Ingenier´ıa de Control Automático Especialidad de

Ingenierı́a de Control Automático
Especialidad de Tecnólogo en
Mecatrónica
Práctica 5
PID Auto-ajustable
Vı́ctor Hugo Jiménez Ramı́rez
Mayo 1 de 2015
1
Resumen
Durante esta practica se considera el sistema propuesto y se implementara y simulara un PID Autoajustable.
Un controlador PID es un mecanismo de control por re-alimentación ampliamente usado en sistemas de control industrial. Este calcula la desviación
o error entre un valor medido y un valor deseado. Cuando no se tiene conocimiento del proceso, históricamente se ha considerado que el controlador
PID es el controlador más adecuado.
La respuesta del controlador puede describirse en términos de la respuesta
del control ante un error, el grado el cual el controlador sobrepasa el punto
de ajuste, y el grado de oscilación del sistema.
Algunas aplicaciones pueden solo requerir de uno o dos modos de los que
provee este sistema de control. Un controlador PID puede ser llamado también PI, PD, P o I en la ausencia de las acciones de control respectivas.
Índice
1. Introducción
3
2. Desarrollo
5
3. Resultados
6
4. Conclusiones
7
5. Anexos
7
Índice de figuras
1.
2.
3.
4.
Diagrama de bloques.
Grafica. . . . . . . .
Acercamiento. . . . .
Datos de P. . . . . .
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1.
Introducción
Estructura del PID
Consideremos un lazo de control de una entrada y una salida de un grado de
libertad:
Figura 1: Diagrama de bloques.
Los miembros de la familia de controladores PID, incluyen tres acciones: proporcional (P), integral (I) y derivativa (D). Estos controladores son los denominados
P, I, PI, PD y PID.
P: acción de control proporcional, da una salida del controlador que es proporcional al error, es decir: u(t) = Kp*e(t),que descrita desde su función
transferencia queda:
Cp (s) = Kp
donde Kp es una ganancia proporcional ajustable. Un controlador proporcional puede controlar cualquier planta estable, pero posee desempeño limitado
y error en régimen permanente (off-set).
I: acción de control integral, da una salida del controlador que es proporcional al error acumulado, lo que implica que es un modo de controlar lento.
Z t
u(t) = ki
e(τ )dτ
0
Ki
s
La señal de control u(t) tiene un valor diferente de cero cuando la señal de
error e(t) es cero. Por lo que se concluye que dada una referencia constante,
o perturbaciones, el error en régimen permanente es cero.
Ci (s) =
3
PI: acción de control proporcional-integral, se define mediante:
Z
Kp t
u(t) = Kp e(t) +
e(τ )dτ
Ti 0
donde Ti se denomina tiempo integral y es quien ajusta la acción integral.
La función de transferencia resulta:
1
CP I (s) = Kp 1 +
Ti s
Con un control proporcional, es necesario que exista error para tener una
acción de control distinta de cero. Con acción integral, un error pequeño
positivo siempre nos dará una acción de control creciente, y si fuera negativo
la señal de control será decreciente. Este razonamiento sencillo nos muestra
que el error en régimen permanente será siempre cero.
Muchos controladores industriales tienen solo acción PI. Se puede demostrar
que un control PI es adecuado para todos los procesos donde la dinámica es
esencialmente de primer orden. Lo que puede demostrarse en forma sencilla,
por ejemplo, mediante un ensayo al escalón.
PD: acción de control proporcional-derivativa, se define mediante:
u(t) = Kp e(t) + Kp Td
de(t)
dt
donde Td es una constante de denominada tiempo derivativo. Esta acción
tiene carácter de previsión, lo que hace más rápida la acción de control,
aunque tiene la desventaja importante que amplifica las señales de ruido y
puede provocar saturación en el actuador. La acción de control derivativa
nunca se utiliza por si sola, debido a que sólo es eficaz durante perı́odos
transitorios. La función transferencia de un controlador PD resulta:
CP D (s) = Kp + sKp Td
Cuando una acción de control derivativa se agrega a un controlador proporcional, permite obtener un controlador de alta sensibilidad, es decir que
responde a la velocidad del cambio del error y produce una corrección significativa antes de que la magnitud del error se vuelva demasiado grande.
Aunque el control derivativo no afecta en forma directa al error ea estado estacionario, añade amortiguamiento al sistema y, por tanto, permite un valor
más grande que la ganancia K, lo cual provoca una mejora en la precisión
en estado estable.
4
PID: acción de control proporcional-integral-derivativa, esta acción combinada reúne las ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales. La ecuación de un controlador con esta acción combinada se obtiene
mediante:
Z
de(t)
Kp t
e(τ )dτ + Kp Td
u(t) = Kp e(t) +
Ti 0
dt
y su función de transferencia resulta:
1
+ Td s
CP ID (s) = Kp 1 +
Ti s
Sistema a analizar
Considere el sistema:
F (z) =
0,5143z
z 2 − 1,7826z + 0,8187
(1)
Obtenido bajo una tasa de muestreo de fs=1kHz.
Implementar y simular un PID auto-ajustable para la planta descrita por
F(z).
2.
Desarrollo
Para obtener la ecuación de diferencias se desarrollara de la siguiente manera:
Primeramente se multiplica por
z −2
z −2
0,5143z
z −2
∗ 2
−2
z
z − 1,7826z + 0,8187
Se escribe de la siguiente forma F(z):
Y (z)
0,5143z −1
=
X(z)
1 − 1,7826z −1 + 0,8187z −2
Y (z) − Y (z)1,7826z −1 + Y (z)0,8187z −2 = X(z)0,5143z −1
Y (z) = Y (z)1,7826z −1 − Y (z)0,8187z −2 + X(z)0,5143z −1
Por lo que la ecuación de diferencias queda de la siguiente manera:
Y (k) = 1,7826 ∗ Y (k − 1) − 0,8187 ∗ Y (k − 2) + 0,5143 ∗ X(k − 1)
Esta será introducida dentro del script de Matlab PIDauto.
5
(2)
3.
Resultados
Después de introducir los datos de la ecuación de diferencias se corrió el script
PIDauto(anexos), y a continuación se muestran los resultados obtenidos.
En la siguiente gráfica, se puede observar tanto la función de salida deseada (azul)
como la función controlada(verde), se observa el seguimiento de esta última.
Figura 2: Grafica.
La siguiente gráfica, solo es un acercamiento de la gráfica anterior para observar
más de cerca el seguimiento.
Figura 3: Acercamiento.
6
También se obtuvieron los datos del vector P, correspondiente a los coeficientes
de la función de transferencia, y se muestran en la siguiente figura.
Figura 4: Datos de P.
4.
Conclusiones
1. Se observa en la figura 2 que la función a controlar inicia con un pequeño
oscila miento pero después de un tiempo menor a 0.05 segundos empieza el
seguimiento de la función deseada y se empieza a estabilizar.
2. En la figura 3 se observa más claramente el seguimiento después del tiempo
que estuvo oscilando la función, y se notan pequeñas diferencias, sin embargo
son muy parecidas, además cabe notar la escala en la que se muestra esta
gráfica.
3. El script fue proporcionado por el profesor, sin embargo habı́a que establecer
que el sistema a analizar solo tiene 4 coeficientes, 1 en el numerador y 3 en
el denominador, por lo que se tuvo que establecer el tamaño de los vectores;
C,p,z, para que el script corra sin errores.
5.
Anexos
Código en Matlab del PIDauto:
clc
clear all
t = 700;
n = 2;
Ts = 0.001;
r = rand(1);
c=0;
Ret = 1;
%Número de muestras a simular
%Orden del sistema
%Tiempo de muestreo Ts=1/fs
%Retardo de la planta
C=100*eye(2*n);
phi = 0.99;
z=[0;0;0;0];
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P = [0.1;0.1;0.1;0.1];
for k=1:t
if k==t/2
end
kTs(k) = k*Ts;
if c>40
r = rand(1);
c=0;
end
c = c + 1;
yd(k) = r;
P0 = 1/(2*P(3)*(Ret+1));
P1 = -P0*P(2);
P2 = -P0*P(4);
%vector del tiempo
%Vector entrada
%Margen de fase de 30 grados
if k==1
y(k) = 0;
err(k) = yd(k)-y(k);
u(k) = err(k)*P0;
z = [u(k);0;0;0];
elseif k==2
y(k) = 1.7826*y(k-1)+0.5143*u(k-1);
err(k) = yd(k)-y(k);
u(k) = P0*err(k) + P1*err(k-1) + u(k-1);
z = [u(k);y(k-1);u(k-1);0];
else
y(k) = 1.7826*y(k-1)-0.8187*y(k-2)+0.5143*u(k-1);
%Vector salida
err(k) = yd(k)-y(k);
u(k) = P0*err(k) + P1*err(k-1) + P2*err(k-2) + u(k-1);
z = [u(k);y(k-1);u(k-1);y(k-2)];
end
g = C*z;
alfa2 = phi^2+z’*g;
e(k) = y(k) - P’*z;
P = P + (1/alfa2)*g*e(k);
C = (1/phi^2)*(C-(1/alfa2)*g*g’);
p(k)=P(4);
end
P
plot(kTs,yd,kTs,y)
xlabel(’Tiempo(ms)’’*’)
ylabel(’Error’)
grid on
Referencias
[1] Virginia Mazzone , Controladores PID, Universidad Nacional de Quilmes,
Marzo 2002.
[2] MATLAB
LATEX
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