Ejemplos sobre conversión de Tasas de interés

Unidad Central del Valle del Cauca
Facultad de Ciencias Administrativas, Económicas y Contables
Programa de Contaduría Pública
Curso de Matemáticas Financieras
Profesor: Javier Hernando Ossa Ossa
Ejercicios resueltos sobre conversión de Tasas de interés.
Ejemplo 1: De tasa nominal a tasa periódica.
Hallar la tasa periódica correspondiente a las siguientes tasas nominales.
36% CMV (capitalizado mes vencido)
20% Semestral CTV (capitalizado trimestre vencido)
32% CBA (capitalizado bimestre vencido)
Solución:
a)
r = 36%
Periodo de referencia: Año
m = 12 (hay 12 meses en un año)
i= ?
36
i=
= 3%
12
i = 3% mensual
b)
r = 20
Periodo de referencia: semestre
m = 2 (hay 2 trimestres en un semestre)
i =?
20
i=
= 10%
2
i = 10% trimestral
c)
r = 32%
Periodo de referencia: Año
m = 6 (hay 6 bimestres en un año)
i =?
32
i=
= 5.33%
6
i = 5,33% bimestral
Ejemplo 2: Tasa efectiva.
Una empresa presta $100 hoy, para ser cancelados dentro de un año, a una tasa de interés
36%, capitalizado mensualmente:
¿Cuánto tendrá que cancelar al término del plazo pactado?
¿Cuál será el interés anual realmente cobrado?
En el ejemplo anterior se puede identificar los siguientes datos:
r=
P=
m=
n=
i=
F=
36% (interés nominal)
100 (valor presente)
12 (Nº de veces que se capitaliza el interés en una año)
12 meses (plazo o duración del préstamo)
? (desconocido)
? (desconocido)
Como el interés se aplica mensualmente, lo primero que se debe hacer es lograr la
correspondencia entre los periodos de capitalización y el interés a aplicar (se capitaliza cada
mes, luego el interés debe ser mensual) en otras palabras, hallar el interés periódico.
i=
r 36
=
= 3%
m 12
i = 3% mensual
El valor a pagar al final del año será el que resulte de aplicar la tasa periódica del 3% al
saldo acumulado, durante el tiempo que dura la operación tal como se puede apreciar en el
siguiente cuadro:
.
Mes
INTERES
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0
3,00
3,09
3,18
3,28
3,38
3,48
3,58
3,69
3,80
3,91
4,03
4,15
DINERO AL
FINAL DEL MES
100,00
103,00
106,09
109,27
112,55
115,93
119,41
122,99
126,68
130,48
134,39
138,42
142,58
Ahora bien, si le prestan hoy 100 y debe cancelar 142.58 dentro de un año, significa que le
están cobrando $42.58 de interés. En términos relativos, estos $42.58 equivalen al 42,58%
del valor inicialmente prestado, es decir en realidad le han cobrado el 42,58% anual y no el
36% como se indicaba inicialmente ¿Le están engañando? No. El 36% es el interés nominal
y el 42.58% es el interés efectivo anual.
Para calcular la tasa efectiva sin necesidad de realizar el cálculo parcial periodo a periodo
tal como se hizo en el cuadro anterior, se puede utilizar la siguiente expresión matemática:
Donde:
E = Interés efectivo
i = Interés periódico
m= Número de períodos de capitalización
E = (1 + i ) − 1
m
.
En el ejemplo tenemos:
r = 36%
i = 3%
m = 12
E=?
E = (1 + 0,03)12 − 1
E = 1,4258 − 1
E = 0,4258
E = 42,58% anual
Utilizando la calculadora financiera CASIO FC-200, se puede obtener igual resultado,
utilizando la función incorporada de tasa de interés efectiva “EFF”. El formato de cálculo
es el siguiente:
Donde:
m
EFF
r
EXE
m = Numero de veces que se capitaliza el interés
EFF = Función de la calculadora
r
= Tasa de interés nominal
Dado que en el ejemplo la tasa nominal es igual a 36% CMV, y “m” es igual a 12, la
secuencia de teclas es:
12
EFF
36
EXE
42.58
Se había dicho que el interés efectivo, aplicado una sola vez, produce el mismo resultado
que el nominal, aplicado “m” veces. En el ejemplo, el 3% se aplicó 12 veces y se obtuvo un
valor de $142.58. Apliquemos E una sola vez:
I = 100 * 42,58% = 42.58
F = P+ I
F = 100 + 42.58 = 142.58
Que es igual al obtenido inicialmente.
Ejemplo 3: Tasa efectiva.
Una entidad financiera cobra intereses del 30% anual. Se desea saber:
Cual es la tasa mensual equivalente
Cual es la tasa trimestral equivalente
Solución:
a)
E = 30%
m = 12 (la tasa dada es anual; al año tiene 12 meses)
i=?
i = 12 1 + 0.3 − 1
i = 12 1.3 − 1 = 0.0221
i = 2.21% mensual
b)
E = 30%
m = 4 (el año tiene 4 trimestres)
i=?
i = 4 1 + 0.3 − 1
i = 4 1.3 − 1 = 0.06779
i = 6.77% trimestral
Igualmente se puede utilizar la calculadora financiera CASIO FC-200, para obtener el
resultado, utilizando la función incorporada de tasa de interés nominal ”APR”, y luego
dividiendo por “m” para hallar la tasa periódica
El formato de cálculo es el siguiente:
m
En el primer caso:
m = 12
E = 30%
APR
E
EXE
Donde:
m
= Numero de veces que se capitaliza
el interés
APR = Función de la calculadora
12
APR
30
EXE
26,525
26,525% es la tasa nominal anual, capitalizada mensualmente. Para Hallar la tasa periódica,
basta dividir por 12, obteniéndose i = 2.21% mensual
En el segundo caso:
m=4
E = 30
4
APR
30
EXE
27.115
27,115% es la tasa nominal anual, capitalizada trimestralmente. Para Hallar la tasa
periódica, basta dividir por 4, obteniéndose i = 6.77% trimestral
Ejemplo 4. Tasa anticipada.
¿Cuál será el interés efectivo anual equivalente al 30% anual capitalizable mes anticipado?
Tenemos:
E
r
m
ia
iv
=?
= 30% CMA
= 12
= ?
= ?
El 30% anual capitalizable mes anticipado, es un interés nominal anticipado. Primero
debemos hallar el interés periódico anticipado, posteriormente el interés periódico vencido
y finalmente el efectivo anual.
ia =
ra
m
30
= 2.5% Mes anticipado
12
0.025
iv =
= 0.025641
1 − 0.025
iv = 2.5641% Mes vencido
ia. =
E = (1 + 0,025641)12 − 1
E = 35.5% anual
El interés efectivo anual equivalente al 30% C.M.A., es el 35.50%.
Ejemplo 5.Tasas compuestas.
Se adquiere un préstamo a un interés del 7% anual más la corrección monetaria lo cual se
estimó en un 10% efectiva anual, cuál será el interés real cobrado?
i1 = 7.0%
i2 = 10%
ir = (1.07 )(1.1.) − 1
ir = 17.70
El interés real es el 17.70% que es diferente a la sumatoria de los dos intereses.
Ejemplo 6.Tasa de inflación.
¿Cuál será la rentabilidad real de una inversión que genera un interés del 31% anual, si
durante el año la inflación fue del 15%?
td = ?
tf = 31%
ti = 15%
Muchas personas pensaran que la rentabilidad real se obtiene restando a la tasa de
rentabilidad, la tasa de inflación: r = 31 – 15 = 16%. Pero esto no es correcto. Para hallar la
rentabilidad real se debe aplicar la ecuación formulada anteriormente:
td =
td =
t f − ti
1 + ti
0.31 − 0.15
= 0.139130
1 + 0.15
La rentabilidad real de la inversión es del 13.91% anual.