Simetría molecular
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Simetría molecular
Prof. Jesús Hernández Trujillo
Facultad de Química, UNAM
Simetría molecular/JHT– p. 1/3
Contenido
• La noción de simetría
• Simetría molecular
◦ Operaciones de simetría
◦ Elementos de simetría
• Teoría de grupos
◦ Definición de grupo
◦ Grupos puntuales
◦ Clasificación de grupos puntuales
• Representaciones matriciales
◦ Reresentación matricial de grupos puntuales
◦ Representaciones equivalentes y reducibles
◦ Tablas de caracteres
• Aplicaciones
Simetría molecular/JHT– p. 2/3
Contenido
• La noción de simetría
• Simetría molecular
◦ Operaciones de simetría
◦ Elementos de simetría
• Teoría de grupos
◦ Definición de grupo
◦ Grupos puntuales
◦ Clasificación de grupos puntuales
Ver:
D. M. Bishop,
Group Theory and Chemistry, Dover Publications Inc,
1993
D. A. McQuarrie,
J. D. Simon, Physical Chemistry. A Molecular Approach,
University Science Books
• Representaciones matriciales
◦ Reresentación matricial de grupos puntuales
◦ Representaciones equivalentes y reducibles
◦ Tablas de caracteres
• Aplicaciones
Simetría molecular/JHT– p. 2/3
La noción de simetría
La noción de simetría se asocia a:
• Proporción (correspondencia entre las medidas – tamaño,
forma, proporción, posición – de un objeto)
• Repetición regular de partes idénticas (periodicidad)
• Belleza
Simetría molecular/JHT– p. 3/3
Simetría especular o bilateral
Simetría molecular/JHT– p. 4/3
Para sistematizar la noción de simetría:
• Operación de simetría.
Hacer algo a un objeto que lo deje sin cambio
Simetría molecular/JHT– p. 5/3
Para sistematizar la noción de simetría:
• Operación de simetría.
Hacer algo a un objeto que lo deje sin cambio
• La teoría de grupos aporta el lenguaje matemático a la
simetría (Evariste Galois, 1811–32)
Simetría molecular/JHT– p. 5/3
Para sistematizar la noción de simetría:
• Operación de simetría.
Hacer algo a un objeto que lo deje sin cambio
• La teoría de grupos aporta el lenguaje matemático a la
simetría (Evariste Galois, 1811–32)
En el caso de la simetría especular: un plano de simetría
Simetría molecular/JHT– p. 5/3
Simetría rotacional
La simetría de los copos de nieve
se debe a la estructura molecular del
agua y sus interacciones
Fotos:
http://www.sciam.com
Simetría molecular/JHT– p. 6/3
Simetría molecular/JHT– p. 7/3
Arte
Castillo de la Alhambra, España
Simetría molecular/JHT– p. 8/3
M. C. Escher
www.mcescher.com
Simetría molecular/JHT– p. 9/3
Música de mesa para dos, Mozart
Simetría molecular/JHT– p. 10/3
Simetría molecular
Acción que mueve los núcleos de una
molécula a una posición físicamente indistinguible de la
original.
Operación de simetría.
Entidad geométrica sobre la que tiene lugar
la operación de simetría (puntos, líneas, planos)
Elemento de simetría.
Simetría molecular/JHT– p. 11/3
Simetría molecular
Acción que mueve los núcleos de una
molécula a una posición físicamente indistinguible de la
original.
Operación de simetría.
Entidad geométrica sobre la que tiene lugar
la operación de simetría (puntos, líneas, planos)
Elemento de simetría.
Las operaciones de simetría serán
descritas matemáticamente mediante la teoría de grupos y del álgebra
de operadores
Simetría molecular/JHT– p. 11/3
Operaciones de simetría
• Identidad: No hacer nada
Notación: E
Simetría molecular/JHT– p. 12/3
Operaciones de simetría
• Identidad: No hacer nada
Notación: E
• Rotación por 2π/n grados alrededor de un eje en el sentido
de las manecillas del reloj (n entero)
Notación: eje Cn
Simetría molecular/JHT– p. 12/3
Operaciones de simetría
• Identidad: No hacer nada
Notación: E
• Rotación por 2π/n grados alrededor de un eje en el sentido
de las manecillas del reloj (n entero)
Notación: eje Cn
Si una rotación deja a la molécula en coincidencia con ella
misma, entonces un eje Cn es un elemento de simetría de
la molécula
Simetría molecular/JHT– p. 12/3
Operaciones de simetría
• Identidad: No hacer nada
Notación: E
• Rotación por 2π/n grados alrededor de un eje en el sentido
de las manecillas del reloj (n entero)
Notación: eje Cn
Si una rotación deja a la molécula en coincidencia con ella
misma, entonces un eje Cn es un elemento de simetría de
la molécula
Notación: La aplicación sucesiva de k veces una
rotación alrededor de un eje Cn se denota por Cnk
Simetría molecular/JHT– p. 12/3
Ejemplos:
H
H
H
H
N
H
¿eje?
Simetría molecular/JHT– p. 13/3
Ejemplos:
H
C
H
H
H
H
H
H
N
H
¿eje?
H
N
C2
H
H
H
¿eje?
Simetría molecular/JHT– p. 13/3
Ejemplos:
H
C
H
H
H
H
¿eje?
H
H
N
H
¿eje?
H
N
C2
H
H
¿eje?
H
C3
Simetría molecular/JHT– p. 13/3
Ejemplos:
H
C
H
H
H
H
¿eje?
H
C3 (4)
H
N
H
¿eje?
H
N
H
H
C2
¿eje?
H
C3
¿eje?
Simetría molecular/JHT– p. 13/3
Ejemplos:
H
C
H
H
H
H
¿eje?
H
C3 (4)
H
N
H
¿eje?
H
N
H
H
C2
¿eje?
¿eje?
H
C3
C2 , C3 , C6
Simetría molecular/JHT– p. 13/3
• Reflexión en un plano.
Dos casos:
◦ El plano es perpendicular al eje principal de rotación
Notación: σh
Ejemplo: C6 H6
Simetría molecular/JHT– p. 14/3
• Reflexión en un plano.
Dos casos:
◦ El plano es perpendicular al eje principal de rotación
Notación: σh
Ejemplo: C6 H6
◦ El plano es paralelo al eje principal de rotación
Notación: σv
Ejemplos: H2 O, piridina, CH4 , NH3 y C6 H6
Simetría molecular/JHT– p. 14/3
• Rotación – reflexión (rotación impropia):
Combinación de una rotación por 2π/n en el sentido de las
manecillas del reloj seguida por una reflexión en un plano
perpendicular a ese eje
Notación: Sn
Ejemplos:
Etano alternado,
metano:
S2
S3 (4)
Simetría molecular/JHT– p. 15/3
• Rotación – reflexión (rotación impropia):
Combinación de una rotación por 2π/n en el sentido de las
manecillas del reloj seguida por una reflexión en un plano
perpendicular a ese eje
Notación: Sn
Ejemplos:
Etano alternado,
metano:
S2
S3 (4)
Además:
Snk = σh Cnk
Snk = Cnk
k impar
k par
Simetría molecular/JHT– p. 15/3
• Inversión. La acción de mover un punto a lo largo de la
línea que pasa el origen de tal forma que sus coordenadas
cambian de signo.
Notación:
i
Ejemplos:
Fe
Simetría molecular/JHT– p. 16/3
Resumen
elemento de simetría
(objeto geométrico)
eje
plano
punto
...
...
...
operación de simetría
(acción)
rotación
reflexión
inversión
Simetría molecular/JHT– p. 17/3
Teoría de grupos
Grupo:
Un conjunto G = {a, b, . . .} y una operación binaria (multiplicación) forman un grupo si
1. a, b ∈ G → ab ∈ G
2. a(bc) = (ab)c
3. ∃ e ∈ G tal que ea = ae ∀a ∈ G
4. ∃ b ∈ G tal que ab = ba = e. El elemento b se llama el
inverso de a y se denota por b = a−1
Simetría molecular/JHT– p. 18/3
Teoría de grupos
Grupo:
Un conjunto G = {a, b, . . .} y una operación binaria (multiplicación) forman un grupo si
1. a, b ∈ G → ab ∈ G
2. a(bc) = (ab)c
3. ∃ e ∈ G tal que ea = ae ∀a ∈ G
4. ∃ b ∈ G tal que ab = ba = e. El elemento b se llama el
inverso de a y se denota por b = a−1
Grupo abeliano: Si ab = ba ∀a, b ∈ G se dice que el grupo es
conmutativo o abeliano
Simetría molecular/JHT– p. 18/3
Ejemplos:
1. N , el conjunto de numeros naturales con la operación suma
no es un grupo
Simetría molecular/JHT– p. 19/3
Ejemplos:
1. N , el conjunto de numeros naturales con la operación suma
no es un grupo
2. Z el conjunto de los números enteros con la operación
suma es un grupo infinito
Simetría molecular/JHT– p. 19/3
Ejemplos:
1. N , el conjunto de numeros naturales con la operación suma
no es un grupo
2. Z el conjunto de los números enteros con la operación
suma es un grupo infinito
3. G = {1, −1, i, −i} con la operación multiplicación es un
grupo finito
Simetría molecular/JHT– p. 19/3
Ejemplos:
1. N , el conjunto de numeros naturales con la operación suma
no es un grupo
2. Z el conjunto de los números enteros con la operación
suma es un grupo infinito
3. G = {1, −1, i, −i} con la operación multiplicación es un
grupo finito
Tabla de multiplicar:
1
−1
i
−i
1
1
−1
i
−i
−1
−1
1
−i
i
i
i
−i
−1
1
−i
−i
i
1
−1
Simetría molecular/JHT– p. 19/3
Ejemplos:
1. N , el conjunto de numeros naturales con la operación suma
no es un grupo
2. Z el conjunto de los números enteros con la operación
suma es un grupo infinito
3. G = {1, −1, i, −i} con la operación multiplicación es un
grupo finito
Tabla de multiplicar:
1
−1
i
−i
1
1
−1
i
−i
−1
−1
1
−i
i
i
i
−i
−1
1
−i
−i
i
1
−1
¿Cuál de estos grupos es abeliano?
Simetría molecular/JHT– p. 19/3
Orden de un grupo: El número de elementos que
éste contiene
Ejemplos de grupos abstractos:
• Grupo de orden 1: G = {e}
Simetría molecular/JHT– p. 20/3
Orden de un grupo: El número de elementos que
éste contiene
Ejemplos de grupos abstractos:
• Grupo de orden 1: G = {e}
• Grupo de orden 2: G = {e, a}
Nótese que aa ≡ a2 6= a pues aa = a → a = e
Por lo tanto, a2 = e, a = a−1
Simetría molecular/JHT– p. 20/3
Orden de un grupo: El número de elementos que
éste contiene
Ejemplos de grupos abstractos:
• Grupo de orden 1: G = {e}
• Grupo de orden 2: G = {e, a}
Nótese que aa ≡ a2 6= a pues aa = a → a = e
Por lo tanto, a2 = e, a = a−1
Tabla de multiplicar :
e
a
e
e
a
a
a
e
Simetría molecular/JHT– p. 20/3
Orden de un grupo: El número de elementos que
éste contiene
Ejemplos de grupos abstractos:
• Grupo de orden 1: G = {e}
• Grupo de orden 2: G = {e, a}
Nótese que aa ≡ a2 6= a pues aa = a → a = e
Por lo tanto, a2 = e, a = a−1
Tabla de multiplicar :
e
a
e
e
a
a
a
e
Ejemplo: G = {1, −1}
Simetría molecular/JHT– p. 20/3
• Grupo abstracto de orden 3: G = {e, a, b}
Opciones para la operación binaria:
ab = a
o bien
ab = e
Simetría molecular/JHT– p. 21/3
• Grupo abstracto de orden 3: G = {e, a, b}
Opciones para la operación binaria:
ab = a
Opción 1. ab = a → b = e
o bien
ab = e
Por lo tanto, no es válida
Simetría molecular/JHT– p. 21/3
• Grupo abstracto de orden 3: G = {e, a, b}
Opciones para la operación binaria:
ab = a
Opción 1. ab = a → b = e
Opción 2. ab = e
o bien
ab = e
Por lo tanto, no es válida
necesariamente
Simetría molecular/JHT– p. 21/3
• Grupo abstracto de orden 3: G = {e, a, b}
Opciones para la operación binaria:
ab = a
Opción 1. ab = a → b = e
Opción 2. ab = e
o bien
ab = e
Por lo tanto, no es válida
necesariamente
Tabla de multiplicar parcial:
e
a
b
e
e
a
b
a
a
b
b
e
Simetría molecular/JHT– p. 21/3
• Grupo abstracto de orden 3: G = {e, a, b}
Opciones para la operación binaria:
ab = a
Opción 1. ab = a → b = e
Opción 2. ab = e
o bien
ab = e
Por lo tanto, no es válida
necesariamente
Tabla de multiplicar parcial:
e
a
b
e
e
a
b
a
a
b
b
e
Además:
En una tabla de multiplicar cada
renglón o columna contiene cada elemento del grupo sólo una vez pues:
a
b
d
c
d
ab = ac → b = c
Simetría molecular/JHT– p. 21/3
Por lo tanto:
Tabla de multiplicar del grupo de orden 3:
e
a
b
e
e
a
b
a
a
b
e
b
b
e
a
Simetría molecular/JHT– p. 22/3
Por lo tanto:
Tabla de multiplicar del grupo de orden 3:
e
a
b
e
e
a
b
a
a
b
e
b
b
e
a
Nótese que:
aa ≡ a2 = b
y a3 = a2 a = ba = e
Es decir, a genera los demás elementos del grupo (grupo cíclico)
Simetría molecular/JHT– p. 22/3
• Grupo abstracto de orden 4: G = {e, a, b, c}
Existen dos opciones para la tabla de multiplicación
Simetría molecular/JHT– p. 23/3
• Grupo abstracto de orden 4: G = {e, a, b, c}
Existen dos opciones para la tabla de multiplicación
Opción 1: Grupo cíclico (ejercicio: construirlo)
Simetría molecular/JHT– p. 23/3
• Grupo abstracto de orden 4: G = {e, a, b, c}
Existen dos opciones para la tabla de multiplicación
Opción 1: Grupo cíclico (ejercicio: construirlo)
e a b c
e e a b c
a a b c e
b b c e a
c c e a b
Simetría molecular/JHT– p. 23/3
• Grupo abstracto de orden 4: G = {e, a, b, c}
Existen dos opciones para la tabla de multiplicación
Opción 1: Grupo cíclico (ejercicio: construirlo)
e a b c
e e a b c
a a b c e
b b c e a
c c e a b
Opción 2
e
a
b
c
e
e
a
b
c
a
a
e
c
b
b
b
c
e
a
c
c
b
a
e
Grupos abelianos
Simetría molecular/JHT– p. 23/3
Ejemplos:
• Las raíces cúbicas de 1 con la operación multiplicación
forman un grupo de orden 3
Simetría molecular/JHT– p. 24/3
Ejemplos:
• Las raíces cúbicas de 1 con la operación multiplicación
forman un grupo de orden 3
• Las rotaciones de un triángulo equilatero en un plano
forman un grupo de orden 3
Simetría molecular/JHT– p. 24/3
Ejemplos:
• Las raíces cúbicas de 1 con la operación multiplicación
forman un grupo de orden 3
• Las rotaciones de un triángulo equilatero en un plano
forman un grupo de orden 3
• G = {1, ı, −1, −ı} con la operación multiplicación forma un
grupo de orden 4
Simetría molecular/JHT– p. 24/3
Ejemplos:
• Las raíces cúbicas de 1 con la operación multiplicación
forman un grupo de orden 3
• Las rotaciones de un triángulo equilatero en un plano
forman un grupo de orden 3
• G = {1, ı, −1, −ı} con la operación multiplicación forma un
grupo de orden 4
• Las siguientes matrices forman un un grupo con la
operación de multiplicación matricial.
!
!
!
1 0
0 1
−1 0
0 1
−1 0
0 −1
0 −1
1 0
!
Simetría molecular/JHT– p. 24/3
Grupos Isomorfos: Aquellos que tienen la misma
estructura; sólo difieren en los símbolos que usan
G y G′ son grupos isomorfos si sus elementos pueden ponerse
en correspondiencia uno a uno:
a ↔ a ′ , b ↔ b′ , . . .
ab = c → a′ b′ = c′
Simetría molecular/JHT– p. 25/3
Grupos Isomorfos: Aquellos que tienen la misma
estructura; sólo difieren en los símbolos que usan
G y G′ son grupos isomorfos si sus elementos pueden ponerse
en correspondiencia uno a uno:
a ↔ a ′ , b ↔ b′ , . . .
ab = c → a′ b′ = c′
Ejemplo:
• Los grupos Z , de los números enteros, y
G = {. . . 2−2 , 2−1 , 20 , 21 , 22 , . . .} son isomorfos.
Simetría molecular/JHT– p. 25/3
Grupos Isomorfos: Aquellos que tienen la misma
estructura; sólo difieren en los símbolos que usan
G y G′ son grupos isomorfos si sus elementos pueden ponerse
en correspondiencia uno a uno:
a ↔ a ′ , b ↔ b′ , . . .
ab = c → a′ b′ = c′
Ejemplo:
• Los grupos Z , de los números enteros, y
G = {. . . 2−2 , 2−1 , 20 , 21 , 22 , . . .} son isomorfos.
։ Analiza cuáles de los grupos de la página anterior son
isomorfos
Simetría molecular/JHT– p. 25/3
Grupos puntuales
• Son de interés los grupos cuyos elementos consisten en las
operaciones de simetría correspondientes a una molécula
• La operación de multiplicación o combinación es la
realización de una operación de simetría seguida de otra
• Satisfacen las propiedades de grupo
Simetría molecular/JHT– p. 26/3
Grupos puntuales
• Son de interés los grupos cuyos elementos consisten en las
operaciones de simetría correspondientes a una molécula
• La operación de multiplicación o combinación es la
realización de una operación de simetría seguida de otra
• Satisfacen las propiedades de grupo
Casos:
Dado que los elementos de simetría se intersectan
en un punto, estos grupos se llaman grupos puntuales
En moléculas:
Estos no tienen un punto fijo pero tienen
simetría traslacional y se llaman grupos espaciales
En cristales infinitos:
Simetría molecular/JHT– p. 26/3
Clasificación de
grupos puntuales
Tomado de:
Group Theory and chemistry, D. M. Bishop, Dover
Simetría molecular/JHT– p. 27/3
Diagrama
de flujo
Tomado de:
Group Theory and chemistry,
D. M. Bishop, Dover
Simetría molecular/JHT– p. 28/3
Diagrama
de flujo
Tomado de:
Group Theory and chemistry,
D. M. Bishop, Dover
Simetría molecular/JHT– p. 29/3
Ejemplos:
1. C2v = {E, C2 , σv , σv′ } Ejemplo: H2 O
2. C4 = {E, C4 , C42 = C2 , C43 }
3. C2h = {E, C2 , i, σh }
4. S4 = {E, S4 , C2 , S43 }
Estos grupos son isomorfos
Simetría molecular/JHT– p. 30/3
Ejemplos:
1. C2v = {E, C2 , σv , σv′ } Ejemplo: H2 O
2. C4 = {E, C4 , C42 = C2 , C43 }
3. C2h = {E, C2 , i, σh }
4. S4 = {E, S4 , C2 , S43 }
Estos grupos son isomorfos
• Escribe las tablas de multiplicar de los grupos C2h y C2v
Simetría molecular/JHT– p. 30/3
Otro ejemplo:
C3v = {E, σv , σv′ , σv′′ , C3 , C32 }
Además: C32 = C3−1
Tabla de grupo:
E σv σv′ σv′′ C3 C32
E E σv σv′ σv′′ C3 C32
σv σv E C3 C32 σv′ σv′′
σv′ σv′ C32 E C3 σv′′ σv
σv′′ σv′′ C3 C32 E σv σv′
C3 C3 σv′′ σv σv′ C32 E
C32 C32 σv′ σv′′ σv E C3
Simetría molecular/JHT– p. 31/3
Representaciones matriciales de grupos puntuales
• Las matrices que representan a las operaciones de simetría
de un grupo puntual tienen la misma tabla de multiplicar
Simetría molecular/JHT– p. 32/3
Representaciones matriciales de grupos puntuales
• Las matrices que representan a las operaciones de simetría
de un grupo puntual tienen la misma tabla de multiplicar
• Reemplazamos la geometría de las operaciones de
simetría con el álgebra de matrices
Simetría molecular/JHT– p. 32/3
Representaciones matriciales de grupos puntuales
• Las matrices que representan a las operaciones de simetría
de un grupo puntual tienen la misma tabla de multiplicar
• Reemplazamos la geometría de las operaciones de
simetría con el álgebra de matrices
• Se considera el efecto de la operación de simetría sobre un
vector de posición o sobre un conjunto de funciones base
(por ejemplo en ℜ3 o en un espacio de funciones)
Simetría molecular/JHT– p. 32/3
Representaciones matriciales de grupos puntuales
• Las matrices que representan a las operaciones de simetría
de un grupo puntual tienen la misma tabla de multiplicar
• Reemplazamos la geometría de las operaciones de
simetría con el álgebra de matrices
• Se considera el efecto de la operación de simetría sobre un
vector de posición o sobre un conjunto de funciones base
(por ejemplo en ℜ3 o en un espacio de funciones)
• Sea G un grupo. Una representación matricial D(G) de
dimensiones n × n es un homomorfismo de G a D(G),
donde:
Homomorfismo:
Dados dos grupos G y G′ , varios elementos
de G pueden tener la misma imagen en G′
Simetría molecular/JHT– p. 32/3
Representaciones matriciales de operaciones de simetría
• Identidad
1 0 0
D(E) = 0 1 0
0 0 1
Simetría molecular/JHT– p. 33/3
Representaciones matriciales de operaciones de simetría
• Identidad
1 0 0
D(E) = 0 1 0
0 0 1
• Rotación de θ = 2π/n grados en el sentido de las
manecillas del reloj alrededor del eje z :
cos θ sen θ 0
D(Cn ) = −sen θ cos θ 0
0
0 1
La inversa de D(Cn ) se obtiene al sustituir θ por −θ:
cos θ −sen θ 0
D(Cn )−1 = sen θ
cos θ 0
0
0 1
Simetría molecular/JHT– p. 33/3
• Inversion
−1
0
0
D(i) = 0 −1
0
0
0 −1
Simetría molecular/JHT– p. 34/3
• Inversion
−1
0
0
D(i) = 0 −1
0
0
0 −1
• Reflexión en un plano horizontal y en uno vertical
1 0
0
D(σh ) = 0 1
0
0 0 −1
1
0 0
D(σv ) = 0 −1 0
0
0 1
Simetría molecular/JHT– p. 34/3
• Rotación impropia: Rotación alrededor del eje Cn seguida
de reflexión en un plano horizontal
1 0
0
cos θ sen θ 0
D(Sn ) = 0 1
0 −sen θ cos θ 0
0 0 −1
0
0 1
cos θ sen θ
0
= −sen θ cos θ
0
0
0 −1
Simetría molecular/JHT– p. 35/3
Representaciones matriciales del grupo C2h
En este caso θ = 2π/2 = π
−1
0 0
D(C2 ) = 0 −1 0
0
0 1
Simetría molecular/JHT– p. 36/3
Representaciones matriciales del grupo C2h
En este caso θ = 2π/2 = π
−1
0 0
D(C2 ) = 0 −1 0
0
0 1
H
Cl
Cl
H
Simetría molecular/JHT– p. 36/3
Representaciones matriciales del grupo C2h
En este caso θ = 2π/2 = π
−1
0 0
D(C2 ) = 0 −1 0
0
0 1
H
Cl
Cl
H
Tabla de multiplicar
del grupo:
E
C2
i
σh
E
E
C2
i
σh
C2
C2
E
σh
i
i
i
σh
E
C2
σh
σh
i
C2
E
Simetría molecular/JHT– p. 36/3
Representaciones matriciales del grupo C2h
En este caso θ = 2π/2 = π
−1
0 0
D(C2 ) = 0 −1 0
0
0 1
Tabla de multiplicar
del grupo:
E
C2
i
σh
E
E
C2
i
σh
C2
C2
E
σh
i
H
Cl
Cl
H
Tabla de multiplicar de las
representaciones matriciales:
i
i
σh
E
C2
σh
σh
i
C2
E
D(E)
D(E) D(E)
D(C2 ) D(C2 )
D(i)
D(i)
D(σh ) D(σh )
D(C2 )
D(C2 )
D(E)
D(σh )
D(i)
D(i)
D(i)
D(σh )
D(E)
D(C2 )
D(σh )
D(σh )
D(i)
D(C2 )
D(E)
Simetría molecular/JHT– p. 36/3
Representaciones matriciales del grupo C2h
En este caso θ = 2π/2 = π
−1
0 0
D(C2 ) = 0 −1 0
0
0 1
Tabla de multiplicar
del grupo:
E
C2
i
σh
E
E
C2
i
σh
C2
C2
E
σh
i
H
Cl
Cl
H
Tabla de multiplicar de las
representaciones matriciales:
i
i
σh
E
C2
σh
σh
i
C2
E
D(E)
D(E) D(E)
D(C2 ) D(C2 )
D(i)
D(i)
D(σh ) D(σh )
D(C2 )
D(C2 )
D(E)
D(σh )
D(i)
D(i)
D(i)
D(σh )
D(E)
D(C2 )
D(σh )
D(σh )
D(i)
D(C2 )
D(E)
Verifica este resultado
Simetría molecular/JHT– p. 36/3
Es decir,
• El siguiente conjunto de operaciones de simetría es un
grupo:
C2h = {E, C2 , i, σh }
• Las correspondientes representaciones matriciales forman
un grupo:
C2h = {D(E), D(C2 ), D(i), D(σh )}
Simetría molecular/JHT– p. 37/3
