Hoja de ejercicios 2 Macroeconomıa IV: Crecimiento Económico

Hoja de ejercicios 2
Macroeconomı́a IV: Crecimiento Económico
Febrero 2012
Bloque 1: Modelo de Solow básico
1. En clase hemos estudiado el modelo de Solow sin crecimiento poblacional en tiempo continuo. Suponga ahora que en vez de utilizar este supuesto asumimos que el tiempo es
discreto. En este caso la ley de movimiento del stock de capital fı́sico es,
kt+1 = γf (kt ) + (1 − δ)kt .
Donde γ es la tasa de ahorro y δ es la tasa de depreciacion. Suponga, como en clase, que
la función de producción es Cobb-Douglas.
a) Calcule el valor del capital per capita en el estado estacionario en función de los
parámetros del modelo. Para ello debe considerar que en este caso la condición
de estado estacionario es kt+1 = kt , en lugar de k̇t = 0 que suponı́amos en clase.
b) Suponga que la tasa de ahorro es del 20 por ciento, la tasa de depreciación es del 10
por ciento, α = 1/3 y A = 1. Calcule el valor del capital, el consumo y la renta per
capita en el estado estacionario.
c) Suponga que una economı́a posee un tercio del capital per capita del estado estacionario
calculado en el apartado b). Calcule cuantos periodos tardará dicha economı́a en
recorrer la mitad del camino que le separa del estado estacionario. Para ello deberá
utilizar la ley de movimiento del capital per capita expuesta más arriba.
1/4
2. Para las funciones de producción f (kt ) = Akt , f (kt ) = Akt y f (kt ) = Akt2 , discuta si:
a) Existe estado estacionario.
b) En caso de existir, si es estable y explique la dinámica de transición.
b) En caso de no existir, explique la dinámica de transición.
i
3. Existen dos paı́ses cuyo ratio de rentas per capita es 40, es decir, yyj = 40. La tasa
de ahorro en el paı́s i es tres veces la tasa de ahorro en j. La tasa de depreciación y
α son iguales. Calcule la diferencia que deberı́a haber en los parámetros Ai y Aj para
poder explicar estas diferencias de renta si utilizamos el modelo de Solow sin crecimiento
tecnológico y sin crecimiento poblacional.
4. En el modelo de Solow sin crecimiento poblacional calcule el valor de la tasa de ahorro γg
correspondiente a la regla de oro en función del resto de los parámetros del modelo (A, α y
δ). Dibuje además gráficamente la condición de la regla de oro que iguala la productividad
marginal del capital a la tasa de depreciación. Haga lo mismo para el modelo de Solow
con crecimiento poblacional.
5. Dos paı́ses tienen el mismo nivel de producción, la misma tasa de depreciación y nivel de
la teconologı́a A. En el paı́s 1 la producción por trabajador está aumentando, mientras
que en el 2 disminuye. De acuerdo al modelo de Solow estudiado en clase ¿qué puede decir
sobre las tasas de inversión de ambos paı́ses? Suponga ahora que las tasas de inversión son
iguales pero las tasas de depreciación son distintas. ¿Qué podemos decir sobre las tasas
de depreciación?
1
6. Considere un paı́s en el que hay dos sectores. Las funciones de producción de los dos
1/2
1/2
sectores son Y1 = L1 y Y2 = L2 , donde L1 es el número de trabajadores empleados en
el sector 1 y L2 es el número de trabajadores empleados en el sector 2. La única diferencia
entre los dos sectores es que el sector 1 los trabajadores reciben su producto marginal,
mientras que en el 2 perciben su producto medio. Los trabajadores se desplazan libremente
de un sector a otro, por lo que los salarios son iguales. Calcule cuántos trabajadores
trabajarán en cada sector.
7. Considere la siguiente afirmación: “Dedicar una proporción mayor del PIB a la inversión
ayudarı́a a incrementar el ritmo de crecimiento de la producción y a aumentar el bienestar
social”. ¿Bajo qué condiciones es esta afirmación correcta?
8. Considere y discuta la siguiente afirmación: “El modelo de Solow predice que todos los
paises tienden a tener la misma renta por trabajador y la misma tasa de crecimiento en
el largo plazo”
9. Existencia de mercados de trabajo y de capital competitivos. Asuma que tanto
el trabajo como el capital son retribuidos en sus mercados correspondientes a sus productos
t ,Lt )
t ,Lt )
y que rt = ∂F (K
.
marginales. Es decir, wt = ∂F (K
∂Lt
∂Kt
a) Demuestre que wt = f (kt ) − kt f 0 (kt ).
t ,Lt )
t ,Lt )
y rt = ∂F (K
, entonces los rendimientos
b) Demuestre que si se cumple wt = ∂F (K
∂Lt
∂Kt
constantes a escala implican que la cantidad total pagada a los factores productivos
es igual al total de producción. Es decir, wt Lt + rt Kt = F (Kt , Lt )
c) Kaldor (1961) demostró dos hechos estilizados: a) el retorno del capital (es decir, r) es
aproximadamente constante y que las proporciones de producción que van al capital
L
(esto es r K
Y ) y al trabajo (w Y ) son constantes. ¿Que dice el modelo de Solow sobre
los valores de w y r en el equilibrio estacionario? ¿Son constantes?
d) Imagine que la economı́a está en una k inferior al k ∗ . Imagine que k se mueve hacia
el estado estacionario, ¿qué ocurre con wt ? ¿wt está creciendo más, menos o igual al
crecimiento que se dá en el estado estacionario? ¿Y rt ?
10. Céntrese en el parámetro de la función de producción Cobb-Douglas.
a) Demuestre que este parámetro puede interpretarse como la participación del capital en
el PIB.
b) Demuestre que puede interpretarse también como la elasticidad del PIB con respecto
al stock de capital.
c) Discuta cómo afectará un incremento en el valor de dicho parámetro a los niveles
del capital por trabajador y de la renta por trabajador correspondientes al estado
estacionario. Interprete su respuesta.
11. En un paı́s, la función de producción es y = k 1/2 , se invierte un 25% de la renta y la tasa
de depreciacin es de un 5%.
a) ¿Cuáles son los niveles de estado estacionario del capital por trabajador y de la renta
por trabajador?
b) Suponga que en al año 1, el capital por trabajador es 16. En una tabla como la
siguiente, muestre la evolución a lo largo del tiempo de las variables indicadas (como
ilustración se ha completado la primera lı́nea).
2
Ańo
1
2
k
16
16.2
y = k 1/2
4
γy
1
γy − δk
0.2
δk
0.8
c) Calcule la tasa de crecimiento de la producción por trabajador entre el primer y segundo
año y entre el séptimo y el octavo año.
d) A la vista de sus respuestas en c) y d), ¿qué puede concluir con respecto a la velocidad
de crecimiento de la producción por trabajador a medida que el paı́s se acerca a su
estado estacionario?
Bloque 2: Modelo de Solow: Crecimiento tecnológico y de población
1. Según el modelo de Solow, uno deberı́a esperar que, tras un desastre natural que sólo
destruye una parte del capital fı́sico de la economı́a, la tasa de crecimiento de la renta
por trabajador evolucionara de forma diferente a como lo harı́a tras un desastre que sólo
destruyera una parte de la población de la misma. ¿Está usted conforme? Justifique su
respuesta.
2. Considere el modelo de Solow con crecimiento de la población pero sin progreso tecnológico
y suponga que la población puede crecer a dos tasas diferentes, n1 > n2 . La tasa de
crecimiento de la población depende del nivel de renta por trabajador (y por lo tanto, del
nivel del capital por trabajador). Concretamente, la población crece a una tasa n1 cuando
k < k y a una tasa (inferior) n2 cuando k ≥ k (donde k es un valor arbitrario)
a) Represente gráficamente este modelo suponiendo que (n1 + δ)k > f (k) y (n2 + δ)k ≤
f (k)
b) Interprete el gráfico resultante. Determine el estado estacionario del modelo.
3. Considere el modelo de Solow sin progreso tecnológico visto en clase y analice la situación
especial en que δ = n =0. ¿Podrı́a darse en estas condiciones un crecimiento económico
sostenido a largo plazo? Argumente bien su respuesta.
4. El modelo de Harrod-Domar. Imagine una función de producción de Leontief donde
·
t
hay progreso tecnológico y A
At = g, y la función de producción es de la forma Yt =
min{cK Kt , cL At Lt }, donde cK , cL y g son parámetros exógenos todos positivos. Además
·
Lt
Lt
= n y Kt+1 = Kt − δKt + sYt .
a) ¿Bajo qué condiciones se cumple que cK Kt = cL At Lt para todo t? Dado que los
parámetros K , cL , g, n, s son exógenos ¿Hay alguna razón para que se dé esa condición?
b) Imagine que cL At Lt está creciendo más rápidamente que cK Kt . ¿Qué ocurre con el
desempleo a largo plazo, y con el stock de capital por unidades de trabajo eficiente?
c) ¿Que courre a largo plazo si cK Kt . está creciendo más rápidamente que cL At Lt ?
3
5. Solow sin progreso tecnológico. Considere el modelo de Solow en el estado estacionario. Asuma por simplicidad que no hay progreso tecnológico, y que la tasa de la
población cae de forma permanente. ¿Qué le ocurre en el estado estacionario al ratio
K/L, Y /L y C/L? ¿Y a la tasa de crecimiento de la producción total? Haga un dibujo de
estas variables como función del tiempo. Es decir n, k, y, c e Y como función del tiempo.
Haga un dibujo de las tasas de crecimiento como función del tiempo de k, y, c e Y .
6. Solow con progreso tecnológico+regla de oro. Imagine la función de producción
neoclásica del tipo Yt = K α (Lt At )1−α de forma que ybt = b
ktα .
a) Calcule el valor de b
c∗ , b
k ∗ , yb∗ como función de los parámentros exógenos α, γ, n, δ, g (es
C ∗ ∗
Y ∗
K ∗ ∗
) ,b
c = ( AL
) , yb = ( AL
) .
la tasa de crecimiento de la tecnologı́a). Nota b
k ∗ = ( AL
b) ¿Cuál es el valor de valor de b
k ∗ en la regla de oro?
c) ¿Qué tasa de ahorro es necesaria para que el stock de capital por unidad eficiente sea
exactamente el stock de capital de la regla de oro calculado en el aparatado b?
7. Suponga el modelo de Solow con progreso tecnológico en el que la función de producción
viene dada por F (Kt , Lt ) = AKtα (et Lt )1−α donde et representa el progreso tecnológico
exógeno que crece a una tasa g.
a) Suponga los datos del problema 1 y calcule el valor del capital, el consumo y la renta
per capita en el estado estacionario. Para ello asuma que g = 0, 02.
b) Resuelva el modelo para valores de los parámetros genéricos y halle la solución analı́tica
del modelo.
t
c) Calcule la tasa de crecimiento en el estado estacionario del capital per capita ( K
Lt ) y
Yt
de la renta per capita ( Lt ).
8. Considere una economı́a que se describe aceptablemente por el modelo de Solow y en la
que el crecimiento (pero no el nivel) del progreso tecnológico depende del nivel de capital
humano medio de la sociedad, de forma que la función de producción se puede representar
como Yt = At (ht )Ktα (Lt ht )1−α . Asuma que inicialmente la economı́a se encuentra en
una situación de estado estacionario. Suponga que en esta economı́a la remuneración del
capital supone el 40% del PIB y que la rentabilidad de un año adicional de educación es
del 10%. Se pretende acometer polı́ticas estructurales para elevar el nivel del PIB por
trabajador de estado estacionario. Estime, para cada uno de los siguientes casos, en que
proporción aumentará el PIB por trabajador de estado estacionario.
a) Se dobla permanentemente el nivel inicial de A.
b) Se dobla permanentemente la tasa de inversión.
c) El número medio de años de estudios de la fuerza de trabajo aumenta permanentemente
en 5 años.
d) ¿Cuál de las polı́ticas anteriores permitirá alcanzar a corto plazo una mayor tasa de
crecimiento del PIB por trabajador? ¿Por qué? ¿Y a largo plazo? ¿Por qué?
4
Bloque 3: Modelo de Solow: Capital humano
1. Capital Humano con factor que crece exógenamente. Dada la función de producción
Yt = Ktα Htβ (At Lt )1−α−β con α > 0, β > 0 y α + β < 1,
donde Ht es el stock de capital humano, Lt es el número de trabajadores (trabajadores
cualificados que ofertan una unidad de Lt y algunas unidades de Ht ).
a) Encuentra el valor del stock de capital fı́sico, humano y el producto por unidad eficiente
t
t
, ket = AKt Lt t , yet = AYt L
en el equilibrio
en el equilibrio estacionario (es decir het = AHt L
t
t
estacionario).
b) Imagina que β = sK = 0,¿qué modelo tendrı́amos?
c) ¿Qué valores toman la productividad marginal del capital fı́sico y humano en equilibrio
estacionario?
d) Imagina que hay dos economı́as una menos desarrollada que otra y en la que todos
los parámetros exógenos coinciden salvo en dos: En la menos desarrollada, la tasa
de crecimiento de la población es el doble que en la más desarrollada y las tasas de
ahorro son la mitad que el valor que toma en el paı́s más desarrollado. ¿En qué paı́s
el producto marginal de ambos factores productivos serı́a superior? ¿Qué esperarı́as
que ocurriese con los flujos de capitales según el modelo? Y en la realidad, ¿qué es
lo que ocurre? ¿A qué crees que puede ser debido?
2. Rendimientos del capital fı́sico y humano constantes. Imagina que la función de
producción es de la forma
Yt = Ktα Ht1−α con 0 < α < 1,
·
·
y que Ht y Kt evolucionan según las siguientes ecuaciones: K t = sK Yt, H t = sH Y.
a) Muestra que independientemente de los valores iniciales de Ht y K (siempre que estos
H
sean positivos), el ratio K
converge a un equilibrio.
b) ¿Cuáles son las tasas de crecimiento de de K, H e Y en equilibrio?
c) Imagina un aumento permanente de sH . ¿Tenemos un efecto crecimiento o un efecto
nivel? Razona tu respuesta.
H
d) Imagina que K
está fuera del equilibrio y que de hecho es más pequeño que el valor
H ∗
( K ) .¿Es la tasa de crecimiento de Y mayor, menor o igual que en equilibrio?
3. Modelo de dos sectores: bienes finales y educación.
ecuaciones:
Considera las siguientes
Yt = [(1 − aK )Kt ]α [(1 − aH )Ht ]1−α con 1 > α > 0, 0 < aK < 1 y 0 < aH < 1,
·
K t = sYt − δK Kt ,
(1)
H t = B[aK K]γt [aH Ht ]φ [At Lt ]1−γ−φ − δH Ht con γ > 0, φ > 0 y γ + φ < 1,
(2)
·
5
·
Lt = nLt ,
·
At = gAt ,
donde aK y aH son fracciones exógenas del stock de capital fı́sico y humano utilizado
en educación, mientras que (1 − aK ), (1 − aH ) son las fracciones exógenas del stock de
capital fı́sico y humano utilizado en el sector de bienes finales. Este modelo asume que
el capital humano es producido en su propio sector con su propia función de producción.
La población L es útil cuando los agentes se educan. La tecnologı́a es útil como algo que
ayuda a los estudiantes, no como factor productivo del bien final.
a) Define e
k = K/AL, e
h = H/AL. Deriva las ecuaciones 1 y 2 a la forma intensiva, es decir
·
·
e
kt , e
ht .
·
·
b) Dibuja el diagrama de fase de e
kt y e
ht .por ejemplo en los ejes e
k eje de ordenadas y e
h eje
de abcisas.
c) Calcula el equilibrio, e
k∗ , e
h∗ ¿Es estable? ¿Cúales son las tasas de crecimiento de la
producción por trabajador, capital fı́sico y humano por trabajador?
d) Imagina que la economı́a está incialmente en su equilibrio estacionario y que hay un
aumento permanente de s. ¿Como se ve afectada la producción por trabajador a lo
largo del tiempo?
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