Pauta de corrección del quiz no4 Demuestre que Demostración

Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Informática
Fundamentos de Informática I
Primer semestre de 2009
Pauta de corrección del quiz no 4
Demuestre que
n
X
n
X
i3 = (
i=1
Demostración:
Base: (10 pts) n = 1
1
X
i)2
i=1
i3 = 13 = 1
i=1
(
1
X
i)2 = (1)2 = 1
i=1
Paso Inductivo:
Se asume que (10 pts):
k
X
k
X
i3 = (
i=1
i)2
i=1
Se debe demostrar que (10 pts):
k+1
X
k+1
X
i3 = (
i=1
i)2
i=1
Desarrollo (60 ptos = 10 ptos por transición correcta):
k+1
X
(
k
X
i)2 = (
i=1
k
X
i + (k + 1))2 = (
i=1
k
X
(
i=1
i)2 + 2(k + 1)
i=1
ya que
Pk+1
i=1
i=
k
X
(
i)2 + 2(k + 1)
k+1
X
i + (k + 1)2 =
i=1
k(k + 1)
+ (k + 1)2 =
2
k(k+1)
2
i)2 + k(k + 1)2 + (k + 1)2 =
i=1
k
X
i3 + (k + 1)3 =
i=1
por hipotesis inductiva
Por tanto (10 pts),
∀n > 0
n
X
i=1
n
X
i3 = (
i=1
k+1
X
i=1
i)2
i3