Cálculo de Varias Variables I (grupo CD51a) Tarea # 5

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Universidad Autónoma Metropolitana - Iztapalapa
Cálculo de Varias Variables I (grupo CD51a)
Tarea # 5
(versión corregida: 18/III/2011)
I. La fábrica Proveedora Internacional S.A. utiliza aluminio, hierro y magnesio para producir dispositivos mecánicos de alta calidad. La cantidad de
dispositivos que puede producir usando x toneladas de aluminio, y toneladas
de hierro y z toneladas de magnesio es Q(x, y, z) = xyz. El costo de los materiales es el siguiente: aluminio, a $6 la tonelada; hierro, a $4 la tonelada; y
magnesio, a $8 la tonelada. ¿Cuántas toneladas de cada uno de los metales
se deben usar para fabricar 1000 dispositivos al más bajo costo posible?
II. En una ciudad donde el clima es muy frı́o, está en proceso de diseño un
edificio rectangular que minimice las pérdidas de calor. Los muros oriente
y poniente pierden calor a razón de 10 unidades/m2 por dı́a, los muros del
norte y del sur pierden 8 unidades/m2 por dı́a, el piso pierde 1 unidad/m2
por dı́a, y el techo pierde 5 unidades/m2 por dı́a. Cada muro debe medir por
lo menos 30 m de largo, la altura debe ser por lo menos de 4 m y el volumen
debe ser exactamente 4000m3 .
1. Determine la función de pérdida de calor en términos del largo de los
lados y la altura.
2. Determine y dibuje (en tres dimensiones) el dominio de la función de
pérdida de calor.
3. Utilice el método de multiplicadores de Lagrange para determinar los
puntos crı́ticos de la función de pérdida de calor. (Indicación: Trabaje
por separado los casos en que se tienen una, dos ó tres condiciones.)
4. Encuentre las dimensiones que minimizan la périda de calor.
5. ¿Podrı́a diseñar un edificio con menos pérdida de calor si las restricciones de las longitudes de los muros se eliminaran?
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Prof. Antonio Hernández Garduño
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III. (Método de mı́nimos cuadrados.) A veces pasa que la teorı́a detrás
de un experimento indica que los datos experimentales deberı́an de yacer
aproximadamente a lo largo de una linea recta de la forma y = mx + b.
Desde luego, los resultados que se obtienen en el laboratorio nunca se ajustan
exactamente a la teorı́a. Nos enfrentamos entonces al problema de encontrar
la lı́nea recta que mejor se ajusta a un conjunto de datos experimentales
(x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ), como se ilustra en la figura 1. Si proponemos una recta
y = mx + b que (adivinando) creemos que se ajusta a los datos, cada punto
experimental se desviará verticalmente de la linea por la cantidad di = yi −
(mxi + b). Nos gustarı́a escoger los valores de m y b tales que el efecto
total de estas desviaciones sea tan pequeño como se pueda. Sin embargo, ya
que algunas desviaciones son positivas y otras negativas, podrı́amos obtener
muchas cancelaciones y de todas maneras quedarnos con una recta que se
ajuste muy mal a los datos. Es por ello que una mejor medida del error total
es la suma de los cuadrados de las desviaciones di . De esta manera, para
encontrar la recta que mejor se ajusta a un conjunto de datos experimentales,
debemos de encontrar los valores de m y b que minimizan la función
s = f (m, b) =
d21
+
d22
+ ··· +
d2n
=
n
X
(yi − mxi − b)2 ,
i=1
donde x1 , . . . , xn y y1 , . . . , yn están dados por los datos experimentales.
1. Muestre que las ecuaciones de punto crı́tico1 , ∂s/∂b = 0 y ∂s/∂m = 0,
son equivalentes a
X X X X X
m
xi + n b =
yi
y m
x2i + b
xi =
xi y i ,
donde las sumatorias corren desde i = 1 hasta i = n.
2. Encuentre la pendiente m y la ordenada al origen b de la recta que mejor
se ajusta a los datos (x1 , y1 ) = (1, 1), (x2 , y2 ) = (2, 3), (x3 , y3 ) = (4, 3).
3. Muestre que si sólo contamos con dos datos experimentales (x1 , y1 ) y
(x2 , y2 ), este método produce la linea que pasa por (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ).
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Aunque no se le pide que lo haga en esta tarea, se puede demostrar usando el método
del Hessiano que el punto crı́tico de s = f (m, b) es en efecto un punto de mı́nimo.
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Prof. Antonio Hernández Garduño
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Figura 1: El método de mı́nimos cuadrados trata de encontrar la linea recta
que mejor se aproxima a un conjunto de datos experimentales.
4. Determine la recta que mejor se ajusta a los datos proporcionados en
el archivo datosT5.xls (para Microsoft Excel). (Indicación: Envı́eme por
correo-e su solución a este inciso; el nombre de su archivo deberá de incluir
su número de matrı́cula.)
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