Cálculo de valores y vectores propios (ejemplos)

Cálculo de valores y vectores propios (ejemplos)
Objetivos. Aprender a calcular valores y vectores propios de matrices de órdenes pequeños.
Requisitos. Criterio de valor propio, cálculo de determinantes, base del núcleo de una
transformación lineal.
1. Ejemplo. Calcular valores propios de la transformación lineal T ∈ L(C3 ) dada por su
matriz en la base canónica E. Para cada uno de los valores propios construir una base del
subespacio propio correspondiente.


2
6
6
TE =  −3 −7 −6  .
3
6
5
Solución. Sabemos que los valores propios de T son raı́ces del polinomio caracterı́stico
CT (λ) = det(λI − TE ) = (−1)3 det(TE − λI).
Por eso calculamos primero el polinomio caracterı́stico. Luego para cada uno de los valores
propios λ tendremos que resolver la equación T x = λx, esto es, (T − λI)x = 0.
Primera parte. Para calcular el polinomio caracterı́stico usamos operaciones elementales
por filas y columnas y la expansión por cofactores:
2−λ
2−λ
6
6 R2 += R1
6
6
R3 −= R1
3
0
CT (λ) = (−1) −3 −7 − λ −6 ======= − −1 − λ −1 − λ
3
1+λ
6
5−λ 0
−1 − λ 2−λ 6 6 8−λ 6 6 C += C3
1 0 ==1=====
1 0 = (λ + 1)2 1
(λ + 1)2 1
1
0
0 −1 0 −1 8−λ 6 = −(λ + 1)2 (8 − λ − 6) = (λ + 1)2 (λ − 2).
= −(λ + 1)2 1
1 De aquı́ sp(T ) = {−1, −1, 2}.
Segunda parte. Calculemos vectores propios asociados al valor propio −1, esto es, soluciones de la ecuación (T + I)x = 0:
R2 += R1 
 R

3 −= R1
1
2
2
3
6
6
1
R ∗=
 −3 −6 −6  −−1−−−3→  0 0 0  .
0 0 0
3
6
6

Cálculo de valores y vectores propios, ejemplos, página 1 de 3
Solución general:






−2x2 − 2x3
−2
−2
 = x2  1  + x3  0  .
x2
x=
x3
0
1
Una base en el subespacio propio correspondiente al valor propio −1:




−2
−2
u1 =  1  ,
u2 =  0  .
0
1
Comprobación para u1 y u2 :


 
2
6
6
−2
−4 + 6 + 0





1 =
6−7+0
TE (u1 )E = −3 −7 −6
3
6
5
0
−6 + 6 + 0


 
2
6
6
−2
−4 + 0 + 6





0 =
6+0−6
TE (u2 )E = −3 −7 −6
3
6
5
1
−6 + 0 + 5



2
 =  −1  = −(u1 )E ; X
0
 

2
 =  0  = −(u2 )E . X
−1
Tercera parte. Calculemos vectores propios asociados al valor propio 2.
R1 ∗= 16
R2 ∗= − 13
R3 ∗= 13

0 1
0
6
6
 −3 −9 −6  −−−−−→  1 3
1 2
3
6
3



0 1 1
0 1
1
R2 −= R1
R3 −= 2R1
 0 1 1 −

0
−−−−−→ 0 0
1 2 1
1 0 −1



1
R2 −= R3
2  −−
−−−→
1

.
Solución general:



1
x3
x =  −x3  = x3  −1  .
1
x3

Una base en el subespacio propio correspondiente al valor propio 2:


1
u3 =  −1  .
1
Comprobación para u3 :


 
 

2
6
6
1
2−6+6
2
TE (u3 )E =  −3 −7 −6   −1  =  −3 + 7 − 6  =  −2  = 2(u3 )E . X
3
6
5
1
3−6+5
2
Cálculo de valores y vectores propios, ejemplos, página 2 de 3
2. Ejemplo.
−5 −6
3
4
1
1
−4 −3
.
3. Ejemplo.
.
4. Ejemplo.


−1 −3 −3
 4
4
1 .
−4 −2
1
5. Ejemplo.


−1
1
2
 1 −1
2 .
−1 −1 −4
6. Ejemplo.


4 4 5
 4 3 4 .
5 4 6
7. Ejercicio. Sea
A=
α −β
β α
,
donde α, β ∈ R. Demuestre que los valores propios de A son α + i β y α − i β. Calcule los
valores propioes de la matriz B = A> A.
8. Tarea adicional. Sea A ∈ Mn (R) una matriz de probabilidad. Esto significa por
definición que Ai,j ≥ 0 para toda i, j ∈ {1, . . . , n} y la suma de las entradas en cada
columna es 1:
n
X
∀j ∈ {1, . . . , n}
Ai,j = 1.
i=1
Demuestre que 1 es un valor propio de A. Sugerencia: adivine un vector propio de A.
Cálculo de valores y vectores propios, ejemplos, página 3 de 3