VECTORES LIBRES DEL PLANO

VECTORES LIBRES DEL PLANO
ESPACIO VECTORIAL NUMERICO
R²
1.-En un espacio vectorial:
a) Cuantas operaciones están definidas.
b) Cuantos conjuntos intervienen.
c) Cita e indica las operaciones.
d) Haz las operaciones: 3(2,-3)+5(-3,2)
2.-Define y enumera las operaciones y propiedades del espacio vectorial R²
3.-Encuentra m y n en la siguiente igualdad de pares (4m,-2/3An)=(-8,6)
4.-Encuentra h y k, si (2h-3,h+k)=(1-k,3)
5.-Calcula x e y para que se verifique la igualdad 2(x,y)+(3,-5)=6(-1,4)
6.-Calcula q y r en la expresion (%2 , -7/2)=q(1,0)+r(0,1)
7.-Son los pares {(1,2) (2,3)} una base de R². Escribe el (0,0) y el (1,3) como
combinacion lineal de dicha Base.
ESPACIO VECTORIAL DE LOS VECTORES LIBRES
))>
))>
7.-Los vectores AB y CD son equivalentes. En consecuencia una de las siguientes
afirmaciones es falsa. Indicala:
))>
))>
))>
))>
))> ))>
))>
))>
a) [AB] = [CD]
b) AB es de [CD]
c) AB = CD
d) CD es de [AB]
8.-Dado el paralelogramo PQRS. Indica cuales de las siguientes afirmaciones son
ciertas o falsas:
))>
))>
a) [PS] y [RQ] son vectores libres opuestos.
))>
))>
b) PQ
y
RS son equipolentes.
))>
))>
c) RS = QP
))>
))>
))>
))>
d) [PQ] + [QR] = [RS] + [SP]
))>
))>
9.-El vector libre u tiene módulo 5. Por ello podemos decir que el vector -3u
a) Tiene módulo -15
b) Tiene igual dirección que u
c) Tiene el mismo sentido que u
d) Es equipolente a u
10.-El vector libre u tiene módulo 7. El vector v tiene sentido contrario al de u.
Por tanto:
a) *v*=-5
b) u+v=o
c) u y v tienen igual dirección.
))>
))>
d) si u=[AB] entonces v=[BA].
11.-Pinta dos vectores libres con distinta dirección, u y v. Ahora calcula
gráficamente u+v, u-v, -5u, 2u-3v. Cuales son las coordenadas de estos vectores
respecto de la base {u,v}.
Ejercicios Analítica
1
12.-Escribir los lados de un hexágono regular en función de dos de ellos cualesquiera
consecutivos.
13.-Un trapecio de bases AB y DC, tiene de paralela media PQ, de modo que P está en
el segmento AD. Encontrar una expresijón para PQ que sea suma de AB y DC,
multiplicadas cada uno por un número real.
Ejercicios Analítica
2
PLANO AFIN
14.-Representa en un cuadrícula los vectores (-1,4), (2,-7). Calcula el vector suma
y representalo en la misma cuadrícula. Todas las flechas deben tener el origen de
coordenadas como origen.
15.-Representa el vector (3,-2) mediante tres vectores equipolentes cuyos origenes
sean los puntos (3,1), (0,0) y (1,-5). ¿Cuales son las coordenadas de los respectivos
extremos?
16.-Dados los puntos A(1,2) B(3,-2) y el vector v(3,3). Hallar:
))>
a) Coordenadas del punto P tal que [AP] es de v.
))>
b) Coordenadas del vector [AB]
))>
c) Coordenadas del vector [AB] + v
17.-Justifica si los vectores AB y CD son equivalentes, siendo A(0,1), B(2,4),
C(2,3) y D(4,6).
))>
))>
18.-Sabiendo que AB es equivalente a CD y siendo A(1,3), B(-2,5), C(3,-4), halla las
coordenadas de D.
19.-Los puntos A(3,2)
B(7,4)
Determina las coordenadas de D.
C(5,1) son tres vértices del paralelogramo ABCD
20.-Dados A(1,1)
B(3,9)
C(-2,2)
D(2,18). ¿Tienen la misma dirección de los
vectores [AB] y [CD]?
))>
))>
21.-El vector PQ es equipolente a MN . Siendo P(1,0) Q(5,7/2) N(1/3,-4) hallar las
coordenadas de M.
22.-¿Qué caracteriza a los vectores de dirección la del eje OX? ¿Y a los de dirección
el eje OY?
23.-Sean u=(1,3), v(-2,3) y w=(5,y). Hallar el valor de y para que el vector s=u+v+w
sea de la dirección el eje OX.
24.-Sea {u,v} una base de V². Respecto a esta base los vectores a,b,c tienen de
coordenadas (-2,-5), (4,0) y (-1,3). Hallar las coordenadas del vector:
2a-v+b-3c
25.-Dados los vectores u=(2,2) y v(1/2,-3/2), demuestra que forman una base de V².
Escribe el vector (8,16) en función (o combinación lineal) de la base.
26.-Dados los vectores u=(1,2) y v(4,-3), demuestra que forman una base de V².
Calcula las componentes del vector (0,4) respecto de esa base. Escribe la base
canónica en función de ésta nueva.
27.-Dados los vectores u=(3,5) y v=(1,-2) respecto de una cierta base, hallar las
coordenadas del vector c=2u-3v.
28.-Los vectores a y b tienen de coordenadas (2,4) y (-1,-2) respectivamente. Hallar
las coordenadas del vector p que verifica a+2p=b.
29.-Dados los puntos A(6,0) y B(5,4) determinar sobre el eje de abscisas un
))> ))>
punto P tal que PA +PB = (10,4)
Ejercicios Analítica
3
30.-Comprueba gráfica y numéricamente que los puntos P(1,2)
alineados.
Q(2,5) y R(4,11) están
31.-Hallar el punto simétrico de P(3,2) respecto del Q(-1,-3)
32.-Coordenadas del simétrico de A(2,3) respecto del simétrico de B(-2,0) repecto del
C(1,-3).
33.-En el triángulo A(-2,3) B(-5,4) C(4,2). Hallar el simétrico de cada vértice
respecto del baricentro de dicho triángulo.
34.-Dados los puntos A(1,3) B(-5,4) C(4,2). Hallar el simétrico de cada vértice
respecto del baricentro de dicho triángulo.
35.-Dados los pntos P(-1,2) Q(-7,6) hallar las coordenadas de los puntos que dividen
el segmento PQ en tres partes iguales.
36.-Dividimos el ssegmento de extremos (-2,-4) y (3,1) en cinco partes iguales.
Comprueba que uno de los puntos de división es el punto (0,-2). Resuelvelo gráfica
y numéricamente.
))>
37.-Hallar las coordenadas del punto que divide al vector AB en dos partes que estén
en la razón 2/3, siendo A(-1,2) y B(5,0).
38.-El punto (1,3) ¿En que razón divide al vector que une los puntos A(0,1) y
B(-3,-5)?
39.-Los extremos de un segmento son A(4,-2) y B(5,3). Hallar las coordenadas del
punto P del segmento tal que *PA*/*PB*=1/5.
40.-Dado el triángulo de vértices A(1,1)
baricentro.
B(3,6)
C(5,-1) hallar las coordenadas del
41.-Un extremo de un vector es A(1,2). Otro punto B dista de A dos tercios de la
longitud del vector Ac y tiene de coordenadas B(5,4) perteneciendo a dicho vector.
Hallar las coordenadas de C.
42.-En un triángulo ABC, el punto medio del lado AB es (0,0), el del lado BC es
(4,-1) y el del AC es (2,-4). Hallar las coordenadas de A,B y C.
43.-Dado el triángulo de vértices A(2,5) B(3,1) y C(2,-1)
a) Calcula el baricentro G del triangulo ABC
b) Calcula los puntos medios M,N y P de los lado del triángulo ABC.
c) Calcula el baricentro G' del triángulo MNP.
d) Compara G con G'.
44.-El baricentro de un triángulo ABC es el punto G(2,1). El punto medio del segmento
AB es M(3,0) y el punto medio del segmento BC es N(1,5). Calcula los vertices A, B
y C del triángulo.
45.-Dadas las coordenadas de los puntos medios de los lados de un triangulo ABC,
M(2,4), N(1,1) y P(2,0). Hallar las coordenadas de A, B y C. Resolverlo
vectorialmente.
46.-Si elegimos como representantes de todos los vectores libres que tienen el mismo
módulo, los vectores que tienen como origen el punto O. ¿Dónde se encuentran los
extremos de estos vectores?.
47.-Si elegimos como representantes de todos los vectores libres que tienen la misma
dirección, los vectores que tienen como origen el punto O. ¿Dónde se encuentran los
extremos de estos vectores?.
Ejercicios Analítica
4
Ejercicios Analítica
5
RECTA AFIN
1.-Dadas las rectas siguientes:
2x - 3y + 1 = 0
x+y-3=0
x
y
))) + ))) - 1 = 0
2
4
a) Indica 2 puntos y representalas.
b) Indica pendiente, vector director y escribelas en forma vectorial.
2.-Dadas las ecuaciones de las rectas siguientes:
x-1
y-3
-2
5x-2y+3=0
6x+2y-3=0
))) = )))
y-2 = )) (x+1)
4
3
3
a) Indicar dirección y pendiente.
b) Los puuntos de abscisas 6 y 9, y representalas.
c) Escribelas en forma paramétrica.
3.-Las ecuaciones paramétricas de una recta son x=3t, y=4+t. Hallar la ecuacion
continua de la misma y un punto de ella cuya ordenada sea 3.
4.-¿Qué particularidad tienen las rectas cuyas ecuaciones carecen de la variable x
o de la variable y, respectivamente?
5.-¿Qué condiciones ha de cumplir una ecuación para que represente una recta que pase
por el origen de coordenadas?
6.-¿Cual es la ecuación de la recta quepasando por el punto A(3,4) es paralela al eje
OX? ¿Y paralela al eje OY?
7.-Indica como se pasa de la ecuación general de la recta Ax+By+C=0 a su forma
explicita, explicando el significado del coeficiente de la x y del término
independiente.
8.-Justifica por qué las ecuaciones de las bisectrices de los cuadrantes son y=x e
y=-x.
9.-¿Como se hallan los puntos de intersección de una recta con elos ejes coordenados?
Aplícalo al la recta 2x+3y-6=0.
10.-Escribir la ecuación implícita de la recta que pasa por los puntos A(8,3) y
B(-7,3).
11.-Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-2,1) y por el punto medio
del segmento de extremos B(4,3) y C(4,-1).
12.-Calcular las ecuaciones de los lados del triángulo de vértices A(1,2), B(3,4),
C(6,-1).
13.-Los vértices de un triángulo son A(1,-3), B(5,7) y C(-3,-3). Hallar la recta que
pasa por los pies de las medianas que parten de A y de B.
14.-Ecuación de la recta que pasa por el punto (2,-3) y tiene la misma ordenada en
el origen que la x-3y+3=0.
15.-Recta que pasa por los puntos simétricos de A(1,2) respecto de los B(-2,3) y
C(-2,4).
16.-Hallar la ecuación de la recta que pasa por el baricentro del triángulo de
vértices A(-1,3), B(3,-1), C(2,-2) y tiene de pendiente -2.
17.-Hallar la ecuación general de las infinitas rectas que pasan por un punto.
18.-¿Qué han de cumplir 3 puntos para que estén alineados?
Ejercicios de la Recta Afín
6
19.-Dados los puntos A(1,2), B(3,4), C(5,b), calcular el balor de b para qu elos tres
puntos estén alineados.
20.-Dados los puntos A(1,1), B(2,-1), C(3,2), comprobar que no están alineados y
hallar las ecuaciones de los lados del triángulo.
21.-Calcular la ecuación de la recta que pasando por el punto P(1,-3) tenga la misma
pendiente que la de la recta 2x-4y+1=0.
22.-Las coordenadas de tres de los vértices de un paralelogramo son A(3,5),
C(-2,-2),D(-3,4). Hallar el cuarto punto del paralelogramo.
23.-Posición relativa de las rectas:
+
*x
*y
.
+
*x
*y
.
= 2 + t
= 1 - 3t
= 2 + t
= 5 - 2t
+
*x = 5 +2t
*y = t
.
x-1
y - 4
))))) = )))))
6
5
+
*3x - 2y = 0
* x + y + 3 =0
.
+
*3x - 2y + 6 = 0
*2x - y + 4 = 0
* x - 3y + 2 = 0
.
24.-Dadas las rectas 3x+2y-8=0, 5x-y-9=0, 2x-ky-2=0, hallar k para que pasan por un
mismo punto.
25.-Determinar m y n para que las rectas 2x-my+1=0, nx-2y-4=0 se corten en el punto
(-2,-3).
26.-Dadas las ecuaciones de los lados de un triángulo 2x-y-1=0, 10x+y+13=0, x+y-5=0.
Hallar las ecuaciones de los lados del triángulo formado al unir los puntos medios
del primer triángulo.
27.-Ecuación de la recta que pasa por los puntos medios de los segmentos que los ejes
de coordenadas determinan sobre las rectas 3x+4y-12=0, 5x+2y+10=0.
28.-¿Cómo comprobarías si tres rectas dadas por su ecuaciones concurren en un punto?
29.-Las coordenadas en el origen de una recta son a=3 y b=4. Hallar el punto de
intersección de dicha recta con la bisectriz del primer-tercer cuadrante.
30.-La pendiente de una recta quepasa por el punto (-1,-2) es -1 y la de otra que
pasa por (2,3) es -3. Hallar el punto de intersección de amas rectas.
31.-Dadas las rectas ax+3y+5=0, 2x+6y-b=0 determinar a y b para que dichas rectas
coincidan.
32.-Ecuación de la recta que pasa por el punto (3,1) y es paralela a la que pasa por
el (1,1) y (2,0).
33.-Escrie las ecuaciones generales de todas las rectas paralelas a la ecuación
2x-3y+4=0.
34.-Hallar a para que las 2x+3y-1=0, ax-2y+4=0 sean paralelas.
35.-Halar a para que las rectas ax+(a-1)y-2(a+2)=0, 3ax-(3a+1)y-5(a+4)=0 sean
paralelas.
36.-Por el punto P(3,5) trazar una paralela a la que tiene por coordenadas en el
origen a=3, b=-2.
Ejercicios de la Recta Afín
7
37.-Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las
3x+2y+7=0, x-3y-11=0 y es parlela a la 5x-6y-5=0, de dos maneras:
a) Calculando previamente el punto de intersección de las dos primeras.
b) Sin hacer dicho cálculo.
38.-Hallar m y n para que las rectas mx+2y=6, nx+y=9 sean paralelas. Se sabe que la
segunda pasa por el punto (2,5).
39.-Intersección de la recta paralela al eje de abscisas por el punto (2,3), con la
de dirección (4,5) que pasa por el origen.
40.-Un paralelogramo tiene vertice A(3,2) y dos de sus lados están en las rectas
3x+3y=7, 3x-y=4. Se piden las ecuaciones de los otros dos lados y las coordenadas de
los restantes vértices.
41.-Dadas las rectas:
s/x+y-2=0
t/2x+y-1=0
g/x+2y-3=0
Halla la ecuación de la recta r con los siguientes datos: A es el punto de
intersección de s y t, y A es un punto de la recta r. r es paralela a la recta g.
42.-El baricentro G de un triángulo está en el eje de abscisas, dos de sus vértices
son los puntos A(3,-4) y B(-6,2). El otro vértice C está sobre el eje de ordenadas.
Calcula las coordenadas de su tercer vértice y las del baricentro.
43.-Se tiene el triángulo formado por lospunto O(0,0), A(1,5) y B(-2,4). Hallar los
vértices de otro triángulo OA'B', semejanto con él, y de lados con las direcciones
del primero.
44.-Se tiene el triángulo formado por el punto A(3,-2) y que determina en el eje de
abscisas un segmento triple que el que determina en el eje de ordenadas.
45.-En el cuadrilatero (0,0) (-4,2) (0,4) y (4,2), hallar las coordenadas del punto
de intersección de sus diagonales.
46.-Las coordenadas de tres de los vértices de un paralelogramo son A(3,5) B(6,0) y
C(8,2). Calcular las del cuarto vértice D, sabiendo que D es el opuesto al B.
47.-La recta 3x+ny-7=0 pasa por el punto A(3,2) y es paralela a la recta mx+2y=13.
Calcula m y n.
48.-Comprueba si están
a) A(-2,5)
b) A(11,-2)
c) A(3,5)
alineados
B(3,-1)
B(2,2)
B(-2,3)
los puntos:
C(8,-3)
C(5,4)
C(-3,1)
49.-Determina si son concurrentes las siguientes rectas:
+
*2x - y - 7 = 0
* x + 2y+ 4 = 0
*3x + 3y+ 3 = 0
.
+
* x + 2y -11 = 0
*3x - y - 5 = 0
*2x + 3y -18 = 0
.
50.-Halla las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (1,-2) y son
respectivamente paralelas a los ejes coordenadas.
Ejercicios de la Recta Afín
8