Proyecto Menger

I.E.S.
Zaurín
2015/2016
PROYECTO ESPONJA
DE MENGER
Actividad asociada al programa "Conexión Matemática"
Introducción.-
​El objetivo de este proyecto es unir el trabajo de todo el personal del centro,
alumnos, profesores, personal de servicios e incluso la familia de cada uno de estos,
para construir una estructura fractal llamada "Esponja de Menger". Para evitarnos la
explicación matemática de esta estructura, mostramos una imagen en la que podemos
ver cómo es.
​Según vamos avanzando de izquierda a derecha vemos diferentes iteraciones de
la esponja de menger. Nuestro objetivo es construir una estructura como la cuarta que
aparece en la imagen.
La esponja de menger.
​Vamos a ver cómo se construye paso a paso la esponja de menger. Los pasos
para construirla matemáticamente son los siguientes.
1. Comenzamos con un cubo (primer cubo de la imagen).
2. Dividimos cada cara del cubo en 9 cuadrados. Esto subdivide el cubo en
27 cubos más pequeños, obteniendo una estructura como el cubo de
Rubik.
3. Eliminamos los cubos centrales de cada cara (6) y el cubo central (1),
dejando solamente 20 cubos (segunda imagen).
4. Repetimos los pasos 1, 2 y 3 para cada uno de los veinte cubos menores
restantes.
5. La esponja de Menger es el límite de este proceso tras un número infinito
de iteraciones.
Construcción física de la esponja de menger.
​Nuestro objetivo es construir la esponja de menger entre todos. Partir de un cubo
grande e ir perforándolo para obtener los diferentes niveles presenta muchas dificultades
por lo que vamos a ir construyendo la estructura a base de unir estructuras sencillas de
realizar.
​Como vemos en las imágenes, la primera iteración de la esponja de menger es
una estructura que se puede formar con la unión de 20 cubos. Nuestro objetivo personal
será construir una de estas estructuras. Juntando 20 de estas estructuras obtendremos
una esponja de menger de nivel 2. Con el trabajo de 20 personas se puede construir la
segunda iteración de la esponja de menger. Como en el centro hay alrededor de 380
alumnos y casi 50 profesores, además del personal de administración y servicios. La
idea es que cada uno de nosotros se responsabilice de la construcción de una de estas
estructuras de forma que con la unión de 400 de ellas consigamos construir la esponja
de menger de nivel 3.
Materiales necesarios.
​Para la construcción de nuestra estructura no necesitamos nada más que
30 hojas tamaño A4 y cola. Es importante que todos usemos el mismo tamaño de
papel para que al juntar todas las estructuras encajen perfectamente. Además
vamos a usar papel reciclado del generado en el centro para poner nuestro
granito de arena en el cuidado del planeta y que además no nos suponga coste
económico.
Construcción de un cubo con papiroflexia.
​Como hemos visto la estructura que queremos construir se obtiene a
partir de veinte cubos de papel. Solamente tenemos que aprender a hacer un
cubo con papiroflexia. Para ello vamos a necesitar cuadrados de papel de un
tamaño determinado. Cuatro de estos cuadrados los vamos a sacar de una hoja
tamaño A4. En la siguiente imagen se ve cómo obtener un cuadrado de una hoja
rectangular como nuestro A4.
​Una vez que tenemos el cuadrado, lo cortaremos en cuatro cuadrados
iguales como se ve a continuación.
​Con seis de esos cuadrados elaboraremos los cubos que van a formar
nuestra estructura. Aquí se muestra un enlace a un video en el que podemos ver
cómo se hace un cubo con papiroflexia.
http://www.youtube.com/watch?v=NQX9gtg-CWw&feature=youtu.be
En nuestro caso, vamos a intentar que la estructura final quede lo más blanca
posible de forma que si tenemos una hoja con una cara en blanco vamos a dejar
esa cara hacia fuera para que se vea.
Construcción de la esponja de menger de nivel 1
​Una
vez que hemos construido los veinte cubos podemos montar la
esponja de menger de nivel 1. Para ello, primero vamos a unir tres cubos
formando una torre. La unión de esos cubos la hacemos con cola y ponemos algo
de peso sobre la torre para que se fije bien al mientras seca la cola. Hay que tener
cuidado de no poner demasiado peso que pueda aplastar la torre, no hay que
olvidar que está hecha de papel.
Tenemos que hacer cuatro torres de tres cubos de altura cada una. De esta forma
habremos usado doce de los veinte cubos que hemos hecho. Una vez que
tenemos las tres torres, vamos a coger dos de ellas y a unirlas con dos cubos
como se muestra en la siguiente imagen.
Luego cogemos las otras dos torres que nos quedan y repetimos el mismo
proceso. Así obtenemos dos estructuras como la anterior en las que hemos usado
dieciséis de los veinte cubos que tenemos.
Ahora sólo nos queda unir estas dos estructuras con los cuatro cubos que nos
quedan como se ve en la siguiente imagen.
Montaje de la estructura final.
​Una vez que todos hemos participado con nuestro granito de arena construyendo
nuestras esponjas de menger de nivel 1, procederemos a ensamblarlas para el montaje
de la estructura final. Para ello, en una actividad colectiva iremos juntando las esponjas
de nivel uno de veinte en veinte, siguiendo el mismo procedimiento con el que hemos
pegado nuestros cubos, para formar estructuras de nivel dos. Como la que vemos a
continuación.
Cuando tengamos estas estructuras, las ensamblaremos entre sí para formar la estructura
final. Un objetivo impensable si no es con la colaboración y el trabajo de todos.