La distribución normal o de Gauss

La distribución normal o de Gauss
• Distribución límite
• La distribución Normal o de Gauss
• La distribución de Gauss tipificada
• La función integral. Cálculo de la función integral
• La desviación estándar de la media
• Intervalos de probabilidad y confianza
• Diferencias significativas
Técnicas experimentales en Física General
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• La distribución límite
¿Qué ocurre si aumentamos el número de medidas?
N=100 medidas
Histograma de bins de 100 medidas de x
N=1000 medidas
Histograma de bins de 1000 medidas de x
Técnicas experimentales en Física General
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• La distribución límite
Cuando N → ∞ ⇒ nos acercamos a la distribución límite.
Distribución límite f(x)
f ( x )dx = Fraccion de las medidas que se encuentran entre x y x + dx
= Probabilidad de que una medida de un resultado comprendido
entre x y x + dx
∫
b
a
f ( x )dx = Fraccion de las medidas que se encuentran entre x = a y x = b
= Probabilidad de que una medida de un resultado que se
encuentre entre a y b
¾ Distribuciones discretas y continuas
x → discretas
Fk =
nk
N
Técnicas experimentales en Física General
x → continuas
Fk = f ( xk )dxk
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¾
Condición de normalización
x → discretas
∑F
k
x → continuas
=1
∫
−∞
k
¾
f ( x )dx =1
Cálculo de la media
x → discretas
x → continuas
x = ∑ Fk xk
x=∫
+∞
−∞
k
¾
+∞
xf ( x )dx
Cálculo de la desviación estándar
x → discretas
x → continuas
nk
σ = ∑ ( xk − x )2
k N
σ = ∫ ( x − x ) 2 f ( x )dx
2
x
Técnicas experimentales en Física General
2
x
+∞
−∞
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•
La distribución Normal o de Gauss
GX ,σ ( x) =
∫
+∞
−∞
1
2πσ 2
e
2
x− X )
(
−
2σ 2
GX ,σ ( x)dx = 1
¾ Propiedades
♦ Tiene un máximo en x = X
♦ Es simétrica alrededor de X
♦ Tiende a cero rápidamente si x − X >> σ
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• Valor medio y desviación estándar
¿Si se efectúan un gran número de medidas de una variable
aleatoria que sigue una distribución de Gauss, ¿qué valores
hay que esperar para x y σ x2 ( x) ?
Valor medio
+∞
+∞
−∞
−∞
x = ∫ xf ( x)dx → x = ∫ xGX ,σ ( x)dx
x=∫
+∞
−∞
1
xGX ,σ ( x)dx =
2πσ
2
∫
+∞
−∞
xe
− ( x − X )2
2σ 2
y = x− X
dy =dx
dx →
−y
 +∞ − y 2

+∞
1
2σ
2σ 2
0 + X 2πσ 2 = X
x=
ye
dy
+
X
e
dy
=


∫
∫
−∞
2πσ 2  −∞
2πσ 2

2
1
2
{
}
x=X
Desviación estándar
+∞
σ ( x) = ∫ ( x − X )2 GX ,σ ( x)dx = σ 2
2
x
−∞
σ x2 ( x) = σ 2
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• La distribución Normal tipificada:
¿Cómo puede estudiarse la distribución de Gauss de
forma general?
1
GX ,σ ( x ) =
2πσ 2
e
→ G0,1 ( z ) =
2
x− X )
(
−
2σ
z=
x− X
σ
→
2
1
e
2π
z2
−
2
G0,1(z)
Distribución normal tipificada
← Distribución
0.4
Normal tipificada
0.3
1
G0,1 ( z ) =
e
2π
σ=1
0.2
0.1
1. Máximo en z = 0
2. Puntos de inflexión:
0.0
-3
-2
-1
z2
−
2
0
1
X=0
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2
z
3
z = ±σ = 1
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• La función integral
¿Cuál es la probabilidad de que una medida
esté comprendida entre a y b?
b
1
a
2πσ
Prob(a ≤ x ≤ b) = ∫ GX ,σ ( x)dx =
2
∫
b
a
− ( x − X )2
e
2σ 2
dx
¿Cuál es la probabilidad de que una medida esté
comprendida dentro de una desviación estándar?
Prob( X − σ ≤ x ≤ X + σ ) =
=∫
X +σ
X −σ
GX ,σ ( x)dx =
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1
2πσ
2
∫
X +σ
X −σ
− ( x − X )2
e
2σ 2
dx
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¿Cuál es la probabilidad de que una medida esté
comprendida dentro de t desviaciones estándares?
Prob( X − tσ ≤ x ≤ X + tσ ) =
=∫
X +tσ
X −tσ
GX ,σ ( x)dx =
1
2πσ
Prob( X − tσ ≤ x ≤ X + tσ ) =
2
∫
X +tσ
X −tσ
1
2πσ
2
− ( x − X )2
2σ 2
e
∫
X +tσ
X −tσ
dx
− ( x − X )2
e
2σ 2
dx


dx = σ dz

x− X
x − X X + tσ − X

= z →  x2 = X + tσ → z2 = 2
=
=t
σ
σ
σ

x1 − X X − tσ − X

=
−
→
=
=
= −t
x
X
t
σ
z
1
 1
σ
σ
1
Prob( X − tσ ≤ x ≤ X + tσ ) =
2π
Técnicas experimentales en Física General
∫
+t
−t
e
− z2
2
dz
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• Cálculo de la función integral
Prob( X − tσ ≤ x ≤ X + tσ ) =
Técnicas experimentales en Física General
1
2π
∫
+t
−t
e
− z2
2
dz
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• Cálculo de la función integral (cont.)
Prob(dentro de tσ ) =
=∫
X +tσ
X −tσ
t = x.yz
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1
=
2π
GX ,σ ( x)dx =
∫
+t
−t
e
− z2
2
dz
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• Cálculo de la función integral (cont.)
Q(t ) = ∫
X +tσ
X
=
Q (2) − Q (1)
Técnicas experimentales en Física General
Q (2) + Q (1)
1
2π
GX ,σ ( x)dx =
t
∫e
0
− z2
2
dz
50% − Q (1)
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• La desviación estándar de la media
Supongamos que x que se distribuye GX ,σ . Imaginemos la
siguiente secuencia de experimentos:
x
1
N medidas de x
2
N medidas de x
1
∑ xi
N i
1
x2 = ∑ xi
N i
x1 =
...
Si repetimos el experimento n veces, los valores de xi
cambiarán, y la media de las medias y su desviación
estándar serán
x=
1
∑ xi
n i
σx =
1 N
2
( xi − x )
∑
n i =1
Efectuando sólo uno de los experimentos, ¿cuál es la
desviación estándar de la media de las N medidas?
Los xi se distribuyen GX ,σ , el verdadero valor de x es X
La desviación estándar de la media será
x
2
2
 ∂x

 ∂x

σ x =  σ x1  + " + 
σ xN  =
 ∂x1

 ∂xN

2
2
σ
1

1

=  σ x  +" +  σ x  = x
N
N 
N 
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• Intervalos de probabilidad y confianza
¾ ¿Cuál es el significado de asignar la desviación típica
como error de una medida?
Si tomamos una muestra de N datos, calculamos su media y su
desviación típica y escribimos
x ±σ x
significa que el 68% de las medidas realizadas se encuentran
en el intervalo x ± σ x
.
O bien, el mejor valor, X se encuentra en el intervalo:
x −σ x ≤ X ≤ x + σ x
con un nivel de confianza del 68 %
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• Diferencias significativas
¿Cómo se comparan nuestras medidas con los valores
esperados?
Valor medido
Valor esperado
¾ Supongamos que:
x ±σx
a
x −a ≤σx
( t ≤ 1)
No es una diferencia significativa. Prob (fuera 1σx) = 32%
¾ Supongamos que:
x − a ≥ 3σ x
( t ≥ 3)
La diferencia es muy significativa. Prob (fuera 3σx) = 0.3%
Norma generalmente aceptada:
¾ Si x − a ≤ 2σ
⇒ Resultado aceptable.
¾ Si x − a ≥ 2.5σ x ⇒ Resultado inaceptable.
¾ Si 1.9 σ ≤ x − a ≤ 2.6σ x ⇒ Resultado no concluyente.
x
O bien:
P (fuera tσ ) ≤ 5% ⇒ Diferencia significativa.
¾ P (fuera tσ ) ≤ 1% ⇒ La diferencia es muy
¾
significativa.
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