Rechazar H0 - Universidad Autónoma de Madrid

Universidad Autónoma de Madrid
Contraste de hipótesis
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Tema 3
1. Pasos del contraste de hipótesis
1.1 Hipótesis estadísticas: nula y
alternativa
1.2 Supuestos
1.3 Estadístico de contraste
1.4 Regla de decisión: zona de
aceptación y rechazo. Nivel de
significación α (riesgo) y nivel de
confianza 1-α
1.5 Decisión
2. Error de tipo I y tipo II. Potencia del
contraste (1-β)
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Ejemplo. En las últimas elecciones un
partido obtuvo el 40% de los votos. Para
comprobar si este porcentaje ha
aumentado, un investigador toma una
muestra de 30 personas y encuentra que
19 votarán al partido ¿Qué puede
concluirse?
X − nπ
19 − (30)0,4
=
= 2,6
Z=
nπ (1 − π )
30(0,4)0,6
Si π fuera 0,4 entonces
P( X ≥ 19) = P( Z ≥ 2,6) = 0,0047
(muy improbable)
En conclusión π > 0,4
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3
Se utiliza para comprobar si una
afirmación sobre alguna propiedad
poblacional puede ser sostenida
utilizando los datos disponibles
Ejemplos: 1) Queremos saber si la media
en un examen es mayor que 4,8, 2) si la
proporción de votantes de un partido
difiere de 0,18.
1. Hipótesis estadísticas
Afirmación
sobre
una
o
más
distribuciones de probabilidad. Sobre su
forma o el valor de sus parámetros.
Hipótesis nula: Es concreta. Lleva el
signo =
Hipótesis alternativa: Negación de la
nula
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Ejemplos:
Unilateral
derecho
H0:µ ≤ 4,8
H1: µ > 4,8
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Unilateral
izquierdo
H0: µ ≥ 25
H1: µ < 25
Bilateral
H0: π = 0,18
H1: π ≠ 0,18
2. Supuestos
Son las condiciones que deben
cumplirse para poder tomar una decisión
sobre H0.
Ejemplos: Normalidad, muestra aleatoria
3. Estadístico de contraste
Resultado muestral que se utiliza para
tomar una decisión:
1) Proporciona información sobre las
hipótesis
2) Distribución muestral conocida
bajo H0
Ejemplos: 1) X , 2) P
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4. Regla de decisión
Criterio para tomar una decisión sobre H0
utilizando el estadístico de contraste
Consiste en dividir los posibles valores
del estadístico en dos zonas:
Zona de aceptación: Valores con los
que se mantiene H0
Zona de rechazo o crítica: Valores con
los que se rechaza H0
Ambas se establecen en función de:
Nivel de significación o riesgo (α). Es
la probabilidad de que el estadístico de
contraste caiga en la zona crítica si H0 es
verdadera. Suele usarse α = 0,05 óα =
0,01
El nivel de confianza es 1- α
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Ejemplos:
1) Zona de aceptación X ≤ 6
Zona de rechazo X > 6
2) Zona de aceptación 0,1 ≤ P ≤ 0,26
Zona de rechazo P < 0,1 y P > 0,26
5. Decisión
Puede tomarse en función de: a) zona de
aceptación y rechazo, b) nivel critico
(p), que es la probabilidad asociada al
estadístico de contraste.
Mantener H0:
a) Si el estadístico de contraste cae en la
zona de aceptación.
b) Mantener H0 si p > α
No se concluye que H0 es cierta
Rechazar H0: a) Si el estadístico de
contraste cae en la zona crítica,
b) si p ≤ α
Se concluye que H0 es falsa
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Ejemplo:
Se aplican tres métodos de enseñanza:
A, B y C en tres clases. Se toman las
notas de los alumnos. Formular las
hipótesis para:
a) Contrastar si la media con el método B
es 5
b) Contrastar si son iguales las medias
de los métodos A y B
c) Comprobar si la media con el método
A es menor que con el B
d) Comprobar si la media con el método
B es mayor que con el C
e) Contrastar si son iguales las medias
de los tres métodos
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a) H0: µB = 5
H1: µB ≠ 5
b) H0: µA = µB
H1: µA ≠ µB
c) H0: µA ≥ µB
H1: µA < µB
d) H0: µB ≤ µC
H1: µB > µC
e) H0: µA = µB = µC
H1: Alguna µ es
distinta
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Bilateral
Bilateral
Un. izquierdo
Un. derecho
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Ejemplo: El cociente intelectual se
distribuye N(100, 15) en la población
general. Un investigador toma una
muestra de 6 niños autistas y desea
comprobar si la media es mayor en esta
población. Encuentra que la media es
116.
a) ¿Cuál es la probabilidad de
encontrar una media igual o mayor
que 116?
b) ¿Puede concluirse que la media de
esta población es mayor que 112?
c) ¿Puede concluirse que la media de
esta población es mayor que 115?
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a)
X −µ
10
116 − 100
= 2,61
σ
15
n
6
P ( X ≥ 116 ) = P ( Z ≥ 2,61) = 1 − 0,9955 = 0,0045
Z=
=
Luego µ no debe ser 100
b)
X −µ
116 − 112
= 0,65
15
σ
n
6
P ( X ≥ 116 ) = P ( Z ≥ 0,65 ) = 1 − 0,7422 = 0,2578
Z=
=
Luego µ podría ser 112
c)
X −µ
116 − 115
Z=
=
= 0,16
σ
15
n
6
P ( X ≥ 116 ) = P ( Z ≥ 0,16 ) = 1 − 0,5636 = 0,4364
¿Entonces, µ es 112 ó 115?
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Errores de tipo I y tipo II
Error de tipo I. Rechazar H0 siendo
verdadera. Su probabilidad es α
Error de tipo II. Mantener H0 siendo
falsa. Su probabilidad es β
Realidad
Mantener
H0
Decisión
H0 es cierta
H0 es
falsa
Decisión
correcta
P = 1-α
Nivel de
confianza
Error de
tipo II
P=β
Decisión
Error de tipo I
correcta
P=α
Rechazar
P=1-β
Nivel de
H0
Potencia
significación o
del
riesgo
contraste
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Ejemplo
Un investigador desea contrastar si el
porcentaje
de
votantes
de
un
determinado partido es mayor de 0,5.
Para ello toma una muestra de n=5
personas y les pregunta si votarán a este
partido.
a) Obtener la zona crítica y la potencia (α
= 0,05)
b) Decisión si 4 personas votarán al
partido
(Nota: la verdadera proporción de
votantes
es
0,6,
aunque
este
investigador no lo sabe)
a) Solución:
1. Hipótesis
H0: π ≤ 0,5
H1: π > 0,5
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2. Supuestos: Muestra aleatoria
3. Estadístico de contraste
La variable X (número de votantes) tiene
distribución Binomial (n=5, π=0,5) bajo
H0
Mirando en las tablas:
Zona de Aceptación
Z.R.
0
1
2
3
4
5
π=0,5 0,031 0,157 0,312 0,312 0,157 0,031
π= 0,6 0,010 0,077 0,230 0,346 0.259 0,078
4. Regla de decisión
Zona de aceptación: X ≤ 4
Zona de rechazo: X = 5
Potencia: 1 - β = 0,078
Prob. Error tipo II: β = 1 - 0,078 = 0,922
b) Mantener H0
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Ejemplo
Un estadístico de contraste X tiene la
siguiente función de distribución bajo H0 y H1
X
1
2
3
4
5
6
7
F(x) | H0 0,05 0,16 0,39 0,65 0,90 0,95 1,00
F(x) | H1 0,35 0,45 0,63 0,77 0,85 0,94 1,00
En un contraste unilateral izquierdo con α =
0,05.
a) ¿Qué valores de X forman la zona de
rechazo? ¿y la de aceptación?
b) ¿Cuál es la regla de decisión en
términos de probabilidad?
c) ¿Cuál sería la probabilidad de rechazar
H0 si fuera verdadera?
d) ¿Cuál sería la probabilidad de mantener
H0 si fuera falsa?
e) Si X = 2 ¿Qué decisión tomará sobre
H0?¿Por qué?
f) ¿Cuál será el valor del nivel crítico?
g) ¿Cuál es la potencia del contraste?
h) ¿A partir de qué nivel de significación
puede rechazarse H0?
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Solución:
X
F(x) | H0
F(x) | H1
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α
1
2
3
4
5
6
7
0,05 0,16 0,39 0,65 0,90 0,95 1,00
0,35 0,45 0,63 0,77 0,85 0,94 1,00
a) Rechazo 1. Aceptación: 2, 3, 4, 5, 6 y 7
b) Rechazar H0 si p = P (X ≤ xi) ≤ 0,05
c) Error tipo I: α = 0,05
d) Error tipo II: β = 1 - 0,35 = 0,65
e) Mantener H0 pues X cae dentro de la
zona de aceptación
f) p = P(X ≤ 2) = 0,16
g) 1 - β = 0,35
h) α = 0,16
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Ejemplo
Un estadístico de contraste Y tiene las
funciones de probabilidad bajo H0 y bajo H1
que aparecen en la tabla inferior.
Y
1
2
3
4
5
6
f (y) | H0 0,025 0,025 0,25 0,45 0,20 0,05
f (y) | H1 0,10 0,05 0,15 0,05 0,25 0,40
En un contraste unilateral derecho con Y =
3 y α = 0,05.
a) ¿Qué decidirá sobre H0?
b) ¿Cuál es el valor del nivel crítico?
c)
¿Cuál es la probabilidad de rechazar
H0 y equivocarnos?
d) ¿Cuál es la potencia del contraste?
e) ¿Cuál es la probabilidad de mantener
H0 y equivocarnos?
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α
Solución:
Y
1
2
3
4
F (y) | H0 0,025 0,025 0,25 0,45
F (y) | H1 0,10 0,05 0,15 0,05
5
0,20
0,25
6
0,05
0,40
a) Mantener H0 pues Y = 3 cae dentro de la
zona de aceptación
b) p = P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤2) = 1 - 0,05 =
0,95
c) Error tipo I: α = 0,05
d) 1 - β = 0,40
e) Error tipo II: β = 0,60
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Ejercicios recomendados del libro
3.1
3.2
3.11
3.12
3.13
3.14
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