1. INTRODUCCIÓN: LA LUZ

ÓPTICA CRISTALINA
Mario Vendrell
1. INTRODUCCIÓN: LA LUZ
1.1. La Óptica a través de la Historia
Muy probablemente, el nacimiento de la Óptica coincide con el
momento en que el hombre trata de hallar una explicación al fenómeno
de la visión como facultad de relacionarse con el mundo exterior. La
ubicación temporal de este momento, como ocurre con muchos de los
hechos que constituyen la historia de la ciencia, no está claro, y
posiblemente varía de unas civilizaciones a otras. Sea cual sea el
momento histórico, desde los tiempos más antiguos el hombre percibió
que el fenómeno de la visión requería “algo” que enlazara el objeto
observado con los ojos del observador. La naturaleza de este “algo” ha
sido motivo de controversia casi desde el principio de la historia hasta
nuestros días.
En el entorno de la Grecia antigua, cuna de gran parte de nuestro
acerbo cultural, la escuela atomística (s. V aJC) sostenía que los objetos
emitían “imágenes” que llegaban al alma del observador a través de los
ojos.
Por
el
contrario,
la
escuela
pitagórica,
prácticamente
contemporánea de la anterior, mantenía que eran los ojos los que
emitían una especie de fuego que, a modo de tentáculos, exploraban el
objeto.
Años más tarde, en el mismo entorno cultural, Euclides da un
nuevo rumbo a las ideas ópticas introduciendo conceptos geométricos.
Así, en los postulados de su “Óptica” aparece por primera vez el
concepto de “rayo” (aunque emitido por el ojo), y con él se establece la
propagación rectilínea del mismo y las leyes que controlan la reflexión.
Desde entonces hasta el siglo XI tan sólo son de destacar los
trabajos de Galeno (130-201 aD) sobre la anatomía del ojo, llegados a
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nuestros días a través de traducciones árabes. Fue precisamente la
cultura islámica la que dio, como a tantos otros, un notable impulso a
los conocimientos ópticos. En el s. XI es Alhacen de Basora, quien
sugiere que la luz procede de los objetos, y que éstos actúan reflejando
la luz que reciben de una fuente externa. Este físico postula nuevamente
la ley de la reflexión y estudia la formación de imágenes en los espejos.
Entre los siglos XVI y XVII se generalizó el empleo de lentes y
espejos, en paralelo a un amplio desarrollo de la Óptica, que a su vez
redundó en el diseño y construcción de instrumentos progresivamente
más complejos, especialmente tras las conquistas de Keppler y Galileo.
En 1621 Snellius postula la ley de la refracción, que permaneció en el
olvido hasta 1638 cuando Descartes publica su “Óptica”, en la que
establece la ley de la reflexión y de la refracción, suponiendo que la luz
se comporta como un proyectil, aunque de naturaleza desconocida.
La naturaleza de la luz fué abordada por primera vez desde un
punto de vista físico por Newton (1642-1726), que sugirió que la luz
estaba formada por partículas materiales que se propagaban en línea
recta. Casi de modo contemporáneo, Huygens (1629-1695) propuso la
teoría de que la luz era un fenómeno ondulatorio de naturaleza
mecánica, como el sonido, que se propagaba en una especie de fluido
(el éter) que lo llena todo, incluso el espacio intersideral. Sin embargo,
la teoría de Huygens pasó desapercibida frente el enorme peso
científico de Newton.
Mientras tanto, el desarrollo de la óptica geométrica continuó,
apoyada en la teoría corpuscular que estuvo vigente durante más de un
siglo, hasta que ya en el siglo XIX, Young explicó la interferencia de la
luz basándose en la teoría ondulatoria, fenómeno difícilmente
explicable con el modelo corpuscular. Fue el siglo XIX el que vio cómo
la teoría óptica se desarrollaba en toda su amplitud. Hay que destacar
nombres como el de Fresnel, que explicó los fenómenos de la difracción
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de la luz y su propagación y polarización en medios anisótropos, aunque
el hito lo marcó Maxwell en 1864 al proponer que la luz es un
fenómeno ondulatorio, pero de naturaleza electromagnética en vez de
mecánica como proponía Huygens. Esta vino a llenar una serie de
lagunas de la teoría ondulatoria de Huygens, como las propiedades
elásticas de un éter cuya naturaleza nunca tuvo una explicación
convincente, y el empujón final lo dio Hertz en 1887 al confirmar
experimentalmente la teoría de Maxwell.
Sin embargo, el estudio de algunos fenómenos ópticos como el
efecto fotoeléctrico, los espectros atómicos o la radiación de un cuerpo
negro, abrieron huecos en la teoría electromagnética. La teoría cuántica
de Plank (1900) dio explicación a la radiación de un cuerpo negro, y
permitió que posteriormente, Einstein (1905) explicara el efecto
fotoeléctrico.
En este momento apareció nuevamente la antigua contradicción
sobre la naturaleza de la luz, y es que ésta se comporta como una onda
electromagnética en fenómenos macroscópicos, y como corpúsculos
(fotones) en los fenómenos microfísicos (atómicos). Esta contradicción
trató de resolverla de Broglie (1925) admitiendo que el movimiento de
una partícula lleva asociada una onda: había nacido la mecánica
cuántica.
1.2. ¿Corpuscular u ondulatoria?
La naturaleza de la luz ha comportado controversias en el mundo
científico y filosófico desde mediados del siglo XVII hasta el XX. Lo
cual representa la nada desdeñable cifra de 250 años!. En 1675 Newton
propuso la teoría corpuscular en base a la propagación rectilínea de la
luz y poco después, en 1678, Huygens sugirió su naturaleza ondulatoria.
La solución final (un siglo más tarde!) favoreció la teoría ondulatoria
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cuando Fresnel y Young interpretaron la difracción y la interferencia de
la luz, imposibles de explicar con la teoría corpuscular, que sin
embargo permitió el desarrollo de la óptica geométrica.
Analicemos brevemente la reflexión
y la refracción de la luz bajo ambas
hipótesis. La teoría de la emisión de
Newton postula que la reflexión de la luz se
produce igual que la de una bola de billar en
la banda (ángulo de incidencia igual al de
reflexión). Sin embargo, para explicar la
refracción hay que introducir una hipótesis
complementaria: en la Figura 1 un rayo
incidente IO pasa del aire a otro medio más
denso, cada partícula del rayo IO posee una
velocidad v A que puede ser desglosada en
una componente tangencial v T y una normal
Figura 1
v N. Cuando este rayo llega a la interfase que
separa ambos medios, cambia la trayectoria formado un ángulo r con la
normal. Como no hay ninguna razón mecánica que justifique un cambio
de la velocidad tangencial vT, la componente normal v’N de la partícula
en el interior del nuevo medio debe ser mayor que v N en el medio
anterior. Como resultado, la velocidad de la partícula en el medio más
denso sería mayor que en el vacío. Mientras
no fué posible la medición de la velocidad
de la luz en un medio determinado, la teoría
permitía avanzar sin problemas en el
desarrollo de la óptica geométrica.
Consideremos el mismo fenómeno
bajo la óptica de la teoría ondulatoria, la
cual sugiere que una onda progresa desde un
punto emisor S, y que cada punto de un
frente de onda se convierte en emisor de
Figura 2
pequeñas ondas elementales, la envolvente
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de las cuales es el nuevo frente de onda (Figura 2). Todos los puntos de
un frente de onda están en el mismo estado luminoso y el rayo es la
recta que une el punto de emisión S con un punto del frente de onda.
Cuando S está lo suficientemente lejos, o se considera una superficie
infinitamente pequeña del frente de onda, se puede hablar de onda
plana, y su perpendicular es la normal de onda. Esta teoría, así
explicada, presenta algunos problemas, entre otros porqué no se
produce una onda “hacia atrás” envolviendo las ondas elementales de
cada punto de un frente, pero permite dar una interpretación a las leyes
de Descartes sobre reflexión y refracción.
La Figura 3 representa la misma
geometría de reflexión y refracción
anteriormente considerada. La onda plana
asociada al rayo IO es AB, la reflejada es
A1B’ y la refractada A’B’. En el momento
que el punto A alcanza la interfase entre
los
dos
medios,
se
emiten
ondas
elementales, una hacia el aire y otra hacia
el otro medio. Considerando la reflejada,
cuando el punto B llega a B’, la onda ha
recorrido un radio igual a esta distancia,
de modo que AA1=BB’. De la misma
forma, la onda producida hacia delante ha
alcanzado A’. Para que se cumpla la
Figura 3
geometría prevista en las leyes de
Descartes, el segmento AA 1 debe ser mayor que el AA’. Es decir, la luz
se propaga en el medio más denso a menor velocidad que en el aire,
contrariamente a lo previsto al analizar el mismo hecho con la teoría
corpuscular.
La teoría ondulatoria se consolidó cuando Maxwell dedujo la
naturaleza electromagnética de la onda luminosa, aunque ésta no
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permite explicar los procesos que implican transferencia de energía (la
impresión de una placa fotográfica, por ejemplo). Einstein explicó la
fotoemisión mediante la teoría cuántica y reabrió la controversia. Y el
problema de complicó cuando al demostrarse que los electrones pueden
ser difractados por una estructura cristalina y, por tanto se comportan
como ondas. La cuestión es cómo explicar que los electrones se
comportan como ondas, y las ondas como partículas.
De Broglie sugirió que la distribución de los electrones en
orbitales implica números enteros, igual que un fenómeno tan
típicamente ondulatorio como la interferencia de la luz, y que el
comportamiento ondulatorio puede asignarse a la distribución de los
orbitales de los átomos.
La radiación asociada a un electrón se puede establecer a partir
de la ecuación
h = mv
λ
donde h es la constante de Plank, l la longitud de onda de la radiación,
m la masa del electrón y v su velocidad. Esta ecuación se parece a la de
la energía de un fotón
hc
= E
λ
La primera describe la difracción de una partícula, la segunda, la
naturaleza cuántica de la luz. Ante esto, ¿cual es la naturaleza de la
luz?. La respuesta requiere introducir cierto matiz. Algunos hechos
experimentales se explican mejor considerando la luz como paquetes de
energía, mientras que otros son más fácilmente justificables
considerándola una onda. Sin embargo, ningún hecho experimental
puede explicarse con el modelo corpuscular si se supone que las
partículas siguen las leyes de la mecánica clásica. Se requiere una nueva
ley fundamental que explique los hechos.
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Un modo de imaginarlo podría ser que las ondas luminosas
"transportan" fotones y que las ondas asociadas al movimiento de
electrones u otras partículas "transportan" a éstas en condiciones de
difractar; aunque no son exactamente lo mismo: la luz viaja siempre en
el vacío a unos 300.000Km/seg, y en cambio la materia no puede
hacerlo nunca, de acuerdo con la teoría de la relatividad.
Muchas de las interacciones entre la luz y la materia no implican
transferencia de energía, y pueden ser explicadas sin mayores
problemas con el modelo ondulatorio. Otras, sin embargo, implican que
cierta cantidad de energía sea transferida entre la radiación y los
átomos, en estos casos hay que recurrir al modelo cuántico. El enfoque
de una cámara fotográfica se puede explicar perfectamente con la teoría
ondulatoria, mientras que la impresión de la película requiere el modelo
cuántico.
Figura 4.
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1.3. Teoría electromagnética de la luz
La hipótesis de Huygens de que las ondas luminosas son una
sucesión de pulsos muy cortos, que pueden reflejarse, difractarse,
interferir... no permite explicar la polarización de la luz (que es
fenómeno transversal a la propagación) sin introducir hipótesis
adicionales complejas y, a menudo, contradictorias. El carácter
transversal de las ondas, al que hay que recurrir para explicar la
polarización, introduce serios inconvenientes a la teoría ondulatoria de
Huygens. Las ondas transversales no se propagan en los fluidos, y por
tanto, hubo que atribuir al "éter" unas propiedades dinámicas parecidas
a las de la materia ordinaria, lo que nos sitúa frente a un fluido de
propiedades elásticas que aparentemente no ofrece resistencia al
movimiento de los planetas, por poner un ejemplo.
Este momento coincidió con los estudios sobre la electricidad
llevados a cabo por Faraday, y él mismo sugirió la idea de la luz como
un fenómeno electromagnético. Maxwell dedujo, de modo puramente
teórico, que los campos eléctricos de variación rápida generan una
onda, que en realidad consta de un campo eléctrico asociado a otro
magnético perpendicular. La propagación de este tipo de onda no
requiere el "éter" y puede avanzar en el vacío. Posteriormente, Hertz
comprobó experimentalmente que ondas electromagnéticas producidas
en el laboratorio se reflejan, refractan, interfieren y se polarizan como
las luminosas, y aún no teniendo una longitud de onda tan pequeña,
viajan a la velocidad de la luz, lo que permitió suponer que ésta era
realmente una onda de carácter electromagnético. Con esta teoría
quedaba solucionado el problema del "éter" y su naturaleza transversal
permitía explicar la polarización de la luz.
La teoría de Maxwell se basa en que si en un punto del espacio se
produce un campo eléctrico variable (por la vibración de una partícula
cargada –un dipolo-, por ejemplo), se produce un campo magnético
perpendicular a él, que a su vez origina otro campo eléctrico, y así
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sucesivamente. Estos campos eléctrico y magnético variables,
consecuencia uno de otro y que no pueden existir sin estar asociados, se
propagan en el espacio y constituyen las ondas electromagnéticas.
La dirección de propagación de la energía asociada a estas ondas
viene dada por el vector de Poynting S
r r r
S ≡ H× E
donde H es el vector que representa el campo magnético, y E el campo
eléctrico. Por tanto, S es perpendicular a E y H, lo que justifica el
carácter transversal de la luz.
1.4. Un poco sobre ondas
A modo de simplificación, suficiente
para el alcance de este texto, se puede
considerar únicamente el vector eléctrico de
las ondas electromagnéticas. El campo
eléctrico varía continuamente en el espacio
y en el tiempo, y se propaga a una velocidad
finita. Por tanto, el estado luminoso en un
punto puede expresarse mediante la
expresión
Figure 5
E = E0 sen( 2π
t
+ δ)
T
donde t es el tiempo, y Eo, T y d constantes.
Se puede considerar w=2p/T (frecuencia angular), la
anterior expresión es equivalente a
E = E0 sen(ω t + δ )
Si se representa E en función del tiempo resulta una
sinusoide como la de la Figura 5, donde se ve que la
Figure 6
constante T es el periodo de esta onda, es decir el
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tiempo que hay entre dos puntos del mismo estado luminoso, y que es
independiente del medio en que se propaga la luz. Este valor es del
orden de 10 -15 segundos, magnitud muy pequeña y difícil de manejar,
por lo que generalmente se trabaja con la frecuencia
ν = 1/ T
o sea, el número de vibraciones por unidad de tiempo.
La constante Eo es la amplitud de la onda, y está relacionada con
su intensidad, que es proporcional al cuadrado de la amplitud.
Es posible asimilar el movimiento definido por esta función a un
movimiento vibratorio armónico, tal como se muestra en la Figura 6.
Esta representación se conoce como diagrama de Argand, y en él, el
ángulo D muestra la fase de la luz en cada instante, el tiempo necesario
para un giro completo es el periodo T, y el radio es la amplitud de la
onda.
La luz que viaja a una velocidad v tarda un tiempo t' en recorrer
una distancia r (t'=r/v), por tanto, el estado luminoso de un punto
situado a una distancia r del que uno anterior es


t rv

E = E0 sen 2π
+ δ 
T


el argumento de esta función periódica
constituye la fase de la luz.
Teniendo
en
cuenta
que
la
distancia recorrida en un periodo T es vT
= l, la expresión anterior queda
Figure 7
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  t r

E = E0 sen  2π  +  + δ 
 T λ

que es una función doblemente periódica en T y l, es decir es periódica
respecto del tiempo (en T) y del espacio (en l). Si la representamos en
función del espacio, resulta la sinusoide de la Figura 7.
Esta nueva constante (l), la longitud de onda, no es otra cosa que
el espacio recorrido en un tiempo T, dicho de otro modo, la distancia
que separa dos puntos de la onda que tienen la misma fase.
Composición de ondas
Veamos el resultado de combinar dos
ondas luminosas, fenómeno que más adelante
se
estudiará
exhaustivamente
como
interferencia de la luz. Dos ondas pueden
interferir cuando mantienen entre ellas una
diferencia de fase constante, coinciden en el
camino óptico y están polarizadas en el
mismo plano (condiciones de Fresnel y
Aragó). Consideremos dos ondas que
cumplen estas circunstancias, de amplitudes
A1 y A 2 (Figura 8), el estado luminoso de cada
una en un punto P será:
  t r 
S1 = A1sen  2π  + 1  
 T λ
Figure 8
  t r 
S2 = A2 sen  2π  + 2  
  T λ
la resultante en el punto P es la suma algebraica de ambas
S = S1 + S2
que para simplificar se expresa como
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t


S = A sen 2π − δ 


T
Sumando ambas para un instante dado (t=0)
r
r


A cosδ = A1 cos 2π 1  + A2 cos 2π 2 


λ
λ
r
r


Asenδ = A1sen 2π 1  + A2 sen 2π 2 


λ
λ
se obtienen las dos expresiones de las componentes de la onda
resultante en función de las componentes de A1 y A2, por tanto, la
amplitud resultante es
A2 = ( A cosδ ) 2 + ( Asenδ ) 2
de donde
r−r

A2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos 2π 1 2 

λ 
Por tanto, la amplitud resultante es el tercer lado del triángulo
formado por las dos amplitudes de las ondas A1 y A 2, y el argumento del
coseno es la diferencia de fase entre ambas.
El resultado se puede ver gráficamente, sea en un diagrama de
Argand como en la figura anterior, sea componiendo (sumando) cada
instante los vectores de cada una de las ondas que se representan en la
Figura 9.
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Figure 9
Para diferencias de camino entre ambas de una longitud de onda
(o nl), la amplitud resultante es máxima (el coseno vale 1), mientras que
para diferencias de camino de media longitud de onda [o (2n-1)l/2], la
onda resultante tiene una amplitud mínima.
En la secuencia de esquemas de la Figura 10 de ha representado en
color naranja la onda resultante de la composición de las otras dos,
cuyas diferencias de fase son crecientes desde a (diferencia de fase
cero, o un número entero de l), hasta g (diferencia de fase de media
longitud de onda). Si las amplitudes de las ondas que se componen
fueran iguales, la resultante en el caso g seria nula.
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Figura 10. Diversos esquemas representando dos ondas que se superponen con diferencias de ca
l (a) hasta l/2 (g). La onda resultante, que se ha dibujado en naranja, varía en amplitud y estado d
Nótese que en el caso g no se anula completamente porque las amplitudes de las ondas que se co
son iguales.
1.5. Algunas leyes básicas
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Leyes de Descartes
Supongamos un rayo luminoso S que llega
al punto O de la superficie que separa dos medios,
como se muestra en la Figura 11. A partir de aquí
sufre una brusca desviación, una parte se refleja
siguiendo el camino OR en el mismo medio del
que procedía y la otra sigue el camino OT en el
nuevo medio. En este sistema, la normal es la
recta ON, perpendicular a la superficie en el punto
O. El ángulo i entre el rayo S y ON se llama de
incidencia, el r entre la normal y el rayo reflejado,
ángulo de reflexión, y r' entre la normal i el rayo
Figure 11
refractado T, ángulo de refracción.
Las leyes de Descartes prevén que los rayos incidente, reflejado,
refractado y la normal ON están en el mismo plano, llamado de
incidencia. Además los ángulos de incidencia y reflexión son iguales,
mientras que la relación entre los senos de los ángulos de incidencia y
refracción es constante para dos medios determinados.
Ley de Snell. Índice de refracción
Imaginemos una onda plana que incide en la
superficie que separa dos medios. De la construcción
de la Figura 12 se deduce la expresión matemática de
la ley de Snell
sen i v1 n2
=
=
sen r v2 n1
donde n i son los índices de refracción de ambos
medios, que se definen como la relación entre la
Figure 12
velocidad de la luz en el vacío y en el medio
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considerado, es decir
n = cv
En este apartado no se considera la posible variación de la
amplitud, fase y estado de polarización de las ondas refractadas o
reflejadas, que se analizarán en el capítulo 6 de este mismo texto.
En el caso de la Figura 12, si el primer medio es el vacío, la
relación de senos es igual al índice de refracción del segundo medio.
Además, si el segundo medio es más denso, el ángulo r es menor que i,
y considerando que el camino que sigue la
luz es reversible, si pasa de un medio de
mayor índice de refracción a uno de
menor, el ángulo de refracción será mayor
que el de incidencia, como se muestra en
la Figura 13, en la que, obviamente,
también se cumple la ley de Snell
sen i
n
= 2
sen r
n1
Considerando
ángulos
de
incidencia cada vez mayores, hay uno
Figure 13
(marcado en color naranja en la Figura
13) para el cual el ángulo de refracción vale 90º, en la anterior
expresión sen r =1. Para ángulos de incidencia mayores la luz no se
refracta, sino que es completamente reflejada. Este ángulo (ILON) se
conoce como ángulo límite (denominado normalmente i c), y la reflexión
para ángulos superiores al límite, reflexión total.
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