Integración por sustitución

INTEGRALES
LECCIÓN 9
Índice: Integración por sustitución. Problemas.
1.- Integración por sustitución1
Aunque es muy conveniente saber calcular directamente las integrales casi inmediatas, como lo hemos hecho en la lección I-7, existe
la alternativa de reducirlas a las correspondientes integrales inmediatas con el siguiente cambio de variable (lo que facilita el cálculo):
u(x)=t ⇒ u'(x)·dx=dt
2
Así:
⌠(1+tg2u)·u'·dx = ⌠(1+tg2t)·dt = tg t+C = tg u+C
⌡
⌡
3
4
5
* * *
Por ejemplo:
6
1
⌠

4·dx
(x-3)
⌡
Hacemos el siguiente cambio de variable:
x-3=t ⇒ dx=dt
Por tanto:
4
5
1
1
-1
t-4+1
-1
⌠
⌠
⌠
-4·dt =
·dx=
·dt=
t
+C= 3·t3 +C = 3·(x-3)3 +C


4
4
⌡
-4+1
(x-3)
t
⌡
⌡
Otro ejemplo:7
⌠sen x
·dx

x
⌡
Hacemos el siguiente cambio de variable:
x=t ⇒ x=t2 ⇒ dx=2t·dt
8
4
5
⌠sen x
sen t
·dx=⌠
·2t·dt=2·⌠
sen t·dt = -2·cos t +C = -2·cos x +C


⌡
t
⌡
x
⌡
1
O cambio de variable.
La diferencial que cierra la integral es siempre la de la variable independiente de la
función integrando. Por tanto, si se cambia de variable, debe cambiarse también de diferencial.
3
Al hacer el cambio, aparece la correspondiente integral inmediata.
4
Aplicamos la tabla de las integrales inmediatas.
5
Deshacemos el cambio.
6
Se trata de una integral casi inmediata de tipo potencial.
7
Se trata de una integral casi inmediata de tipo coseno.
8
Elevamos al cuadrado para facilitar el cálculo de las diferenciales.
2
- 1 -
* * *
Los cambios de variable también permiten calcular otras integrales. En general, estos cambios son, como ya vimos, de la forma:
g(x)=h(t) ⇒ g'(x)·dx=h'(t)·dt
Por ejemplo, calculemos la siguiente integral:
dx
⌠
( x+1+1)2
⌡
Hacemos el cambio de variable:
x+1=t ⇒ x+1=t2 ⇒ dx=2t·dt
Por tanto:
dx
t
⌠
⌠ 2t·dt =2·⌠
(t+1)2·dt
2
( x+1+1)2 =
(t+1)
⌡
⌡
⌡
Esta es una integral racional.1 Veremos algunos casos de este tipo
de integrales en la lección I-11. Sin embargo, ésta puede resolverse
mediante otro cambio de variable:
t+1=z ⇒ dt=dz
En efecto:
dx
z-1
⌠ z - 1 ·dz =2 2·⌠1·dz-⌠z-2·dz =3
⌠
⌠ t ·dt=2·⌠
·dz=2·


z2 z2
2
2
( x+1+1)2 =2·
⌡
⌡(t+1)
⌡ z
⌡ z

⌡
⌡
4
5
z-2+1
2
2
=2·ln|z|-2·-2+1 +C=2·ln|z|+ z +C = 2·ln|t+1|+ t+1 +C =
=2·ln( x+1+1)+
2
+C
x+1+1
Esta integral puede hacerse mediante un único cambio:
Otro ejemplo:
x+1+1=t.
1
⌠
x· x2-1·dx
⌡
Hacemos el siguiente cambio:
x2-1=t ⇒ x2-1=t2 ⇒ 2x·dx=2t·dt ⇒ x·dx=t·dt
1
Un cociente de polinomios.
Por la propiedad de linealidad de la integral indefinida.
3
Se trata de dos integrales inmediatas, la primera de tipo logaritmo y la segunda de tipo potencial.
4
Deshacemos el segundo cambio de variable.
5
Deshacemos el primer cambio. Eliminamos el símbolo de valor absoluto ya que el argumento del logaritmo es positivo.
2
- 2 -
I-9
Por tanto:
2
dt 1
1
⌠ x·dx
⌠ t·dt =⌠
⌠
=
arc
tg
t+C
=
arc tg x2-1+C

2
2
x· x2-1·dx =x2· x2-1 =
(t
+1)·t
t
+1
⌡
⌡
⌡
⌡
Un ejemplo más:
ex·(ex+1)
⌠
 (ex-2)2 ·dx
⌡
Hacemos el siguiente cambio:
ex-2=t ⇒ ex·dx=dt
Por tanto:
ex·(ex+1)
t+3
⌠ t + 3 ·dt =3 ⌠1·dt+3·⌠t-2·dt =4
⌠
·dt=
 (ex-2)2 ·dx=⌠
t

t2 t2
2
⌡
⌡
⌡
⌡ t
⌡
2
t-2+1
3
3
=ln|t|+3· -2+1 +C=ln|t|- t +C = ln|ex-2|- ex-2 +C
2.- Problemas
1) Calcula las siguientes integrales casi inmediatas directamente o
mediante un cambio de variable adecuado:
x
3x
⌠ 2 ·dx
a) ⌠
·dx
b)

x

⌡2
⌡ 1-4x
dx
sen arc tg x
d) ⌠
e) ⌠
·dx


x·ln
x
1+x2
⌡
⌡
dx
3
5
g) ⌠
h) ⌠

2
⌡(tg x+tg x)·dx
1+(x-1)
⌡
dx
arc tg x
j) ⌠
k) ⌠
·dx


2+2x+2
x
⌡
⌡ 1+x2
dx
sen x·cos x·dx
m) ⌠
n) ⌠

2
⌡e
⌡(1+x )·arc tg x
2
cos x
⌠ sec x ·dx
o) ⌠
·dx
p)
 1-tg2x
 1+sen x
⌡
⌡
2
x
⌠ sec x ·dx
r) ⌠
·dx
s)

2
2

⌡sen x
⌡ 1-tg x
⌠ 1+ln x
2
u) 
·dx
v) ⌠
⌡x·tg x ·dx
x
⌡
ln (3x)
c) ⌠
·dx

x
⌡
dx
f) ⌠

2x
x·ln
⌡
e1/x
i) ⌠
·dx

⌡ x2
ex-e-x
l) ⌠
·dx

⌡ ex+e-x
cos ln x
ñ) ⌠
·dx

x
⌡
1+ctg2x
q) ⌠
·dx

⌡ ctg x
dx
t) ⌠
 x·cos2 x
⌡
2
cos x
w) ⌠

2x·dx
2-cos
⌡
1
Se trata de una integral inmediata de tipo arco tangente.
Deshacemos el cambio.
3
Por la propiedad de linealidad de la integral indefinida.
4
Se trata de dos integrales inmediatas, la primera de tipo logaritmo y la segunda de tipo potencial.
2
- 3 -
I-9
x
⌠ 2√—

x)
·dx
⌡ x
2) Mediante un cambio de
x
a) ⌠

3·dx
(x-1)
⌡
dx
d) ⌠
 1-x2·arc sen x
⌡
x5
g) ⌠
 1+x3·dx
⌡
x
j) ⌠
 1-x4·dx
⌡
dx
m) ⌠
x2-4x+8
⌡
dx
o) ⌠
 3+2x-x2
⌡
arc tg(x/2)
r) ⌠
·dx

4+x2
⌡
⌠ arc sen x
u) 
·dx
⌡ x· 1-x
7
x) ⌠
⌡x·(2-x) ·dx
sec x·tg x
y) ⌠
 1-sec2x ·dx
⌡
1+ctg2x
z) ⌠
 1+ctg x·dx
⌡
variable apropiado, calcula:
dx
x+ex·dx
b) ⌠
c) ⌠

2+16
⌡e
x
⌡
x3
x
e) ⌠
f) ⌠

4+1·dx
 1-x2·dx
x
⌡
⌡
2
x
h) ⌠
i) ⌠
3+ x·dx
 x+4·dx
⌡
⌡
sen
x·cos
x
⌠ dx
k) ⌠
·dx
l)


⌡ 1-sen x
⌡a2+x2
1+x
n) ⌠
2x2+18·dx
⌡
⌠
p) 
⌡
arc cos x
1-x2 ·dx
s) ⌠
⌡x· 1+x·dx
tg x
v) ⌠
·dx

ln
⌡ cos x
1+tg2x
y) ⌠
 1+2·tg x·dx
⌡
dx
ñ) ⌠
 a2-x2
⌡
dx
q) ⌠
 25-4x2
⌡
⌠ x
t) x+1·dx
⌡
dx
w) ⌠
 e2x-1
⌡
dx
z) ⌠
x· x-1
⌡
3) En el siglo XIX se demostró un teorema del que se deduce que la
integral ⌠⌡(ex/x)·dx no es elemental. Apoyándote en este resultado,
prueba que tampoco lo son:
1
a) ⌠
·dx

⌡ln x
ex
b) ⌠
⌡e ·dx
4) A finales del siglo XX se demostró que la integral
⌠x2n·eax2·dx,
⌡
con a≠0 y n entero, no es elemental. Prueba, basándote en este resultado, que tampoco lo son:
ax
⌠ e ·dx
⌠ 1 ·dx
a) ⌠
ln
x·dx
b)
c)
 x
 ln x
⌡
⌡
⌡
- 4 -
I-9