Movimiento armónico simple. MAS.

Movimiento armónico simple. MAS.
Es un movimiento vibratorio rectilíneo acelerado, donde la aceleración y la fuerza restauradora son
proporcionales al desplazamiento yendo dirigidas hacia el centro.
El M,.A.S. se considera una proyección del M.C.U. sobre una recta.
Al girar P para generar el M.C.U. su proyección sobre la recta L se mueve de arriba hacia abajo y viceversa.
Cuando P arranca de la posición E su proyección está en la posición de equilibrio E', al girar ¼ de vuelta su
proyección ha llegado a la máxima elongación (A), al avanzar ½ vuelta la proyección está en el centro de la
trayectoria E'(punto de equilibrio), cuando llega ¾ de vuelta, nuevamente la proyección ocupa la máxima
separación (A) pero en el extremo opuesto, al completar la vuelta la proyección está en el punto de equilibrio.
Ecuaciones del M.A.S.
Al girar Q sobre la circunferencia del M.C.U. cuyo radio es A en un instante de tiempo t genera un ángulo ð
luego la velocidad angular de Q = w t.
La proyección de Q sobre el diámetro horizontal del M.C.U. queda determinada por la posición de P el cual se
mueve a uno y otro lado de la horizontal generando un M.A.S. donde el radio del M.C.U. es la amplitud A del
M.A.S.
x = A cos w t
El período
ac = −w 2 x w =2 ð / T w 2 = 4 ð 2 / T 2 ac = 4 ð 2 x / T 2
T = 2 ð [ x / ac ]1/2
Gráficas del M.A.S.
Ejemplo.
Una partícula dotada de un M.A.S. cuya amplitud es de 1.5m, posee un período de 25seg, determinar la
elongación, la velocidad y aceleración después de 15seg de haberse iniciado el movimiento.
Solución.
Puesto que elongación es: x = A cos wt w = 2 ð / T !
x = 1.5cm * cos (2 * 15seg / 25seg) ! x = 1.49cm
Como velocidad es: v = −wA sen wt !
v = − 3.1416 * 1.5cm * sen (2 * 15seg / 25seg) ! v = −0.31cm/seg
Para la aceleración se tiene que: a = w2 * x ! w2 = 4 / T2
a = 4 *1.49cm / (25seg)2 ! a = 0.09cm/seg2
1
Ejemplo.
Cual es la elongación, velocidad, período y tiempo de iniciado de un M.A.S. si posee una aceleración de
2.5cm/seg2, una frecuencia de 3vib/seg, una velocidad angular de 4.50rpm y ha realizado 150 vibraciones.
Solución.
w = 4.5rpm = 4.5rev/min * 2rad/1rev * 1min/60seg ! w = 0.47rad/seg
T = 1/f ! T = 1/3vib/seg ! T = 3seg
T = t/n ! t = T * n t = 3seg * 150vib ! t = 450seg
Como a = w2 x ! x = a / w2 ! x = (2.5cm/seg2) / (0.47rad/seg)2
• x = 11.32cm
Puesto que x = A cos wt ! A = x / cos wt
! A = 11.32cm / cos(0.47rad/seg * 450seg) ! A = −13.28cm
ya que velocidad es v = −wa sen wt !
v = − (0.47rad/seg)*(−13.28cm) sen (0.47rad/seg * 450seg) ! v = − 3.26cm/seg
Tarea.
Una partícula dotada de M.A.S. vibra 250 veces durante un tiempo de 3.2min con una velocidad de 17cm/seg
determinar su frecuencia, velocidad angular, amplitud, elongación y aceleración.
Si la partícula del ejemplo anterior duplica su aceleración cual será su nueva velocidad?
Si en el ejercicio anterior la amplitud se reduce a la mitad, cambiará la aceleración? Cuál será la nueva
elongación?
Complete la siguiente tabla
n
t
T
f
W
A
X
V
A
ð
rev
seg
seg
Rev/seg
Rad/seg
cm
cm
Cm/seg
Cm/seg2
°`
• Obtenga las ecuaciones del M.A.S. a partir del M.C.U. proyectándolo sobre el eje Y del sistema
coordenado que pasa por el centro de la circunferencia.
• Realice las gráficas para el M.A.S. y a partir de ellas complete la tabla:
* los ángulos están dados en grados
• Con ð = 75° y ð = 255° complete la ultima columna de la tabla
• Nota: Recibo de trabajos hasta marzo 21 en el correo
2
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O
x = A cos w t
O
A
x
ð
Q
P
L
p
ð
r
A
p
E'
o
q
r
s
t
q
3
r
s
t
A
A
v
ð
Q
P
ð
vP
VQ = w A
Velocidad.
La velocidad −VP es la proyección de vQ = wA y como ð = w t, donde el signo menos es por la dirección de
la velocidad de la proyección, luego
Sen ð = −vP / vQ
−vP = vQ Sen ð
vP = −w A Sen w t
VQ
ac = w 2 A
ð
O
A
ac
ð
Q
P
4
Aceleración
La aceleración −ac de P es la proyección de ac = w 2 A de Q, donde el signo menos es por la dirección de la
aceleración de la proyección y como ð = w t, luego
cos ð = −acp / acQ
−acp = acQ cos ð
la cual se puede escribir:
−acp = w 2 x
acp = −w 2 A cos w t
Elongación.
La elongación x de P es igual a la abscisa de Q y el ángulo ð = w t
cos ð = x / A !
0
0.5T
1T
1.5T
A
−A
t
Elongación
Velocidad
t
−wA
wA
1.5T
1T
0.5T
0
5
Aceleración
t
−w 2A
w 2A
1.5T
1T
0.5T
0
6