Matemáticas Financieras Avanzadas

Matemáticas Financieras
Avanzadas
MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS
Sesión No. 10
Nombre: Amortización
Objetivo
Al término de la sesión el estudiante solucionaría problemas reales a través de la
aplicación del cálculo básico de amortización, importes de pago, las tablas y el
número de pagos de una amortización.
Contextualización
En esta sesión se explicará el concepto de amortización e identificará
situaciones en las que se aplica este concepto, construir tablas de amortización.
Calculará el monto de los pagos o tasa de interés o el plazo en operaciones de
amortización.
Fuente: http://www.cantabrialiberal.com/includes/imag2.php?id=144589&idT=1
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MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS
Introducción al Tema
En el área financiera, amortización significa saldar gradualmente una deuda por
medio de una serie de pagos que, generalmente, son iguales y que se realizan
también a intervalos iguales.
Aunque esta igualdad de pagos y de periodicidad es lo más común, también se
llevan a cabo operaciones con ciertas variantes, por lo que aquí se analizan
algunas de estas situaciones.
Fuente: http://coyunturaeconomica.com/files/coyuntura/amortizacion-de-prestamos.jpg
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MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS
Explicación
Importe de los pagos en una amortización
Ejemplo 1: Sergio Campos contrae hoy una deuda de $95,000 a 18%
convertible semestralmente que amortizará mediante 6 pagos semestrales
iguales, R; el primero de los cuales vence dentro de 6 meses. ¿Cuál es el valor
de R?
Solución: los pagos construyen una anualidad simple, cierta, vencida e inmediata
con valor actual de $95,000.
R = ?, C = 95,000, i = 0.18/2 = 0.09, n = 6
1−(1+𝑖)−𝑛
𝐶 = 𝑅�
𝑖
�
Despejando R, sea 𝑅 =
Sustituyendo valores: 𝑅 =
(95000)(0.09)
1−(1.09)−6
𝐶𝑖
1−(1+𝑖)−𝑛
= 21,177.36
Seis pagos semestrales vencidos de $21,177.36 amortizan una deuda con valor
actual de $95,000 con interés de 9% semestral.
Tablas de amortización
Los pagos que se hacen para amortizar una deuda se aplican a cubrir los
intereses y a reducir el importe de la deuda. Para visualizar mejor ese proceso
conviene elaborar una tabla de amortización que muestre lo que sucede con los
pagos, los intereses, la deuda, la amortización y el saldo.
Del ejemplo anterior se creara la tabla de amortización para entender mejor:
Fecha
En el momento de la
operación
Pago
Interés sobre
semestral
saldo
Amortización
Saldo
95,000
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Fin del semestre 1
21, 177.36
8,550.00
12,627.36
82,372.64
Fin del semestre 2
21, 177.36
7,413.54
13,763.82
68,608.82
Fin del semestre 3
21, 177.36
6,174.79
15,002.57
53,606.25
Fin del semestre 4
21, 177.36
4,824.56
16,352.80
37,253.45
Fin del semestre 5
21, 177.36
3,352.81
17,824.55
19,428.90
Fin del semestre 6
21, 177.36
1,748.60
19,428.90
0.00
Totales
127,064.30
32,064.31
95,000.00
--------
En la tabla se observa que:
•
La suma de los pagos anuales es igual a la suma de los intereses más la
suma de las amortizaciones.
•
El saldo, como ya se había visto, es igual al anterior más los intereses y
menos el pago.
•
La amortización es igual al pago menos los intereses.
•
Se puede ver claramente cuanto es lo que resta por pagar al final de cada
semestre: el saldo.
•
El valor del último pago semestral se ajustó para que coincidiera
exactamente con el saldo de la deuda.
Número de pagos en una amortización
Ejemplo 2: ¿Cuántos pagos mensuales de $15,000 son necesarios para
saldar una deuda de $180,000 contratada hoy a 18% convertible
mensualmente?
Solución: C = 180,000, i = 0.18/12 = 0.015, R = 15,000, n = ?
1−(1+𝑖)−𝑛
Utilizamos la ecuación: 𝐶 = 𝑅 �
𝑖
� y despejamos n: 𝑛 = −
𝐶𝑖
𝑅
𝑙𝑜𝑔�1− �
log(1+𝑖)
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Sustituimos los datos: 𝑛 = −
180000(0.015)
�
15000
𝑙𝑜𝑔�1−
log(1.015)
Sería necesario:
= 13.32904
a) Hacer 12 pagos de $15,000 y un pago final mayor o
b) Hacer 13 pagos de $15,000 y un pago final menor.
Considere que las dos formas de liquidar el pago final son equivalentes; la
opción dependerá de lo que resulte más conveniente para el acreedor y deudor.
Tasa de interés en una amortización
En ocasiones es necesario determinar la tasa de interés que se carga en la
operación.
Ejemplo 3: si Cristina contrae una deuda de $6,000 y conviene en liquidarla con
5 pagos de $1380 y realizar el primer pago dentro de 2 meses, ¿Cuál es la tasa
de interés nominal, capitalizable bimestralmente, que se carga a la deuda?
Solución: C = 6000, R = 1380, n = 5, i = ?
1−(1+𝑖)−𝑛
Utilizamos la ecuación: 𝐶 = 𝑅 �
6000 = 1380 �
1−(1+𝑖)−5
�
𝑖
1−(1+𝑖)−5
�
𝑖
�=
1−(1+𝑖)−5
6000
𝑖
�
𝑖
� y sustituimos valores:
1380
� = 4.34782609
Ensayando valores de i:
Si i = 0.05
1−(1.05)−5
�
0.05
� = 4.32947667
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1−(1.048)−5
�
Si i = 0.048
0.048
1−(1.049)−5
�
Si i = 0.049
0.049
� = 4.35351768
� = 4.34147087
1−(1.0485)−5
�
Si i = 0.0485
0.0485
� = 4.34748768
Entonces i se encuentra entre 0.0485 y 0.048 interpolando:
=
𝑖 − 0.048
4.34782609 − 4.35351768
=
4.34748768 − 4.35351768 0.0485 − 0.048
−
Comprobando:
0.00569159 𝑖 − 0.048
=
0.00603
0.005
𝑖 = 0.00047194 + 0.048 = 0.04847194
1 − (1.04847194)−5
�
� = 4.34782574
0.04847194
Por lo tanto, se carga en la operación aproximadamente el 29.08% convertible
bimestralmente.
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Conclusión
Amortizar es extinguir una deuda actual mediante pagos periódicos.
En esta sesión se aplicó el concepto de amortización y se calcularon los
importes de pago, el número de pagos y la tasa de interés en una amortización.
La próxima sesión se trabajara con los fondos de amortización.
Fuente: http://www.ganadineroytiempo.com/wp-content/uploads/2011/11/Amortizar-hipoteca-antes-de-acabar-el-a%C3%B1o.jpg
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Para aprender más
En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer
tu aprendizaje.
Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.
•
Amortización y fondos de amortización. (s/f). Consultado el 5 de junio de
2013: http://brd.unid.edu.mx/amortizacion-y-fondos-de-amortizacion-3/
Video relacionado con la construcción de una tabla de amortización.
•
Ramírez, M. (2011). Como hacer una tabla de amortización. Consultado el
5 de junio de 2013: http://www.youtube.com/watch?v=AasF18mQo5E
Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá
desarrollar los ejercicios con más éxito.
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Actividad de Aprendizaje
Con lo aprendido en esta sesión acerca de la amortización, aplica dichos
conceptos para resolcer los siguientes ejercicios:
1. Una deuda de $12,000 debe amortizarse mediante 4 pagos bimestrales
iguales., el primero dentro de 2 meses, con intereses de 4% bimestral
sobre saldos insolutos.
a) Calcular el importe de cada uno de los pagos.
b) Construir una tabla de amortización.
2. Determine el número de pagos necesarios para amortizar totalmente la
compra a crédito de un automóvil que cuesta $198,000 y se vende con un
enganche de 40% y el resto a pagar en mensualidades vencidas de
$5,592.33 con interés de 12% convertible mensualmente.
Entregar esta actividad en formato de Práctica de Ejercicios y súbelo a la
plataforma.
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Bibliografía
Díaz, A. y Aguilera, V. (2007). Matemáticas financieras. México: McGraw-Hill.
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