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Diseño de prácticas de laboratorio para el análisis transitorio de
sistemas de tiempo discreto
El VIII Congreso Internacional de Informática en la Educación
Dr.Modesto Angulo Aguilera*
Ing.Ariel Domínguez Cardosa
M. Sc. Ing.Hugo Domínguez Abreu
Dr. Pedro Arafet Padilla.
Organismo: Universidad de Oriente
País: CUBA
*[email protected]
Ponente: Dr.Modesto Angulo Aguilera Telf. 641454
WWW : http://uo.edu.cu
Resumen:
En este trabajo se presenta un paquete de programas elaborados en Matlab/Simulink mediante el cual los
estudiantes pueden analizar el comportamiento transitorio de un sistema de control discreto para diferentes
tipos de plantas. La simulación se realiza teniendo en cuenta diferentes señales de entrada típicas como son el
escalón y la rampa unitaria pudiéndose observar el comportamiento del sistema para diferente tiempo de
muestreo y/o ganancia de la planta, haciendo énfasis en el comportamiento de la estabilidad del sistema y el
error de estado estacionario.
Estos programas han sido de gran utilidad en las asignaturas de Automatización, y Accionamiento Eléctrico II
en 4to y 5to años de la carrera de Ingeniería Eléctrica respectivamente, donde los estudiantes deben evaluar el
comportamiento dinámico de sistemas de tiempo discreto y sintetizar los controladores.
Los programas están preparados de manera que los estudiantes puedan seguir las señales en diferentes puntos
del sistema de control, y distinguir las que son continuas en el tiempo y aquellas que tiene un carácter
discreto.
Los mismos se están utilizando desde el curso 1998-1999, con resultados muy satisfactorios.
Introducción:
En la asignatura Automatización que se imparte al cuarto año de la carrera de Ingeniería Eléctrica se debe
lograr entre sus objetivos que el estudiante sea capaz de diseñar controladores digitales, así cómo que pueda
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evaluar el comportamiento transitorio de los sistemas de tiempo discreto. La posibilidad que brindan estos
programas se ha utilizado para el cumplimiento de estos objetivos.
Diseño de sistemas muestreados.
En el diseño de compensadores de los sistemas discretos podemos hacer uso de las mismas técnicas
empleadas en los sistemas continuos, además de que con los sistemas discretos, el compensador puede ser
discreto, continuo o una combinación de ambos[1].
Las técnicas para el diseño de compensadores que más se utilizan son las siguientes:
1.
Diagramas de Bode y carta de Nichols.
2.
Método de respuesta mínima.
3.
Método de Dahlin.
4.
Método de Kalman
5.
Métodos convencionales de ajuste de controladores.
Desarrollo:
Diseño del controlador utilizando la transformada z mediante especificaciones de la Función de
Transferencia.
El método proporciona varias reglas mediante las cuales se diseña el controlador [3].
Fig.1 Sistema de control discreto
Para el sistema de la Fig. 1, la función de transferencia del lazo cerrado
T ( z) 
C ( z)
D ( z )G ( z )

R ( z ) 1  D( z )G ( z )
(1)
3
El término G(z) es el correspondiente a la transformada z de G1(s)G2(s).
De aquí que D(z) 
T(z)
1

G (z) 1  T ( z)
(2)
Es importante para realizar el propósito primario del controlador digital, cancelar cualquier polo y cero
indeseable del sistema sin compensar y reemplazar estos con polos y ceros los cuales den la respuesta
deseada del sistema. De la ecuación (1) se deduce que se puede lograr la compensación haciendo
corresponder los ceros de D(z) con los polos de G(z) y los ceros de G(z) con los polos de D(z), que se
encuentren sobre o fuera del círculo unitario en el plano z; obviamente cualquier cambio en los parámetros
del sistema ya haría ineficaz este método.
Un mejor método para la compensación es el obtenido de la ecuación (2). Los polos y ceros de G(z) que
estén sobre o fuera del círculo unitario en el plano Z pueden ser cancelados por especificación de [1-T(z)] y
T(z) con vistas que ellos cancelen los polos y ceros, respectivamente ( teniendo en cuenta la expresión de
T(z)). Para esto se
dan las siguientes 4 reglas, que se proponen cuando se especifica la función de
transferencia del sistema T(z) para que resulte un sistema estable.
Regla 1.- La función de transferencia del sistema especificada T(z) debe contener, como sus ceros,
todos los polos de G(z) que estén sobre o fuera del círculo unitario en el plano z.
Regla 2.- 1-T(z) debe contener, como sus polos, todos los ceros de G(z) que estén sobre o fuera del círculo
unitario del plano z.
Regla 3.- Para que D(z) sea físicamente realizable, la función de transferencia del sistema especificada
debe ser de la forma
T ( z) 
K m Z m       K p Z  p
Lo  L1 Z
1
      LqZ
[ Términos de cancelación de ceros ]
(3)
q
donde m es el menor orden en z-1 de la transformada z:
G( z ) 
Pm Z  m       Pn Z  n
Qo  Q1 Z 1      Qb Z b
(4)
Además el término L0 no puede ser cero.
Regla 4.- T(z) debe ser especificada con vista a que el error en estado estacionario que resulte de la
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aplicación de una señal de entrada que tenga la forma:
R( z ) 
(5)
A( z )
1  z 
1 m
sea cero.
De la tabla de transformada z vemos que este tipo de entrada puede representar a un escalón, rampa o
parábola (aceleración), dependiendo del valor de m. Aquí A(z) representa un polinomio en z el cual no
contiene factores de la forma 1-z-1.
De la relación dada el error
E1 ( z)  R( z)  C( z)
T ( z) 
(6)
C( z)
R( z )
(7)
La transformada z del error del sistema puede ser expresada como
E1 ( z)  R( z)1  T ( z)
(8)
Aplicando el teorema del valor final a esta ecuación:


e1 ( )  lím 1  z 1 R( z )1  T ( z )
Z 1
(9)
sustituyendo (5) en (9) se tiene:

e1 ()  lím 1  z 1
Z 1

A( z )
1  z 
1 m
1  T ( z )
(10)
De aquí se observa que el error será cero para entradas de este tipo si se cumple que:

1  T ( z )  1  z 1
m  F ( z)
(11)
F(z)=1 cuando T(z) no contiene ningún cero sobre o fuera del círculo unitario.
Donde F(z) es una relación sin especificar de polinomios en z -1 y m es el valor del exponente del
denominador de la entrada R(z).
Cuando F(z) es unidad resulta una función de respuesta de prototipo mínimo y el orden de T(z) en
z 1 es un mínimo. Sin embargo una función respuesta de prototipo mínima puede solamente ser utilizada
cuando T(z) no contiene ningún cero sobre o fuera del círculo unitario del plano z, sistema de fase mínima
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[2]. Un análisis más detallado nos indica que cuando m=1 el sistema responde ante una entrada escalón con
cero error y para m=2 el sistema responde ante una señal de entrada rampa sin error.
Paquete de Programas
Características de los programas:
Tipos de Plantas que se simulan.
1
;
s
1
;
s2
1
;
s 1
1
s( s  1)
Se eligió estas funciones de transferencia debido a que son muy utilizadas en la carrera de Ingeniería Eléctrica
fundamentalmente en los accionamientos eléctricos.
En cada caso el estudiante deberá diseñar el controlador discreto atendiendo al método explicado y haciendo
uso del Matlab.
A manera de ilustración se representa uno de los programa en Simulink para el estudio del comportamiento
dinámico de un sistema de tiempo discreto cuya planta tiene como función de transferencia 1/S y el
controlador es el calculado en el ejemplo.
ANÁLISIS DE LA RESPUESTA TEMPORAL DE SISTEMAS MUESTREADOS.
Para entrada en escalón unitario:
-investigar la influencia de la variación del tiempo de muestreo sobre la respuesta y la estabilidad;
-investigar la influencia de la ganancia de la planta sobre la respuesta y la estabilidad.
1
Step Input
1
1
Sum
Z.O.H.
D(z)
s
Z.O.H.1
Mux
Transfer Fcn
muestr.
Mux1
ejem
1
1.2
ejem1a
12
1
10
0.8
8
0.6
6
0.4
4
0.2
2
0
0
0
2
4
Time
Auto-Scale
Graph
6
8
Fig 4. Respuesta del sistema de tiempo
10
0
2
4
6
Time (Seconds)
8
Fig 5. Respuesta del sistema de tiempo
10
6
discreto ante señal de entrada escalón
y T= 1
discreto ante señal de entrada rampa
unitaria y T= 1
ejem1
2
1.5
1
0.5
0
0
2
4
6
Time (Seconds)
8
10
Fig 6. Representación del sistema de tiempo
discreto ante señal de entrada escalón
y T= 2
Resultados obtenidos

Desarrollo de un paquete de programas para el estudio del comportamiento transitorio de un sistema de
control de tiempo discreto. Se puede observar, de las gráficas obtenidas, la influencia del tiempo de
muestreo en la estabilidad del sistema.

Aplicación de un método para el diseño de controladores discretos y posibilidad de utilización de
programas para el cálculo del mismo.

En las prácticas de laboratorios realizadas se obtuvieron buenos resultados reflejados en una mejor
comprensión por parte de los estudiantes del comportamiento dinámico de este tipo de sistema, y del
diseño de los controladores discretos.
Bibliografía
1
Misa, Roger: Teoría de control II , Ediciones M. E. S. , La Habana 1985.
2
Ogata, K: Sistema de control de tiempo discreto. Prentice Hall Hispanoamericana SA, Mexico,1996
3
Truxal, John G: Control System Design. Edic. Revoluc., 1968
4
-------------- : Matlab Tutorial , Mathworks
5
-------------- :Aprenda Matlab 5.3 como si estuviera en primero, Esc. Sup. Ing. Industriales, Univ. San
Sebastián, 1997
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