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Departamento de
Análisis Matemático
DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Prof. Dr. José Antonio Facenda Aguirre
Prof. Dr. Miguel Lacruz Martı́n
Prof. Dr. Genaro López Acedo
Curso Académico 2012/2013
Ejercicios del tema 1
Problema 1. En cada uno de los siguientes conjuntos, indica razonadamente si son cerrados, acotados o
compactos:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
2
2
A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 − 2x +
p3y + z ≤ 3}.
3
2
B = {(x, y, z) ∈ R : 0 < z = 1 − x − y 2 }.
C = {(x, y, z) ∈ R3 : x = z 2 , y ≥ 0}.
D = {(x, y, z) ∈ R3 : |y| ≤ arctan x}.
E = {(x, y) ∈ R2 : | arctan x| ≤ y ≤ π/4}.
F = {(x, y) ∈ R2 : (arctan x)2 ≤ y ≤ π 2 /4}.
G = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 1, x > 0, y > 0, z > 0}.
Problema 2. Responde razonadamente las siguientes cuestiones:
1. Si A = {(x, y, z) ∈ R3 : x ≥ y 2 + z 2 , x + y = 1}, ¿es A compacto?
2. Si B = {(x, y) ∈ R2 : x2 + xy + y 2 ≥ 1}, ¿es B compacto?
3. Si C = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 < 3 , x = y = z}, ¿es C cerrado? ¿es abierto?
Problema 3. Determina si los siguientes conjuntos son cerrados y acotados:
1. A = {(x, y) ∈ R2 : y 2 ≤ x ≤ 3 + y 2 }.
2. B = {(x, y) ∈ R2 : y 2 ≤ x ≤ 3 − y 2 }.
3. C = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 − 4x + y 2 ≤ (z − 1)2 − 3, |z| ≤ 2}.
Problema 4. Consideremos los conjuntos
A = {(x, y) ∈ R2 : log x ≤ 3}
B = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ log x ≤ 3}
C = {(x, y) ∈ R2 : y 2 + log x ≤ 3}
D = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ y 2 + (log x)2 ≤ 3}
Indica razonadamente si estos conjuntos son cerrados o acotados en R2 .
Problema 5. Calcula, si existen, los lı́mites:
x2 + xy + y 3
,
x2 + y 2
(x,y)→(0,0)
lı́m
sen(xy)
p
,
(x,y)→(0,0)
x2 + y 2
lı́m
x3
(x,y)→(0,0) xy + y − x2
lı́m
Problema 6. Indica razonadamente si los siguientes conjuntos son abiertos, cerrados, acotados o compactos:
1.
2.
3.
4.
5.
A = {(x, y) ∈ R2 : xy < 1}.
B = {(x, y) ∈ R2 : (x2 + y 2 − 1)(4 − x2 − y 2 ) ≤ 0}.
C = {(x, y) ∈ R2 : (2x − x2 − y 2 )(x2 + y 2 − x) ≥ 0}.
D = {t ∈ R : t = et }.
E = {(x, y) ∈ R2 : x + y = ex+y }.
Con ayuda de las siguientes gráficas, dibuja los conjuntos anteriores e indica qué curvas aparecen
dibujadas en estas figuras.
4
2
1.0
1
0.5
4
0.5
2
-2
1
-1
1.0
1.5
2.0
-2
1
-1
-0.5
-1
-1.0
-2
2
-2
-2
2
2
1
1
1
-1
2
-2
1
-1
-4
-1
-1
-2
-2
Problema 7. Indica las respuestas verdaderas o falsas:
V
F
El conjunto {(x, y) ∈ R2 : 3x2 − 2xy − y 2 = 0} es cerrado y acotado
V
F
El conjunto {(x, y) ∈ R2 : 3x2 − 2xy − y 2 = 0} es cerrado pero no es acotado
V
F
El conjunto {(x, y) ∈ R2 : 3x2 + 2xy + y 2 = 0} es cerrado y acotado
V
F
El conjunto {(x, y) ∈ R2 : 3x2 + 2xy + y 2 = 0} es cerrado pero no es acotado
V
F
El conjunto {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z = 3} es cerrado y acotado
V
F
El conjunto {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z = 3} es cerrado pero no es acotado
V
F
El conjunto {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + |z| = 3} es cerrado y acotado
V
F
El conjunto {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + |z| = 3} es cerrado pero no es acotado
V
F
La función f (x, y) = (xy)2 /(xy 3 + (x − y)2 ) no tiene lı́mite en el origen
V
F
La función f (x, y) = (xy)2 /(xy 3 + (x − y)2 ) tiene lı́mite y vale cero en el origen
Problema 8. Consideremos las funciones
f (x, y) =
x2
,
x+y
g(x, y) =
x2
x3
,
+ y2
h(x, y) =
x3
x4
+ y3
Estudia razonadamente la existencia de lı́mite doble en el origen de coordenadas.
Problema 9. Calcula, si existen, los lı́mites
x2 y
p
,
(x,y)→(0,0)
x6 + y 2
lı́m
2
lı́m
(x,y)→(0,0)
arctan
x2 − y 2
x4 + y 4
log(1 + x2 + y 2 )
x2 − y 2
(x,y)→(0,0)
lı́m
2
5
Problema 10. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:
1. f (x, y) = sen x si x ≥ 0; f (x, y) = y 3 si x < 0 e y ≥ 0; f (x, y) = 1 − e−x si x < 0 e y < 0.
2. f (x, y) = |x − y| si x ≥ 0; f (x, y) = y 3 si x < 0 e y ≥ 0; f (x, y) = e−x si x < 0 e y < 0.
Problema 11. Estudia la existencia de lı́mites unidimensionales, reiterados y doble en el punto (0, 0) en
los siguientes casos:
(
x + y, si x > 0
xy 2
f (x, y) = 2
f (x, y) =
x + y4
x − y, si x ≤ 0
Problema 12. Indica razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
1. Todo conjunto acotado es compacto
2. Si f : R2 → R es tal que no tiene lı́mites reiterados en el origen, entonces no tiene lı́mite doble en
dicho punto.
3. Sea f (x, y) = y 4 /x3 . Entonces f tiene lı́mite en el origen a través de la dirección A = {(x, y) ∈ R2 :
x > 0, |y| < x}, pero no existe el lı́mite doble en el origen de coordenadas.
Problema 13. Indica si las implicaciones son verdaderas o falsas para f : A ⊂ R2 → R, (a, b) ∈ A, A
abierto.
V
F
La existencia e igualdad de los lı́mites reiterados de f en (a, b) implica la existencia del lı́mite
doble en (a, b)
V
F
El conjunto {(x, y) ∈ R2 :
p
y − x2 < 1} es abierto
V
F
El conjunto {(x, y) ∈ R2 :
p
x2 + (y − 1)2 < 1} es abierto
V
F
El conjunto {(x, y) ∈ R2 : x2 − 6x + 2y 2 ≤ 1} es compacto
V
F
El lı́mite
log(1 + x2 + 3y 2 )
existe y vale 0
x2 + y 2
(x,y)→(0,0)
lı́m
Problema 14. Estudia la existencia de lı́mites unidimensionales, reiterados y doble en el origen de las
funciones:
1
−
1
log(1 + x − y)
2 + y2
x
sen 2
f (x, y) = e
g(x, y) =
x
x+y
Problema 15. Indica razonadamente si los siguientes conjuntos son abiertos, cerrados, acotados o compactos:
1.
2.
3.
4.
A = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ 3, E(x) ≤ y ≤ 3}.
B = {(x, y) ∈ R2 : √
2 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ E(x)}.
C = {(x, y) ∈ R2 : √x − 1 ≤ y ≤ 1}.
D = {(x, y) ∈ R2 : x − 1 < y < 1}.
Nota: E(x) denota la parte entera de x, es decir, el menor entero mayor o igual que x.
6
Ejercicios del tema 2
Problema 16. Calcula la derivada de f en a según la dirección v:
1. f (x, y) = xy; a = (1, 3); v = (2, −1).
2. f (x, y) = xexy ; a = (1, −1); v = (1, 1).
3. f (x, y, z) = (x/y)z ; a = (1, 1, 1); v = (2, 1, −1).
Problema 17. Obtén las matrices jacobianas de las siguientes funciones en los puntos indicados:
√
1. f (x, y) = arctan((x + y)/(1 − xy)), tan(x2 /y) ; ( π, 1).
p
2. f (x, y) = (x2 + y 2 sen xy, x/ x2 + y 2 , log((x + y)/(x − y))); (2, π/2).
x2 y
, si (x, y) 6= (0, 0); f (0, 0) = 0 y g(t) = (2t, 2t).
+ y2
Comprueba que f ◦ g es derivable en el origen de coordenadas. Calcula las derivadas parciales de f en
el origen de coordenadas, ası́ como el vector ∇f (0, 0). ¿Cuánto vale ∇f (0, 0) · g0 (0)? Explica los resultados
obtenidos.

x2 y 2

, si (x, y) 6= (0, 0)
Problema 19. Sean f (x, y) = x2 y 2 + (x − y)2
, g(t) = (2t, t) y h(t) = (t2 , t). Calcula

0,
si (x, y) = (0, 0)
las derivadas parciales en el origen de f , ası́ como el valor de ∇f (0, 0) · g0 (0) y ∇f (0, 0) · h0 (0). Calcula
directamente los valores de (f ◦ g)0 (0) y (f ◦ h)0 (0). Explica razonadamente los resultados obtenidos.
Problema 18. Consideremos las funciones f (x, y) =
x2
x2 sen y + y 2 sen x
. ¿Cuál es el dominio de definición de f ? Calcula los lı́mites
x2 + xy + 2y 2
direccionales a través de rectas que pasan por el origen. Prueba que puede definirse en el origen para que
sea continua. Calcula las derivadas direccionales en el origen de coordenadas. ¿Es f diferenciable en ese
punto?
Problema 20. Sea f (x, y) =
Problema 21. ¿En qué puntos la gráfica de la función f (x, y) = x2 + xy + y 2 tiene un plano tangente que
es paralelo al plano de ecuación x + z = 0?
Problema 22. Sea f : R2 → R definida por f (x, y) = y 2 arctan(y − x2 ) y sea g : R → R2 definida por
g(t) = (sen t, cos t). Calcula, mediante la regla de la cadena, la matriz jacobiana de g ◦ f en (0, 1) y la
derivada de f ◦ g en t = 0.
Problema 23. Sea f : R3 → R, definida por f (x, y, z) = x2 cos(y − z); y sea g : R → R3 , definida por
π
g(t) = (t, , arctan t).
2
Calcula la matriz jacobiana de g ◦ f en el punto (1, 1, 1) y la derivada de f ◦ g en t = 1.

4
4
arctan x + y
si (x, y) 6= (0, 0)
Problema 24. Sea f (x, y) =
x2 + y 2

0
si (x, y) = (0, 0)
1. Calcula los lı́mites unidimensionales, reiterados y a través de rectas de f en el origen de coordenadas.
¿Es f continua en el origen de coordenadas?
2. Calcula las derivadas direccionales de f en el origen de coordenadas. ¿Cuál es el vector ∇f (0, 0)? ¿Es
diferenciable en ese punto?
3. Si las gráficas de las curvas del tipo x4 + y 4 = c(x2 + y 2 ), c > 0, son del tipo de la indicada en la
gráfica de abajo (izquierda), ¿puedes decir cómo son las curvas de nivel de esta superficie? Dibújalas
a la derecha.
7
x4 + y 4 = c(x2 + y 2 )
Curvas de nivel de f
(
Problema 25. Sea f : R2 → R definida por f (x, y) =
xy
xy
p
y − x2
si y > x2
.
si y ≤ x2
1. Estudia la continuidad de f en R2 .
2. Estudia la diferenciabilidad de f en R2 .
3. Calcula la derivada direccional de f en los puntos (0, 1), (1, 1) y (1, 0) según el vector v = (1, 2).
(
y
, si x 6= 0
x sen 4 arctan
x
Problema 26. Sea f (x, y) =
0,
si x = 0
Estudia la continuidad, existencia de derivadas parciales y diferenciablidad de la función f .
Problema
p 27. Estudia la continuidad, existencia de derivadas parciales y diferenciabilidad de la función
f (x, y) = |xy|.
Problema 28. Sea f : R2 → R definida por
(
p
y 4 − x2 , si y ≥ |x|
p
f (x, y) =
x2 − y 2 , si y < |x|
1. Estudia la continuidad de f y calcula sus derivadas parciales.
2. Estudia la diferenciabilidad de f .
3. Calcula, si existe, la derivada direccional de f según el vector v = (2, 1) en los puntos (0, 0) y (1, 1).
Problema 29. De una función f : R2 → R diferenciable en el punto (1, 2), sabemos que las derivada direccionales D(1,1) f (1, 2) y D(0,2) f (1, 2) valen respectivamente 2 y −4. ¿Cuánto vale la derivada direccional
D(−1,−2) f (1, 2)?
Problema 30. Consideremos la función f (x, y) = arctan
1. Prueba que es continua en todo el plano.
x2 y
, si (x, y) 6= (0, 0); f (0, 0) = 0.
+ y2
x2
8
2. Si v = (cos α, sen α) es un vector de módulo uno, calcula Dv f (0, 0).
3. ¿Es f diferenciable en el origen de coordenadas?
4. ¿En qué dirección se alcanza la derivada direccional máxima en el origen de coordenadas?
Problema 31. Sea f : R2 → R, definida por f (x, y) = x|y − x|. Calcula las derivadas parciales de f donde
existan y estudia la diferenciabilidad de f .
Problema 32. Sea f (x, y) = |x2 − y 2 |.
1.
2.
3.
4.
5.
Estudia la continuidad de f .
Calcula las derivadas direccionales de f en los puntos (3, 2) y (−2, 3).
Estudia la existencia de las derivadas direccionales en el conjunto A = {(x, y) ∈ R2 : |x| = |y|}.
¿En qué puntos del conjunto A es f diferenciable?
¿Verifica la condición suficiente de diferenciabilidad la función f en el origen de coordenadas?

5
 (x + y)
si (x, y) 6= (0, 0)
Problema 33. Sea n un número natural y consideremos la función f (x, y) = (x2 + y 2 )n

0
si (x, y) = (0, 0)
1. Calcula el lı́mite de f en el origen de coordenadas en la dirección y = 0. ¿Qué condición debe verificar
n para que f sea continua en ese punto? Demuestra que, efectivamente, para esos valores de n , la
función f es continua en el origen.
2. ¿Para qué valores de n existen las derivadas parciales de f en el origen de coordenadas?
3. ¿Para qué valores de n es f diferenciable en el origen de coordenadas?
Problema 34. Sea la función f : R2 → R definida por

1
(x2 + y 2 ) sen
, si (x, y) 6= (0, 0)
x2 + y 2
f (x, y) =
0,
si (x, y) = (0, 0)
1.
2.
3.
4.
Demuestra que f es continua en R2 .
Estudia la existencia de D1 f y D2 f en un entorno de (0, 0).
Estudia la continuidad de D1 f y D2 f en (0, 0).
¿Es f diferenciable en (0, 0)? Justifica la respuesta. ¿Contradicen los resultados obtenidos la condición suficiente de diferenciabilidad?
Problema 35. Sea

 (x + y) sen(xy)
f (x, y) =
x2 + y 2

0
si (x, y) 6= (0, 0)
si (x, y) = (0, 0)
1. Estudia la continuidad de f en (0, 0).
2. Calcula, si existen, las derivadas direccionales de f en (0, 0).
3. Estudia la diferenciabilidad de f en (0, 0).
Problema 36. Sean f : R3 → R definida por f (x, y, z) = (x2 + y 2 )z , g : R → R3 definida por g(t) =
(|t|, 1, e|t|−1 ). Calcula, razonadamente, la matriz jacobiana de g ◦ f en el punto (1, 1, 1) y la derivada de
f ◦ g en t = −2.
Problema 37. Consideremos las funciones
f (x, y, z) = (ex + y 2 , kez + y);
g(u, v) = v 2 + log u
donde k es una constante real. Calcula las matrices jacobianas de f y g donde existan. ¿Cuánto debe valer
k para que la dirección de máximo crecimiento de la función g ◦ f en (0, 0, 0) sea la del vector (1, 6, 18)?
 2
3
x y − y
si (x, y) 6= (0, 0)
2
2
Problema 38. Sea f (x, y) =
x +y

0
si (x, y) = (0, 0)
9
1. Calcula los lı́mites unidimensionales, reiterados y a través de rectas de f en el origen de coordenadas.
¿Es f continua en el origen de coordenadas?
2. Calcula las derivadas direccionales de f en el origen de coordenadas. ¿Cuál es el vector ∇f (0, 0)? ¿Es
diferenciable en ese punto?
3. Calcula la función D1 f (x, y). Demuestra que D1 f no es continua en el origen. Sin hacer cálculos,
¿qué puedes decir de la continuidad de la función D2 f ?
Problema 39. Sea f : [0, 1] → R2 , f (x) = (x2 , x3 ). ¿Existe c ∈ (0, 1) tal que f (1) − f (0) = f 0 (c)? Comenta el
resultado obtenido en relación al teorema del valor medio.
Problema 40. En cada una de las afirmaciones siguientes tacha V si es verdadera y tacha F si es falsa.
f : A ⊂ R2 → R, (a, b) ∈ A, A es abierto.
V
F
La existencia e igualdad de los lı́mites reiterados de f en (a, b) implica la existencia del
lı́mite doble en (a, b)
V
F
La existencia del lı́mite doble de f en (a, b) implica que todos los lı́mites direccionales
de f en (a, b) existen y son iguales
V
F
La existencia e igualdad de todas las derivadas direccionales de f en (a, b) implica que
f es diferenciable en (a, b)
Problema 41. Sea n ∈ N. Consideremos la función

n
 xy , si (x, y) 6= (0, 0)
2
f (x, y) = x + y 4
0,
si (x, y) = (0, 0)
1. Demuestra que f es continua en el origen si y sólo si n ≥ 3.
2. Estudia para qué valores de n existen las derivadas parciales de f en origen.
3. ¿Para qué valores de n es diferenciable en (0, 0)?
Ejercicios del tema 3
(
Problema 42. Sea f (x, y) =
(y − ex )2 , si y ≥ e|x|
0,
si y < e|x|
1. Estudia la continuidad de f .
2. ¿Existen las derivadas parciales de f en (0, 1)? ¿Es f diferenciable en ese punto?
3. Calcula las derivadas cruzadas de f en (0, 1).

 x3 y
si (x, y) 6= (0, 0)
Problema 43. Sea f (x, y) =
x2 + y 2

0
si (x, y) = (0, 0)
Calcula D1,2 f (0, 0) y D2,1 f (0, 0). ¿Es f dos veces diferenciable en (0, 0)? Justifica la respuesta.
(
y − x2 ,
si y ≥ x2
.
Problema 44. Sea f (x, y) =
2
x + sen y, si y < x2
Calcula las derivadas de segundo orden en el origen de coordenadas. ¿Es f dos veces diferenciable en
ese punto?
Problema 45. Sea g : R3 → R dos veces diferenciable en (0, 1, 1) tal que

g(0, 1, 1) = 0,
∇g(0, 1, 1) = (1, 2, 1),
1
Hg (0, 1, 1) = 2
0
2
0
1

0
1
1
c) Expresa el polinomio de Taylor de orden dos de g en (0, 1, 1).
d) Si h : R → R3 es la aplicación definida por h(t) = (arctan t2 , et , cos t), calcula razonadamente la matriz
jacobiana de h ◦ g en (0, 1, 1) y la derivada de g ◦ h en t = 0.
 2 2
 x y
si (x, y) 6= (0, 0)
Problema 46. Sea f (x, y) = x2 + y 2

0,
si (x, y) = (0, 0)
1. Calcula, donde existan, las derivadas parciales de primer orden de f .
2. Calcula, si existen, las derivadas parciales de segundo orden de f en el origen.
3. Calcula el polinomio de Taylor de f de orden dos en el origen.
4. Calcula D1,2 f (x, y) si (x, y) 6= (0, 0).
5. ¿Es f dos veces diferenciable en el origen?
6. ¿Es la derivada cruzada D1,2 f (x, y) continua en el origen?
7. En conclusión, (táchese lo que NO proceda):
las derivadas cruzadas de f en el origen son IGUALES
DISTINTAS
f SÍ
NO verifica las hipótesis del teorema de Heffter-Young.
f SÍ
NO verifica las hipótesis del teorema de Schwarz.
Problema 47. Sea f : R2 → R definida por
 2
 x y(y − x) , si (x, y) 6= (0, 0)
f (x, y) =
x2 + y 2

0,
si (x, y) = (0, 0)
11
1.
2.
3.
4.
5.
Estudia la continuidad de f en R2 .
Calcula las derivadas parciales de f en (0, 0).
¿Es f diferenciable en (0, 0)?
Calcula las derivadas parciales cruzadas de segundo orden de f en (0, 0).
¿Es f dos veces diferenciable en (0, 0)?
Problema 48. Sea f : R2 → R definida por
y4
, si (x, y) 6= (0, 0)
f (x, y) = x2 + y 2

0,
si (x, y) = (0, 0)


1. Calcula las derivadas parciales de primer orden de f en R2 . Demuestra que f ∈ C 1 (R2 ).
2. Calcula las derivadas parciales de segundo orden de f en (0, 0).
3. ¿Es f dos veces diferenciable en (0, 0)?
Problema 49. De una función f : R2 → R sabemos que
1. f es de clase C 2 (R2 ).
2. f tiene en (0, 0) un extremo relativo estricto.
α
3. Existen α y β reales tales que ∇f (0, 0) = (α − β, 0) y la matriz hessiana de f en (0, 0) es
1
αβ
.
2
Calcula razonadamente el valor de α y β. ¿Qué tipo de extremo tiene f en el origen?
Problema 50. Sea f : R2 → R de clase C 2 (R2 ). Supongamos que
f (1, 2) = 3,
∇f (1, 2) = (α, β),
α+1
Hf (1, 2) =
γ
γ
β−1
1. Expresa el polinomio de Taylor de f en el punto (1, 2).
2. Demuestra que para todos los valores de α, β y γ la función f no tiene un extremo relativo en (1, 2).
Problema 51. Resuelve razonadamente los siguientes ejercicios:
1. Estudia los extremos relativos y absolutos de la función f (x, y) = x4 + y 4 − 2x2 − 2y 2 + 4xy.
2. Encuentra los puntos de la elipse x2 + 6y 2 + 3xy = 40 que tienen la abscisa mayor.
Problema 52. Estudia los extremos relativos y absolutos de las siguientes funciones:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
f (x, y) = x3 + 3xy 2 − 15x − 12y.
f (x, y) = x3 + y 3 + 3xy.
f (x, y) = 6xy 2 − 2x3 − 3y 4 .
f (x, y) = x4 + y 4 + 6x2 y 2 + 8x3 .
f (x, y) = x2 + 2xy + 2y 3 + 4y 2 + 7.
f (x, y) = 3x2 y 2 + y 3 − 6y 2 + 9y.
f (x, y) = y 3 + x2 y − 3y.
f (x, y) = x2 + y 2 + kxy.
Problema 53. Consideremos las funciones
f (x, y) = x2 (1 + y)3 + y 2 ,
g(x, y) = (x2 y − x − 1)2 + (x2 − 1)2 .
Estudia los extremos de f y g. Comenta los resultados obtenidos con el caso de funciones reales de una
variable real.
Problema 54. Sea f (x, y) = y 3 − x2 .
1. Calcula los extremos absolutos y relativos de f en A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + 3y 2 = 3}.
2. Calcula los extremos absolutos y relativos de f en B = {(x, y) ∈ R2 : x2 + 3y 2 ≤ 3}.
12
3. Comenta el resultado obtenido para el punto (0, −1) en los apartados anteriores.
Problema 55. Sea f (x, y) = x + y 2 .
√
1. Estudia los extremos absolutos de f en el recinto M = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 4, y ≤ 15x}.
2. Si δ > 0 es arbitrario pero fijo, estudia los valores que toma f en puntos de la forma (x, 0), ası́ como
en puntos de la forma (x, y) con x2 + y 2 = 4, con 2 − δ < x < 2. Deduce de ello que el punto (2, 0) no
es extremo relativo condicionado.
√
3. Mediante un estudio similar, deduce que el punto (−1/2, − 15/2) tampoco es extremo relativo condicionado.
Problema 56. Estudia los extremos relativos y absolutos de la función f (x, y) = x2 + y 2 en el recinto
A = {(x, y) ∈ R2 : x2 − 2x + y 2 − 4y ≤ 0}.
Interpreta geométricamente el problema propuesto.
Problema 57. Sea f (x, y) = 4x2 + 10y 2 . Estudia los extremos relativos y absolutos de f en el recinto
x2 + y 2 ≤ 4.
Problema 58. Sea f (x, y) = 2x + y 2 y sea M = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 2, x ≤ y 2 }. Calcula, si existen, los
extremos relativos y absolutos de f en M .
Problema 59. Consideremos la función f (x, y, z) = z + (x − 1)2 + y 2 y los recintos
A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = z = 3},
B = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ z ≤ 3}
1. Indica en las gráficas de abajo los recintos A y B.
2. Calcula sus extremos en el recinto A.
3. Los extremos de f en A, ¿son extremos en el conjunto B?
Problema 60. Utilizando el teorema de los multiplicadores de Lagrange calcula los extremos relativos y
absolutos, si existen, de la función f (x, y) = xy en el conjunto A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + (y − 1)2 ≤ 1}.
Problema 61. Sea f (x, y) = x2 − y 2 + 4x y sea A = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 9}.
1. Prueba que f alcanza extremos absolutos en A y calcúlalos.
2. ¿Tiene f extremos relativos en el interior de A?
Problema 62. Prueba que la función f (x, y) = x2 + y 2 + x + y tiene extremos absolutos en el conjunto
M = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 4, y ≤ 1}. Calcúlalos.
13
Problema 63.
1. Prueba que la función f : R2 → R definida por: f (x, y) = x2 + (y −
extremos absolutos en el conjunto M = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 4, x ≤ 1} y calc
√ úlalos.
2. Prueba que f restringida a M no tiene un extremo relativo en el punto (1, 3).
3. Interpreta geométricamente el problema de extremos planteado.
√
3)2 alcanza
Problema 64. Sea f (x, y) = x2 + 2y 2 .
1. Calcula los extremos relativos y absolutos de f en A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 + 2y = 3}.
2. Calcula los extremos relativos y absolutos de f en B = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 + 2y ≤ 3}.
3. Comenta los resultados obtenidos.
Problema 65. Sea f (x, y) = x2 − 2x + y 2 + 2.
1. Calcula los extremos relativos y absolutos de f en A = {(x, y) ∈ R2 : (x − 1)2 + 4y 2 = 4}.
2. Calcula los extremos relativos y absolutos de f en B = {(x, y) ∈ R2 : (x − 1)2 + 4y 2 ≤ 4}. ¿Todos los
extremos de f en A lo son en B? Justifica la respuesta.
Problema 66. Prueba que en M = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 2, z ≥ x2 + y 2 } existen dos puntos P1 y
P2 que son, respectivamente, los puntos de M que están más cerca y más lejos del punto (0, 1, 2). Calcula
P1 y P2 .
Problema 67. Consideremos el conjunto M = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ z ≤ 3}. Demuestra que la función
f (x, y, z) = z + (x − 1)2 + y 2 alcanza extremos absolutos en el conjunto M . Calcúlalos.
Problema 68. Consideremos la curva en R3 dada por las ecuaciones
(
x2 + 2y 2 + 2x + 4y − 9 = 0
y−z =0
¿Es un conjunto cerrado en R3 ? ¿Es acotado? Encuentra, si existen, los puntos que estén más cercanos y
lejanos del origen de coordenadas.
Problema 69. Sea A = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 1, x − y + 2z = 2}. ¿Es A un conjunto acotado? ¿Y
cerrado? ¿Es compacto? Estudia los extremos de la función f (x, y, z) = x2 + 2y 2 + 3z 2 en A, mediante el
teorema de los multiplicadores de Lagrange y sin el uso de tal teorema.
Problema 70. Consideremos los conjuntos
A = {(x, y, z) ∈ R3 : 2z + x2 + y 2 = 16, x + y = 4};
B = {(x, y, z) ∈ A : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}
1. ¿Es el conjunto A cerrado? ¿Y acotado? Encuentra, usando el método de los multiplicadores de Lagrange, los puntos de A más próximos al origen de coordenadas.
2. ¿Es el conjunto B cerrado? ¿Y acotado? Encuentra, usando el método de los multiplicadores de Lagrange, los puntos de B más alejados del origen de coordenadas.
3. Plantea como resolverı́as los apartados anteriores sin el uso del método de Lagrange.
Problema 71. Sea f (x, y) = (x − 5)2 + y 2 y sea M = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 6 4, x > −1}.
1. Calcula, si existen, los extremos absolutos y relativos de f en M .
2. Interpreta el problema gráficamente en R2 y explica geométricamente los resultados obtenidos anteriormente.
Problema 72. Consideremos la función f (x, y) = x2 − y 2 + 4x.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Estudia los extremos relativos y absolutos de f en R2 .
Escribe el polinomio de Taylor de orden dos de f en el punto (−2, 0).
Estudia los extremos absolutos de f en x2 + y 2 = 1.
Estudia los extremos absolutos de f en x2 + y 2 = 9.
¿Es el punto (−3, 0) extremo condicionado de f en el conjunto x2 + y 2 = 9?
Cuáles son los extremos absolutos de f en el conjunto A = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 9}?
14
Problema 73. Sea f (x, y) = xy − x − y + 1.
1. ¿Tiene f extremos relativos en R2 ? ¿Y extremos absolutos?
2.5
2. Sea A = {(x, y) ∈ R2 : x + y = 2, (x − 1)2 + (y − 1)2 6 2}.
2.0
Calcula los extremos de f en A.
1.5
3. Sea B = {(x, y) ∈ R2 : x + y 6 2, (x − 1)2 + (y − 1)2 = 2}.
1.0
Calcula los extremos de f en B.
4. Sea C = {(x, y) ∈ R2 : x + y 6 2, (x − 1)2 + (y − 1)2 6 2}.
Calcula los extremos de f en C. (Indicación: Utiliza los resultados
obtenidos anteriormente).
0.5
0.0
-0.5
5. En la figura adjunta señala los conjuntos A, B y C.
Comenta el comportamiento de f en el punto (1, 1) según se considere -1.0
-1.0
f en R2 o restringida a A o restringida a C.
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Problema 74. Sean f, g : R2 → R definidas por
g(x, y) = x2 + y 2 − 2x − 2y
f (x, y) = xy − x − y
Sean A = {(x, y) ∈ R2 : f (x, y) = 0} y B = {(x, y) ∈ R2 : g(x, y) = 0}.
1. ¿Es A compacto? ¿Es B compacto? Justifica las respuestas.
2. Calcula los extremos de f en B mediante los multiplicadores de Lagrange.
3. Justifica que la función g alcanza mı́nimo absoluto en A y calcúlalo mediante los multiplicadores de
Lagrange.
Problema 75. Consideremos la función f (x, y) = x2 y.
1. Estudia los extremos relativos y absolutos en R2 .
2. Estudia los extremos relativos y absolutos en el conjunto {(x, y) ∈ R2 : 2x2 + y 2 = 3}.
3. Estudia los extremos relativos y absolutos en el conjunto {(x, y) ∈ R2 : 2x2 + y 2 ≤ 3}.
Eje Z
A la vista de la gráfica, podemos decir (táchese lo que NO proceda):
Eje Y
f SÍ
NO tiene máximos absolutos en el plano.
f SÍ
NO tiene máximos relativos en el plano.
f SÍ
NO tiene mı́nimos absolutos en el plano.
f SÍ
NO tiene mı́nimos relativos en el plano.
f SÍ
NO tiene puntos de silla en el plano.
Eje X
15
Eje Z
A la vista de la gráfica, podemos decir (táchese lo que NO proceda):
Eje Y
f SÍ
NO tiene máximos absolutos en 2x2 + y 2 = 3.
f SÍ
NO tiene máximos relativos en 2x2 + y 2 = 3.
f SÍ
NO tiene mı́nimos absolutos en 2x2 + y 2 = 3.
f SÍ
NO tiene mı́nimos relativos en 2x2 + y 2 = 3.
Eje X
Eje Z
A la vista de la gráfica, podemos decir (táchese lo que NO proceda):
Eje Y
Eje X
f SÍ
NO tiene máximos absolutos en 2x2 + y 2 ≤ 3.
f SÍ
NO tiene máximos relativos en 2x2 + y 2 ≤ 3.
f SÍ
NO tiene mı́nimos absolutos en 2x2 + y 2 ≤ 3.
f SÍ
NO tiene mı́nimos relativos en 2x2 + y 2 ≤ 3.
16
Ejercicios del tema 4
Problema 76. Sea f : R2 → R2 definida por f (x, y) = (x3 + x + y 2 , y 3 ).
1. Comprueba que f es inyectiva en R2 .
2. Determina los puntos en los que f admite inversa local diferenciable.
3. Calcula la matriz jacobiana de f −1 en los puntos en los que f −1 sea diferenciable.
2
Problema 77. Sea f : R2 → R2 definida por f (x, y) = (ex , sen(x + y)).
1. Determina los puntos en los que f admite función inversa diferenciable.
2. Calcula la matriz jacobiana asociada a Df −1 (f (1, 1)).
3. ¿Es f localemnte invertible en (0, π/2)? Justifica la respuesta.
Problema 78. Sea A = {(x, y) ∈ R2 : x + y 6= 1} y sea f : A ⊂ R2 → R2 definida por
y
x
,
f (x, y) =
1−x−y 1−x−y
1. Prueba que f es localmente invertible en todos los puntos de A. Calcula Df −1 (f (x, y)).
2. Demuestra que f es inyectiva en A. Calcula f −1 . ¿Cuál es su dominio?
3. Halla la matriz jacobiana de f −1 y comprueba el resultado obtenido en el apartado anterior.
Problema 79. Sea f : R2 → R2 de clase C 1 . Conocemos el valor de dos derivadas direccionales de f en el
punto (1, 1):
D(3,0) f (1, 1) = (0, −6);
D(−3,1) f (1, 1) = (2, 0)
1. Calcula la matriz jacobiana de f en (1, 1).
2. ¿Es f localmente invertible en (1, 1)? En caso afirmativo, calcula la matriz jacobiana de f −1 en f (1, 1).
Problema 80. Sea f : R3 → R, A abierto, (1, −1, 2) ∈ A. Sabemos que
1. f es de clase C 1 en A.
2. f (1, −1, 2) = 0.
3. ∇f (1, −1, 2) = (2, 0, 5).

1
4. La matriz hessiana de f en (1, −1, 2) es Hf (1, −1, 2) = −1
0
−1
2
1

0
1
−1
Se pide:
1. Calcula la ecuación del plano tangente a la superficie f (x, y, z) = 0 en el punto (1, −1, 2).
2. Calcula el polinomio de Taylor de segundo grado de f en el punto (1, −1, 2).
3. Prueba que la ecuación f (x, y, z) = 0 define una función implı́cita z = z(x, y) en un entorno de
(1, −1, 2) que verifica z(1, −1) = 2. Calcula el plano tangente a la superficie z = z(x, y) en el punto
(1, −1, 2). Comenta el resultado obtenido en relación al primer apartado.
Problema 81. Comprueba que la ecuación sen(xz) + ey = 32 define una función implı́cita z = z(x, y) en un
entorno de (1, 0) cumpliendo z(1, 0) = π6 . Calcula el polinomio de Taylor de segundo orden de z en (1, 0).
Problema 82. Prueba que la ecuación x − 2y + z + ez = 1 define una función implı́cita z = z(x, y) de clase
C ∞ en un entorno de (0, 0) y que verifica z(0, 0) = 0. Calcula el polinomio de Taylor de segundo grado de
z(x, y) en (0, 0).
Problema 83. Prueba que la ecuación ex + sen(x + y) + ex+y+z = 2 define una función implı́cita y = y(x, z)
de clase C ∞ en un entorno del origen. Si h(x, z) = y(x, z) + 32 x + 12 z, ¿es el origen extremo relativo de h?
Problema 84. Sea f (x, y, z) = z 3 log(xy) + 2(x2 + y 2 ) + z 2 + 8xz − z + 8.
17
1. ¿Para qué valores de a la ecuación f (x, y, z) = 0 define una función de clase C ∞ , z = h(x, y), tal que
h(1, 1) = a?
2. Si h es la función tal que h(1, 1) = −3, calcula la ecuación del plano tangente a h en el punto (1, 1, −3).
3. Calcula D1,2 h(1, 1). ¿Cuál es el valor de D2,1 h(1, 1)? Justifica tu respuesta.
Problema 85. Sea f : A ⊂ R3 → R una función de clase C 1 en el abierto A. Supuesto que (1, 2, 3) ∈ A, que
f (1, 2, 3) = 0 y que ∇f (1, 2, 3) = (−1, 0, 2), se pide:
1. Si F (x, y, z) = f (x, y, z)+2x−y +z, calcula la ecuación del plano tangente a la superficie F (x, y, z) = 3
en el punto (1, 2, 3).
2. Deduce razonadamente que la ecuación f (x, y, z) = 0 define x = g(y, z) en un entorno de (2, 3)
verificando g(2, 3) = 1 y f (g(y, z), y, z) = 0 para todos los puntos de ese entorno.
3. Si v = (1, −1), calcula la derivada direccional Dv g(2, 3).
Problema 86.
1. Utiliza los multiplicadores de Lagrange para calcular los extremos de la función
f (x, y, z) = x + y − z 2 en el conjunto (x − 2)2 + y 2 + z 2 ≤ 1. ¿Tiene f extremos absolutos en ese recinto?
¿Cuáles son?
2
2
2
2. Prueba √
que la ecuación
√ (x − 2) + y + z = 1 define y como función implı́cita de (x, z) cumpliendo
y(2 − 1/ 2, 0) = −1/ 2.
√
√
3. Utiliza la función del apartado anterior para estudiar la naturaleza del punto (2 − 1/ 2, −1/ 2, 0).
Problema 87.
1. Prueba que la ecuación x2 + y 2 + z 2 = ex−y+z − 1 define a z como función implı́cita
∞
de clase C verificando z(0, 0) = 0.
2. Calcula la ecuación del plano tangente a la superficie z = z(x, y) en el punto (0, 0, 0).
3. Sean g(x, y) = z(x, y) y h(t) = (log(1 + t), arctan t2 ). Calcula razonadamente la matriz jacobiana de
h ◦ g en (0, 0) y la derivada de g ◦ h en 0.
Problema 88. Consideremos la ecuación ez + xz + y = 0.
1. Prueba que define una función z = z(x, y) indefinidamente diferenciable en un entorno del punto
(0, −1).
2. Calcula a y b para que (0, −1) sea punto crı́tico de la función g(x, y) = z(x, y) + ax + by.
3. Para esos valores de a y b, ¿es (0, −1) extremo relativo de g?
Problema 89. Sea f : R3 → R definida por f (x, y, z) = x2 + 2y 2 − 2xz − z 2 .
1. Calcula el plano tangente a la superficie f (x, y, z) = 0 en el punto (1, 1, 1).
2. Prueba que la ecuación f (x, y, z) = 0 define una función implı́cita indefinidamente diferenciable,
z = z(x, y), en un entorno del punto (1, 1, 1).
3. Calcula la ecuación del plano tangente a la superficie z = z(x, y) en el punto (1, 1). Comenta el
resultado obtenido.
Problema 90. Prueba que el sistema
(
xz 3 + yu + x = 1
2xy 3 + u2 z + y = 1
define, en un entorno de (0, 1) una función implı́cita (x, y) = g(z, u) que cumple g(0, 1) = (0, 1). Calcula
D(2,3) (g1 + g2 )(0,1). Estudia si g es localmente invertible en (0, 1). Calcula D(3,−1) g−1 (0, 1)
Problema 91. Consideremos el sistema de ecuaciones
exu + eyv = 2
x2 + y 2 + u2 + v 2 = 5
Prueba que define funciones implı́citas (y, v) = g(x, u) y (x, u) = h(y, v) tales que g(1, 0) = (0, 2) y h(0, 2) =
(1, 0). ¿Es g localmente invertible en (1, 0)? ¿Lo es h en (0, 2)? ¿Qué relación existe entre las funciones g y
h?
18
Problema 92. Consideremos el sistema
x + y + 2z − 2t = 0,
x2 + y 2 + 4z − t3 = 1
1. Prueba que define dos funciones de clase C ∞ , z(x, y), t(x, y) en un entorno del punto (4, −2) verificando z(4, −2) = 2, t(4, −2) = 3.
2. Si F (x, y) = (z(x, y), t(x, y)), prueba que F es localmente invertible en (4, −2). Calcula DF −1 (2, 3).
3. Prueba que el sistema anterior también define dos funciones de clase C ∞ , x(z, t), y(z, t) en un entorno
de (2, 3) verificando x(2, 3) = 4, y(2, 3) = −2.
4. Si G(z, t) = (x(z, t), y(z, t)), calcula DG(2, 3).
Problema 93. Consideremos el sistema de ecuaciones
(
exy + eyz + exz = e + 2
sen(xz) + cos(yz) = 1
Prueba que define unas funciones y = y(x), z = z(x), verificando y(1) = 1, z(1) = 0. Si g(x) = (y(x), z(x)),
¿es diferenciable? En caso afirmativo, si h(u, v) = u2 + v 2 , calcula razonadamente (h ◦ g)0 (1) y D(g ◦ h)(1, 0).
Problema 94. Consideremos el sistema de ecuaciones
x2 + 2y 2 + u2 + v = 6
2x3 + 4y 2 + u + v 2 = 9
Prueba que define funciones implı́citas (y, v) = g(x, u) y (x, u) = h(y, v) tales que g(1, −1) = (−1, 2) y
h(−1, 2) = (1, −1). ¿Es g localmente invertible en (1, −1)? En caso afirmativo, calcula Dg−1 (−1, 2).
√
Problema 95. Demuestra que en un entorno del punto ( 2, 0, 1, −1) el sistema de acuaciones
(
2uv + x2 − y 2 = 0
u2 − v 2 + 2xy = 0
define u, v como funciones implı́citas de x, y.
√
Prueba que la función implı́cita (u, v) = g(x, y) es invertible en un entorno de ( 2, 0). Calcula razonadamente Dg−1 (1, −1).
Problema 96.
1. Prueba que la ecuación x2 + xy + y 2 + z 3 − z = 0 define una función implı́cita z(x, y)
en un entorno E de (0, 0) verificando z(0, 0) = 1.
2. Prueba que la función z(x, y) definida anteriormente tiene un extremo relativo en (0, 0).
3. Sea G : E ⊂ R2 → R2 definida por G(x, y) = ∇z(x, y). Utilizando algunos de los cálculos realizados
anteriormente, prueba que G es localmente invertible en (0, 0).
Problema 97. Calcula b para que la ecuación y 3 + x2 y = 10 defina implı́citamente a y como función de x,
y = g(x), en un entono del punto (3, b). Calcula
x−3
2
(x − 3)2
g(x) − 1 +
lı́m
x→3
Problema 98. Consideremos las funciones
f : R2 → R2 ,
f (x, y) = (2ye2x , xey );
g : R2 → R3 ,
g(x, y) = (3x − y 2 , 2x + y, xy + y 3 )
1. ¿Es f localmente invertible en (0, 1)?
2. Calcula D(g ◦ f −1 )(2, 0).
Problema 99. Calcula los valores de b tales que se verifican las dos condiciones siguientes:
19
1. El sistema de ecuaciones
(
x + 2 sen y − z 3 = 0
x − 4y 2 + ebz = 1
define dos funciones implı́citas de clase C ∞ , y = f (x), z = g(x) tales que f (0) = g(0) = 0.
2. La función h(x, t) = (f (x)+arctan t, g(x)+log(1+t)) tiene inversa local diferenciable en (0, 1). Justifica
la respuesta.
1
Problema 100. Sea f : R3 → R, f (x, y, z) = xyz + ey−z − .
e
1. ¿Para qué valores de a la ecuación f (x, y, z) = 0 define a z como función implı́cita z = g(x, y) en un
entorno del punto (a, 0, 1)?
2. ¿Para qué valores de a la función implı́cita anterior tiene un punto crı́tico en el punto (a, 0)? ¿Alcanza
extremo en este punto crı́tico?
3. ¿Para qué valores de a la función h(x, y) = (g(x, y) + x − ey , g(x, y) − x − y) tiene inversa diferenciable
en el punto (a, 0)?