrar la matriz de T respecto de las bases B1 y B
(c.5) Obtener las matrices de T ◦ T : respecto de la base B , respecto de la base B1 , respecto de las
bases B y B1 y respecto de las bases B1 y B
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156 – Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal
10.4 Ejercicios
10.275 Sean f : V −→ W una aplicación lineal. Probar que si f (v ) , f (v ) , . . . , f (vn ) son linealmente independientes, entonces v , v , . . . , vn son linealmente independientes.
¿Es cierto el recı́proco? Justificar la respuesta.
10.276 Sea T : R3 −→ R2 una aplicación lineal tal que:
 
0
x + 2y + z = 0
0
(i) ker(T ) =
(ii) T  0  =
2x + y + z = 0
1
1


1
2
(iii) T  0  =
1
1
a) Obtener una matriz asociada a T , indicando respecto a que bases.
b) Encontar la imagen del subespacio de R3 dado por x + y + z = 0 , y una base de ella
n
o
n
o
10.277 Sean Bp = p , p , p , p una base de R3 [X] , B1 = v = (0, 1, 0), v = (1, 1, 1), v = (0, 0, 1) una
base de R3 y f : R3 [X] −→ R3 una aplicación lineal verificando:
(i) f (p ) = f (2p +p ) = f (p −p )
(ii) f (p ) = v +v −v
(iii) f (p ) = (3, 3, 2)
a) Encontrar Ap1 la matriz de la aplicación f en las bases Bp y B1 .


−1 1 0
b) ¿Es  1 0 0  la matriz de paso, Pc1 , de la base canónica de R3 a B1 ? Justificar la respuesta
−1 0 1
y, en caso negativo, hallar Pc1 .
n
o
c) Sea Bq = q = X−X3 , q = X2−1, q = 1−X, q = X2+X otra base de R3 [X] para la cuál, las matrices




2 0 0 0
6 5 3 0
 1 3 2 0 


 son respectivamente, la matriz de paso de Bq
Mqp = 
 −1 −2 −1 0  y Aq1 = 3 1 0 −3
3 3 2 1
0 0 0 −1
a Bp y la matriz de f en las bases Bq y B1 . Con estos nuevos datos, ¿cómo se puede comprobar
que la matriz Ap1 calculada antes es la correcta?
d) Hallar bases de ker(f ) e Img(f ) , obteniendo los vectores concretos que las forman.
n
o
e) Probar que B2 = w = (−1, 2, 1), w = (0, −1, −1), w = (2, 1, 0) es base de R3 y obtener la
matriz de paso, P21 , de la base B2 en la base B1 .
f) A partir de las matrices anteriores, dar la expresión del cálculo de las matrices:
• Ap2 de la aplicación f en las bases Bp y B2
• Mpq de paso de la base Bp en la base Bq
• Aq2 de la aplicación f en las bases Bq y B2
g) ¿Pueden conocerse los vectores que forman Bp ? ¿Cómo? de ser posible o ¿por qué no?
10.278 Probar que si A y B son matrices semejantes entonces det(A) = det(B) .
10.279 Probar que si A y B son matrices semejantes entonces A2 y B 2 también lo son.
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