Electromagnetismo: Electrostática

Electromagnetismo: Electrostática
1.1 Introducción
La electricidad está presente en nuestras vidas cotidianas. Basta pensar en desarrollos
tecnológicos como la red de alumbrado eléctrico o los electrodomésticos, o en fenómenos
meteorológicos como los rayos. Además, muchos fenómenos químicos y biológicos son
fundamentalmente debidos a interacciones electromagnéticas. En este curso sentaremos las bases
para el estudio de campos electromagnéticos y propagación de ondas electromagnéticas. Se
estudiarán los aspectos básicos de las interacciones eléctricas y magnéticas y de los campos
electromagnéticos estáticos y dependientes del tiempo. Sin embargo, será el objetivo de cursos
posteriores el estudio de la propagación de ondas electromagnéticas.
1.2 Carga eléctrica
Aunque el desarrollo tecnológico asociado al uso de fenómenos electromagnéticos se ha dado
principalmente a lo largo del siglo XX, las primeras observaciones de fenómenos de atracción
eléctrica las realizaron los antiguos griegos. En este tema se definirá el campo eléctrico, qué lo
produce (cargas), y cómo predecir lo que sucede cuando varias cargas interactúan (leyes). Antes
de definir qué es un campo eléctrico se analizará qué lo produce.
Ya en el siglo XIX, se sabía gracias a los experimentos que se habían llevado a cabo que existían
unas magnitudes escalares llamadas cargas y que poseían las siguientes propiedades:
−
−
−
La carga se conserva. La ley o principio de conservación de la carga es una ley
fundamental de la naturaleza. La carga total de los objetos que componen un sistema no
cambia. Puede transferirse carga de unos objetos a otros e incluso pueden generarse nuevas
cargas siempre y cuando la cantidad de cargas negativas y positivas producidas sean
iguales.
La carga está cuantizada, es decir, una carga Q cualquiera puede expresarse como N
veces (N ∈ N) la carga del electrón e, Q = ± Ne (e = 1,6·10-19 C). La unidad del sistema
internacional (SI) de carga es el culombio C. No es habitual observar la cuantización de la
carga porque N es normalmente un número grande.
La fuerza entre dos cargas puntuales varía de modo inversamente proporcional al cuadrado
de la distancia entre ellas.
1.3. Ley de Coulomb
Charles Coulomb (1736-1806) estudió la fuerza ejercida por una carga sobre otra. Como es
común en física, dada una serie de fenómenos, experimentos u observaciones, se formulan leyes
que los expliquen. Los resultados de los experimentos de Coulomb (y otros científicos) dieron
lugar a la ley de Coulomb:
La fuerza ejercida por una carga puntual sobre otra está dirigida a lo largo de la línea que
las une. Es repulsiva si las cargas tienen el mismo signo y atractiva si las cargas tienen signos
opuestos. La fuerza varía inversamente con el cuadrado de la distancia que separa las cargas
y es proporcional al valor de cada una de ellas.
La ley de Coulomb especifica cómo se relacionan dos cargas y qué efecto tiene una sobre la otra.
Su expresión matemática es:
F12 = ke
q1q2
qq
rˆ = 1 2 2 rˆ
2
r
4πε 0 r
donde q1 y q2 son las cargas puntuales, r es el módulo del vector que une ambas cargas, r̂ es el
vector unitario en la dirección de la línea que une ambas cargas y ke es la constante de Coulomb.
Típicamente se considera el valor ke = 8,99·109 N·m2 / C2, aunque es necesario destacar que su
valor depende del medio material en el que se considera la interacción y el valor mencionado
corresponde al vacío. En el vacío, tomamos la permitividad del espacio libre ε0, cuyo valor es ε0 =
8.854·10-12 C2/(N·m2). Como se puede observar, la ley de Coulomb muestra claras similitudes con
la ley de Gravitación Universal.
Propiedad fundamental
CAMPO
FUERZA
Gravedad
Masa M
Electricidad
Carga q (±)
M
g = −G 2 rˆ
r
Fg = m g
q
E = ke 2 rˆ
r
FE = q0 E
En primer lugar, existen dos constantes, G y ke ( 6.67259·10-11 N m2/kg2 y 8,99·109 Nm2 / C2 ,
respectivamente). Además, también existen dos magnitudes escalares que cumplen el mismo
papel: masa (M) y la carga (q). Así pues, para averiguar la fuerza (magnitud vectorial) existe una
misma ecuación que relaciona la masa y la carga (magnitudes escalares) con otras magnitudes
vectoriales que reciben el nombre de campos: campo gravitatorio g y campo eléctrico E .
Ambos campos son directamente proporcionales a las magnitudes escalares (masa o carga) e
inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia a la que consideramos el campo.
Sin embargo, también existen diferencias entre ambas interacciones. Cabe destacar que la masa
sólo admite magnitudes con signo positivo mientras que las cargas admiten magnitudes con signo
positivo y negativo. Como consecuencia, el campo gravitatorio siempre tendrá un sentido dado
(atractivo), mientras que el signo del campo eléctrico dependerá del signo de las cargas.
1.4. Campo eléctrico y fuerza eléctrica
Del mismo modo que al estudiar el campo gravitatorio, en el estudio de la fuerza eléctrica se
introduce el campo eléctrico para evitar los problemas conceptuales que genera la acción a
distancia. Así pues, el campo eléctrico debido a una carga puntual qi se define de igual manera
que el campo gravitatorio generado por una masa mi, cambiando la masa por la carga. Por tanto,
una carga crea un campo eléctrico E en todo el espacio y este campo ejerce una fuerza sobre la
otra carga, o dicho de otro modo, en aquella región del espacio en la que al colocar una carga
eléctrica ésta experimente una fuerza, existe un campo eléctrico.
FE = q 0 E
q
E = ke 2 rˆ
r
Si se tiene una serie de cargas puntuales qi en diversos puntos del espacio y se coloca una carga
testigo q0 en un punto determinado P, la fuerza sobre dicha carga es la suma vectorial de las
fuerzas ejercidas por las cargas individuales. Puesto que cada una de estas fuerzas es proporcional
a la carga q0, la fuerza resultante es también proporcional a q0. El campo eléctrico E en el punto
P se define como el valor de esta fuerza dividido por q0. Por tanto, cuando existe más de una
carga, el campo eléctrico producido por un sistema de cargas se obtiene sumando las
contribuciones (vectores) de los campos creados por cada una de las cargas. Esto se conoce como
el Principio de Superposición y su expresión matemática es:
E = ∑ Ei = ∑
i
i
kq i
rˆi
ri 2
E = E1+ E2+ E3
E3
E2
E1
+
q0
+
q3
+
+
q1
q2
(a)
(b)
Figura 1: Ilustración del concepto de campo eléctrico – (a) Campo eléctrico en distintos puntos del espacio creado por
una carga eléctrica positiva, y (b) campo eléctrico en distintos puntos del espacio creado por una distribución de cargas
eléctricas.
1.5. Líneas de fuerza y superficies equipotenciales
Las líneas de fuerza son una representación conveniente del campo eléctrico. El vector campo
eléctrico es tangente a las líneas en cada punto e indica la dirección de la fuerza eléctrica
experimentada por una carga de prueba. Las reglas para dibujar las líneas de fuerza eléctrica son
las siguientes:
−
−
−
−
El número de líneas que abandonan una carga positiva o entran en una carga negativa es
proporcional a la carga.
Las líneas se dibujan simétricamente saliendo o entrando en la carga puntual.
Las líneas empiezan o terminan sólo en las cargas.
La densidad de líneas (número de ellas por unidad de área perpendicular a las mismas) es
proporcional al valor del campo.
No pueden cortarse nunca dos líneas de campo ya que E tiene una dirección única en cualquier
punto del espacio (salvo en aquellos puntos ocupados por una carga puntual).
(a)
(b)
Figura 2: (a) Esquema de las líneas de campo eléctrico producidas por dos cargas eléctricas, una positiva y otra
negativa, y (b) líneas de fuerza de dos cargas puntuales (azul negativa, amarilla positiva)
Tal y como puede observarse en la Figura 2, en las proximidades de cada una de las cargas, las
líneas de campo están separadas por una misma distancia y convergen (cargas negativas) o
divergen (cargas positivas) de ellas según el signo de las cargas. Por el contrario, en puntos
alejados de la misma, la estructura detallada del sistema no es importante y el sistema se
comporta como una única carga puntual con la carga neta del sistema.
La Figura 3 muestra las superficies equipotenciales, es decir, superficies que tienen el mismo
valor del campo eléctrico en cada punto de esa superficie y que se distribuyen alrededor de cargas
eléctricas. Las líneas de fuerza son en todos los puntos perpendiculares a las superficies
equipotenciales. En secciones posteriores se analizara el significado de estas superficies de modo
más detallado.
(a)
(b)
Figura 3: (a) Superficies equipotenciales de una carga puntual q, y (b) superficies equipotenciales de dos
cargas puntuales.
En la Figura 4 se muestra un ejemplo de campo eléctrico y superficies equipotenciales en un
sistema formado por varias cargas.
(a)
(b)
Figura 4: (a) Líneas de fuerza en un sistema de cargas puntuales (azules negativas), y (b) superficies
equipotenciales de un sistema de cargas puntuales (azules negativas)
1.6. Potencial eléctrico y energía eléctrica en distribuciones de carga
discretas
a) Trabajo y energía
Cuando sobre un cuerpo que se mueve actúa una fuerza, en general, ésta realiza un trabajo. El
trabajo depende de la trayectoria que siga el cuerpo salvo que se trate de fuerzas conservativas.
El trabajo que realizan las fuerzas conservativas es independiente de la trayectoria que siga el
cuerpo y sólo depende de las posiciones inicial y final del mismo.
El trabajo realizado por una fuerza sobre un cuerpo que sigue una determinada trayectoria es:
W = lim ∑ Fi ⋅ ∆ i = ∫ F ⋅ d C
∆ i → 0 i
Este tipo de integrales se conocen como integrales de camino. En el caso de fuerzas
conservativas, se verifica que el trabajo que realiza la fuerza si la trayectoria es cerrada (bucle
cerrado) es nulo ya que los puntos inicial y final coinciden. Matemáticamente esto se expresa por
medio de una integral cerrada:
∫ F ⋅ d = 0
El trabajo se mide en Joules (1 J = 1 N·m) en el SI.
De igual modo que el concepto de energía potencial es de gran utilidad en el estudio de la
mecánica, es posible definir la energía potencial en el caso de campos electroestáticos, así como
la función potencial eléctrico. El concepto de energía potencial tiene sentido cuando se trabaja
con fuerzas conservativas (como es el caso tanto de la fuerza gravitatoria como eléctrica).
En general, los cuerpos sometidos a campos de fuerzas conservativos tienen una propiedad que
denominamos energía potencial. La energía potencial cambia de valor cuando el cuerpo cambia
de posición. La variación de la energía potencial cuando un cuerpo se desplaza del punto A al
punto B se define como:
B ∆U = U B − U A = − ∫ F ⋅ d A
La energía potencial U de un cuerpo situado en un punto determinado del espacio se define como
la variación ∆U que se produciría si el cuerpo se desplazase desde un punto de referencia (que
elegimos por conveniencia) hasta el punto en cuestión. Por tanto, si elegimos dos puntos de
referencia diferentes, el valor de U varía. Sin embargo, los valores de ∆U que se obtienen cuando
se calcula el incremento de energía potencian entre los puntos A y B no varían. Por tanto, es la
diferencia de energía potencial ∆U lo que tiene sentido físico. Teniendo en cuenta esta
definición, podemos introducir el concepto de superficie equipotencial. Las superficies
equipotenciales se caracterizan porque una partícula que se encuentra en cualquiera de sus
puntos tiene la misma energía potencial.
Si conocemos la energía potencial U en todos los puntos del espacio, podemos determinar la
componente de la fuerza F en cualquier dirección calculando la derivada direccional de U.
Cuando un vector es tal que su componente en una dirección es igual a la derivada direccional de
una función en aquella dirección, se dice que este vector es el gradiente de esta función. Esta
condición se cumple entre la fuerza F conservativa y la energía potencial. Matemáticamente:
F = −∇U
donde utilizamos el operador gradiente que en coordenadas cartesianas se expresa como:
∂
∂
∂
∇ = iˆ + ˆj + kˆ
∂x
∂y
∂z
Se puede demostrar que el gradiente de la energía potencial es perpendicular a las superficies
equipotenciales, lo que quiere decir que F , además de ser perpendicular a éstas, está orientado
en el mismo sentido que las energías potenciales decrecientes.
b) Potencial eléctrico y energía potencial eléctrica
Del mismo modo que una cuerpo de masa m en presencia del campo gravitatorio g tiene una
energía potencial, una carga puntual q en presencia de un campo E creado por otras cargas
también tiene una energía potencial. La variación de energía potencial electrostática de una carga
puntual que se desplaza del punto A al punto B es el trabajo necesario que se ha de realizar en
contra del campo para llevar esta carga del punto A al punto B sin alterar su energía cinética.
La diferencia del potencial eléctrico entre dos puntos A y B se define como:
∆V = VB − VA = − ∫
B
A
B F ⋅ d = −∫ E ⋅ d A
q0
La diferencia de potencial representa la cantidad de trabajo realizado por unidad de carga para
mover una carga de prueba desde A a B, sin cambiar su energía cinética. El potencial eléctrico no
debe confundirse con la energía eléctrica potencial, aunque ambas cantidades están relacionadas
por medio de la expresión:
∆U = q0 ·∆V
La unidad del Sistema Internacional del potencial eléctrico es el voltio (V): 1volt = 1
joules/coulomb (1 V=1 J/C). Es habitual expresar la energía potencial eléctrica en electrón-voltios
(eV) cuya relación con los joules viene dada por la expresión:
1 eV = (1.6·10-19 C)· (1 V) = 1.6·10-19 J
Tal y como se ha visto, el potencial eléctrico está relacionado con el campo eléctrico. En la
siguiente figura se ilustra la relación entre la diferencia de potencial y las líneas de campo.
Figura 5: (a) Una carga q la cual se mueve en la dirección de un campo eléctrico constante E . (b) Una masa m que se
mueve en la dirección de un campo gravitacional constante g .
En particular, la diferencia de potencial eléctrico, considerando el campo eléctrico E constante, se
calcula como:
B ∆V = VB − VA = − ∫ E ⋅ d = − E
A
∫
B
A
d = − E0 ⋅ d < 0
lo que implica que el punto B está a un potencial más bajo comparado con A. De hecho, las líneas
de campo eléctrico siempre apuntan desde el potencial más alto al más bajo. El cambio en la
energía potencial es ∆U = U B − U A = − qE 0 d . Si la carga es positiva, entonces el incremento es
negativo, lo que implica que la energía potencial de una carga positiva disminuye mientras se
mueve a lo largo del campo eléctrico.
En el caso de que el campo eléctrico E y la trayectoria de la partícula no sean paralelos (ver
ejemplo en la Figura 6), la diferencia de potencial entre los puntos A y B se puede calcular como:
B B ∆V = VB − VA = − ∫ E ⋅ d = − ∫ E ⋅ d ⋅ cos θ
A
A
Figura 6: Diferencia de potencial entre dos puntos debido a una carga puntual Q.
En la Fig. 6 d = ds , si tenemos en cuenta que el campo eléctrico es el creado por una partícula
con carga Q, la diferencia de potencial se calcula a partir de la siguiente expresión:
∆V = VB − VA = − ∫
Q
B
A
4πε 0 r
2
B
rˆ ⋅ ds = − ∫
A
Q
4πε 0 r
2
dr =
Q 1 1
 − 
4πε 0  rB rA 
donde se ha considerado que:
rˆ ⋅ ds = ds·cosθ = dr
En particular, el potencial eléctrico generado por la carga Q en un punto del espacio a una
distancia r de la misma, se define como:
V (r ) =
Q
4πε 0 r
que es equivalente a tomar la distancia A en el infinito, o dicho de otro modo, a definir el
potencial cero a una distancia infinita de la carga.
c) Relación entre campo eléctrico, potencial eléctrico, fuerza eléctrica y energía potencial
eléctrica.
En el apartado anterior hemos relacionado el campo eléctrico y el potencial eléctrico mediante la
ecuación.
B B ∆V = VB − VA = − ∫ E ⋅ d = − ∫ E ⋅ d ⋅ cos θ
A
A
de forma análoga a como habíamos relacionado la energía potencial eléctrica que adquiere una
partícula cargada cuando una fuerza electrostática realiza trabajo sobre ella.
B ∆U = U B − U A = − ∫ F ⋅ d A
Del mismo modo que es posible obtener estas magnitudes escalares (∆U y ∆V) a partir de las
magnitudes vectoriales (F y E), es posible recuperar las variables vectoriales si conocemos las
variables escalares. Esto, de hecho, nos permite trabajar con campos escalares y recuperar los
campos vectoriales cuando lo necesitemos. De este modo, la complejidad de los cálculos se
reduce notablemente.
Podemos pensar que siempre que tenemos una carga (o una distribución de cargas) se genera un
campo eléctrico o un potencial eléctrico y éstos están relacionados como se indica en los
esquemas. Estos esquemas destacan que es indistinto pensar en términos de uno u otro ya que
ambos están relacionados. Del mismo modo, la fuerza eléctrica y el campo eléctrico se relacionan
mediante la carga de forma análoga a como lo hacen el potencial y la energía potencial. Podemos
pensar que una carga, o una distribución de cargas, generan un campo eléctrico en todos los
puntos del espacio y otra carga (q en el esquema) siente el efecto del campo, es decir, la fuerza.
Del mismo modo, una partícula cargada genera un campo escalar de potenciales. Al colocar una
carga en un punto (q en el esquema), ésta adquiere una energía potencial. Estos conceptos se
pueden entenderse claramente si pensamos en términos de la fuerza gravitatoria y el potencial
gravitatorio. Una partícula con masa M (por ejemplo la Tierra) da lugar a un campo gravitatorio
(g) que siente otra partícula con masa m (por ejemplo cada uno de nosotros) de modo que
adquirimos un peso P = mg (es decir, sentimos el efecto del campo gravitatorio). Del mismo
modo, podemos pensar en un potencial gravitatorio ∆Vg, de modo que cuando colocamos una
masa a una altura h, ésta adquiere una energía potencial ∆Vg = Ep= mgh. Los esquemas que se
presentan a continuación indican cómo podemos pasar de unas magnitudes a otras.
− ∫ F⋅d F → ∆U p
↑
↑ ∆U p
− ∫ E ⋅d E → ∆V
F = q⋅E
F ←
 ∆U p
F =−∇U p
= q ⋅ ∆V
E
= F
q
↓
↓ ∆qV
E ←
∆V
E =−∇V
= ∆U p
d) Potencial eléctrico y energía potencial debidos de un sistema de cargas puntuales
El mismo criterio de tomar el potencial nulo en el infinito se puede adoptar cuando se estudia un
sistema de cargas si éste tiene un tamaño finito. En ese caso, el potencial debido a un sistema de
cargas puntuales qi se obtiene como la suma del potencial correspondiente a cada carga puntual.
Por tanto:
V (r ) =
qi
1
∑r
4πε r
0
i
i
= ke ∑
i
qi
ri
Del mismo modo, la energía potencial electrostática del sistema formado por un conjunto de
cargas puntuales es igual al trabajo necesario para transportar las cargas desde una separación
infinita a sus posiciones finales y es independiente del orden con que las cargas son transportadas
a tales posiciones. A distancias suficientemente grandes, cualquier distribución de carga presenta
un comportamiento equivalente al de una carga puntual con la carga neta q de la distribución.
Basándonos en la definición de energía potencial a partir del trabajo realizado en contra del
campo electrostático, vamos a derivar la expresión de la energía potencial eléctrica de un sistema
de cargas eléctricas. Para ello, se considera el trabajo realizado por un agente externo para traer la
carga q2 desde el infinito a P dado el campo generado por q1, cuya expresión es W2 = q2V1. Debe
destacarse que no es necesario realizar trabajo para llevar la primera carga W1 = 0 cuando el resto
de cargas se encuentran originalmente a distancia infinita. Como q1 es una carga puntual, tenemos
que
V1 =
q1
,
4πε 0 r12
de modo que la energía potencial viene dada por:
U12 = W2 =
q1 ⋅ q2
4πε 0 r12
Si aumentamos el número de cargas, tal y como se indica en la siguiente ilustración, el trabajo
necesario para añadir una tercera carga es :
q3  q1 q2 
 + 
4πε 0  r13 r23 
W2 = q3 ⋅ (V1 + V2 ) =
La energía potencial de la configuración de 3 cargas, es entonces:
U = W2 + W3 =
1  q1 ⋅ q2 q1 ⋅ q3 q2 ⋅ q3 
+
+

 = U12 + U13 + U 23
4πε 0  r12
r13
r23 
Para un sistema de N cargas, la expresión generalizada de la energía potencial es:
U=
1
4πε 0
N
N
∑∑
i =1 j =1
j >i
qi ⋅ q j
rij
Es necesario destacar que la energía potencial de una partícula en un campo generado por
distintas partículas cargadas es distinta a la energía potencial del sistema que contiene a todas las
partículas. Por definición, la energía potencial electrostática del sistema es igual al trabajo
necesario para transportar las cargas desde una separación infinita a sus posiciones finales,
mientras que la energía potencial de una de las cargas en el sistema se calcula a partir del
potencial que generan las otras en el punto donde tenemos la partícula. Por supuesto, en el cálculo
de la energía potencial del sistema, tenemos en cuenta cuál es la energía potencial de cada una de
las partículas en presencia de las otras a medida que vamos configurando el sistema.
1.7 Campo eléctrico en distribuciones de carga continuas
Hasta ahora sólo hemos calculado el campo eléctrico y la fuerza eléctrica para cargas puntuales,
sin embargo en los siguientes apartados vamos a trabajar con distribuciones de carga continua.
Para ello seguiremos utilizando la Ley de Coulomb, pero debe prestarse especial atención a cómo
representar las cargas continuas.
En primer lugar es necesario explicar qué se entiende
por una distribución de carga continua. La Figura 7
ilustra un ejemplo de una distribución de carga continua
confinada en el objeto azul. La distribución de carga se
caracteriza a partir de incrementos o “pequeños trocitos”
de carga que se simbolizan con ∆q. Al igual que en el
caso de las cargas puntuales, nos interesa calcular el
campo eléctrico y la fuerza de esta distribución de
carga. De este modo, debe calcularse la contribución al
campo eléctrico y a la fuerza eléctrica de cada elemento
de carga ∆q sobre un punto P. Si se suman todos los
incrementos de la carga en un sumatorio, se obtiene la
carga total. En general, si se trata de una distribución
continua, se utiliza una integral para sumar los
Figura 7: Distribución de carga continua
incrementos de carga (en general sería un volumen), que si son lo suficientemente pequeños se
representan por medio de diferenciales (dq).
Q = ∑ ∆ qi → ∫ dq
i
V
Para calcular el campo eléctrico creado por una distribución continua de carga se tienen en cuenta
todos los campos eléctricos creados por los incrementos de carga ∆q. De modo que con la
anterior equivalencia:
∆q
dq
∆ E = ke 2 rˆ → d E = ke 2 rˆ
r
r
a) Densidad de carga
Las distribuciones de carga pueden disponerse formando líneas, superficies o volúmenes. Es
habitual definir en tales casos los conceptos de densidad lineal de carga ( λ ), densidad superficial
de carga ( σ ), y densidad volúmica de carga ( ρ ), de modo que el elemento diferencial de carga se
caracteriza por:
dq = λ ⋅ dl
dq = σ ⋅ dS
dq = ρ ⋅ dV
b) Cálculo del campo eléctrico en el eje x de un anillo uniforme de carga
Si realizamos una representación esquemática del problema, tenemos la siguiente ilustración.
Supondremos que inicialmente conocemos que la cantidad de carga del anillo, es decir, de la
distribución continua de carga es Q.
Figura 8: Esquema del anillo cargado de radio a e ilustración de las
componentes del campo eléctrico sobre el eje x.
En primer lugar, es importante destacar que todas las componentes perpendiculares del campo
eléctrico se cancelan porque el anillo tiene un elemento simétrico para cada dq. De manera que se
obtiene por simetría:
E⊥ = 0
Se asume que el anillo es una distribución lineal de carga, con lo cual cada diferencial de carga se
puede expresar como el producto de la densidad lineal de carga por el diferencial de longitud. De
este modo, el diferencial de carga puede expresarse en función del radio del anillo (a) y del
diferencial del ángulo ( dϕ ). La distancia entre el diferencial de carga y el punto donde se calcula
el campo eléctrico viene dada por r, y se calcula por medio del teorema de Pitágoras aplicado al
triángulo formado por el radio a y la distancia del punto P hasta el centro del anillo x.
dq = λ ⋅ dl = λ ⋅ (a ⋅ dϕ)
r = a2 + x2
La ecuación que caracteriza el campo eléctrico para el diferencial de carga es:
rˆ
r
dE = k e dq 2 = k e dq 3
r
r
Recordemos que no hace falta calcular el diferencial del campo eléctrico en ambos ejes ya que
por simetría sólo es necesario calcularlo sobre el eje x.
dE x = k e dq
x
r3
De otro modo, se puede sustituir el vector desplazamiento r por x, que resulta de calcular la
proyección en el eje x. Como puede comprobarse, el resultado es el mismo en ambos casos.
x 1
x
dE x = dE ⋅ cos θ = k e dq ⋅ 2 = k e dq 3
r r
r
Finalmente, para encontrar el campo eléctrico total debemos sumar (integrar) las contribuciones
de todos los campos eléctricos sobre el eje x. Dado que tanto x como r son constantes en la
integral, sólo es necesario integrar los diferenciales de carga. En el caso que nos ocupa, éste es un
paso que se puede obviar ya que la carga total es un dato del problema-
x
x
= k e ⋅ 3 ∫ dq
3
r
r
2π
λadϕ = λa ∫0 dϕ = λa 2π = Q
E x = ∫ dE x = ∫ k e dq
∫ dq = ∫
2π
0
Sustituyendo el valor obtenido en la expresión del campo eléctrico en un punto del eje x, se
obtiene:
x
x
= keQ
3
3
r
(a 2 + x 2 )2
x
E = keQ
i
3
2
2 2
(a + x )
E x = keQ
Del mismo modo que al resolver el problema de cargas puntuales se indicó la necesidad de
interpretar geométricamente los resultados es, en general, muy útil analizar los resultados
obtenidos de la resolución de problemas en los límites. Puesto que estas situaciones describen
normalmente problemas más sencillos (para los que se conoce el resultado), la verificación de los
resultados obtenidos de este modo indirecto es una forma de validar los cálculos. En particular, en
este ejemplo, en el caso en el que a tiende a cero se obtiene el campo creado por una carga
puntual.
E x = keQ
lim
a →0
x
(x )
2
3
2
=
keQ
x2
1.8. Ley de Gauss: Concepto de flujo eléctrico y cálculo del campo
eléctrico en distribuciones con un alto grado de simetría
Finalmente, se va a mostrar un método más sencillo para calcular el campo eléctrico que no
requiere el uso directo de la ley de Coulomb (de mayor complejidad cuando se tratan
distribuciones continuas de carga). A cambio, será necesario un alto grado de simetría para que
realmente se pueda aplicar otro procedimiento que facilite los cálculos. Esta nueva ley es
conocida como la ley de Gauss.
a) Flujo eléctrico
La ley de Gauss relaciona el campo eléctrico sobre una superficie cerrada con la carga neta
incluida dentro de la superficie. Esta ley permite calcular fácilmente los campos eléctricos que
resultan de las distribuciones simétricas de carga. En este curso se introducirá la ley de Gauss
haciendo uso de las propiedades de las líneas de campo. La ley de Gauss relaciona el número de
líneas de fuerza que atraviesa una superficie cerrada con la carga en el interior de la misma. La
magnitud matemática que define el número de líneas de fuerza que atraviesa una superficie recibe
el nombre de flujo eléctrico.
Se define el flujo eléctrico ( Φ E ), que atraviesa una superficie perpendicular al campo como el
producto del campo eléctrico que la atraviesa por el área. Puesto que la intensidad del campo es
proporcional al número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie, el flujo eléctrico es por
tanto proporcional al número de líneas de fuerza que atraviesan el área.
Las líneas anteriores pueden formularse matemáticamente
como:
Φ E = E·A = E·nˆ A = E ⋅ A
donde la superficie se ha representado por medio de un
vector unitario normal a la misma ( n̂ ), que por convenio
apunta hacia fuera de la superficie, y cuya magnitud es el
área de la superficie (A).
Sin embargo, en general el campo eléctrico no es
perpendicular a la superficie sino que forma un cierto
ángulo con la ésta. En este caso, la expresión anterior se
convierte en:
Φ E = E·A = E ⋅ A cos θ = E n A
donde E n = E· nˆ es el componente de E perpendicular a
la superficie. Finalmente, el caso más general, viene dado
cuando la superficie que se considera es curvada. En la
Figura 10 se muestra un ejemplo en el que además la
superficie es cerrada.
Si se toma un diferencial de esta superficie cerrada y
curvada ( ∆A i ) es posible definir un vector que representa
este pequeño incremento de superficie y que es
perpendicular a la misma: ∆A i = ∆A i nˆ
Figura 9: (a) Ilustración de un campo
eléctrico que atraviesa una superficie de
área A perpendicular al mismo, y (b)
ilustración de un campo eléctrico que
atraviesa una superficie de área A que no
es perpendicular al mismo.
De este modo, el flujo que atraviesa este incremento de
área es:
∆Φ E = Ei ·∆A i = Ei ⋅ ∆A i cos θ
El flujo total se encuentra sumando todos los flujos
asociados a los pequeños incrementos de área. Cuando
los incrementos son muy pequeños, es decir, cuando se
tienen diferenciales, el flujo eléctrico se define como:
Figura 10: Superficie curvada en la que existe
un campo eléctrico.
Φ E = lim
∑
∆Ai →0
Ei ·∆Ai = ∫∫ E·dA
S
b) Ley de Gauss
Consideremos una carga puntual Q ubicada en el centro de una esfera de radio R tal y como se
ilustra en la Figura 11. Por la ley de Coulomb, tenemos que esta carga crea un campo eléctrico en
cada uno de los puntos situados a distancia R, igual a:
kQ
E n = 2 rˆ
R
Si se sustituye esta última expresión en la ecuación
que permite el cálculo del flujo a través de la
esfera, se obtiene:
Φ E = lim
∑
∆Ai → 0
Ei ·∆A i = ∫∫ E·dA =
S
k
2
= En ∫∫S d A = R 2 Q 4πR = Q 4πk =
=
1
Q
Q 4π =
4πε 0
ε0
Figura 11: Campo eléctrico creado por una carga
puntual
1
, y ε 0 recibe el nombre de permitividad del espacio
4 πε 0
libre que tiene como valor ε0= 8,85·10-12 C2/Nm2. Además se ha considerado que 4 πR 2 es el área
donde ke se ha expresado como k e =
de una esfera. Como puede observarse, el resultado sólo depende de la carga interna a la
superficie de radio R y de la permitividad del medio. Además cabe destacar que el resultado es
independiente del radio. De este modo, la ley de Gauss se resume en la siguiente fórmula
ΦE = ∫∫ E·dA =
S
Qint
ε0
donde la carga que se debe tomar es la carga que encierra la superficie de integración escogida.
El número neto de líneas de fuerza que atraviesa
cualquier superficie que encierra las cargas es
proporcional a la carga encerrada dentro de la
superficie y es el mismo independientemente del
radio y, por tanto, de la superficie que se escoja.
Figura 12: El flujo eléctrico es siempre el mismo
indepen-dientemente del radio y, por tanto, de la
superficie.
1) Cálculo del campo eléctrico creado por una superficie (distribución continua superficial de
carga con densidad superficial σ )
Si se considera un plano infinito (o muy grande para poder obviar el efecto de los bordes), se
puede construir una superficie de Gauss también, tal y como se ilustra en la Figura 13.
(a)
(b)
Figura 13: (a) Campo eléctrico creado por una superficie con una densidad superficial de carga σ, (b) esquema de la
selección de una superficie de Gauss para el cálculo del campo eléctrico generado por una superficie infinita.
Tal y como se puede observar, se tienen tres superficies. El producto escalar entre el campos
eléctrico y el vector normal a las superficie se anula en la superficie lateral. De este modo, sólo se
tiene flujo en ‘las tapas’ del cilindro. En este caso, el cálculo del flujo a través de cada superficie
puede realizarse a partir de las siguientes ecuaciones:
ΦE = E
·
d
A
=
E
·
d
A
+
E
·
d
A
+
E
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫ ·dA = E n ∫∫ dA + E n ∫∫ dA + 0 =
S
S1
S2
S3
S1
S2
= E1A1 + E 2 A 2 = A(E1 + E 2 )
Si se supone además que A1= A2, y que el campo eléctrico es el mismo en ambas superficies, se
tiene la siguiente expresión para el flujo eléctrico:
Φ E = A(E1 + E 2 ) = 2AE z
Si se aplica la ley de Gauss para
averiguar el valor del campo eléctrico,
se tiene:
Ez 2A =
Qint
ε0
= 4πkQint =
σ ⋅A
ε0
Aislando el campo eléctrico:
Ez =
σ
N/C
2ε 0
que también puede expresarse en
relación al vector unitario en la
Figura 14: Gráfica del módulo del campo eléctrico en función de la
distancia (z) a la distribución continua superficial de carga.
dirección z, es decir k̂ :
 σ ˆ

k z >0 
 2ε
 N/C
Ez =  0

σ ˆ
− k z < 0
 2ε0

2) Cálculo del campo eléctrico generado por un alambre infinito (distribución de carga lineal)
con densidad lineal λ
En este apartado se utilizará la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico generado por un
alambre infinito. Es importante destacar que el problema sólo se simplifica si el alambre es
considerado infinito, o muy largo frente a los puntos donde se va a calcular el campo eléctrico, ya
que sólo así no habrá un cambio de campo eléctrico debido al efecto de los bordes. En este caso,
por simetría, el campo eléctrico será perpendicular al elemento de carga en todos los puntos del
alambre. De este modo, la elección ideal de la superficie es una superficie cilíndrica que rodee el
alambre, tal y como se muestra en la Figura 15.
Figura 15: Distribución lineal de carga (alambre) y construcción de superficies que la rodean.
La superficie cilíndrica puede dividirse en tres superficies: dos ‘tapas’ (S1 y S2) , es decir,
secciones perpendiculares al campo eléctrico creado por la distribución y una superficie lateral S3
. Por tanto, el cálculo del número de líneas de campo eléctrico que atraviesan estas superficies se
lleva a cabo resolviendo tres integrales de superficie. Como el campo eléctrico es perpendicular a
las superficies A1 y A2, su producto escalar será 0, y por tanto no se tiene flujo en las ‘tapas’ del
cilindro. Sin embargo, en la superficie lateral del cilindro el campo eléctrico y la superficie son
paralelos. Además, el campo eléctrico tiene el mismo valor en cada punto de la superficie, de este
modo, la magnitud del campo se puede sacar de la integral, y sólo es necesario calcular la integral
de la superficie, es decir, sumar todos los pequeños elementos de superficie. Así pues, el flujo
eléctrico es:
ΦE = E
·
d
A
=
E
·
d
A
+
E
·
d
A
+
E
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫ ·dA = 0 + 0 + E n ∫∫ dA = E n 2πrL
S1
S
S2
S3
S3
donde 2 πR L representa el área lateral del cilindro. Si se considera la ley de Gauss, sabemos que
el flujo neto a través de cualquier superficie es igual a:
Qint
ε0
= 4 πkQint
Si se igualan las dos expresiones que se han obtenido para el flujo, se puede determinar el valor
del campo eléctrico.
En 2πRL =
Qint
ε0
= 4πkQint =
λL
ε0
,
de donde se deduce que:
En =
λ
N/C
2πRε 0
Obtenemos el campo eléctrico de un alambre (una distribución lineal infinita de carga) a una
distancia R que responde al comportamiento ilustrado en la Figura 16.
Figura 16: Representación del módulo del campo eléctrico en función de la distancia entre la
línea de carga y el punto donde se calcula el campo.
3) Cálculo del campo eléctrico creado por una corteza esférica
En primer lugar, es necesario explicar qué se entiende por corteza esférica. Intuitivamente, se
tiene una corteza esférica en casos como la piel de cuero de un balón o de una pelota de tenis en
cuyo interior se tiene aire. En el caso que nos va a ocupar en este tema, en el interior de la corteza
se tiene el vacío. La distribución de carga en el caso de la corteza esférica es simétrica y puede
expresarse como:
σ=
Qint
4 πR 2
Figura 17: Campo eléctrico creado por una corteza esférica
Es conveniente resolver el problema considerando dos regiones distintas, tal y como se ilustra en
la Figura 18:
Figura 18: Superficies gaussianas para encontrar el campo eléctrico para los casos (a) r < a y (b) r > a, respectivamente.
Caso r < a
Puesto que no existe carga en el interior de la corteza esférica, la superficie de Gauss no
encerrará ninguna carga y, por tanto, el campo eléctrico en su interior será nulo.
Caso r > a
Si se considera la ley de Gauss y se toma como superficie de Gauss una esfera, se tiene:
Q
2
ΦE = E
∫∫ ·dA = ∫∫ E·dA = E n ∫∫ ·dA = E n 4πr = int = 4πkQint
S
S
S
ε0
Que también puede expresarse en función de la densidad de carga superficial:
Qint
kQint σ ⋅ a 2
σ ⋅ a2
E n (r ) =
= 2 =
N / C ⇒ En (r ) =
uˆ N / C
4πε 0 r 2
r
ε 0 ·r 2
ε 0 ·r 2 r