5. Proyectando la piscina
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XXVIII Olimpiada Thales PROYECTANDO LA PISCINA: Mis vecinos quieren construir en un terreno cuadrado cuyos lados miden 10 m una piscina cuadrada inscrita en el mismo. Ellos quieren que tenga una profundidad de 2 metros y un volumen de agua de 136 m3. El constructor les presenta el plano de una piscina (ver figura), con el que los dueños no están de acuerdo y para demostrárselo calculan el volumen de agua que cabe en ella. ¿Cuál es el volumen de la piscina proyectada por el constructor? Dibuja cómo debería ser el plano de la piscina deseada por mis vecinos. Razona las respuestas. Solución Menú Solución: Apartado a) Apartado b) (Volumen de la piscina proyectada por constructor) (Diseño de la piscina deseada) 10 m Enunciado Menú Lado del solar = 10 metros Profundidad = 2 metros Volumen = 136 metros cúbicos Solución: a) Calculemos el volumen de la piscina proyectada por el constructor: 10 m Enunciado Menú Lado del solar = 10 metros Profundidad = 2 metros Volumen = 136 metros cúbicos Solución: a) Calculemos el volumen de la piscina proyectada por el constructor: En el proyecto del constructor los vértices de la piscina están en los puntos medios de los lados. ¿Sabrías calcular el lado de la piscina? 10 m 5m 5m x=? 5m 5m 5m Enunciado 5m 5m 5m Menú Lado del solar = 10 metros Profundidad = 2 metros Volumen = 136 metros cúbicos Solución: a) Calculemos el volumen de la piscina proyectada por el constructor: Aplicando el T. de Pitágoras x 25 25 50 10 m 5m 5m x 50 m 5m 5m 5m Enunciado 5m 5m 5m Menú Lado del solar = 10 metros Profundidad = 2 metros Volumen = 136 metros cúbicos Solución: a) Calculemos el volumen de la piscina proyectada por el constructor: Ahora es fácil calcular la superficie de la piscina y su volumen… 10 m 5m 5m x 50 m 5m 5m 5m Enunciado 5m 5m 5m Menú Lado del solar = 10 metros Profundidad = 2 metros Volumen = 136 metros cúbicos Solución: a) Calculemos el volumen de la piscina proyectada por el constructor: Área de superficie de agua = 50 m2 y Volumen = 50 · 2 = 100 m3 10 m 5m 5m x 50 m 5m 5m Volumen = 100 m3 5m Enunciado 5m 5m 5m Menú Lado del solar = 10 metros Profundidad = 2 metros Volumen = 136 metros cúbicos Solución: b) Diseñemos ahora nuestra piscina para que tenga 136 m3 de volumen: Alternativa 1 Alternativa 2 (Análisis de posibilidades) (Ecuación de 2º grado) 10 m 5m Enunciado 5m Menú Lado del solar = 10 metros Profundidad = 2 metros Volumen = 136 metros cúbicos Solución: b) Los vértices de la piscina dividen a cada lado del solar en dos segmentos que suman 10 m. Pues bien, probemos las posiblidades enteras y vayamos calculando los volúmenes en cada caso… 10 m 5m Enunciado 5m Menú Lado del solar = 10 metros Profundidad = 2 metros Volumen = 136 metros cúbicos Solución: b) ¿Cuál será el lado de la piscina y su volumen en este caso…? 6m 4m x=? Enunciado 6m Menú Lado del solar = 10 metros Profundidad = 2 metros Volumen = 136 metros cúbicos Solución: b) ¿Cuál será el lado de la piscina y su volumen en este caso…? x 36 16 52 Área de superficie de agua = 52 m2 y volumen = 52 · 2 = 104 m3 6m 4m x 52 m 6m Volumen = 104 m3 Enunciado Menú Lado del solar = 10 metros Profundidad = 2 metros Volumen = 136 metros cúbicos Solución: ¿Y en este otro caso…? 7m 3m x=? 7m Enunciado Menú Lado del solar = 10 metros Profundidad = 2 metros Volumen = 136 metros cúbicos Solución: b) ¿Y en este otro caso…? x 49 9 58 Área de superficie de agua = 58 m2 y volumen = 58 · 2 = 116 m3 7m 3m x 58 m 7m Volumen = 116 m3 Enunciado Menú Lado del solar = 10 metros Profundidad = 2 metros Volumen = 136 metros cúbicos Solución: b) Sigamos probando… 8m 2m x=? Enunciado 8m Menú Lado del solar = 10 metros Profundidad = 2 metros Volumen = 136 metros cúbicos Solución: b) Sigamos probando… x 64 4 68 Área de superficie de agua = 68 m2 y volumen = 68 · 2 = 136 m3 8m 2m Apartado a) (Volumen de la piscina proyectada por constructor) x 68 m 8m Volumen = 136 m3 Alternativa 2 (Ecuación de 2º grado) Enunciado Menú Lado del solar = 10 metros Profundidad = 2 metros Volumen = 136 metros cúbicos Solución: b) ¿Qué longitud ha de tener el lado de la piscina para que su volumen sea de 136 metros cúbicos? l=? Volumen = 136 m3 Enunciado Menú Lado del solar = 10 metros Profundidad = 2 metros Volumen = 136 metros cúbicos Solución: b) Llamémosle x a una de las partes en que el vértice de la piscina divide al lado del solar y hallemos su valor aplicando el T. de Pitágoras… 136 = Área · 2 Área = 68 m2 lado = 10 –x 68 m x l 68 m 10 –x Volumen = 136 m3 Enunciado Menú Lado del solar = 10 metros Profundidad = 2 metros Volumen = 136 metros cúbicos Solución: b) (10 x)2 x 2 68 x 2 10x 16 0 x 8 x 2 Luego si queremos conseguir una piscina de 136 m3 debemos situar los vértices a 8 y 2 metros de las esquinas. 8 2 Apartado a) (Volumen de la piscina l 68 m Volumen = 136 m3 8 proyectada por constructor) Alternativa 1 (Análisis de posibilidades) Enunciado Menú
